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2025-2026学年上海师范大学附属宝山罗店中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.已知随机变量ξ～N（3，4），则“a=3”是“P（ξ＜a）=”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知x1≠x2，y1y2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2），动点P在x轴上，设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，当|PA|+|PB|取最小值时，k1、k2满足（　　）
A. k1=k2 B. k1+k2=0 C. k1 k2=1 D. k1 k2=-1
3.在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（　　）
A. 可求得a=0.005 B. 这200名参赛者得分的中位数为64
C. 得分在（60，80）之间的频率为0.5 D. 得分在（40，60）之间的共有80人
4.在一个抽奖游戏中共有n（n≥3，n∈N*）扇关闭的门，其中k（k≤n-2，k∈N*）扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知等差数列{an}满足a3=-2，则a1+a5= .
6.已知双曲线C：，则C的离心率为 .
7.某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为001，002，…，449，450，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为 .
64844217 55721754 55068331
04744767 21763350 25839212
06766301 63785916 95556719
8.已知离散型随机变量X服从二项分布X～B（3，），则D（3X-1）= .
9.已知向量=（-1，1，0），=（1，0，-1），则与的夹角大小为 .
10.若，则（2x-1）n的展开式中含x2项的系数为 .
11.现有7名同学分别去A、B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为 .（用数字作答）
12.斜率为1的直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，若l与圆（x-5）2+y2=8相切，则p等于______．
13.已知一圆柱的体积为54π立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径r= 厘米.
14.若函数f（x）=12x-x3在区间（m-5，2m+1）上有最小值，则实数m的取值范围为 .
15.已知函数y=f（x）的表达式为f（x）=（x-1）（x-a）（x-b），x∈R，写出所有正确命题的序号 .
①函数y=f（x）的零点的个数一定是3个
②函数y=f（x）在（b,0）处的切线方程为y=0，则b=1
③若集合A={x|f（x）≥0}的解集是[0，+∞），则实数对（a,b）有2对
④函数y=f（x）必存在极值
16.已知函数，点M、N是函数y=f（x）图象上不同的两个点，设O为坐标原点，则tan∠MON的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知数列{an}为等差数列，其前n项和记为Sn.
（1）若a1012=1，则S2023；
（2）已知等差数列{an}的公差d=2，S100=10000，求其通项公式an.
18.(本小题14分)
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，D，E分别为AB，A1C1的中点.
（1）证明：A1D∥平面EBC；
（2）若三棱锥A-EBC的体积为，求平面EBC与平面A1ABB1夹角的余弦值.
19.(本小题14分)
《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示：
天罡 地煞
普通卡 6 12
隐藏卡 2 5
（1）若小李从25张卡牌中随机选取一张，记事件A为小李取到的卡牌人物属于天罡，事件B为小明取到的卡牌为隐藏卡，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；
（2）小王和小李进行抽卡游戏，每人一次性从25张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得5分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得3分；抽到的两张卡分别是天型普通卡及地煞普通卡，得1分，设X为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出X的分布列，并求出X的数学期望.
20.(本小题18分)
已知函数f（x）=ax+lnx+1.
（1）当a=1时，求函数在点（1，2）处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围.
21.(本小题18分)
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C方程为=1（a＞b＞0），已知椭圆的长轴长为2，离心率为，F1，F2分别是椭圆左右焦点，直线l与椭圆C交于A，B两点.
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l是圆O：x2+y2=的任意一条切线，求的值；
（3）若直线l不经过左焦点F1，设焦点F2到直线l的距离为d,如果直线AF1，l,BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】-4
6.【答案】
7.【答案】176
8.【答案】6
9.【答案】
10.【答案】-220
11.【答案】70
12.【答案】2或18
13.【答案】3
14.【答案】（-，]
15.【答案】③
16.【答案】
17.【答案】2023 an=2n-1
18.【答案】证明：因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2，AB⊥AC，D，E分别为AB，A1C1的中点，
所以作出示意图如下：
设BC的中点为M，又E，D分别为A1C1，AB的中点，
所以DM∥AC，且，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1E∥AC，且，
所以DM∥A1E，且DM=A1E，
所以四边形DMEA1为平行四边形，
所以EM∥A1D，又EM 平面EBC，A1D 平面EBC，
所以A1D∥平面EBC
19.【答案】，，事件A与事件B不独立
X 0 1 3 5
P

20.【答案】2x-y=0．
当a≥0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调减区间为．
（-∞，-1]
21.【答案】解：（1）依题意，，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）圆，设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
直线l为圆O的切线，分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线l1的斜率存在时，设l1：y=kx+t.
由，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-2=0，①
Δ=16k2t2-8（1+2k2）（t2-1）=8（2k2-t2+1），又直线l是圆O的切线，
故，可得3t2=2k2+2，∴Δ＞0恒成立，
又，而，
∴，即．
②当直线l的斜率不存在时，直线．
若，由，解得，此时．
若，同理得：．
综上，恒有．
（3）F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，可得F1（-1，0），F2（1，0），
Δ＞0则2k2+1＞t2，②，
由直线AF1、l、BF1的斜率依次成等差数列，
可得，又y1=kx1+t,y2=kx2+t
所以有（kx1+t） （x2+1）+（kx2+t） （x1+1）=2k（x1+1） （x2+1），
化简井整理得：（t-k）（x1+x2+2）=0
假设t=k,则直线l的方程为：y=kx+k,即直线l经过点F1（-1，0），不符合条件，
则x1+x2+2=0，
由方程（1）及韦达定理可知：，则，③
由②③可知，，化简得：，这等价于：，
反正，当t、k满足③及时，直线必不经过F1（-1，0）（否则将导致t=k,与③矛盾），
而此时t、k满足②，从而直线1与椭圆有两个不同的交点A、B
同时也保证了AF1、BF1的斜率存在（否则x1、x2中的某一个为-1，
结合x1+x2+2=0可知x1=x2=-1，与方程①有两个不同的实根矛盾）
记点F2（1，0）到直线l：y=kx+t的距离为d,则
，注意到，
令，则，从而④式可改写为：，
考虑到函数在上单调递减，则．
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