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2025-2026学年上海理工大学附属储能中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共16分。
1.如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By-C=0不通过（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若α∈R，则直线x+y cosα+1=0的倾斜角的范围是（　　）
A. B. C. D.
3.“a＞0”是“点（0，1）在圆x2+y2-2ax-2y+a+1=0外”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知P1，P2，P3，…，P10是抛物线y2=8x上不同的点，点F（2，0），若，则=（　　）
A. 20 B. 40 C. 60 D. 80
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.双曲线x2-y2=1的焦距为______．
6.已知直线l1：x+2y-3=0，l2：x-y-5=0，则直线l1与l2的夹角为 .
7.已知函数f（x）=2xe-e2，则f′（x）= .
8.圆与圆相交，则a的取值范围为 .
9.抛物线的准线方程为y=1，则实数a的值为______.
10.若函数y=f（x）满足，则y=f（x）在x=2处的导数值为 .
11.曲线f（x）=lnx在x=1处的切线方程为 .
12.过点P（4，-1）作圆x2+y2-4x=0的切线，则切线方程为 .
13.已知F1，F2分别是椭圆M：=1（0＜b＜4）的左、右焦点，P是M上一点，若△PF1F2的周长为10，则M的离心率为 .
14.抛物线上的点到直线y=4x-5的距离的最小值是 .
15.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|·|PB|的最大值是 ．
16.已知曲线方程x|x|+y|y|=1，若过A（1，0）的直线l与该曲线恰有三个不同的交点，则直线l的倾斜角的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知常数a∈R，设直线l1：x+ay+（a+1）=0，直线l2：（a-1）x+6y+3=0.
（1）若l1⊥l2，求a的值.
（2）若l1与l2平行，求l1与l2的距离.
18.(本小题8分)
已知直线l：（m-1）x+2my-5m+3=0，m∈R和圆C：（x-2）2+（y-1）2=4.
（1）证明：圆C与直线l恒相交；
（2）求出直线l被圆C截得的弦长的最小值.
19.(本小题10分)
已知一列火车从静止开始加速的一段时间内，其行驶速度v（单位：m/s）与行驶时间t（单位：s）满足函数关系v=0.4t+0.6t2.
（1）求这段时间内火车行驶的加速度；
（2）火车行驶到哪一时刻，其加速度为4m/s2？
20.(本小题10分)
已知椭圆的右焦点为F，不垂直x轴且不过F点的直线l与椭圆C相交于A.
B两点.
（1）若直线l：y=x+1，试求△ABF的面积；
（2）若直线l经过点P（2，0），则直线FA、FB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
21.(本小题12分)
已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，点P（2，-1）在双曲线C上.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设点S是双曲线C上的动点，T是圆E：（x-5）2+y2=2上的动点，且直线ST与圆E相切，求|ST|的最小值；
（3）如图，A，B是双曲线C上两点，直线PA，PB与y轴分别交于点M，N，点Q在直线AB上；若M，N关于原点对称，且PQ⊥AB，是否存在点R，使得|QR|为定值；若存在，求出该定点R的坐标；若不存在，请说明理由.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】2exe-1
8.【答案】
9.【答案】-
10.【答案】-1
11.【答案】y=x-1
12.【答案】x=4或3x-4y-16=0
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】5
16.【答案】（-∞，-1）∪（-1，-）
17.【答案】解：（1）由题意知l1的方向向量为（a，-1），l2的方向向量为（6，1-a），
若l1⊥l2，则,
解得；
（2）若l1与l2平行，则a（a-1）=6，
解得a=3，或a=-2，
当a=-2时，直线l1与直线l2重合，舍去，
经检验a=3，
则直线l1：x+3y+4=0，
直线，
所以l1与l2的距离为．
18.【答案】解：（1）l：（m-1）x+2my-5m+3=0变形为m（x+2y-5）-x+3=0，
令，解得，
故直线l过定点A（3，1），
圆C：（x-2）2+（y-1）2=4，
则圆心C（2，1），半径r=2，
因为（3-2）2+（1-1）2=1＜4，
故A（3，1）在圆C内，故圆C与直线l恒相交；
（2）解：因为直线l过定点A（3，1），且A（3，1）在圆C内，
故当直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，
其中，
圆C：（x-2）2+（y-1）2=4的半径为2，
故弦长最小值为．
19.【答案】v′=0.4+1.2t 第3秒
20.【答案】 是，且定值为0
21.【答案】 存在点R（1，-2），使得|QR|为定值，理由如下：
由题意知，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+m，
联立，整理得（1-k2）x2-2kmx-m2-3=0，
Δ=4（m2-3k2+3）＞0且1-k2≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
直线PA的方程为，
令x=0，则，即，
同理可得，，
因为M，N关于原点对称，所以，
即，
整理得（2k+1）x1x2-（2k-m+1）（x1+x2）-4m=0，
即，
整理得m2+2km+4m+6k+3=0，即（m+3）（m+2k+1）=0，
所以m=-3或m+2k+1=0．
若m+2k+1=0，则m=-2k-1，则直线方程为y=kx-2k-1，
即y+1=k（x-2），此时直线AB过点P（2，-1），不符合题意；若m=-3，则直线方程为y=kx-3，恒过定点D（0，-3），
所以为定值，
又PQ⊥AB，在Rt△PQD中，PD为斜边，
所以当R为PD中点（1，-2）时，，
因此存在点R（1，-2），使得|QR|为定值
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