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2025-2026学年福建省厦门市海沧区鳌冠学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下各数是最简二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13
3.下列计算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.如图，所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A、C的面积分别为6，10，则正方形B的边长是（　　）
A. 8
B. 4
C. 2
D. 34
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，点M在边AB上，AE⊥BC，MN⊥CD，垂足分别为E、N，则平行线AD与BC之间的距离是（　　）
A. AE的长 B. MN的长 C. AB的长 D. AC的长
6.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）
A. B.
C. D.
7.用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是（　　）
A. 2 B. 0 C. -1 D. 1
8.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当0＜x＜12时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的Rt△ACP的斜边长，可看作两直角边分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是构造出如图，将问题转化为求AP+BP的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知0＜x＜6，且y=6-x.则的最小值是（　　）
A. 8 B. 10 C. 34 D.
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.当x= 时，二次根式有意义（写出一个合理的值即可）.
10.在 ABCD中，若∠A=60°，则∠C=______°．
11.化简：（1）= ；（2）= .
12.比大小 ______（填＞、＜、或=）
13.如图，在数轴上点A表示的实数是 .
14.五角星因其美观和深刻的象征意义，被广泛应用于旗帜、徽章设计中.如图是一个用于设计的标准正五角星，为确保图案对称协调，其五角顶角（∠A，∠B，∠C，∠D，∠E）的度数必须相等.设计师需要知道这个角度的大小以便于制图，那么这个角的度数应为 .
15.七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”.某同学用面积为64cm2的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为 cm2.
16.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形.下列结论中：①AB⊥AC；②∠DFE=135°；③四边形AEFD是平行四边形；④四边形AEFD的面积为24.其中所有正确的序号是 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.解不等式组：
四、解答题：本题共8小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题9分)
计算：
（1）；
（2）.
19.(本小题9分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠ADB=∠CBD.求证：四边形ABCD是平行四边形.
20.(本小题9分)
四边形ABCD如图所示，已知AB⊥BC，AB=2，BC=4，AD=5，CD=．
（1）证明：AC⊥CD；
（2）求四边形ABCD的面积．
21.(本小题9分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，连接AD.
（1）尺规作图：在AC上求作一点E，使得DE为△ABC的中位线；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：∠ADE=∠CAD.
22.(本小题9分)
《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，水池底面的宽AB=1丈，芦苇OC生长在AB的中点O处，高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即OC=OE，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）.
（1）求水池的深度OD；
（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽AB=2a,芦苇高出水面的部分CD=n（n＜a），则水池的深度OD（OD=b）可以通过公式计算得到.请证明刘徽解法的正确性.
23.(本小题9分)
【课本再现】
一般地，如果一个非负数x的平方等于a,即x2=a,那么这个非负数x叫作a的算术平方根，记为.0的算术平方根是0，即，所以被开方数a为非负数.
【探究新知】
（1）若，则a的取值范围是______.
【知识应用】
（2）若，求（a-b）2025的值.
【拓展应用】
（3）若，求a-20252的值.
24.(本小题9分)
在正方形ABCD中，点E在边CD上，点F在边AD上，CE=DF，连接BE，CF.
（1）求证：BE⊥CF；
（2）在边AB取点M，使得AM=AF，过点M作MN∥BE交CF于点N，连接AN.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AN，FN，MN之间的数量关系，并证明.
25.(本小题14分)
实践操作：
在数学活动课上，老师叫同学们每人都拿出一张矩形纸条，如图，按以下步骤操作：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形BCNM，然后把纸片展平.第二步，如图②，把这个正方形折成两个相同的矩形BCAF和AFMN，再把纸片展平.第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处.第四步，如图④，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND.

问题解决：
（1）设MN=4，则图④中CD：BC的值为 ______ ；
（2）小聪量得他的矩形纸片AMNH长MA为24cm,宽MN为15cm,如图⑤所示，于是他在第一步的基础上沿着过点A的直线折叠，点H恰好落在BC上的点F处，折痕为AE，他延长EF交直线MC于点D，又知点D到点M的距离为点D到点C的距离的，请帮他计算DE的长；

（3）连接（2）中得到的正方形BMNC的两条对角线NB和MC交于点H，如图⑥，G是MH的中点，E是NC上的一点，且NE=11.25cm,MN仍为15cm,F是NB上的一动点，求FE-FG的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】5（答案不唯一）
10.【答案】60
11.【答案】

12.【答案】＞
13.【答案】
14.【答案】36°
15.【答案】12
16.【答案】①③④
17.【答案】1＜x≤3．
18.【答案】 3
19.【答案】证明：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（AAS），
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20.【答案】（1）证明：在△ABC中，∵AB⊥BC，AB=2，BC=4，
∴AC===2，
在△ACD中，∵AD=5，CD=，
∴AC2+CD2=（2）2+（）2=25=AD2，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥CD；
（2）解：∵△ABC的面积为，△ACD的面积为，
∴四边形ABCD的面积为4+5=9．
21.【答案】所作图形如图所示：
∵ DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD
22.【答案】解：（1）设芦苇的长度x尺，
则图中OC=OE=x,则OD=x-1，DE=5，
在Rt△ODE中，∠ODE=90°，
由勾股定理得 DE2+OD2=OE2．
∴52+（x-1）2=x2，
解得 x=13，
∴OD=13-1=12
答：芦苇的长度为13尺，水池的深度为12尺；
（2）图中OD=b,CD=n,AB=2a,则OC=OE=b+n,DE=a,
在Rt△ODE中，∠ODE=90°，
由勾股定理得 DE2+OD2=OE2．
∴a2+b2=（b+n）2，
解得b=．
23.【答案】a≥0 -1 2026
24.【答案】（1）证明：设BE、CF相交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠A=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
又CE=DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF，∠BEC=∠CFD，
∵∠CBE+∠BEC=90°，
∴∠DCF+∠CEB=90°，
∵∠ECH+∠CEH+∠EHC=180°，
∴∠CEHE=90°，
∴BE⊥CF；
（2）解：①如图，即为所作：
②MN+FN=AN，
理由如下：延长NM到点Q，使MQ=FN，连接AQ，如图，
由（1）得，∠CBE+∠BEC=90°，∠DCF+∠CFD=90°，
∴∠CBE+∠CFD=90°，
又∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠CFD，
∵MN∥BE，
∴∠AMN=∠ABE，
∴∠AMN=∠CFD，
∴∠AMQ=∠AFN，
又AM=AF，MQ=FN，
∴△AMQ≌AFN（SAS），
AQ=AN，∠QAM=∠NAF，
∵∠FAN+∠MAN=90°，
∴∠MAQ+∠MAN=90°，
即∠QAN=90°，
∴△AQN是等腰直角三角形，
∴QN=AN，
即QM+MN=AN，
∴MN+FN=AN．
25.【答案】；
20cm；
3.75cm．
第1页，共1页

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