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2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷
数学·全解全析版
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
（1）答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
（2）请将答案正确填写在答题区域内。
（3）测试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。
第一部分（选择题 共18分）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
1．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高，
故选：D．
2．等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（ ）
A．25 B．33 C．42 D．33或42
【答案】C
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17，
此时，满足三角形的三边关系，
所以它的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为42，
故选：C．
3．下列数中是不等式的解的是（）
A．0 B．100 C． D．
【答案】B
【详解】解：解不等式得
因此，解集为所有大于3的数．
只有选项B符合条件．
故选：B．
4．如图，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）：
方案1：
①作一直线，交于点；
②利用尺规作；
③测量的大小即可．
方案2：
①作一直线，交于点；
②测量和的大小；
③计算即可
对于方案1、2，说法正确的是（ ）
A．1可行、2不可行 B．1不可行、2可行
C．1、2都可行 D．1，2都不可行
【答案】C
【详解】解：方案1：∵，
∴，
∴由两直线平行，内错角相等可知等于直线，所夹锐角的大小；
方案2：∵，和直线，所夹的锐角是一个三角形的三个内角，
∴的大小即为直线，所夹锐角的大小；
∴1、2都可行．
6．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
在和中，
，
∴，
∴，
∴取得最小值时，线段的长为．
第二部分（非选择题 共102分）
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7．如果，那么 （填“”或“”）．
【答案】
【详解】解：，
．
故答案为：．
8．在三角形中，，，第三边的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：在中，，，
，
，即，
第三边的取值范围是．
9．根据“的倍与的差不大于”，可列不等式为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
10．如图所示，直线相交于点，则的度数为___________．
【答案】
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴．
故答案为： ．
11．如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于______．
【答案】
【详解】解：∵分别是和的角平分线，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵的周长为，，
∴的周长为，
∵，
∴的周长为，
故答案为．
12．如图， ，则 _______________．
【答案】
【详解】解：如图，过点作
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
13．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________．
【答案】②
【详解】解：延长，交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故①错误；②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
可见，的值未必为，只要和为即可，
故③④不一定正确．
14．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______．
【答案】11
【详解】解：连接，，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点A关于直线的对称点为点C，，
∴，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短．
故答案为：11．
15．如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________．
【答案】1
【详解】解：∵D为BC中点，
∴
同理可得：
∴
∵F是EC的中点，
故答案为：1 ．
16．如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒．
【答案】或4
【详解】解：当点Q在BC上时，
如图：当时，，， ；
∴，解得：；
如图：当时，，
∴，解得，
综上所述，满足条件的t的值为或4．
故答案为：或4．
17．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为_______．
【答案】
【详解】解：由折叠可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______．
【答案】3
【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，点是上一点，
∴点关于直线的对称点在上，
设点关于直线的对称点为点，
如图1，假设点在（不含点）上，连接，
由轴对称的性质得：，
∵，
∴，
∵，
∴在中，，在中，，
∴，
∴在中，，
∴，这与不符，
∴假设不成立，即点不在（不含点）上；
如图2，假设点在（不含点）上，连接，
同理可得：点不在（不含点）上；
∴点与点重合，
∴与关于直线对称，点的对应点是点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（5分）如图所示，已知，试说明：．
【详解】证明：（已知），（对顶角相等），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．……（4分）
20．（5分）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解．
【详解】解∶，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式的解集为，……（4分）
在数轴上表示为：
∴所有非负整数解有0，1，2．……（6分）
21．（6分）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数
【详解】（1）解：，
，
；……（3分）
（2）解：，
，
，
．……（6分）
22．（6分）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求周长．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴周长．
23．（8分）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（__________________）
∵．（已知）
∴．（__________________）
∴．（__________________）
∵．（角的和差定义）
∴______．（等量代换）
(2)如图2，若，，，则______°；
(3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由．
【详解】（1）解：如图，过作，
∵，（辅助线的作法）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（已知）
∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵，（角的和差定义）
∴．（等量代换）……（4分）
（2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．……（7分）
（3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下：
过点作（点在点的右侧），如图3所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，，之间的数量关系是：．……（10分）
24．（10分）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等．
(1)求每件商品进价及购进商品的数量．
(2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出．
①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围．
②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果）
【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得
，
解得：，
经检验：是所列方程的根，且符合实际意义；
（件），
答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件；……（3分）
（2）解：①由题意得
，
解得：，
；
②由题意得
，
整理得：，
是不小于25的正整数，
，
，
解得：，
是不大于6的正整数，
，
或，
当时，
，
当时，
，
故答案为：26或30．……（8分）
25．（12分）已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点；
(1)如图，若点在线段上，且，求证：；
(2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由；
(3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
，
．
，
，
，
．
，即，
．
在和中，
，
．……（3分）
（2）解：结论成立，
理由：如图，
∵，
∴，
∵，
．
，
．
．
，
，
∵，
，
．
在和中，
．……（6分）
（3）①当时，如图所示．
，
．
，，
．
，
，
，
．
②当时，如图所示．
同①，．
综上所述，或．……（9分）
26．（14分）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积；
(3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
又∵，
……（3分）
（2）解：过点作，交的延长线于点，如图：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；……（7分）
（3）证明：延长至，使，连接，，如图：
，，，
，
，，
，，
，
又，，
，
∴，，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．……（10分）
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2025-2026学年七年级下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
（1）答题前请填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
（2）请将答案正确填写在答题区域内。
（3）测试范围：一元一次不等式、相交线与平行线、三角形、等腰三角形。
第一部分（选择题 共18分）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
1．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A．B． C． D．
2．等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（ ）
A．25 B．33 C．42 D．33或42
3．下列数中是不等式的解的是（）
A．0 B．100 C． D．
4．如图，点在直线上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）：
方案1：
①作一直线，交于点；
②利用尺规作；
③测量的大小即可．
方案2：
①作一直线，交于点；
②测量和的大小；
③计算即可
对于方案1、2，说法正确的是（ ）
A．1可行、2不可行 B．1不可行、2可行
C．1、2都可行 D．1，2都不可行
6．如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（ ）．
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共102分）
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7．如果，那么 （填“”或“”）．
8．在三角形中，，，第三边的取值范围是______．
9．根据“的倍与的差不大于”，可列不等式为 ．
10．如图所示，直线相交于点，则的度数为___________．
11．如图，在中，分别是和的角平分线，过点作，交边、于点，如果，那么的周长等于______．
12．如图， ，则 _______________．
13．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________．
14．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点；若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为_______．
15．如图，在中，D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为________．
16．如图，已知三条边的长都为，三个内角都相等，点、同时从点A出发，点以每秒速度沿向点运动，点以每秒速度沿折线运动，当点到达点时，点也同时停止运动．如果点在边上，且以A、、中的两点和点为顶点构成的三角形与全等，那么运动的时间为___________秒．
17．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，那么的度数为_______．
18．如图，直线是四边形的对称轴，，点E、F分别是，上一点，且，若，，则______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19．（5分）如图所示，已知，试说明：．
20．（5分）解不等式组．在数轴上表示它的解集并求出它的所有非负整数解．
21．（6分）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数
22．（6分）如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，求周长．
23．（8分）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．
(1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整：
说明：如图，过作．
∵．（辅助线的作法）
∴．（__________________）
∵．（已知）
∴．（__________________）
∴．（__________________）
∵．（角的和差定义）
∴______．（等量代换）
(2)如图2，若，，，则______°；
(3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由．
24．（10分）某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等．
(1)求每件商品进价及购进商品的数量．
(2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出．
①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围．
②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果）
25．（12分）已知在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），将射线绕点顺时针旋转得到，直线与射线交于点，过点作的垂线，交直线于点；
(1)如图，若点在线段上，且，求证：；
(2)若点在线段的延长线上，且，那么第（1）小问的结论还成立吗？请说明理由；
(3)若点在直线上运动，当是等腰三角形时，直接写出的度数．
26．（14分）如图1，是以为直角的等腰直角三角形，射线是内部的一条射线，过点A作于点．过点C作于点F．
(1)求证：；
(2)如图2，现将图1中的射线逆时针旋转至的外部，过点A作于点E，过点B在射线的左侧作，且，连接交射线的反向延长线于点H．若，求的面积；
(3)如图3，是以为直角的等腰直角三角形，点D为三角形内部一点，连接和，取的中点E，连接，作，连接与，若，求证：．
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