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中科实验学校2025-2026学年第二学期数学学科期中考试
一．选择题（共8题，每题3分，合计24分）
1．近几年，我国人工智能技术迅猛发展，各种AI工具层出不穷，包含AI聊天、AI搜索、AI编程、AI绘画等多项功能．下列Al工具图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在直角坐标系中，点P（﹣2，3）向右平移3个单位长度后的坐标是（　　）
A．（3，6） B．（1，3） C．（1，6） D．（3，3）
3．若x＞y，则下列式子错误的是（　　）
A．x﹣3＞y﹣3 B．3﹣x＞3﹣y C．﹣2x＜﹣2y D．
4．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　）
A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2）
5．如果分式的值为0，那么x的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0
6．某平板电脑支架如图所示，EA＝ED＝6cm，为了使用的舒适性，可调整∠AED的大小．若∠AED＝120°，则AD的长度为（　　）cm．
A．12 B．18 C． D．15
第6题 第7题
7．海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第8题 第10题 第13题
二．填空题（共5小题，每题3分，合计15分）
9．分解因式：2a2﹣8＝　 　 ．
10．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝10°，则旋转角度是 　 　 ．
11．已知的值为5，若分式中的x、y均变为原来的2倍，则的值为 　 　 ．
12．若方程组的解满足﹣1＜x+y＜1，则k的取值范围是　 　 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，AE平分∠CAB交BC于D，BE⊥AE于E．请直接写出线段AB、AC、BE的数量关系_____________________．
三．解答题（共7题，合计61分）
14.．（10分）（1）解不等式组：． （2）因式分解： ① x2﹣9； ② 3a2+6ab+3b2．
15．（8分）小坪在计算下题时发现计算结果与答案不同，解答过程如下：
先化简，后求值：，其中﹣1＜x＜3，任选一个合适的整数作为x的值代入．
解：原式①
②
③
当x＝1时，原式④
请帮助小坪找出错误步骤（一步即可），并写出正确的解答过程．
①小坪在第　 　 步出错，错误原因是　 　 ．
②请在下方写出正确解答过程．
16．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）请画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）若△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB2C2，写出点C2的坐标　 　 ；
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A3（1，0），B3（3，﹣1），C3（2，﹣3），则旋转中心的坐标为　 　 ．
17．（8分）如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到
AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．
（1）求证：EF＝BC；
（2）若∠ABC＝63°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数．
18．（9分）“梅兰竹菊”是花中四君子，是中国传统文化中的象征，它们各自代表着不同的品质和精神．梅花象征着坚强，兰花象征着高洁，竹子象征着坚韧不屈，菊花象征着淡泊．某校为了落实双减政策，丰富学生的课外活动，开设了绘画社团，计划为学生购买水彩画、创意字当做教具，经过调查得知：每组水彩画比每组创意字的价格贵40元，买2组水彩画和3组创意字共用380元．
（1）求每组水彩画、创意字的价格分别是多少？
（2）若学校需购进水彩画、创意字共12组，总费用不超过900元，并且根据学生需求，要求购进创意字的数量必须低于水彩画数量的5倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
19．（10分）【背景】如图1是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图2为其信息图．
【主题】如何接到最佳温度的温水．
【素材】水杯容积：700ml．
物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度＝温水体积×温水升高的温度．
生活经验：饮水最佳温度是35℃～38℃（包括35℃与38℃），这一温度最接近人体体温．
【操作】小明拿一空杯先从饮水机接温水x秒，再接开水，直至接满700ml的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况．）
【问题】
（1）小明接到杯子里的温水的体积是 　 　 ml，接到开水的体积是 　 　 ml；（用含x的代数式表示）
（2）在（1）的操作基础上，若所接的温水的体积不少于开水体积的2倍，则至少应接温水多少秒？
（3）请结合物理知识，若水杯接满水后，水杯中温度是50℃，求x的值；
（4）请结合物理知识，若记水杯接满水后水杯中温度为y℃，则y关于x的关系式是 　 　 ；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出x的取值范围是 　 　 ．
20（10分）．某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形。若一组邻边相等，且对角互补，则这样的四边形我们称之为“等补四边形”：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求这种“等补四边形”的面积呢？
探究一：
（1）如图2，已知“等补四边形”ABCD，若AB=AD，∠A=∠C＝90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC＝4cm，CD＝2cm，则“等补四边形”的面积为 　 　 ________cm2
探究二：
（2）如图4，已知“等补四边形”ABCD，若AB=AD，∠A=∠C＝120°，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC＝6cm，CD＝4cm，求“等补四边形”ABCD的面积．
探究三：
（3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道不相等的两边的长度就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”ABCD，若AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，连接AC，若BC＝m，CD＝n（m≠n），∠ACD＝30°，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示）．
中科实验 八年级期中数学参考答案
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B B A B B A D
二．填空题（共5小题）
9．2（a+2）（a﹣2）．
10．50°．
11．10．
12．0＜k＜4．
13．AB＝AC+BE，
三．解答题（共7小题）
14．（1）解：解不等式3（x+2）≥x﹣2得，x≥﹣4，
解不等式得，x＜3，
所以不等式组的解集为﹣4≤x＜3．
（2）解：①x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）；
②3a2+6ab+3b2
＝3（a2+2ab+b2）
＝3（a+b）2．
15．解：①小坪在第②步出现错误，错误的原因是：括号前面是负号，去括号时4x没改变符号，
故答案为：②，括号前面是负号，去括号时4x没改变符号；
②原式
，
∵﹣1＜x＜3且x为整数，
∴x＝0，1，2，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴当x＝0时，原式＝﹣2；
当x＝1时，原式4．
16．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可知，点C2的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
（3）分别作线段AA3，BB3的垂直平分线，相交于点P，
则将△ABC绕点P逆时针旋转90°后得到△A3B3C3，
∴旋转中心的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
17．（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，
∴∠BAC＝∠EAF．
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF．
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝63°，
∴∠AEB＝∠ABC，
∴∠BAE＝180°﹣63°×2＝54°，
∴∠FAG＝∠BAE＝54°．
∵△ABC≌△AEF，
∴∠AFE＝∠ACB＝25°，
∴∠FGC＝∠FAG+∠AFG＝54°+25°＝79°．
18．解：（1）设每组水彩画的价格是x元，则每组创意字的价格是y元，
依题意得，，
解得，
答：每组水彩画的价格是100元，则每组创意字的价格是60元；
（2）设需购进水彩画m组，则需购进创意字（12﹣m）组，
由题意可得：，
解得，2＜m≤4.5，
又∵m为正整数，
∴m可以取3，4，
∴共有2种购买方案，
方案1：购进3组水彩画，9组创意字；费用为3×100+9×60＝840（元）；
方案2：购进4组水彩画，8组创意字；费用为4×100+8×60＝880（元）；
∵840＜880，
∴最低费用为840元，
答：共有2种购买方案，购进3组水彩画，9组创意字总费用最少，为840元．
19．解：（1）∵温水水流速度为20mL/s，接温水用时x秒，
∴接到温水的体积是20xmL，
又∵共接水700mL，
∴接到开水的体积是（700﹣20x）mL．
故答案为：20x，（700﹣20x）；
（2）根据题意得：20x≥2（700﹣20x），
解得：x，
∴x的最小值为．
答：至少应接温水秒；
（3）根据题意得：（100﹣50）（700﹣20x）＝（50﹣30）20x，
解得：x＝25．
答：x的值为25；
（4）根据题意得：（100﹣y）（700﹣20x）＝（y﹣30）20x，
∴y＝100﹣2x．
∵饮水最佳温度是35℃～38℃（包括35℃与38℃），
∴，
解得：31≤x≤32.5，
∴x的取值范围是31≤x≤32.5．
故答案为：y＝100﹣2x，31≤x≤32.5．
20．解：（1）等补四边形”的面积为，
故答案为：9．
（2）如图，过点C作CE⊥GF交于点E，
根据题意可得：FC＝FB+BC＝DC+BC＝4+6＝10（cm），
∵△FGC是等边三角形，
∴∠GCF＝60°，GC＝FC，
∴，
在Rt△ECF中，∠FCE＝30°，FC＝10，
∴，
∴，
∴“等补四边形”ABCD的面积为：．
（3）如图，将△ACD绕点A顺时针旋转得到△ABC′，
作AH⊥BC于点H，
∴AC′＝AC，C′B＝CD＝n，∠C′＝∠ACD＝30°，∠ABC′＝∠D，
在等补四边形ABCD中，∠ABC+∠D＝180°，
∴∠ABC+ABC′＝180°，
∴点C′，B，C在同一直线上，
∴CC′＝BC+C′B＝m+n，
∵AC′＝AC，AH⊥BC
∴，
在Rt△AHC′中，
∵∠C′＝30°，
∴AH2+HC′2＝AC′2，，
∴，
∴“等补四边形”ABCD的面积等于△ACC′的面积：．

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