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2025-2026学年福建省漳州市华安县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z=2025+2026i（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，且，则实数x=（　　）
A. -3 B. 6 C. -1或-2 D. 1或2
3.已知向量，满足，，若与的夹角为，则=（　　）
A. 1 B. C. D. 3
4.若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，点E是AB上靠近A的三等分点，F是CE上靠近C的三等分点，则=（　　）
A. B. C. D.
6.如图，用斜二测画法得到△ABC的直观图为等腰直角三角形A′B′C′，其中，则△ABC的面积为（　　）
A. 1
B.
C. 2
D.
7.如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物AB，高为20m,在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂塔尖C的仰角分别是45°和60°，在楼顶A处测得教堂塔尖C的仰角为15°，则该同学计算索菲亚教堂的高度CD为（　　）m
A. B. 20 C. D. 30
8.已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 若向量满足，则
B. 若，则和的夹角为
C. 已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底
D. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，则△ABC是等腰或直角三角形
10.若z为复数，则（　　）
A. 若，则z为实数
B. |z|2=z2
C. 若复数z满足|z-1+i|=1，则|z|的最大值和最小值的和为
D. 若z=3i2025+6i2026，则
11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且3bcosC+3ccosB=a2，则下列说法正确的是（　　）
A. 若B+C=2A，则△ABC的外接圆的面积为9π
B. 若，且△ABC有两解，则b的取值范围为
C. 若C=2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为
D. 若A=2C，且sinB=2sinC，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A（3，5），B（1，-2），C（2，1），则= .
13.若圆台的上下底面半径分别为1和4，体积为28π，则侧面积为 .
14.在△ABC中，A，B，C所对应的边分别为a,b,c,已知，，点D在线段BC上，且AD=1.则A= ，若BD=2DC时，则△ABC的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量与的夹角为60°，且.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）设向量与的夹角为θ，求cosθ的值.
16.(本小题15分)
（1）已知复数z=（m2-m-2）+（4-m2）i（m∈R）是纯虚数，求m的值；
（2）已知复数z=1+bi（b∈R），在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0（p≠0，且p,q∈R）的一个复数根，求pq的值.
17.(本小题15分)
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，点P为DD1的中点.
（1）求三棱锥B-PAC的体积.
（2）求证：直线BD1∥平面PAC.
（3）求异面直线BD1与PC1所成角的余弦值.
18.(本小题17分)
如图，在四边形ABCD中，.
（1）求cos∠DAC的值；
（2）若∠BAC=2∠DAC，且△ABC的面积是△ACD面积的2倍，求AB的长.
19.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A；
（2）设D为边BC上一点，
（i）若D为BC中点，，△ABC的面积为，求AD的长度；
（i）若AD为锐角△ABC的角平分线，a=4，求BD长度的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】ACD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】25π
14.【答案】

15.【答案】4 4
16.【答案】-1 4
17.【答案】 证明：设AC∩BD=O，连接OP，
因AB=AD=2，且ABCD-A1B1C1D1为长方体，
则四边形ABCD为正方形，故O为线段AC中点，
因点P为DD1的中点，则OP为△D1DB的中位线，则OP∥D1B，
又OP 平面PAC，D1B 平面PAC，
则D1B∥平面PAC
18.【答案】
19.【答案】；
（i）；（ii）
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