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2025-2026学年江苏省扬州市第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列物理量中不是向量的是（　　）
A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移
2.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sinA：sinB：sinC=3：5：7，则C=（　　）
A. 90° B. 120° C. 135° D. 150°
3.已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
4.在△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若acosB+bcosA=a,则△ABC的形状是（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
5.已知，，则=（　　）
A. B. C. D.
6.如图，在圆C中，A，B是圆上不同的两点，若，则=（　　）
A. 12
B. 15
C. 16
D. 18
7.已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（　　）
A. [0，+∞） B. [4，+∞） C. D.
8.△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足2a2-3（b2+c2）=bc,且，则（　　）
A. A为锐角 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
10.下列表达式中，正确的是（　　）
A. B.
C. D.
11.在锐角△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a,b,c,若，则（　　）
A. cosC的最小值为 B.
C. 中线CD的长度为 D. tanA tanB≥2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，已知，则A= .
13.已知，，且，则与的夹角为 .
14.如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC=α，△BOC为正三角形.则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设λ∈R，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且A，E，C三点共线.
（1）求λ的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知，b=1，.
（1）求角C的大小；
（2）求sinB的值.
（3）求△ABC面积的值.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求函数f（x）的最小正周期，以及在区间上的最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若f（A）=2，，b+c=5，求a的长.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3（a-c）2=3b2-2ac.
（1）求cosB的值；
（2）若5a=3b,求
（i）sinA的值；
（ii）cos（2A+B）的值.
19.(本小题17分)
某中学高一数学兴趣小组在学习三角函数的过程中发现一个规律：
cos0°+cos120°+cos240°=0
cos30°+cos150°+cos270°=0
cos45°+cos165°+cos285°=0
据此规律提出猜想：cosθ+cos（θ+120°）+cos（θ+240°）=0，并用两角和与差的余弦公式对猜想进行了证明.当θ、θ+120°、θ+240°有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“发电叶片恒等式”.同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“发电叶片恒等式”的结论能否得到推广呢？根据以上信息，回答下列问题：
（1）证明：sinθ+sin（θ+120°）+sin（θ+240°）=0；
（2）解关于θ的方程：sin（θ+40°）+sin（240°-θ）+sin（θ-80°）=0，其中0°≤θ≤180°；
（3）求的值，其中n∈N*，且n≥2.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】-1
16.【答案】
17.【答案】π，f（x）min=-1
18.【答案】；
（i）；（ii）
19.【答案】证明：因为sin（θ+120°）=sinθcos120°+cosθsin120°，
sin（θ+240°）=sinθcos240°+cosθsin240°=sinθcos120°-cosθsin120°，
所以sinθ+sin（θ+120°）+sin（θ+240°）
=sinθ+（sinθcos120°+cosθsin120°）+（sinθcos120°-cosθsin120°）
=sinθ+2sinθcos120°=sinθ+2sinθ×（-）=sinθ-sinθ=0，
即sinθ+sin（θ+120°）+sin（θ+240°）=0 θ=40° 0
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