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江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷（二）
一、单选题
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）

A． B．
C． D．
3．将一把直尺和正六边形按如图所示的位置放置，若，那么的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．计算，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将量角器放置在平面直角坐标系中，使0刻度线与x轴重合，且点O位于量角器边缘．双曲线经过量角器边缘上一点A，点A对应刻度为，点B是量角器中心，若，则k的值为（ ）
A．9 B． C．18 D．18
6．如图，在长为，宽为2，高为的长方体中挖去一个与三边相切的圆柱，沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题
7．我国2025年全年经济总量达到1400000亿元，将1400000用科学记数法表示为_____．
8．式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是_______ ．
9．计算的结果是______．
10．分解因式的结果是____．
11．方程的两个根为、，若，则的值为______．
12．将函数的图像向左平移1个单位长度所得到的图像对应的函数表达式为_____．
13．如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________．
14．如图，正比例函数图像与反比例函数的图像交于点、，点在轴上，若，的面积是6，则的值为______．
15．如图，正六边形的半径为，若为的中点，连接，则的长为__．
16．如图，在中，，，．将绕的中点逆时针旋转得到，当经过点时，的长为_____．
三、解答题
17．计算．
18．先化简，再求值，其中．
19．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人每小时搬运的化工原料是B型机器人每小时搬运的化工原料的1.5倍，A型机器人搬运所用时间比B型机器人搬运所用时间少1小时．两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
20．如图，在中，对角线，相交于点，且．，分别是，的中点，，分别是，上靠近点的三等分点，连接，，，．求证：四边形是矩形．
21．第40届秦淮灯会设立了四个会场——夫子庙景区、老门东街区、白鹭洲公园三个主会场和南部新城分会场．灯会举办期间，玲玲和晶晶各自随机选择一个会场去看灯展．
(1)若玲玲去了南部新城分会场，则晶晶和她选择同一个会场的概率为___________．
(2)若两人选择的都是主会场，求两人不在同一个会场的概率．
22．我国历次人口普查城乡人口统计图如下．
(1)1953年人口普查时，乡村人口约__________万人；2010年人口普查时，城镇人口比重为__________．
(2)下列说法不正确的是（ ）
A．年，城镇人口逐年增加，乡村人口先增加后减少
B．2020年之前，每次人口普查时，乡村人口总是大于城镇人口
C．历次人口普查中，年间城镇人口比重上升最快
D．历次人口普查中，1982年的城镇人口与乡村人口占比差距最大
(3)图表显示，我国城镇人口比重呈上升趋势，城镇化率在不断提高，结合实际，写出一条城镇化率提高的原因．
23．如图，公路上有A，B，C三个汽车站，一辆汽车从离A站的P地出发，向C站匀速行驶，后离A站．
(1)设出发后，汽车离A站，求y与x之间的函数表达式．
(2)当汽车行驶到离A站的B站时，接到通知要在前赶到离B站的C站．汽车按原速度行驶，能否在规定时间前到达？说明理由．
24．如图，直线与相交于点O，所夹的锐角为，与关于直线对称．
(1)在图中作，使得与关于直线对称．
（要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹．）
(2)第（1）题中的可以看作是由经过两次轴对称变换得到，它能由经过一次图形变换得到吗？如果能，请写出变换过程；如果不能，说明理由．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数）．
(1)已知点．若抛物线与轴交于原点和点，点在线段上，且不与端点重合，求的取值范围；
(2)若，，将抛物线的对称轴向右平移3个单位长度后，与抛物线（为常数）的对称轴重合，求的值；
(3)在（2）的条件下，当时，若在抛物线上，点在抛物线上，求的取值范围．
26．在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．
(1)如图（1），若的延长线交于点F．求证：；
(2)连接，．
①如图（2），延长交于点G，求证：点G是的中点；
②如图（3），与，分别交于点G，K．若，，请直接写出的值．
27．在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护草坪．某公司准备在一块边长为的正方形草坪（图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为的圆面，喷洒覆盖率为待喷洒区域面积，为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
(1)如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为的自动喷洒装置，该方案的实际喷洒面积___________，实际喷洒覆盖率___________．
(2)如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为5m的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为的自动喷洒装置．．．以此类推，如图5，设计安装个喷洒半径均为的自动喷洒装置，与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由．
(3)如图6，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率．已知正方形各边上依次取点，使得，设的面积为，求关于的函数表达式，并求当取得最小值时的值．
《江苏省南京市2026年中考数学模拟练习卷（二）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D C D B B
1．A
【详解】解：的相反数是．
2．D
【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可.
【详解】解：由题意可得：，所以，
∴，
观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的；
故选：D.
【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键.
3．C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形的内角和定理．过点C作与直尺平行，可得，再由正六边形的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作与直尺平行，
∴，
∵多边形为正六边形，
∴，
∴．
故选：C
4．D
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，先将等式左边的加法运算转化为乘法运算，再把等式左右两边的底数统一为2，进而推导m与n的关系．
【详解】∵，，
∴，，
∵
∴，
∴，
故选：D．
5．B
【分析】连接，过点作，根据题意可得，证出是等边三角形，求出，得出，再根据双曲线经过量角器边缘上一点A，即可求解．
【详解】解：连接，过点作，
根据题意可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵双曲线经过量角器边缘上一点A，
∴．
6．B
【分析】当延长方体表面展开的上面与正面部分走时，设圆心为点O，与的切点为I，J，作切线，可得，四边形为正方形，证明四边形是正方形，得，，证明，得，证明，得，得，同理，得，得，得路径的长是，同理延长方体表面展开的上面与侧面部分走时，得路径的长是，比较即可得到结论．
【详解】解：如图为长方体表面展开的上面与正面部分，设圆心为O，与的切点为I，J，
∵，
∴，
∴四边形为正方形，
∵圆与上表面三边相切，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
作切线，
则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∴路径的长是：；
如图，如图为长方体表面展开的上面与侧面部分，设圆心为O，与的切点为I，J，
同理，，
则，
∴，
∴路径的长是：；
∵，
∴沿着该几何体的表面从点A到点的所有路径中，最短路径的长是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查长方体表面最短路径问题．熟练掌握长方体表面展开图，矩形正方形的判定和性质，切线长定理，勾股定理，含30度的直角三角形判定和性质，弧长公式，是解题的关键．
7．
【详解】解：．
8．x≥3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得到关于x的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意可得：x—3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
9．
【分析】先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可得到结果．
【详解】解：
10．
【分析】原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
11．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据已知的两根之和求出参数的值，再代入计算两根之积即可．
【详解】解：对于一元二次方程，二次项系数，一次项系数，常数项，
根据根与系数的关系可得：，
∵，
∴，
解得：，
又根据根与系数的关系可得，
将代入得．
12．
【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”计算即可．
【详解】解：由函数的图象向左平移个单位长度，根据平移规律得新函数表达式为 化简得 ．
13．
【详解】解：改造后种植区的长为，宽为，
根据改造后种植区的面积为，可列方程．
14．
【分析】过点作轴，先证明，从而可得，结合的面积得出，进而可得的值．
【详解】解：由题意，过点作轴，
∵正比例函数图像与反比例函数的图像交于点、，
∴．
∵，
∴，
，
，
又该反比例函数图象在第二、四象限，即，
．
15．
【分析】连接，交于点O，连接根据正六边形的性质可得，正六边形内接于，为的直径，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而求出，根据为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接，交于点O，连接
∴正六边形内接于，为的直径，．
，
是等边三角形，
∴,
是的直径，
∴，，
在中，．
是的中点，
∴，
在中，
．
16．
【分析】连接，可证明，推出；求出，，则可得到，，由勾股定理得，解直角三角形得到，证明，得到，即，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点O为的中点，
∴，
由旋转的性质可得，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，，
∵
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴．
17．
【分析】先去括号，再合并同类项即可得出结果．
【详解】解：
．
18．，．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【详解】解：原式
当时，原式
【点睛】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．答：A型机器人每小时搬运300kg化工原料，B型机器人每小时搬运200kg化工原料．
【分析】设B种机器人每小时搬运x千克化工原料，则A种机器人每小时搬运1.5x千克化工原料，A型机器人搬运所用时间比B型机器人搬运所用时间少1小时，列方程进行求解即可．.
【详解】设B型机器人每小时搬运kg化工原料，则A型机器人每小时搬运1.5x kg化工原料，由题意得，
，
解此分式方程得：，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
当时，，
答：A型机器人每小时搬运300kg化工原料，B型机器人每小时搬运200kg化工原料．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时A型机器人搬运所用时间比B型机器人搬运所用时间少1小时建立方程是关键．
20．证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
，分别是，上靠近点的三等分点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，设，则，
，，
，，
，
四边形是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质可知，，根据点，分别是，的中点，点，分别是，上靠近点的三等分点，可证四边形是平行四边形，根据可证，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可证结论成立．
【详解】略
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果；
（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵两个人各自随机选择，其选择相互独立，在玲玲去了南部新城分会场的条件下，晶晶的选择不受影响，
∴晶晶选择南部新城分会场的概率为；
（2）解：将夫子庙景区、老门东街区、白鹭洲公园三个主会场分别记为，，，
列表可得：
由表格可得，共有9种等可能出现的结果，其中两人不在同一个会场的情况有种，
∴两人不在同一个会场的概率为．
22．(1)，
(2)C
(3)城市机会多，就业需求大（言之有理即可）
【分析】（1）根据我国历次人口普查城乡人口统计图即可得出答案；
（2）根据我国历次人口普查城乡人口统计图逐项分析即可得出结果；
（3）结合实际写出一条原因即可．
【详解】（1）解：由统计图可得：1953年人口普查时，乡村人口约万人；2010年人口普查时，城镇人口比重为；
（2）解：由统计图可得：
A、年，城镇人口逐年增加，乡村人口先增加后减少，故A选项说法正确，不符合题意；
B、2020年之前，每次人口普查时，乡村人口总是大于城镇人口，故B选项说法正确，不符合题意；
C、∵，
，
，
，
，
，
，
∴历次人口普查中，年间城镇人口比重上升最快，故C选项说法错误，符合题意；
D、历次人口普查中，1982年的城镇人口与乡村人口占比差距最大，故D选项说法正确，不符合题意；
（3）略
23．(1)
(2)汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达，理由见解析
【分析】（1）先求出汽车的速度，再根据汽车离A站的距离出发时离A站的距离汽车小时行驶的路程，即可得出y与x之间的函数表达式；
（2）先求出C站离A站的总距离，当时，求出，结合题意分析即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意可得：汽车的速度为，
∵一辆汽车从离A站的P地出发，设出发后，汽车离A站，
∴；
（2）解：汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达，理由如下：
由题意可得，C站离A站的总距离为，
当时，，
解得：，
∵，
∴小时小时分钟，
∴汽车出发，经过小时分钟后为，
∵，
∴汽车按原速度行驶，能在规定时间前到达．
24．(1)见解析
(2)能，绕点O逆时针旋转得到
【分析】（1）分别作点关于直线的对称点，再顺次连接即可；
（2）连接，分别作的垂直平分线，二者相较于点O，可知是由绕点O旋转得到的，再轴对称的性质求出即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求的三角形．
（2）解：能，如图，
连接，分别作的垂直平分线，二者相交于点O，可知是由绕点O旋转得到的．
连接，
∵直线与所夹的锐角为，
∴．
∵与关于直线对称，与关于直线对称，
∴，，
∴，
∴，
∴旋转角为．
综上可知，绕点O逆时针旋转得到．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查“二次函数的图象与性质”的知识点，熟练掌握求二次函数的对称轴和顶点坐标的方法与二次函数的增减性的判断是解题关键
（1）代入原点，判断出，从而得到点，由条件点在线段上，结合图象即可判断出的取值范围；
（2）代入，，得到，判断出对称轴为直线，从而确定的对称轴为直线，通过抛物线的对称轴与二次项、一次项系数的关系即可求出；
（3）由（2）的条件可以确定两条抛物线的解析式，分别代入点和点的坐标，分别得到与的关系式和与的关系式，作差即可得到与的关系式，根据，和二次函数图象的增减性，即可求出的取值范围．
【详解】（1）∵抛物线过原点，
∴，
即抛物线解析式为．
令，得．
解得，．
∴点的坐标为．
∵点在线段上，
∴，
即．
（2）若，，则抛物线．
∴原抛物线的对称轴为直线，向右平移3个单位长度后得直线．
∴，即．
（3）在（2）的条件下，抛物线，．
把代入抛物线，得．
把代入抛物线得，．
∴．
∴抛物线的对称轴为直线．
∵，，
又∵，
∴当时，，此时为最小值；
当时，，此时为最大值．
∴的取值范围为．
26．(1)证明见解析
(2)证明见解析；的值为
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
（1）连接，证明即可得结论；
（2）过点作交延长线于点，证明即可得结论；
过点作于点，过点作交的延长线于点，由题意设，，由勾股定理计算出，证明，可得，的长，再证明，可得的长，可求得的长，再证明四边形是矩形，可得，，的长，从而求得的长，进而可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
由旋转可得，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）证明：如图，过点作交延长线于点，
∵，
∴，
由旋转可得，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点G是的中点．
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，
∵在中，，，
∴设，，则，
由旋转可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵交的延长线于点，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴．
27．(1)
(2)不能提高喷洒覆盖率，理由见解析
(3)y
【分析】（1）根据定义，分别计算圆的面积与正方形的面积，即可求解；
（2）根据（1）的方法求得喷洒覆盖率即可求解；
（3）根据勾股定理求得的关系，进而根据圆的面积公式得出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：（1）当喷洒半径为时，喷洒的圆面积．
∴；
正方形草坪的面积．
故喷洒覆盖率．
（2）解：对于任意的，喷洒面积，而草坪面积始终为．
因此，无论取何值，喷洒覆盖率始终为．
这说明增加装置个数同时减小喷洒半径，对提高喷洒覆盖率不起作用．
（3）如图所示，连接，
要使喷洒覆盖率，即要求，其中为草坪面积，为喷洒面积．
∴都经过正方形的中心点，
在中，，，
∵
∴，
在中，
∴
∴
∴当时，取得最小值，此时
解得：．
【点睛】本题考查了正方形与圆，二次函数的应用，解决此类问题的关键在于将实际问题转化为数学问题，即如何将喷洒覆盖率的计算问题转化为面积计算和函数求解问题．同时，在解决具体问题时，需要灵活运用已知的数学知识，如圆的面积公式，正方形面积公式，以及函数解析式求解等．最后，还需要注意将数学计算结果还原为实际问题的解决方案．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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