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江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷（一）
一、单选题
1．-2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC
3．如图，中，，，，D是的中点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．函数的图象经过一次图形变换后得到一个新的函数图象，若点在新函数的图象上，则该图形变换可以是（ ）
A．沿y轴向上平移1个单位长度 B．沿x轴向右平移2个单位长度
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
5．估算介于（ ）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
6．如图，用12个大小相同的小正方体（共3种颜色，每种颜色各4个）组成一个长方体，则下列几何体中与图中黑色正方体组成的几何体相同的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．若分式有意义，则的取值范围是_______．
8．若，则______．
9．计算的结果是______．
10．分解因式：____________．
11．已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______．
12．已知实数、满足，（），则的值为______．
13．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下：
唱功 舞台表现 音色 创意
小兰
小竹
若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____．
14．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为_____．
15．如图，内接于，，点D在上，于点E．若，则的长为 ___．
16．如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ___________________．
三、解答题
17．已知，试比较与的大小．
18．计算．
19．解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．
20．如图，在中，点、分别在、上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若平分，，，则的长为_____．
21．2026年央视春晚的吉祥物是一组名为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的骏马（分别记为A，B，C，D），将四匹骏马的图案印在如图所示的不透明卡片上，卡片背面完全相同，现将卡片背面朝上洗匀后抽取卡片．
(1)若甲从中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是______．
(2)若乙从中随机抽取两张，求两张卡片中都没有“驰驰（C）”的概率．
22．为了解南京春季景区游览舒适度的变化情况，某数学兴趣小组根据3月22日至24日，每天4个时段夫子庙、博物院、红山森林动物园的游览舒适度数据（注：“舒适”记为4，“较舒适”记为3，“一般”记为2，“拥堵”记为1），整理成如下统计表：
景区名称 3月22日周日 3月23日周一 3月24日周二
夫子庙 3 3 3 3 4 4 4 3 4 4 4 3
博物院 4 2 3 3 闭馆 闭馆 闭馆 闭馆 4 2 1 1
红山森林动物园 4 3 2 1 4 4 3 3 4 4 4 3
(1)夫子庙景区12个数据的平均数是____；
(2)计算博物院8个数据的方差；
(3)某旅行社计划为游客推荐一个“舒适度稳定且整体水平高”的旅游景点，现有夫子庙、博物院、红山森林动物园三个备选景区．结合3月22日至24日的数据分析旅行社应优先推荐哪个景区？说明理由．
23．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水．第分钟时，再打开出水管排水；第分钟时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量（升）与时间（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)进水速度是_____升/分钟；
(2)求段的函数表达式及的值；
(3)在整个过程中，某两个时刻容器的水量都为升，且这两个时刻的差为分钟，直接写出的值．
24．如图，小明去池塘钓鱼，斜坡长为，其与水平线的夹角为，钓竿长为，其与水平线的夹角为．由于当天的风向，测得钓线与钓竿的夹角为．（参考数据：，，，，，）
(1)求点到水平面的距离；
(2)求的长．
25．如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦于点、、．
(1)如图②，当为的直径时，求的长；
(2)求证：；
(3)当点运动时，关于的长的描述，正确的是_____．
A．的长随的增大而增大
B．的长随的增大而减小
C．的长随的增大先增大后减小
D．的长随的增大而不变
26．已知二次函数的图像经过点，且对称轴为直线．
(1)若该函数的最大值为8，求该函数的表达式；
(2)用含的代数式表示；
(3)若，，都在该函数的图像上，且，结合图像，直接写出的取值范围．
27．运动的视角看图形的变化是非常重要的数学眼光，四边形是一块矩形铁皮，，，从中如何剪出一个圆心角为的最大扇形？
【初步认识】
(1)若矩形铁皮按如图①的方式剪出扇形，且整个图形是轴对称图形，则的值为_____．
(2)若要从矩形铁皮中剪出一个半径为3的圆心角为的扇形，则的最小值为_____．
【继续探索】
(3)如图②，矩形的顶点、在上，顶点、在上，点、分别在、上．从中剪出圆心角为的最大扇形与边相切于点，且该扇形的弧的一个端点为，请用直尺和圆规在上作出点的位置．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【问题解决】
(4)进一步探究发现，在矩形中，圆心角为的最大扇形的半径随的变化而变化……，请根据的不同范围，写出“的值”或“求的思路”．（可用含的式子表示）
《江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷（一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A B B C B D
1．A
【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2，所以-2的绝对值是2，
故选：A．
2．B
【分析】根据菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．菱形的对边平行且相等，所以AB∥DC，故本选项正确；
B．菱形的对角线不一定相等，故本选项错误；
C．菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，故本选项正确；
D．菱形的对角线互相平分，所以OA＝OC，故本选项正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行且相等，对角线互相垂直平分是解本题的关键．
3．B
【分析】根据直角三角形的性质计算即可得出结果．
【详解】解：∵中，，，，
∴，
∵D是的中点，
∴．
4．C
【分析】根据不同变换的规则得到新函数解析式，再验证点是否满足解析式即可．
【详解】解：A、沿轴向上平移个单位，根据平移“上加下减”规则，新函数为，将代入得，故A错误；
B、沿轴向右平移个单位，根据平移“左加右减”规则，新函数为，将代入得，故B错误；
C、关于轴对称，对称变换后满足，整理得，将代入得，符合点在新函数图像上，故C正确；
D、关于轴对称，对称变换后满足，将代入得，故D错误．
5．B
【分析】求出和的值，根据算术平方根的意义即可得到结果．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即介于和之间．
6．D
【详解】
解：由题可知图中黑色正方体组成的几何体相同的是．
7．
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
8．2
【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知比例关系，用b和d表示a和c，再代入所求分式进行化简.
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：2．
9．
【分析】根据二次根式的乘法法则先进行乘法运算，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解．
【详解】解：．
10．
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故本题答案为：．
11．
【分析】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键．
根据二次函数与轴有两个公共点，则方程判别式大于零求解即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个公共点，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】由已知可得,可看作方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可求解．
【详解】解：实数，满足，，
，可看作方程的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系得，，，
．
13．
【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可．
【详解】解：计算小竹的最终得分：
，
表示小兰的最终得分：
，
根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：，
移项得，
化简得，
系数化为得，
因为为整数，
所以的最小值为．
14．
【分析】本题考查了有关扇形和圆锥的相关计算，设圆锥的底面的半径为，则，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可，两者之间的两个对应关系：（）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，熟练掌握两个关系是解题的关键．
【详解】解：设圆锥的底面的半径为，
根据题意得，
解得，
∴．
故答案为：6
15．3
【分析】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．连接，，利用同弧所对的圆周角相等，，可得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出．
【详解】解：连接．
，若，
．
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查三角形的三边关系，轴对称，正方形的性质，圆的有关知识，勾股定理．
连接，以为一条边在右侧作正方形，由是直径可得，从而，因此点Q在以为直径的上运动．易证，得到，从而根据三角形的三边关系有，而，利用正方形的性质和勾股定理即可求得的长，从而解决问题．
【详解】连接，以为一条边在右侧作正方形，
∵是直径，
∴，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为．
∵四边形和四边形是边长相等的正方形，
∴，，
∵
∴，
∴
连接，，，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：
17．
【分析】法一：利用作差比较大小；法二：利用不等式变形比较；法三：作商比较大小；法四：构造函数，利用二次函数的性质比较大小；法五：利用几何图形判断．
【详解】法一：
解：
．
．
，
，
，
．
法二：
解：，
两边乘以，得．
两边乘以，得．
．
又，
．
法三：
解：
，
，，．
将两边除以，得．
将两边除以，得．
将两边乘以，．
．
．
法四：
解：构造函数，即，
它的图像如图所示．
可以看出，当时，随的增大而减小．
因此，当时，．
法五：
用图形说明，过程如下：
，
．
如图，以，为边长的正方形面积分别为，；
以，为边长，另一边为1的矩形面积分别为，．
所以拼成的矩形面积为与．
．
18．
【详解】解：原式
19．，画图见解析
【分析】分别求出各个不等式的解集，进而即可得到不等式组的解集，并在数轴上表示出来，即可解答．
【详解】解：
解不等式①，得
，
解不等式②，得
．
原不等式组的解集为．
数轴上表示如下
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出，，证出四边形是平行四边形，再结合即可得证．
（）由（）知四边形 是矩形，得到，由角平分线的性质得到，结合平行线的性质得到，求出长，再通过勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
∴；
∵，
∴ 四边形是平行四边形；
∵，即，
∴ 平行四边形是矩形．
（2）解：如图，
∵，，
在 中，，
由（）知四边形 是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
21．(1)
(2)列表见解析，概率为
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）列表展示出所有可能出现的结果，再找出都没有“驰驰（C）”的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，恰好抽到“驰驰（C）”的概率是；
（2）解：所有可能出现的结果有：
第2张 第1张 A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两张卡片中都没有C”（记为事件）的结果有6种，所以．
22．(1)
(2)
(3)推荐夫子庙景区；理由见解析
【分析】（1）根据平均数的定义求解即可；
（2）根据方差的定义求解即可；
（3）根据平均数、方差进行决策即可．
【详解】（1）解：夫子庙景区12个数据的平均数是；
（2）解：博物院8个数据的平均数为，
∴博物院8个数据的方差为
；
（3）解：推荐夫子庙景区；理由如下：
夫子庙数据的平均数为，
方差为；
博物院数据的平均数、方差分别为；
红山森林动物园数据的平均数为，
方差为；
∵，
∴夫子庙景区的舒适度稳定且整体水平高，推荐夫子庙景区．
23．(1)
(2)；
(3)
【分析】（）分钟进水升，即可求解；
（）据函数图象，结合题意分析分别求得进水速度和出水速度，即可求解；
（）设段的函数表达式为，设这两个时刻分别为和，根据这两个时刻的差为分钟，列方程求解．
【详解】（1）解：由题意可得：分钟进水升，
∴进水速度是（升分钟）；
（2）解：进、出水管同时开了分钟，到分钟时水量从升降到升，净减少升
∴出水速度为
(升/分钟)，
∴剩余的升水的出水时间为(分钟)，
∴，
∴，
∵端点为，
设：段函数表达式为，
得，
解得，
∴段函数表达式为；
（3）解：设段的函数表达式为，
将点代入得，
解得，即，
设这两个时刻分别为和，且在段，在段，
则，得，
，得，
∵这两个时刻的差为分钟，即，
∴，
解得．
24．(1)3
(2)
【分析】（1）在含角的直角三角形中，直接利用正弦函数求点到水平面的距离；
（2）通过延长线段、作垂线构造直角三角形，结合三角函数关系设未知数，列方程求解BC的长．
【详解】（1）解：过点作水平面于点，
在中，
∵
（m），
故点到水平面的距离为．
（2）解：延长BO交水平面于点，过点作于点，
∵钓竿与水平线的夹角为，则，
在中，
（m），
（m），
在中，
设，则，．
在中，
解得，
（m），
答：BC的长为．
25．(1)2
(2)见解析
(3)D
【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可；
（2）连接，导角证明，利用等角对等边求得，再利用等腰三角形的性质即可证明；
（3）作直径，连接，，，，证明四边形是平行四边形，推出，在中，利用勾股定理求得，得到，据此判断即可．
【详解】（1）解：连接，
∵为的直径，，
∴，
∵的半径为10，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
（2）证明：连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：作直径，连接，，，，
在中，，，
∴点是的垂心，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴的长随的增大而不变．
26．(1)
(2)
(3)或．
【分析】（）把对称轴代入公式，点，以及最值代入解析式解出即可．
（）把对称轴代入公式，点，代入解析式解出即可．
（）画出图像，数形结合观察图像即可．
【详解】（1）∵对称轴为，
∴，
∵图像经过点，
∴
∴把代入得，
∵二次函数最大值为 8，对称轴为直线
∴，
联立方程组解得
∴抛物线解析式为
即
（2）∵对称轴为，
∴，
∵图像经过点，
∴
∴把代入得；
（3）当时，抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大；
∵
∴离对称轴的距离比点 A 离对称轴的距离更远，
∴
解得或，
∵，
∴；
当时，抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小；
∵，
∴离对称轴的距离比点 A 离对称轴的距离更近，
∴，
∴，
∵，，
∴在对称轴的右侧，在的左侧，
∵对称轴为直线，，
∴当,在对称轴的两侧时，，
∴，
∴，
综上所述或．
27．(1)
(2)
(3)画图见解析
(4)①当时，；②当时，；③当时，，构图求思路见解析
【分析】（1）令扇形的圆心为，与边的交点为，与的交点为，与的切点为，连接，推导出四边形是矩形，四边形是矩形，求出，得到，继而求出，则，即可解答；
（2）当扇形的半径在边上，点与点重合，点在边上，且扇形所在的圆与相切时，取得最小值，求出，得到，则；
（3）第一步作最大扇形圆心O的位置，第二步作，第三步：过点E作，垂足为A，即可解答；
（4）分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐个分析求解即可．
【详解】（1）解：令扇形的圆心为，与边的交点为，与的交点为，与的切点为，连接，如图，
，，
四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，即，
整个图形是轴对称图形，
，
，
，
，
即；
（2）解：当扇形的半径在边上，点与点重合，点在边上，且扇形所在的圆与相切时，取得最小值，如图，
有，，，
，
；
（3）解：第一步作最大扇形圆心O的位置，作图痕迹如下，
第二步作，作图痕迹如下，
第三步：过点E作，垂足为A，作图痕迹如下
（4）解：①当时，；
思路如下：如图
证明四边形是矩形，得到，即；
②当时，；
思路如下：如图
证明四边形是矩形，得到，即；
③当时，构图求思路如下；
根据上图的特征，在矩形中构图如下：
根据勾股定理先求出，可求出，继而求出，根据三角函数求出，可列方程：，即可用含的式子表示．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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