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2025—2026学年度第二学期初四数学试题
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．是的（ ）
A．倒数 B．绝对值
C．相反数 D．负倒数
2．下列四幅图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．笔、墨、纸、砚是中国文房四宝，砚台更是书法不可或缺的工具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．某班名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分
人数 ■ ■
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）
A．平均数，方差 B．中位数，方差
C．中位数，众数 D．平均数，众数
5．如图所示，过正五边形的顶点作一条射线与其内角的角平分线相交于点，且，那么的度数是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
7．如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
8．把一元二次方程和的根写在四张背面无差别的卡片上（一张卡片上写一个根），将这些卡片背面朝上放在桌面上，小李从中随机抽取一张记下数字作为点的横坐标，放回重新洗匀后再随机抽出一张记下数字作为点的纵坐标，则点在以原点为圆心，为半径的圆上的概率是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，点，分别在，边上，且，若是以为腰的等腰三角形，则的长为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
10．如图，在等边三角形中，，在中，，，，点，，，在一条直线上，点，重合，沿射线方向运动，当点与点重合时停止运动．设运动的路程为，与重叠部分的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为________．
12．函数的自变量的取值范围是________．
13．已知点与点关于轴对称，则的值为________．
14．已知关于的不等式的最小整数解为，则实数的取值范围是________．
15．如图，点在函数的图象上，点在函数的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为________．
16．如图，在中，，，以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在弧上，则图中阴影部分面积为________．
17．在求的值时，发现：，…，从而得到．按此方法可解决下面问题．图（1）有个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有个三角形，记作；按此方法继续下去，则________．（结果用含的代数式表示）
…
18．如图，在正方形中，对角线，交于点，点在上，交于点，且为的中点，交于点，连接交于点，连接．下列结论：
①；②；③；④．其中正确结论的序号为________．
三、解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）计算：．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
21．（5分）某中学筹备校园数学文化节，采购《周髀算经》《孙子算经》两类古籍读本，某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买本．求《孙子算经》的单价为多少元？
22．（6分）大庆推进城市新能源建设，在杜尔伯特草原风电基地新建风力发电机组如图（1），研学小组实地测量风机塔杆的高度，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到个位；参考数据：，，，）
23．（7分）新能源产业异军突起．车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．大庆沃尔沃新能源车展开调研，在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图：
类型 人数 百分比
纯电
混动
氢燃料
油车
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了________人；表中________，________；
（2）请补全条形统计图，并计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
24．（7分）如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，．点是中点，连结并延长到，且，连接，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
25．（7分）大庆市博物馆出售A．B两种猛犸象主题文创，每件进价均为20元．调查发现，如果售出A种20件，B种10件，销售总额为840元；如果售出A种10件，B种15件，销售总额为660元．
（1）求A、B两种商品的销售单价．
（2）经市场调研，A种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；B种商品的售价不变，A种商品售价不低于B种商品售价．设A种商品降价元，如果A、B两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售A、B两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？
26．（8分）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式．
（2）结合图形，请直接写出不等式的解集．
（3）点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值．
27．（9分）如图，是⊙的直径，弦于，为⊙上一点，连接交于，在的延长线上取一点，使，的延长线交的延长线于．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）连接，若时．
①求证：；
②若，，求的长．
28．（9分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2025—2026学年度第二学期初四数学答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1-5 CBCCD 6-10 ADDBA
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11． 12．x＞-1
13．0 14.
15．2 16.
17. 18．①②④
三．解答题（本大题共10小题，共66分）
19．（4分）解：原式.
20．（4分），
解：原式＝
…………………2分
∵，
或…………………1分
当时分式无意义
∴当时，原式…………………1分
21.（5分）解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，
依题意得，，…………………2分
解得，…………………1分
经检验，是原方程的解，且符合题意，…………………1分
（元）…………………1分
答：《孙子算经》单价是30元；
22.（6分）解：过点作于点，作于点

由题意得：，
在中，
，
，…………………1分
…………………1分
，
四边形为矩形，
，，…………………1分
，
…………………1分
在中.
，
…………………1分
…………………1分
答：该风力发电机塔杆的高度为.
23.（1）解：本次调查活动随机抽取人数为（人），
，则，
，则，
故答案为：50；30，6；
（2）解：∵，
∴补全条形统计图如图所示：
扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；
（3）解：（人）．
答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人．
24.（7分）（1）（3分）∵点是中点
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴∠FBC=90°
∴平行四边形是矩形；
（2）（4分）连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
在中，，
∴
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
25.（7分）
(1)（3分）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则
，解得，
答：的销售单价为元、的销售单价为元；
(2)（4分）解：种商品售价不低于种商品售价，
，解得，即，…………………1分
设利润为，则
，…………………2分
，
在时能取到最大值，最大值为，…………………1分
当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元．
26.（8分）
（1）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的关系式为，…………………1分
把代入，得，
∴，
∴，
把，代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为；…………………2分
（2）或…………………3分
（3）解：当时，，
即，
整理得，，
∴；
当时，，
即，
整理得，，
∴；
综上，的值为或…………………2分
27．（9分）
解：（1）（3分）如图，连接OG
EF是⊙O的切线
（2）①（3分）
即KG2＝KD KE；
②（3分）cosC＝，AK＝
设
在中，由勾股定理得
解得
设⊙O的半径为R
在中，
由勾股定理得
解得
在中，
28.（9分）(1)解：∵抛物线与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，则对称轴为直线，
∴，
解得：
∴抛物线解析式为；
(2)解：由，当时，，
解得：，
∴，
当时，，则，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴，交于点，

∵，
∴
∵
∴，则
设，则即，
将点代入
即
解得：或(舍去)
当时，，
∴；
(3)∵，，
则，是等腰直角三角形，
∴，由(2)可得，
∵
∴，
由(2)可得，
设直线的解析式为，则
解得：
∴直线的解析式为
如图所示，以为对角线作正方形，则，

∵，则，则，，
设，则，
解得：，，
则，，
设直线的解析式为，直线的解析式为
则，，
解得：，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，
∴解得：，则，
解得：,则，
综上所述，或．

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