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2025-2026学年福建省厦门市海沧区双十中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式有意义，则x的取值可以是（　　）
A. 5 B. 3 C. 0 D. -2
2.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
3.如图，在 ABCD中，BD平分∠ABC，若∠ABD=70°，则∠C的大小为（　　）
A. 40°
B. 60°
C. 70°
D. 140°
4.完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形，它展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值.如图，五边形ABCDE是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中∠1+∠5=120°，则∠2+∠3+∠4等于（　　）
A. 145° B. 180° C. 240° D. 325°
5.如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边AB，AC与网格对角线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.一个同学整理了平行四边形和特殊平行四边形之间的关系图，如图所示，从下列条件，①AB=AD；②AC=BD；③AC⊥BD；④∠DAB=90°中，选择其中一个条件填入（　　）中，补全关系图，其中所有正确选项的序号是（　　）
A. ①②③ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④
7.已知两个型号的圆柱形笔筒的底面直径相同，高度分别是8cm和12cm.将一支铅笔按如图方式先后放入两个笔筒，铅笔露在外面部分的长分别为3cm和1cm,则铅笔的长是（　　）
A. 22cm B. 21cm C. 20cm D. 19cm
8.如图，在 ABCD中，BD=2CD，BC=15，F为AD的中点，E为OC的中点，则EF的值为（　　）
A. 7.5
B. 8
C. 8.5
D. 9
9. ABCD中EF经过两条对角线的交点O，分别交AB、CD于点E、F，在对角线AC上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（　　）
以点O为圆心，OE的长为半径作弧，交AC于点M、N 分别作△AOE、△COF中OA、OC边上的中线EM、FN 分别作△AOE、△COF中∠AEO、∠CFO的平分线EM、FN
A. 都为矩形 B. 都为菱形
C. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 D. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形
10.如图，在矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交BC于点E，OF平分∠BOE交BC于点F.若矩形ABCD的周长为定值，则下列线段的长度为定值的是（　　）
A. CF
B. BF
C. CE
D. OF
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，如果∠A=110°，那么∠C的度数是 .
12.如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=100°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上，且BE=BO，则∠EOA= °.
13.公元3世纪，我国数学家刘徽就能利用公式得到二次根式的近似值.其中，a取最大的正整数，r取正整数，则利用公式估算 .
14.如图，在正方形ABCD中，AD=6，O、E、F、M.分别为BD、CD、AE、BF的中点，则OM的长等于 .
15.图1是一种常见的倾斜式停车位.将其中一个停车位抽象成 ABCD，车辆停放区域的轮廓近似看成矩形EBFD，如图2所示.已知∠A=45°，AB=7m,BC=3.5m.现有一辆长4.8m,宽1.8m的轿车， （填“能”或“不能”）完全停入矩形EBFD内.（参考数值：≈1.4，≈1.7）
16.定义：作 ABCD的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为 ABCD的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形.AB=m,BC=4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 .
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
17.计算：
（1）；
（2）.
18.梦想科技小组在实践课上制作机器人的零件如图1所示.该零件内有两个小滑块A、B，由一根摇杆连接，滑块A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动，滑旋大小忽略不计，每零件图轴集成几何图，如图2所示.开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米.
（1）求AB的长；
（2）当滑块A向下滑13厘米至点A′处时，滑块B滑动到点B′的位置，则BB′的长为多少厘米？
四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，在 ABCD中，过点A作AE⊥BD交BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD于点F.
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABD=30°，AB=4，BC=6，求EF的长.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，联结EF，EC，∠ACD是△ABC的一个外角.
（1）作∠ACD的角平分线CM，交EF的延长线于点M，联结AM（尺规作图：保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，若CF=FE，求证：四边形AECM是矩形.
21.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，E为BC的中点，延长AB到点F，使，连接EF.
（1）求证：四边形OBFE是平行四边形；
（2）若BD=12，AB=10，求平行四边形OBFE的面积.
22.(本小题10分)
嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律.下面是嘉嘉的探究过程：
等式①：；
等式②：；
等式③：；
等式④：______.
（1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
（2）【归纳猜想】若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
（3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（a、b、c均为正整数），若该等式符合上述规律，则=______.
23.(本小题12分)
如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，联结BD，点P为BD上的一点，过点P的线段分别交边AD、BC于点E、F.
（1）若PB=PD，
①求证：BE=DF；
②请再添加一个条件（不再连线和添加字母），使得四边形EBFD为菱形，并说明理由；
（2）当EF⊥BC且四边形EBFD有且仅有两条边相等时，求AE的长.
24.(本小题12分)
在矩形ABCD中，AB，BC两边的长满足AB＜BC＜2AB，∠BAD的平分线交边BC于点E.DH⊥AE于点H，连接DE，BH，线段BH的延长线交DE于点F，交DC于点G.
（1）如图1，当AH=AB时，求证：DH=DC；
（2）如图2，当AH≠AB时，
①求证：点H为线段BG的中点；
②用等式表示线段BG与DE的数量关系，并证明.
25.(本小题12分)
正方形ABCD，点E是线段CD上一点，作射线BE，交AC于点F，∠CBE=α（0°＜α＜45°）.点A关于射线BE的对称点为点G，连接BG，CG，线段AG与BE，BC分别交于点P，Q.
（1）①补全图形；
②求∠AGC的度数；
（2）延长GC交射线BF于点H，连接AH，若PF=CF，用等式表示BQ，CH，AG的数量关系，并证明.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】70°
12.【答案】20
13.【答案】4.125
14.【答案】
15.【答案】不能
16.【答案】2≤m≤4
17.【答案】 16
18.【答案】25cm 9 cm
19.【答案】：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF EF的长是4-2
20.【答案】 证明：∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AF=CF，EF∥BC，
∴∠DCM=∠FMC，
∵CM平分∠ACD，
∴∠FCM=∠DCM，
∴∠FMC=∠FCM，
∴FC=FM，
∵CF=FE，
∴AF=CF=EF=MF，
∴四边形AMCE为矩形
21.【答案】证明见解析；
24．
22.【答案】 ，证明如下：
等式左边==右边
23.【答案】在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠PBF=∠PDE，
∵∠BPF=∠DPE，PB=PD，
∴△PBF≌△PDE（ASA），
∴BF=DE，
∴BF平行且等于DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF；
解：方法1：添加EB=ED（或∠EDB=∠EBD），
理由如下：∵四边形EBFD是平行四边形，EB=ED，
∴四边形EBDF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），
方法2：添加EF⊥BD（或∠EBP+∠BEP=90°），
理由如下：∵四边形EBFD是平行四边形，EF⊥BD，
∴四边形EBDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）；
方法3：添加BP平分∠EBF（或EF平分∠BED），
理由如下：在 EBFD中，
∵ED∥BF，
∴∠EDB=∠FBD，
∵BP平分∠EBF，
∴∠EBD=∠FBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴EB=ED，
∴ EBFD是菱形；
方法4：添加BP平分∠EBF且EF平分∠BED，
理由如下：在 EBFD中，
∵ED∥BF，
∴∠EBF+∠BED=180°，
∵BP平分∠EBF且EF平分∠BED，
∴∠EBP+∠BEP=∠EBF+∠BED=90°，
∴∠EPB=180°-（∠EBP+∠BEP）=90°，
即EF⊥BD，
∴ EBFD是菱形；
AE的长为3或5
24.【答案】证明见解析； ①证明见解析；②BG与DE的数量关系为BG=DE，证明见解析．
25.【答案】①见解析；
②45°；
.理由见解析．
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