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沪科版（2024）八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 暑期巩固
根据矩形性质求角的度数
1、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝15°，那么∠ABD的度数是（　　）
A.30° B.60° C.70° D.75°
2、如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为 　 　．
4、如图，矩形ABCD中，过C作CF⊥BD于F，延长FC至G，CG＝BD，连AG交CD于E，∠AED的度数是多少？
根据矩形的性质求边长
1、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　）
A.3 B.4 C. D.5
2、矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（　　）
A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm
3、如图，矩形中，，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是 ．

4、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
5、如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，求的长．

矩形的翻折变换问题
1、如图在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为（　　）
A. B. C.21 D.24
2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　）
A.25° B.40° C.50° D.65°
3、如图，点P在长方形的边上，将长方形纸片沿折叠时，顶点B与边上的点Q重合．
（1）若，，则 ；
（2）若点Q恰好是的中点，则的值为 ．
4、在长方形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．若∠BEC＝72°，则∠DFE＝　 　．
5、把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断∠1与∠2相等吗？说明理由．
添加条件判断是否为矩形
1、在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（ ）
A.若，则为矩形
B.若平分，则为菱形
C.若，则为菱形
D.若，则为正方形
2、在中，对角线相交于点，若添加一个条件，使得为矩形，该条件是（ ）
A. B. C. D.
3、如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．请你再添加一个适当的条件：　 　，使四边形AFDE为矩形．
4、如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　 　.（填一个即可）
根据给出的条件判断是否为矩形
1、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　）
A.AC＝BD B.AB⊥BC C.OA＝OB＝OC＝OD D.AC⊥BD
2、在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD
3、如图，在平行四边形ABCD中，M是BC中点，且∠1＝∠2，求证：平行四边形ABCD是矩形．
4、如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE．求证：AB＝EF，且四边形AEBF是矩形．
矩形的性质和判定的综合运用
1、在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）
A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5
2、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A.3 B. C. D.4
3、如图，中，，点是边上的动点，过点作，，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
4、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，且AD∥BC，AC的长为16，则DO的长为 　 　．
5、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，那么EF＝DC吗？试说明理由．
根据直角三角形的性质求边
1、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2、在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为（　　）
A.3 B.3 C.6 D.6
3、如图，在四边形中ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 　　．
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是AB边的中点，△BCD的周长是18，则AB的长是多少？
5、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长．
根据直角三角形的性质求角
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　）
A.30° B.45° C.50° D.60°
2、如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（　　）
A.44° B.46° C.56° D.67°
3、在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M、N分别是CA、BA延长线上的点，且AM＝ANBC，则∠MPN的度数为 　 　．
4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为　 　．
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若∠B＝33°，求∠ACD的度数．
根据菱形的性质求线段长
1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　）
A. B. C. D.
2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　）
A.12 B.16 C.4 D.24
3、若一菱形的两条对角线为，则这个菱形的周长是 ．
4、如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4．那么AE的长是 　．
5、如图，已知M，N分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，且DM＝BN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当CN＝10，∠BAC＝90°，且四边形AMCN是菱形时，求BN的长．
根据菱形的性质求面积
1、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是120°，则该菱形的面积为（　　）
A. B. C.32cm2 D.16cm2
2、小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　）
A. B. C.a2 D.
3、已知菱形的两条对角线长分别是和，则该菱形的高是（　）
A. B. C. D.
4、如图所示，正方形的面积为18，菱形的面积为6，则菱形的边长为 ．
5、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
根据菱形的性质求角的度数
1、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　）
A.35° B.30° C.25° D.20°
2、如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠DEC的度数为（　　）
A.72° B.54° C.50° D.48°
3、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，BC的垂直平分线EF交对角线BD于点F．连接AF，则∠DAF的度数为　 　．
4、如图，在菱形ABCD中，过点A向对边CD作垂线，垂足为E，且AE平分CD，求菱形各角的度数．
坐标系中的菱形问题
1、在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　）
A.（﹣4，5） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D.（﹣4，5）或（﹣4，﹣2）
2、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（　　）
A. B. C. D.
3、如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，﹣3），B（4，0），则点C的坐标为 　 　．
4、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣4），顶点A、B分别在第二、三象限，AB交x轴负半轴于点D，∠B＝120°，求顶点A的坐标．
5、如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当时，求的面积．
(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
菱形的对角线
1、如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
2、如图，在菱形中，，连接，E是上一点，且，连接，则（ ）

A. B. C. D.
3、如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点 于点 ，连接 ．则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
4、如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是
5、如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为 ．
6、如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，，过点A作于点H，连接，求的长．
添加条件使四边形为菱形
1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（ ）
A.AB＝CD B.AB⊥BC C.AC＝BD D.AC⊥BD
2、关于的叙述，正确的是（ ）
A.若，则是菱形
B.若，则是菱形
C.若，则是正方形
D.若，则是矩形
3、如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　 　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
4、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，E、F分别为AC上的两点，AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF．
（1）求证：BF＝DE．
（2）对△ABC添加一个条件 　 　，使四边形BEDF是菱形，并说明理由．
菱形性质和判定的综合
1、如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A.， B. C.， D.
2、如图，△ABC中，AC，BC＝4，AB，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（　　）
A. B.8 C. D.
3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　）
A. B. C.40 D.24
4、如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是　 　．
5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 　 　．
6、如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的周长．
根据正方形的性质求线段长
1、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）．
A. B.2 C. D.
2、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A.2.5 B. C. D.2
3、如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为 ．
4、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 　 　．
5、如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为．
(1)求当t为何值时，四边形是正方形；
(2)求当t为何值时，；
(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
根据正方形的性质求角的度数
1、如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
3、如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　）
A.65° B.70° C.60° D.80°
4、如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为 　 　．
5、已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数．
坐标系中的正方形
1、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　）
A.（，1） B.（﹣1，） C.（﹣1，） D.（1，）
2、如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　）
A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2）
3、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）
A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1）
4、如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD边长为1个单位长度，若BC∥x轴，且点A的坐标是（2，2），则点C的坐标为 　 　．
5、正方形，按如图的方式放置，和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ．

6、平面直角坐标系中，A（﹣1，3），C（2，﹣1），则以AC为对角线的正方形ABCD的顶点B、D坐标分别为多少？
7、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，求点C的坐标．
正方形性质的综合运用
1、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　）
A.长度为2的线段 B.边长为2的等边三角形 C.斜边为2的直角三角形 D.面积为4的菱形
2、如图，E，F为正方形ABCD边BC，CD的中点，连接AE，BF交于点P．有如下结论：①AE＝BF，②AP＝FP，③AE⊥BF，④S△ABP＝S四边形PECF，其中成立的是（　　）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
3、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　）
A.7 B.3 C.8 D.3
4、在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 　 　．
5、已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN．
正方形的对角线
1、如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　）
A.2 B. C. D.
2、如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（ ）
A.3 B.6 C. D.
3、如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使点A的对应点满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．
4、如图，点P在正方形内，连接，若，，则 ．
5、如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
正方形的判定
1、下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
2、如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　）
A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD
3、正方形判定：有一个角是直角的　 　是正方形．
4、有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 　 　（填“对”或“不对”）．
5、如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形．
正方形性质和判定的综合
1、如图，在四边形CDEF中，∠C＝∠D＝90°，CF+DE＝CD＝4，G为DE的中点，点H在EF上，且，连接GH，则GH的长为 　 　．
2、如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ．
3、如图，已知正方形ABCD，点E在对角线AC上，连接DE，作EF⊥DE，EF交BC边于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG．
（1）判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由．
（2）若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数．
4、已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
沪科版（2024）八年级下册 19.3 矩形、菱形、正方形 暑期巩固（参考答案）
根据矩形性质求角的度数
1、如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，若∠E＝15°，那么∠ABD的度数是（　　）
A.30° B.60° C.70° D.75°
【答案】B
【解析】连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠E＝15°，
∴∠E＝∠DAE，
又∵BD＝CE，
∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ADB＝∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝2∠E＝30°，
∴∠ABD＝60°，
故选：B．
2、如图，若正五边形和矩形按如图方式叠放在一起，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵正五边形内角和为：，
∴，
∵
∴
故选：B
3、如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE的度数为 　 　．
【答案】28°．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝124°，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝90°﹣∠OCD＝28°，
故答案为：28°．
4、如图，矩形ABCD中，过C作CF⊥BD于F，延长FC至G，CG＝BD，连AG交CD于E，∠AED的度数是多少？
【答案】解：过A点作AM⊥BD，
∵CF⊥BD，
∴CF∥AM，
∴∠G＝∠MAE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC＝BD，OC＝OD，∠OCD＝∠ODC，
∵CG＝BD，
∴CG＝AC，
∴∠G＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠MAE，
∵∠AOD+∠MAO＝90°，
∴2∠OCD+2∠EAC＝90°，
∴∠OCD+∠EAC＝45°，
∴∠AED＝45°．
根据矩形的性质求边长
1、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　）
A.3 B.4 C. D.5
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，且BD＝8，
∴，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，OA＝AB＝4，
故选：B．
2、矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长为（　　）
A.1cm B.2cm C.2.5cm D.4cm
【答案】D
【解析】矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，
根据矩形的性质得到△ABO≌△DCO，则OA＝OD，∠DAO＝45°，
所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB，由矩形ABCD的周长为24cm得到，24＝2AB+2×2AB，
解得AB＝4cm．故选D．
3、如图，矩形中，，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是 ．

【答案】
【解析】解：以直线为轴，将往上翻转，如图，

过点A作于点，交于点．
当与点重合，与点重合时．
最短（直线外一点到这条近线中垂线段最短）．
矩形中，，
又
为等边三角形，且，
故答案为．
4、已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF＝90°
∴∠CED+∠AEF＝90°
∵∠CED+∠DCE＝90°
∴∠DCE＝∠AEF
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF
∴△AEF≌△DCE
∴AE＝DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2
∴2AE＝6
∴AE＝3
5、如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作交于点，求的长．

【答案】解：如图，连接，

∵四边形是矩形，且，，
∴，，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
设，，
在中，，
即，
解得，即，
∴．
矩形的翻折变换问题
1、如图在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则△BDE的面积为（　　）
A. B. C.21 D.24
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∵矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，
∴∠DBC＝∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠EBD，
∴EB＝ED，
设ED＝x，则EB＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，∵AB2+AE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x，
∴DE，
∴△BDE的面积AB DE6．
故选：A．
2、如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED'等于（　　）
A.25° B.40° C.50° D.65°
【答案】C
【解析】由折叠可知，∠DEF＝∠D'EF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝65°，
∴∠AED'＝180°﹣∠DEF﹣∠EFB＝50°，
故选：C．
3、如图，点P在长方形的边上，将长方形纸片沿折叠时，顶点B与边上的点Q重合．
（1）若，，则 ；
（2）若点Q恰好是的中点，则的值为 ．
【答案】 8 /
【解析】解：（1）由折叠的性质可知，
，
四边形是长方形，
，，
，
，
，
故答案为：8；
（2）由折叠的性质可知，
，
点Q是的中点，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：
4、在长方形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．若∠BEC＝72°，则∠DFE＝　 　．
【答案】54°．
【解析】∵将△BCE沿BE翻折，点C恰好落在AD边上点F处，
∴点F与点C关于直线BE对称，
∴BE垂直平分CF，
∴FE＝CE，
∴∠BEF＝∠BEC＝72°，
∴∠DEF＝180°﹣∠BEF﹣∠BEC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠DEF＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54°．
5、把一张长方形（对边平行）纸条按如图所示折叠．判断∠1与∠2相等吗？说明理由．
【答案】解：∠1＝∠2，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CF∥BD，
∴∠1＝∠CBA'，
∵将长方形折叠，
∴∠CBA'＝∠2，
∴∠1＝∠2．
添加条件判断是否为矩形
1、在中，对角线相交于点O，下列判断中错误的是（ ）
A.若，则为矩形
B.若平分，则为菱形
C.若，则为菱形
D.若，则为正方形
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
，
A、时，，则平行四边形为矩形，故本选项不符合题意；
B、平分时，，，所以平行四边形为菱形，故本选项不符合题意；
C、选项中，不能得出为菱形，故本选项符合题意；
D、时，，且，所以平行四边形为正方形，故本选项不符合题意；
故选：C．
2、在中，对角线相交于点，若添加一个条件，使得为矩形，该条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A.添加可得为矩形，符合题意；
B.添加可得为菱形，不符合题意；
C.添加无法得到为矩形，不符合题意；
D.添加可得为菱形，不符合题意；
故选：A．
3、如图，在△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．请你再添加一个适当的条件：　 　，使四边形AFDE为矩形．
【答案】∠A＝90°（答案不唯一）．
【解析】添加条件∠A＝90°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴平行四边形AFDE是矩形；
故答案为：∠A＝90°（答案不唯一）．
4、如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　 　.（填一个即可）
【答案】∠EAF＝90°．
【解析】添加∠EAF＝90°使得四边形AECF是矩形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵∠EAF＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
故答案为：∠EAF＝90°．
根据给出的条件判断是否为矩形
1、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，下列条件中不能判定平行四边形ABCD是矩形的是（　　）
A.AC＝BD B.AB⊥BC C.OA＝OB＝OC＝OD D.AC⊥BD
【答案】D
【解析】解：如图
A．∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；
B．∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C．∵AO＝OB＝OC＝OD，
∵AC＝BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，故本题选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，不是矩形，故本题选项符合题意；
故选：D．
2、在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A.AD＝BC且AC＝BD B.AD＝BC且∠A＝∠B C.AB＝CD且∠A＝∠C D.AB∥CD且AC＝BD
【答案】C
【解析】A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C．∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD为矩形，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
3、如图，在平行四边形ABCD中，M是BC中点，且∠1＝∠2，求证：平行四边形ABCD是矩形．
【答案】证明：∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1＝∠AMB，∠2＝∠DMC，
∵∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠DMC，AM＝DM，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
4、如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE．求证：AB＝EF，且四边形AEBF是矩形．
【答案】证明：∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，
∴AF＝BD，∠CBD＝30°，
∵△BDE是等边三角形，
∴BE＝BD，∠DBE＝60°，
∴AF＝BD＝BE，∠EBF＝∠AFB＝90°，
在△ABF和△EFB中，
，
∴△ABF≌△EFB（SAS），
∴AB＝EF，
∵∠AFB＝∠EBF＝90°，
∴AF∥BE，
又∵AF＝BE，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵AB＝EF，
∴四边形AEBF是矩形，
故AB＝EF，且四边形AEBF是矩形．
矩形的性质和判定的综合运用
1、在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，BC＝2，CD＝11，过D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）
A.7.5 B.7 C.6.5 D.5.5
【答案】A
【解析】过C作DH的垂线CE交DH于E，
∵DH⊥AB，CB⊥AB，
∴CB∥DH又CE⊥DH，
∴四边形BCEH是矩形．
∴HE＝BC＝2，在Rt△AHD中，∠A＝60°，
∴∠ADH＝30°，
又∵∠ADC＝90°
∴∠CDE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴在Rt△CED中，DECD＝5.5，
∴DH＝2+5.5＝7.5．
故选：A．
2、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　）
A.3 B. C. D.4
【答案】C
【解析】∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD，
∴CE，
故选：C．
3、如图，中，，点是边上的动点，过点作，，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，连接．

∵在中，，
∴．
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵的最小值即为斜边上的高，
∴，即，
∴的最小值为
故选B．
4、如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，且AD∥BC，AC的长为16，则DO的长为 　 　．
【答案】8．
【解析】∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC＝2OD＝16，
∴OD＝8，
故答案为：8．
5、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，那么EF＝DC吗？试说明理由．
【答案】解：EF＝DC，
理由如下：
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DBAB，
∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，
∴DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四边形ECFD是矩形，
∴EF＝DC．
根据直角三角形的性质求边
1、如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解： ，，，
，
，
为中点，
，
，，
四边形是矩形，
连接，则，
，
当最小时，最小，
垂线段最短，
当时，最小，
此时，即：，
，
的最小值为，
故选：D．
2、在直角三角形中，两直角边的长分别为6和12，则斜边上中线的长为（　　）
A.3 B.3 C.6 D.6
【答案】B
【解析】解：∵，，∠BAC=90°，
∴，
∴，
故选B．
3、如图，在四边形中ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连接EF．若AC＝6，BD＝4，则EF的最小值为 　　．
【答案】．
【解析】连接BE，DE，如图所示：
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，
∴BEAC，DEAC，
∵AC＝6，
∴BE＝DE＝3，
过点E作EF′⊥BD于点F′，
则点F′是线段BD的中点，
∵BD＝4，
∴BF′＝2，
根据勾股定理，得EF′，
∴线段EF的最小值为，
故答案为：．
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，D是AB边的中点，△BCD的周长是18，则AB的长是多少？
【答案】解：∵∠ACB＝90°，D是AB边的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵BC＝5，△BCD的周长是BD+BC+CD＝18，
∴2BD+5＝18，则BD＝6.5，
∴AB＝13．
5、如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，AB≡10，AD＝DE＝4，求BC的长．
【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵E是AC的中点，DE＝4，
∴AC＝2DE＝8，
由勾股定理得：CD4，
∵AB＝10，AD＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝6，
∴BC2．
根据直角三角形的性质求角
1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，若∠CDA＝120°，则∠B的度数是（　　）
A.30° B.45° C.50° D.60°
【答案】D
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是Rt△ABC的中线，
∴CDAB＝AD＝DB，
∴∠B＝∠DCB，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB＝120°，
∴∠B＝60°．
故选：D．
2、如图，a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a上，∠ACB＝90°，AB交直线a于点D，点B在直线b上，∠1＝23°，若点D恰好为AB的中点，则∠ACD的度数为（　　）
A.44° B.46° C.56° D.67°
【答案】D
【解析】∵∠ACB＝90°，点D恰好为AB的中点，
∴CD＝BDAB，
∴∠1＝∠DCB＝23°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝67°，
故选：D．
3、在△ABC中，∠BAC＝90°，P是BC的中点，M、N分别是CA、BA延长线上的点，且AM＝ANBC，则∠MPN的度数为 　 　．
【答案】45°．
【解析】连接PA并延长到点D，
∵∠BAC＝90°，P是BC的中点，
∴APBC，
∵AM＝ANBC，
∴AM＝AP，AN＝AP，
∴∠M＝∠APM，∠N＝∠APN，
∵∠DAM＝∠M+∠APM，∠DAN＝∠N+∠APN，
∴∠DAM＝2∠APM，∠DAN＝2∠APN，
∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN
＝2∠APM+2∠APN
＝2（∠APM+∠APN）
＝2∠MPN，
∵∠MAN＝∠BAC＝90°，
∴∠MPN∠MAN＝45°，
故答案为：45°．
4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，E是AC的中点，连接BE，BD．则∠DBE的度数为　 　．
【答案】15°．
【解析】连接DE，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DEAC，BEAC，AE＝CE＝DE，AE＝BE＝CE，
∴DE＝BE，
∵∠DAC＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝∠EBA＝30°，
∴∠DEC＝∠ADE+∠DAC＝90°，∠BEC＝∠BAC+∠EBA＝60°，
∴∠DBE＝∠EDB（180°﹣∠DEB）（180°﹣90°﹣60°）＝15°，
故答案为：15°．
5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若∠B＝33°，求∠ACD的度数．
【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴，
∴∠DCB＝∠B＝33°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝57°．
根据菱形的性质求线段长
1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF，AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AC⊥BD，OA＝OC＝4，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∴AE5，
∴BE＝AE＝5，
∴OB＝BE+OE＝5+3＝8，
∴AB4，
∴CD＝4，
∵点F为CD的中点，∠COD＝90°，
∴OFCD＝2，
故选：B．
2、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥DC于点E，连接OE，若BD＝6，OE的长为，则菱形的周长为（　　）
A.12 B.16 C.4 D.24
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OD＝OBBD＝3，OA＝OC，
∵AE⊥DC，
∴∠AEC＝90°，
而OA＝OC，
∴OA＝OC＝OE，
在Rt△OCD中，CD4，
∴菱形的周长为4×4＝16．
故选：B．
3、若一菱形的两条对角线为，则这个菱形的周长是 ．
【答案】10
【解析】解：如图，
四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
，
菱形的周长，
故答案为：10．
4、如图，菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4．那么AE的长是 　．
【答案】2．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，
∴AB＝BC＝4，
∵AE垂直平分BC，
∴BEBCAB＝2，
由勾股定理得，AE2，
故答案为：2．
5、如图，已知M，N分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，且DM＝BN．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）当CN＝10，∠BAC＝90°，且四边形AMCN是菱形时，求BN的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
又DM＝BN，
∴AD﹣DM＝CB﹣BN，
即AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形；
（2）解：∵四边形AMCN是菱形，
∴AN＝CN，
∴∠NAC＝∠NCA，
又∠BAC＝90°，即∠BAN+∠NAC＝∠NCA+∠B＝90°，
∴∠BAN＝∠B，
∴AN＝BN，
∴AN＝BN＝CN，
∴BN＝10．
根据菱形的性质求面积
1、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是120°，则该菱形的面积为（　　）
A. B. C.32cm2 D.16cm2
【答案】A
【解析】
如图，菱形ABCD中，∠ADC＝120°，
连接BD，过D作DH⊥AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，AD＝AB，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠ADC﹣120°，
∴∠A＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∵DH⊥AB，
∴AHAB，
∵菱形的周长是32cm，
∴AB32＝8（cm），
∴AH＝4cm，
∴DH4cm，
∴菱形的面积＝AB DH＝32cm2．
故选：A．
2、小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　）
A. B. C.a2 D.
【答案】B
【解析】
过A作AH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝a，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AHABa，
∴菱形ABCD的面积＝BC AHa2．
故选：B．
3、已知菱形的两条对角线长分别是和，则该菱形的高是（　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：如图：菱形ABCD，AC=8，BD=6，
∴OA=AC=4，OD=BD=3，
菱形的面积为：，菱形的边长为：，
菱形的高为：．
故选：D．
．
4、如图所示，正方形的面积为18，菱形的面积为6，则菱形的边长为 ．
【答案】
【解析】解：连接AC，EF，如下图所示
∵正方形ABCD的面积为18
∴AD＝，AD＝CD，∠D＝90°
∴在Rt△ACD中，由勾股定理可知：
AC＝×＝6
∵菱形AECF的面积为6
∴×EF×AC＝6
解得EF＝＝2
∴菱形的边长＝＝＝
故答案为：．
5、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC，
又∴∠ABC＝60°，
∴，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB＝2cm，
∴，
∴，
∴AC＝2OA＝2cm，；
（2）．
根据菱形的性质求角的度数
1、如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　）
A.35° B.30° C.25° D.20°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°，
∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=65°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD，
∴∠OEB=∠OBE=65°．
∴∠OED=90°-65°=25°．
故选：C．
2、如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，DE＝AD，连接EC．若∠ADE＝36°，则∠DEC的度数为（　　）
A.72° B.54° C.50° D.48°
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，CD∥AB，
∵DE＝AD，∠ADE＝36°，
∴DE＝CD，∠A＝∠DEA（180°﹣36°）＝72°，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠DEA＝72°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE（180°﹣72°）＝54°，
故选：B．
3、如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝40°，BC的垂直平分线EF交对角线BD于点F．连接AF，则∠DAF的度数为　 　．
【答案】120°
【解析】连接FC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是轴对称图形，
∴∠DAF＝∠CFD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠DBC∠ABC，
∵∠ABC＝40°，
∴∠BCD＝140°，∠FBC＝20°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴FB＝FC，
∴∠FBC＝∠FCB＝20°，
∴∠FCD＝120°，
∴∠DAF＝120°，
故答案为：120°．
4、如图，在菱形ABCD中，过点A向对边CD作垂线，垂足为E，且AE平分CD，求菱形各角的度数．
【答案】解：连接AC．
∵AE⊥CD，且AE平分CD，
∴AD＝AC．
∵在菱形ABCD中，AD＝DC，
∴DC＝AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠B＝∠D＝60°，∠DAB＝∠BCD＝120°．
坐标系中的菱形问题
1、在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A在x轴上，顶点B，C在y轴上，若点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，3），则顶点D的坐标为（　　）
A.（﹣4，5） B.（﹣4，﹣2） C.（﹣4，5）或（﹣4，﹣5） D.（﹣4，5）或（﹣4，﹣2）
【答案】C
【解析】如图，
∵A（﹣4，0），B（0，3），点B，C在y轴上，
∴OA＝4，OB＝3，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AD＝5，AD∥BC，
∵0+5＝5，0﹣5＝﹣5，
∴D点的坐标为（﹣4，﹣5）或（﹣4，5），
故选：C．
2、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），则点D的坐标为（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵点A、B的坐标分别为（0，4）、（﹣2，0），
∴OB＝2，OA＝4，
∴AB2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝2，AD∥BC，
∴点D坐标为（2，4），
故选：A．
3、如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，﹣3），B（4，0），则点C的坐标为 　 　．
【答案】（4，5）．
【解析】∵A（0，﹣3），B（4，0），
∴AO＝3，BO＝4，
∴AB5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，BC∥AD，
∴点C（4，5），
故答案为：（4，5）．
4、如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标为（0，﹣4），顶点A、B分别在第二、三象限，AB交x轴负半轴于点D，∠B＝120°，求顶点A的坐标．
【答案】解：∵四边形OABC是菱形，点C的坐标为（0，﹣4），
∴OA＝OC＝4，AO∥BO，
∵∠B＝120°，
∴∠A＝60°，
∴∠AOD＝30°，
∴，
在Rt△AOD中，AD2+DO2＝AO2，
∴，
∵点A在第二象限，
∴A的坐标为．
5、如图，在菱形中，O为坐标原点，点A的坐标为， ．动点P从点A出发，沿着射线以每秒3个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，沿着射线以每秒1个单位长度的速度运动．点 P，Q同时出发，设运动时间为秒．
(1)求点C的坐标．
(2)当时，求的面积．
(3)试探究在点 P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请求出此时t的值与点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，，
∵菱形，
∴，，
如图，延长交轴于，则轴，即，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（2）解：由题意知，时，，则，，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵，
∴当以C，O，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，，
由题意知，，，
当时，；此时，
解得，；
∴；
当时，；此时，
解得，；
∴；
综上所述，存在，当时，，当时，．
菱形的对角线
1、如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：如图，
∵四边形是菱形，
∴，即，，
在中，∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
2、如图，在菱形中，，连接，E是上一点，且，连接，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：如图，在菱形中，，
则.
∵，
∴.
故选：B．
3、如图，四边形 是菱形，对角线 相交于点 于点 ，连接 ．则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
解：∵四边形是菱形，，
∴平分，
∴，
在中，，
∵，点是中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
4、如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是
【答案】
5
【解析】
解：∵在菱形中，、是对角线，，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：5．
5、如图，四边形为菱形，过点作于点，连接．若，且点恰好为边的中点，则线段的长为 ．
【答案】
3
【解析】
解：如图，连接交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，点恰好为边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴（等底等高），
故答案为：3．
6、如图，菱形的周长为，对角线，相交于点O，，过点A作于点H，连接，求的长．
【答案】
解：四边形是菱形，
，，，，
，
是直角三角形，
菱形的周长为，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
于点H，
，
是直角三角形，
，
是的斜边上的中线，
．
添加条件使四边形为菱形
1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是（ ）
A.AB＝CD B.AB⊥BC C.AC＝BD D.AC⊥BD
【答案】D
【解析】解：A. AB＝CD，无法判定四边形ABCD是菱形，不合题意；
B. AB⊥BC，只能判定四边形ABCD是矩形，不合题意；
C. AC＝BD，只能判定四边形ABCD是矩形，不合题意；
D. AC⊥BD，可以得到四边形ABCD是菱形，符合题意．
故选：D
2、关于的叙述，正确的是（ ）
A.若，则是菱形
B.若，则是菱形
C.若，则是正方形
D.若，则是矩形
【答案】B
【解析】解：A、若，则是矩形，不正确；
B、若，则是菱形，正确；
C、若，则是菱形，不正确；
D、若，则是菱形，不正确；
故选：B．
3、如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件　 　，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
【答案】OA=OC
【解析】OA＝OC，
∵OB＝OD，OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：OA＝OC．
4、如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，E、F分别为AC上的两点，AE＝CF，连接BE，BF，DE，DF．
（1）求证：BF＝DE．
（2）对△ABC添加一个条件 　 　，使四边形BEDF是菱形，并说明理由．
【答案】1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，
∴AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF＝DE；
（2）解：当AB＝BC时，四边形BEDF是菱形，理由如下：
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴EO＝FO，
∵AB＝BC，O是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形BEDF是菱形，
故答案为：AB＝BC．
菱形性质和判定的综合
1、如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A.， B. C.， D.
【答案】D
【解析】解四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴，，
四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点分别作，边上的高为，．则
（两纸条相同，纸条宽度相同）；
平行四边形中，，即，
，即．故B正确；
平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
，（菱形的对角相等），故A正确；
，（平行四边形的对边相等），故C正确；
如果四边形是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故选：D．
2、如图，△ABC中，AC，BC＝4，AB，点D是AB的中点，EB∥CD，EC∥AB，则四边形CEBD的周长是（　　）
A. B.8 C. D.
【答案】C
【解析】∵EB∥CD，EC∥AB，
∴四边形CEBD是平行四边形，
在△ABC中，
∵AC，BC＝4，AB，
∴（）2+42＝2+16＝18＝（3）2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∵点D是AB的中点，
∴DC＝AD＝DBAB，
∴四边形CEBD是菱形，
四边形CEBD的周长＝4DB＝46．
故选：C．
3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝3，AF＝2，则四边形ABCD的周长为（　　）
A. B. C.40 D.24
【答案】B
【解析】∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴AO＝2AF＝4，EF是△AOD的中位线，
∴OD＝2EF＝6，
∵平行四边形ABCD中，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD＝AB＝AD，
∴，
∴菱形ABCD的周长．
故选：B．
4、如图，有甲乙两张纸条，甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，将这两张纸条随意交叉重叠放在一起，重合的部分构成一个四边形ABCD，那么AB与BC的数量关系是　 　．
【答案】AB＝2BC
【解析】过A作AE⊥CD于E、作AF⊥GH于F，
根据题意得：甲纸条对折后与乙纸条宽度相等，
则AF＝AE，
∵四边形AGHD是平行四边形，
∴∠AGF＝∠ADE，
在△AGF和△ADE中，，
∴△AGF≌△ADE，
∴AG＝AD，
又∵AGAB＝AG，AD＝BC，
∴AB＝BC，
∴AB＝2BC．
故答案为：AB＝2BC．
5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，则四边形AEDF的周长是 　 　．
【答案】24．
【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴DF＝AF，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∴AE＝DE＝DF＝AF＝6，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24，
即四边形AEDF的周长是24，
故答案为：24．
6、如图，在中，，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，，连接，．
(1)证明：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的周长．
【答案】（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，即，
∴四边形是菱形；
（2）∵四边形是平行四边形，，
∴，，，则，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即，
∴四边形的周长为．
根据正方形的性质求线段长
1、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为17，则小正方形的边长为（ ）．
A. B.2 C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，由题意，，，
大正方形的面积为17，
，
，
，
，
，
，
小正方形的边长为（负值舍去）．
故选：D．
2、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A.2.5 B. C. D.2
【答案】B
【解析】连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，ACBC，CFCE＝3，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF2，
∵H是AF的中点，
∴CHAF．
故选：B．
3、如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E， 于点F．在点G的运动过程中，的值为 ．
【答案】4
【解析】正方形的边长为4，
，
于点E， 于点F．
四边形是矩形，且是等腰三角形，
，
故答案为：4
4、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，若AB＝4，则GH的长度为 　 　．
【答案】．
【解析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，A B＝A D＝B C＝4，
∵E，F分别是边AB，BC的中点，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠DPH＝∠FCH，
∵H是DF的中点，
∴DH＝FH，
在△PDH和△CFH中，
，
∴△PDH≌△CFH（AAS），
∴PD＝CF＝2，
∴AP＝AD﹣PD＝2，
∴，
∵点G，H分别是EC，FD的中点，
∴，
故答案为：．
5、如图，在矩形中，，点P与点Q同时出发，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C停止，点P，Q的速度都是，连接，设点P，Q的运动时间为．
(1)求当t为何值时，四边形是正方形；
(2)求当t为何值时，；
(3)当四边形的面积为时，求矩形的周长与四边形的周长的比值．
【答案】（1）解：∵ 在矩形中，，
，，
设经过后四边形是正方形，则，，
在矩形中，，，
当时，四边形是正方形，
∴，解得，
∴当时，四边形是正方形；
（2）解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
，
∵，
，解得，
∴当时；
（3）解：∵四边形为平行四边形，
∴ 四边形的面积为，即，解得，
，，
∴四边形的周长，
∴矩形的周长，
∴矩形的周长与四边形的周长的比值为．
根据正方形的性质求角的度数
1、如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵在正方形内作等边三角形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，则∠AOB的度数是（　　）
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD于点O，
∴∠AOB＝90°，
故选：D．
3、如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　）
A.65° B.70° C.60° D.80°
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
∵∠DEB＝140°，
∴∠DEC＝∠BEC＝70°，
∴∠AEF＝∠BEC＝70°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
故选：A．
4、如图，F是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AF，CF，并延长CF交AD于点E．若∠AFC＝130°，则∠DEC的度数为 　 　．
【答案】70°．
【解析】由正方形ABCD，∠AFC＝130°，
得BD为正方形的对称轴，AD∥BC，
得∠BFC＝∠AFB＝130°÷2＝65°，∠DBC＝45°，
得∠DEC＝∠FCB＝180°﹣∠BFC﹣∠DBC＝70°．
故答案为：70°．
5、已知正方形ABCD，∠ADE＝∠EAD＝15°，求△BEC各内角度数．
【答案】解：如图，过点E作EF⊥AD于点F；作∠ADM＝60°，
则∠MDE＝75°；而∠ADE＝∠EAD＝15°，
∴AE＝DE，EF平分∠AED，AF＝DF；
∴∠DEM75°，
∴∠M＝180°﹣2×75°＝30°，∠MED＝∠MDE＝75°
∴DM＝2DF，MD＝ME；而DC＝AD＝2DF，
∴MD＝CD；在△MDE与△CDE中，
，
∴△MDE≌△CDE（SAS），
∴ME＝EC；同理可证ME＝BE；
∴BE＝CE＝MD＝DC＝BC，
∴△BEC为等边三角形，
∴△BEC各内角度数为60°．
坐标系中的正方形
1、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（，1），则点C的坐标为（　　）
A.（，1） B.（﹣1，） C.（﹣1，） D.（1，）
【答案】C
【解析】作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，如图所示：
则∠CFO＝∠OEA＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∵四边形OABC是正方形，
∴OC＝OA，∠AOC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCF和△AOE中，，
∴△OCF≌△AOE（AAS），
∴OF＝AE＝1，CF＝OE，
∴点C的坐标为（﹣1，）；
故选：C．
2、如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　）
A.（2，2） B.（﹣2，2） C.（﹣2，﹣2） D.（2，﹣2）
【答案】B
【解析】如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），
∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．
故选：B．
3、如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，若点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　）
A.（，1） B.（﹣1，） C.（，1） D.（，﹣1）
【答案】C
【解析】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：
则∠ADO＝∠OEC＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵点A的坐标为（1，），
∴OD＝1，AD，
∵四边形OABC是正方形，
∴∠AOC＝90°，OC＝AO，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠3＝∠2，
在△OCE和△AOD中，
，
∴△OCE≌△AOD（AAS），
∴OE＝AD，CE＝OD＝1，
∴点C的坐标为（，1）；
故选：C．
4、如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD边长为1个单位长度，若BC∥x轴，且点A的坐标是（2，2），则点C的坐标为 　 　．
【答案】（3，1）．
【解析】∵四边形ABCD为正方形，且边长为1，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，AD∥BC，
∵BC∥x轴，
∴AD∥BC∥x轴，
又∵点A的坐标为（2，2），
∴点B（2，1），点C（3，1）．
故答案为：（3，1）．
5、正方形，按如图的方式放置，和点分别在直线和轴上，则点的坐标是 ．

【答案】
【解析】解：设直线与轴交于点A，如图，

令，令，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴点的横坐标和点的横坐标相同，其点在直线上，
∴当时，，即，
∴，
同理，，
∴，
故答案为：．
6、平面直角坐标系中，A（﹣1，3），C（2，﹣1），则以AC为对角线的正方形ABCD的顶点B、D坐标分别为多少？
【答案】解：如图，过点E作FK∥x轴，BF⊥FK于F，DK⊥FK于K，AM⊥FK于M．
∵四边形ABCD是正方形，A（﹣1，3），C（2，﹣1），
∴EA＝EC＝EB＝ED，E（，1），
∴AM＝2，EM，
由△AME≌△EKD≌△EFB，可得EK＝EF＝AM＝2，DK＝BF＝EM，
∴D（，），B（，）或B（，），D（，）．
7、如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，均在坐标轴上，求点C的坐标．
【答案】解：过点C作轴于点H，
∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标是．
正方形性质的综合运用
1、下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（　　）
A.长度为2的线段 B.边长为2的等边三角形 C.斜边为2的直角三角形 D.面积为4的菱形
【答案】D
【解析】∵正方形的边长为2，
∴对角线长为，
∴长度为2的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故A不符合题意；
边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故B不符合题意；
斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故C不符合题意；
而面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故D符合题意，
故选：D．
2、如图，E，F为正方形ABCD边BC，CD的中点，连接AE，BF交于点P．有如下结论：①AE＝BF，②AP＝FP，③AE⊥BF，④S△ABP＝S四边形PECF，其中成立的是（　　）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝90°，
∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴BE＝CF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BPE＝90°，
∴AE⊥BF，故③正确；
∵PE≠BP，
∵AE＝BF，
∴AP≠FP，故②不正确；
∵△ABE≌△BCF，
∴S△ABE＝S△BCF，
∴S△ABE﹣S△BEP＝S△BCF﹣S△BEP，
即S四边形PECF＝S△ABP，故④正确．
故选：C．
3、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　）
A.7 B.3 C.8 D.3
【答案】D
【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为9＝6，
∴空白部分的面积为9﹣6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3，
∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠BCG＝90°，
∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab，
又∵a2+b2＝32，
∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，
即（a+b）2＝15，
∴a+b，即BG+CG，
∴△BCG的周长3，
故选：D．
4、在正方形ABCD中，对角线AC＝2cm，那么正方形ABCD的面积为 　 　．
【答案】2cm2
【解析】正方形面积2cm2
故答案为2cm2
5、已知：如图，正方形ABCD中，点E，M，N分别在AB，BC，AD边上，CE＝MN，求证：CE⊥MN．
【答案】证明：作NF⊥BC于F，如图所示：
则∠NFM＝90°，四边形CDNF是矩形，
∴NF＝CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠ABC＝90°，
∴BC＝NF，
在Rt△BCE和Rt△NFM中，，
∴Rt△BCE≌Rt△NFM（HL），
∴∠1＝∠2，
∵∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠4＝90°，
∴CE⊥MN．
正方形的对角线
1、如图，正方形中，，以对角线为一边作菱形，则的长为（　　）
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴．
故选：C．
2、如图，正方形的边长是6，的平分线交于点E，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值（ ）
A.3 B.6 C. D.
【答案】C
【解析】
解：在上取点F，使，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点Q在上时，
，取得最小值，
当时，取得最小值，
∵正方形的边长是6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
3、如图，将边长为3的正方形沿其对角线平移，使点A的对应点满足，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．
【答案】
4
【解析】
解：正方形的边长为，
，
，
，
．
故答案为：4．
4、如图，点P在正方形内，连接，若，，则 ．
【答案】
8
【解析】
解：∵四边形是正方形，
∴，
设，
如图，以点的坐标原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系：
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵，，
∴，，
∴，
整理得：，
∴，即，
又∵，，
∴的边上的高为，的边上的高为，
∴
，
故答案为：8．
5、如图，在正方形中，延长到点，使．连接，．
(1)求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
正方形的判定
1、下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边相等的四边形是正方形；④顺次连接菱形各边中点形成的四边形一定是矩形．其中正确的个数是（　　）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】D
【解析】解：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误；
②如图，
AC⊥BD，但是四边形ABCD不是菱形，即对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故②错误；
③四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，故③错误；
④如图，
∵E、F、G、H分别是菱形A′B′C′D′的边A′B′、B′C′、C′D′、A′D′的中点，
∴EF//A′C′，EH＝B′D′，EH//B′D′，FG＝B′D′，FG//B′D′，
∴EH＝FG，EH//FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形A′B′C′D′是菱形，
∴A′C′⊥B′D′，
∵EH//B′D′，
∴EH⊥A′C′，
∵EF//A′C′，
∴EF⊥EH，
即∠HEF＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，故④正确；
所以正确的个数是1．
故选D．
2、如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　　）
A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
添加AC＝BD，可得平行四边形ABCD是矩形，再由AC⊥BD可得平行四边形ABCD是正方形，故A选项符合题意；
添加AC＝BD，∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形，得不到是正方形，故B选项不合题意；
添加BD平分∠ABC，AB＝BC，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故C选项不合题意；
添加AB＝BC，AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形，得不到是正方形，故D选项不合题意；
故选：A．
3、正方形判定：有一个角是直角的　 　是正方形．
【答案】见试题解答内容
【解析】正方形判定：有一个角是直角的菱形是正方形，
故答案为：菱形．
4、有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD．从中选取两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形（如图）．现在文文选择了②③，你认为文文选择的 　 　（填“对”或“不对”）．
【答案】不对．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
再根据现有条件无法证明平行四边形ABCD为正方形，
∴文文选择的不对，
故答案为：不对．
5、如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，求证：四边形OGCF是正方形．
【答案】证明：如图，作OH⊥AB与H点，
∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，
∴∠OGC＝∠OFC＝90°．
∵∠C＝90°，
∴四边形OGCF是矩形．
∵AD平分∠BAC，
∴OH＝OF．
∵BE平分∠ABC，
∴OH＝OG，
∴OF＝OG，
∴四边形OGCF是正方形．
正方形性质和判定的综合
1、如图，在四边形CDEF中，∠C＝∠D＝90°，CF+DE＝CD＝4，G为DE的中点，点H在EF上，且，连接GH，则GH的长为 　 　．
【答案】．
【解析】如图，延长DE至点A，使得EA＝CF，延长CF至点B，使得BF＝DE，连接AB．
∵CF+DE＝CD，
∴AD＝BC＝CD．
∵∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD为正方形．
连接AC交EF于点O，
∵∠EAO＝∠FCO＝45°，
∵∠AOE＝∠COF，EA＝FC，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AO＝CO，EO＝FO，
∴O为AC和EF的中点，
连接OD，则H为EO的中点，G为DE的中点，
∴GH为△EOD的中位线，
∴GHOD，ODAC，AC，
∴OD＝2，
∴GHOD．
故答案为：．
2、如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F为边上任意一点，将沿翻折，点B的对应点为，则当面积最小时折痕的长为 ．
【答案】
【解析】解：当面积最小时，到的距离最小，即到的距离最大，
∴当到的距离时，此时到的距离最大，
即，
将沿翻折，点B的对应点为，
，，
四边形是正方形，
利用勾股定理得到，
点E为的中点，，
，
，
∴当面积最小时折痕的长为，
故答案为：．
3、如图，已知正方形ABCD，点E在对角线AC上，连接DE，作EF⊥DE，EF交BC边于点F，以DE，EF为边作矩形DEFG．
（1）判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由．
（2）若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数．
【答案】（1）证明：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∠CEN＝90°﹣∠ECN＝45°，
∴四边形EMCN为矩形，∠CEN＝∠ECN，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∴EM＝EN，∠MEN＝90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形；
（2）解：∵∠ADE＝40°，AD∥EN，
∴∠DEN＝∠ADE＝40°，
由（1）知△DEN≌△FEM，
得∠MEF＝∠DEN＝40°，
∴∠EFC＝∠EMF+∠MEF＝90°+40°＝130°．
4、已知，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．
【答案】证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，
∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°，
∵DH＝CE，BK＝CE，
∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，
在△ABK、△KEF、△HGF、△ADH中
∴△ABK≌△KEF≌△HGF≌△ADH，
∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝HAD，
∵∠BAD＝90°，
∴∠HAK＝∠HAD+∠DAK＝∠BAK+∠DAK＝∠BAD＝90°，
∴四边形AKFH为正方形．

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