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2025-2026学年上海市静安区民立中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共20分。
1.若m为正整数，且m＜26，则（34-m）…（27-m）（26-m）=（　　）
A. B. C. D.
2.如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（　　）
A. k2＜k1＜k3
B. k3＜k1＜k2
C. k3＜k2＜k1
D. k1＜k2＜k3
3.有红、黄、蓝的小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，并且不同的顺序表示不同的信号，则可表示不同的信号种数为（　　）
A. 6 B. 12 C. 14 D. 15
4.嫦娥四号任务经过探月工程重大专项领导小组审议，通过并且正式开始实施，如图所示．假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（　　）
A. a1+c1=a2+c2 B. a1-c1=a2-c2 C. D. a2c1＜a1c2
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.抛物线的焦点坐标是______．
6.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有 种.
7.已知直线l1：ax+4y+2=0与直线l2：x+ay-1=0平行，则a的值为 .
8.已知函数，则= .
9.y轴被圆（x-2）2+（y-1）2=5截得的弦长为 .
10.双曲线的渐近线夹角大小为 .
11.将化简为椭圆标准方程的形式，结果为 .
12.函数在R上单调递增，则a的取值范围是 .
13.某地区有3个学生社会实践服务点A，B，C.4名学生需在寒假完成社会实践，每个服务点至少有一名学生，则不同的社会实践安排共有 种.
14.过点（0，2）可作曲线y=x3-3x+2的切线的条数最多为 .
15.函数y=f（x），x∈（-2，7）的图像如图所示，设y=f（x）的导函数为y=f′（x），则的解集为 .
16.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点A（2，0）处出发，军营所在的位置为B（2，3），河岸线所在直线的方程为y=3x+2，则“将军饮马”的最短总路程为 .
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
尝试用两种不同的方法求的导数.
18.(本小题11分)
现有4名男生和3名女生.
（1）若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？
（2）若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
（3）若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数.
19.(本小题15分)
甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时.已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为3375.
（1）把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
20.(本小题17分)
已知椭圆过点，右焦点为F，D为上顶点，以点D为圆心且过F的圆恰好与直线x=-2相切.
（1）求C的方程；
（2）过（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点（不与椭圆的左，右顶点重合），设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；
21.(本小题17分)
已知函数f（x）=eax-x-1.
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意的实数k,b,曲线y=f（x）+kx+b与直线y=kx+b总相切，则称函数f（x）是“A函数”，当a=1时，若函数g（x）=ex[f（x）-x+1]+m是“A函数”，求m.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】
6.【答案】8
7.【答案】2
8.【答案】-1
9.【答案】2
10.【答案】arctan
11.【答案】+=1
12.【答案】（-∞，-1]
13.【答案】36
14.【答案】1
15.【答案】（1，4）∪（6，7）
16.【答案】5
17.【答案】；
18.【答案】解：（1）利用捆绑法，则共有排法数为种；
（2）利用插空法，可得共有排法数为种；
（3）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有，
共有邀请方法数为种．
19.【答案】；
应该以90千米/小时行驶
20.【答案】 证明：由题意得，直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为：x=ty+4，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立得：（3t2+4）y2+24ty+36=0，
则，，所以，
又x1=ty1+4，x2=ty2+4，
所以
=
21.【答案】解：（1）函数f（x）=eax-x-1的定义域为R，f′（x）=aeax-1，
当a=1时，f′（x）=ex-1，∴f′（0）=0，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
故f（x）的极小值为f（0）=0，无极大值．
（2）由（1）可知：当a≤0时，f′（x）=aeax-1≤-1，f（x）在R上单调递减；
当a＞0时，令aeax-1=0，得，，
所以，且f′（x）=aeax-1为增函数，
当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，
所以f（x）在上单调递减，在上单调递增；
综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（-∞，+∞），无递增区间；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．
（3）当a=1时，函数g（x）=ex[f（x）-x+1]+m=ex（ex-2x）+m是“A函数”，
求导得g′（x）=2ex（ex-x-1），
设曲线y=g（x）+kx+b与直线y=kx+b切点（x0，y0），
则，故，即，
所以且，
设h（x）=ex-x-1，h′（x）=ex-1，易知h′（0）=0，且h′（x）=ex-1是增函数，
当x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）min=h（0）=0，所以x0=0是方程的根，且唯一，
所以．
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