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2025-2026学年湖南省株洲市芦淞区南方中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知z=1+2i,则=（　　）
A. -3 B. 5 C. -5 D. 3
2.若，，，则实数m=（　　）
A. 6 B. -6 C. 3 D. -3
3.“x＞1”是“x＞2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1和B1C1的中点，则直线AE和CF的位置关系为（　　）
A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 垂直
5.已知sin（）=，则cos（）=（　　）
A. - B. C. - D.
6.已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A. B. （1，1） C. （-1，-1） D.
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2，则=（　　）
A. B. 2 C. D.
8.已知函数，若a＜b＜c＜d,且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2bf（a）+cd-c-d的取值范围是（　　）
A. （0，2） B. （0，1）
C. （0，2] D. [-2，-1]，[0，1]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知A（2，3），B（4，-3），点P在直线AB上，且，则点P的坐标可能为（　　）
A. B. （6，-9） C. D. （0，9）
10.设z1，z2是复数，则下列说法正确的是（　　）
A. 若z1是纯虚数，则 B. 若，则z1=z2=0
C. 若z1=z2，则|z1|=|| D. 若|z1|=|z2|，则
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且满足a=4，b=6，（a+b+c）（a-b+c）=4accos2A，则（　　）
A. b=2acosA B.
C. c=5 D. △ABC内切圆半径的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α、β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）= ______．
13.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N.设，，m＞0，n＞0，m+2n=tmn,则t的最小值为 .
14.已知在△ABC中，AB=1，BC=，AC=2，点O为△ABC的外心，若=s+t，则有序实数对（s，t）为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数的部分图像如图所示.图中最高点坐标为，与最高点相邻的一个零点坐标为.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象.求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点；
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）在PB上确定一点Q，使平面MNQ∥平面PAD．
17.(本小题15分)
已知偶函数y=f（x）满足f（x）=3x+b 3-x，奇函数y=g（x）满足.
（1）请直接写出f（x），g（x）的解析式（无需求解过程）；
（2）求关于m的不等式g（m2-1）＜g（m+1）的解集；
（3）存在x1，x2∈[0，k]（0＜k＜2）满足5f（x1）＜3f（x2），求k的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AC=2，，且AC⊥BC，M，N为线段AB上的两个动点（N在M的右侧），且∠MCN=30°.
（1）若AM=1时，求CN的长；
（2）若△MNC的面积是△CMA的面积的倍，求∠ACM的大小；
（3）当∠ACM为何值时，△MNC的面积最小，最小面积是多少？
19.(本小题17分)
在△ABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设=，=.
（1）试用，表示；
（2）若，求∠ARB的余弦值；
（3）若H在BC上，且RH⊥BC，设，若，求的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】（，）
15.【答案】f（x）=2sin（2x+） 最大值为2，，最小值为-2
16.【答案】证明：（1）如图所示：
取PB中点Q，连MQ、NQ，
∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NQ∥BC，
∵AD∥BC，
∴NQ∥AD，
又 NQ平面MNQ，AD平面PAD，
∴NQ∥平面PAD，
同理可得MQ∥平面PAD，
又因为NQMQ=M,NQ、MQ平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAD，
∵MN 平面MNQ，
∴MN∥面PAD；
（2）由（1）可知Q在PB的中点上.
17.【答案】f（x）=3x+3-x，g（x）= （1，2）
18.【答案】2；
∠ ACM=45°；
θ=15°时，△MNC的面积取最小值为．
19.【答案】解：（1）由P、R、C共线，则存在λ使=，
∴，整理得：，
由B、R、O共线，则存在μ使=μ，
∴，整理得：+，
∴根据平面向量基本定理：，解得，
∴；
（2），，
=-，||=，||=，
∴cos＜，＞==-，
故∠ARB的余弦值是-；
（3）由（1）知：=，则==（-）=-，
由，共线，设，
而RH⊥BC，有 （-）=0，
∴，
可得，
∵，∴，即，
解得，
∴的取值范围为．
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