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单元检测四　抛体运动　圆周运动
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·江苏省一模)2024年11月，中国自主研制的歼35A隐形战斗机在珠海航展亮相。表演中战斗机沿着一段圆弧从M到N加速拉升，关于歼35A所受合力的方向，下图中可能正确的是(　　)
2.(2026·辽宁抚顺市模拟)标枪运动简化图如图所示，忽略空气阻力作用，下列关于标枪的运动及曲线运动说法正确的是(　　)
A.出手后标枪的加速度是变化的
B.标枪升到最高点时速度为零
C.标枪在相同时间内速度变化量相同
D.曲线运动不可能是匀变速运动
3.(2026·安徽省九师联盟模拟)如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度v0竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度v0竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为(　　)
A.2∶1 B.4∶1 C.1∶2 D.1∶4
4.(2026·辽宁辽阳市二模)运动员从P点以一定的速度水平飞出后做平抛运动，在空中飞行3 s后，落在斜坡上的Q点，简化示意图如图所示。已知斜坡的倾角为30°，取重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，运动员经过P点时的速度大小为(　　)
A.10 m/s B.15 m/s
C.15 m/s D.30 m/s
5.(2026·内蒙古乌兰察布市二模)圆锥摆在摆动过程中由于受空气阻力的影响，小球做圆周运动的半径会越来越小，经过足够长时间后，小球会停止在悬点正下方。忽略小球转动一周内的半径变化，即每一周都可视为匀速圆周运动，运动情况如图所示。则小球做上述运动过程中，随着细绳与竖直方向的夹角不断减小，小球做圆周运动的周期将(　　)
A.变大 B.变小
C.不变 D.先增大后减小
6.(2026·重庆市三模)足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点。两次射门，足球先后打在水平横梁上的a、b两点，a为横梁中点，如图所示。若足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向，不计空气阻力的作用，下列说法正确的是(　　)
A.若足球从O点运动到a、b两点的时间分别为t1和t2，则t1=t2
B.若足球击中a、b两点的速度分别为v1和v2，则v1=v2
C.若先后两次足球被踢出时的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则θ1<θ2
D.若足球从O点运动到a、b两点的平均速度分别为和，则>
7.如图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，一长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为6m g
B.小球运动到最高点时，台秤的示数最小且为Mg
C.小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同
D.小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态
8.(2026·四川成都外国语学校模拟)圆周运动是生活中常见的一种运动。如图甲所示，一个小朋友坐在圆盘上随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图乙所示，将小球拴在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小球以O点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。已知小球的质量为m，细绳的长度为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.图甲小朋友所受摩擦力的方向沿轨迹的切线方向
B.图甲中，当小朋友的位置离圆心较近时，小朋友容易相对圆盘滑动
C.图乙小球可能在竖直面内做匀速圆周运动
D.图乙小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒定
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·河南省部分学校联考)如图所示，足够长的直角支架aOb固定在竖直平面内，其中细杆Oa粗糙，沿水平方向，细杆Ob光滑，沿竖直方向。质量分别为m和3m的小圆环P和Q分别套在两个细杆上，两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为θ=37°，圆环P与细杆Oa间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.初始时，轻绳上的拉力大小为5mg
B.解除P锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为mg
C.解除P锁定后瞬间，圆环P的加速度大小为2g
D.解除P锁定后瞬间，圆环Q的加速度大小为g
10.(2026·河南郑州市模拟)运动员以一定的初速度水平飞出，在空中运动t0时间后，落在倾角为30°的斜坡上，速度方向恰好沿斜坡向下，又经时间t0到达坡底。若不计摩擦与空气阻力，则整个运动过程中运动员沿水平、竖直方向的分速度vx、vy随运动时间t的变化情况为(　　)
三、非选择题：本题共5小题，共58分。
11.(7分)(2026·浙江嘉兴市检测)用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的特点。
(1)关于实验，下列做法正确的是　　　　　(填选项前的字母)。
A.选择体积小、质量大的小球
B.借助重垂线确定竖直方向
C.先抛出小球，再打开频闪仪
D.水平抛出小球
(2)图甲所示的实验中，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下，借助频闪仪拍摄上述运动过程。图乙为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻A、B两球的竖直高度相同，可判断A球竖直方向做　　　　　　运动。
(3)某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系xOy，并测量出另外两个位置的坐标值(x1，y1)、(x2，y2)，如图丙所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为　　　　　　。
12.(10分)某同学用如图甲所示实验装置测量重力加速度。固定在O点的拉力传感器通过长为L的不可伸长的细绳连接直径为d的小球，在O点的正下方固定一光电门。光电门能记录小球的挡光时间。
(1)先用游标卡尺测小球的直径，如图乙所示，则小球的直径d=　　　　　　 cm。
(2)保持细绳伸直，将小球拉离最低点一定高度后静止释放，小球经过光电门时光电门记录的挡光时间为Δt，此时小球的向心加速度大小为　　　　　　(用L、d、Δt表示)。
(3)只改变小球由静止释放的高度，记录每次小球经过最低点时拉力传感器的示数F与光电门记录的挡光时间Δt，作出图像如图丙所示，则图像的横轴表示的物理量为　　　　　　(选填“Δt”“”或“”)。测得图丙中直线的纵截距为b，斜率为k，则当地的重力加速度大小g=　　　(用L、d、b、k表示)。
(4)下列措施有利于提高重力加速度的测量精度的是　　　　　(多选)。
A.换用质量相同但半径更大的小球
B.换用密度更大的小球
C.适当增大小球静止释放的高度
13.(11分)(2026·江苏扬州市检测)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离r= m处有一质量m=1 kg、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为θ=37°，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)当圆盘角速度ω= rad/s时，求物体受到的向心力大小。
(2)当圆盘角速度ω=2 rad/s时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。
14.(14分)(2026·北京市海淀区一模)如图，一个质量为m=0.6 kg的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘A点以v0= m/s的速度水平飞出，恰能沿圆弧切线从P点进入竖直固定在地面上的圆弧细管道并继续滑行。已知圆弧半径OP与竖直方向的夹角是θ=37°，平台到地面的高度差为h=1.45 m。取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)小球从A点运动到P点所需的时间t；
(2)P点距地面的高度Δh和圆弧半径R；
(3)若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小为9 N，求小球经过Q点时的速度v的大小。
15.(16分)(2026·山西晋中市部分学校检测)跳台滑雪是最具观赏性的冰雪运动项目之一，图甲所示的跳台滑雪比赛场地可简化为图乙所示的雪道示意图。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，从倾角α=30°的斜面顶端O点以v0=20 m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角θ=60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点。不计空气阻力，运动员可视为质点，重力加速度大小g取10 m/s2。求：
(1)运动员从O点运动到A点的时间；
(2)O、C两点间的距离。
单元检测四　抛体运动　圆周运动
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·江苏省一模)2024年11月，中国自主研制的歼35A隐形战斗机在珠海航展亮相。表演中战斗机沿着一段圆弧从M到N加速拉升，关于歼35A所受合力的方向，下图中可能正确的是(　　)
答案　C
解析　做曲线运动的物体受合外力方向指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，因加速爬升，则合外力方向与速度方向夹角为锐角。故选C。
2.(2026·辽宁抚顺市模拟)标枪运动简化图如图所示，忽略空气阻力作用，下列关于标枪的运动及曲线运动说法正确的是(　　)
A.出手后标枪的加速度是变化的
B.标枪升到最高点时速度为零
C.标枪在相同时间内速度变化量相同
D.曲线运动不可能是匀变速运动
答案　C
解析　忽略空气阻力，标枪出手后只受重力，由牛顿第二定律得加速度为重力加速度，加速度不变，A错误；标枪升到最高点时竖直方向速度为零，但水平方向速度不为零，故最高点时速度不为零，B错误；标枪出手后只受重力，标枪的加速度恒定，在相同时间内速度变化量相同，C正确；加速度不变的曲线运动是匀变速运动，例如平抛运动，D错误。
3.(2026·安徽省九师联盟模拟)如图所示。风洞中没风时，将一个小球以初速度v0竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度v0竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为2h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为(　　)
A.2∶1 B.4∶1 C.1∶2 D.1∶4
答案　C
解析　根据题意，小球运动过程中，竖直方向有2gh=，有风时竖直方向运动情况不变，落到与抛出点等高的位置所用时间t=，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，有a=，2h=at2，联立解得=，故选C。
4.(2026·辽宁辽阳市二模)运动员从P点以一定的速度水平飞出后做平抛运动，在空中飞行3 s后，落在斜坡上的Q点，简化示意图如图所示。已知斜坡的倾角为30°，取重力加速度大小g=10 m/s2，不计空气阻力，运动员经过P点时的速度大小为(　　)
A.10 m/s B.15 m/s
C.15 m/s D.30 m/s
答案　C
解析　根据平抛运动规律可得tan 30°===，可得运动员经过P点时的速度大小为v0== m/s=15 m/s，故选C。
5.(2026·内蒙古乌兰察布市二模)圆锥摆在摆动过程中由于受空气阻力的影响，小球做圆周运动的半径会越来越小，经过足够长时间后，小球会停止在悬点正下方。忽略小球转动一周内的半径变化，即每一周都可视为匀速圆周运动，运动情况如图所示。则小球做上述运动过程中，随着细绳与竖直方向的夹角不断减小，小球做圆周运动的周期将(　　)
A.变大 B.变小
C.不变 D.先增大后减小
答案　A
解析　设摆角为θ，摆长为L，对小球进行受力分析，根据牛顿第二定律有mgtan θ=m，解得T=2π，可知，随着细绳与竖直方向的夹角不断减小，小球做圆周运动的周期将变大。故选A。
6.(2026·重庆市三模)足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点。两次射门，足球先后打在水平横梁上的a、b两点，a为横梁中点，如图所示。若足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向，不计空气阻力的作用，下列说法正确的是(　　)
A.若足球从O点运动到a、b两点的时间分别为t1和t2，则t1=t2
B.若足球击中a、b两点的速度分别为v1和v2，则v1=v2
C.若先后两次足球被踢出时的速度方向与水平方向的夹角分别为θ1和θ2，则θ1<θ2
D.若足球从O点运动到a、b两点的平均速度分别为和，则>
答案　A
解析　足球两次击中横梁时的速度方向均沿水平方向，则逆过程均可看成平抛运动，因两次运动的竖直高度相同，根据h=gt2，可知足球从O点运动到a、b两点的时间t1=t2，选项A正确；因击中b点的球水平位移较大，可知水平速度较大，则足球击中a、b两点的速度v1θ2，选项C错误；足球从O点运动到b点的位移较大，两次运动时间相同，可知从O点运动到a、b两点的平均速度关系<，选项D错误。
7.如图所示，一个质量为M的人，站在台秤上，一长为R的悬线一端系一个质量为m的小球，手拿悬线另一端，小球绕悬线另一端点在竖直平面内做圆周运动，且小球恰好能通过圆轨道最高点，则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为6m g
B.小球运动到最高点时，台秤的示数最小且为Mg
C.小球在a、b、c三个位置时，台秤的示数相同
D.小球从最高点运动到最低点的过程中台秤的示数增大，人处于超重状态
答案　C
解析　小球恰好能通过圆轨道最高点，在最高点，悬线中拉力为零，小球速度vb=，小球从最高点运动到最低点，由机械能守恒定律，
m+mg·2R=m，在最低点，由牛顿第二定律，F-mg=m，联立解得悬线中拉力F=6mg。小球运动到最低点时，台秤的示数最大且为Mg+F=(M+6m)g，故A错误；
小球从b点到c点的过程中，悬线对小球有一个指向圆心的拉力，由牛顿第三定律得悬线对人有一个斜向右上的力，故在此过程中台秤的示数会小于Mg，故B错误；
小球在a、b、c三个位置时，人竖直方向仅受重力和台秤的支持力，且二力平衡，故台秤的示数相同，C正确；
人没有运动，不会有超重或失重状态，故D错误。
8.(2026·四川成都外国语学校模拟)圆周运动是生活中常见的一种运动。如图甲所示，一个小朋友坐在圆盘上随圆盘一起在水平面内做匀速圆周运动；如图乙所示，将小球拴在细绳一端，用手握住绳的另一端，使小球以O点为圆心在竖直面内做完整的圆周运动。已知小球的质量为m，细绳的长度为L，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.图甲小朋友所受摩擦力的方向沿轨迹的切线方向
B.图甲中，当小朋友的位置离圆心较近时，小朋友容易相对圆盘滑动
C.图乙小球可能在竖直面内做匀速圆周运动
D.图乙小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒定
答案　D
解析　题图甲小朋友做圆周运动，摩擦力提供向心力，因此所受摩擦力的方向指向圆心，A错误；
根据Ff=mrω2可知，当小朋友的位置离圆心较远时，小朋友相同转速下受的静摩擦力较大，则容易相对圆盘滑动，B错误；小球在竖直面内做圆周运动时，由于重力做功，速度大小不断变化，则不可能做匀速圆周运动，C错误；小球在最低点和最高点时，由机械能守恒定律可知，速度关系满足m+mg·2L=m，由牛顿第二定律可知，最高点时细绳的拉力满足F高+mg=m，最低点时细绳的拉力满足F低-mg=m，可得细绳对小球的拉力大小之差F低-F高=6mg，即小球在最低点和最高点时，细绳对小球的拉力大小之差恒为6mg，D正确。
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·河南省部分学校联考)如图所示，足够长的直角支架aOb固定在竖直平面内，其中细杆Oa粗糙，沿水平方向，细杆Ob光滑，沿竖直方向。质量分别为m和3m的小圆环P和Q分别套在两个细杆上，两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为θ=37°，圆环P与细杆Oa间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，则下列说法正确的是(　　)
A.初始时，轻绳上的拉力大小为5mg
B.解除P锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为mg
C.解除P锁定后瞬间，圆环P的加速度大小为2g
D.解除P锁定后瞬间，圆环Q的加速度大小为g
答案　ABD
解析　初始时以Q为研究对象，根据受力平衡可得FT==5mg，故A正确；设解除锁定瞬间绳子拉力为FT'，以Q为研究对象，根据牛顿第二定律可得3mg-FT'sin θ=3maQ，以P为研究对象，根据牛顿第二定律可得FT'cos θ-Ff=maP，FT'sin θ+mg=FN，Ff=μFN，两球沿绳子方向的加速度相等，则aQsin θ=aPcos θ，联立解得FT'=mg，aP=g，aQ=g，故B、D正确，C错误。
10.(2026·河南郑州市模拟)运动员以一定的初速度水平飞出，在空中运动t0时间后，落在倾角为30°的斜坡上，速度方向恰好沿斜坡向下，又经时间t0到达坡底。若不计摩擦与空气阻力，则整个运动过程中运动员沿水平、竖直方向的分速度vx、vy随运动时间t的变化情况为(　　)
答案　AD
解析　运动员从一定高度处水平飞出后，在第1个t0时间内做平抛运动，其水平方向的分速度不变，竖直方向的分速度vy=gt0，均匀增大、加速度为g，且tan 30°=，可得vx1=gt0，落到斜坡上后，运动员在第2个t0时间内做匀加速直线运动，加速度为a=gsin 30°=g，沿水平方向的分加速度为ax=acos 30°=g，水平方向末速度vx2=gt0+a2t0=gt0，即水平方向上第2个t0时间运动员的速度增大了；第2个t0时间内运动员沿竖直方向的分加速度为ay=asin 30°=g，即第1个t0时间内竖直方向加速度的。故选A、D。
三、非选择题：本题共5小题，共58分。
11.(7分)(2026·浙江嘉兴市检测)用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的特点。
(1)关于实验，下列做法正确的是　　　　　(填选项前的字母)。
A.选择体积小、质量大的小球
B.借助重垂线确定竖直方向
C.先抛出小球，再打开频闪仪
D.水平抛出小球
(2)图甲所示的实验中，A球沿水平方向抛出，同时B球自由落下，借助频闪仪拍摄上述运动过程。图乙为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻A、B两球的竖直高度相同，可判断A球竖直方向做　　　　　　运动。
(3)某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系xOy，并测量出另外两个位置的坐标值(x1，y1)、(x2，y2)，如图丙所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为　　　　　　。
答案　(1)ABD　(2)自由落体　(3)
解析　(1)用频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置，选择体积小质量大的小球可以减小空气阻力的影响，故A正确；
本实验需要借助重垂线确定竖直方向，故B正确；
实验过程先打开频闪仪，再水平抛出小球，故C错误，D正确。
(2)根据任意时刻A、B两球的竖直高度相同，可以判断出A球竖直方向做自由落体运动；
(3)分析可知，小球在x轴方向和y轴方向均做匀变速直线运动，则相邻相等时间内的位移差相等，即Δx=aT2，则x方向有(x2-x1)-x1=axT2，y方向有(y2-y1)-y1=ayT2，重垂线方向与y轴夹角的正切值tan θ=，联立解得tan θ=。
12.(10分)某同学用如图甲所示实验装置测量重力加速度。固定在O点的拉力传感器通过长为L的不可伸长的细绳连接直径为d的小球，在O点的正下方固定一光电门。光电门能记录小球的挡光时间。
(1)先用游标卡尺测小球的直径，如图乙所示，则小球的直径d=　　　　　　 cm。
(2)保持细绳伸直，将小球拉离最低点一定高度后静止释放，小球经过光电门时光电门记录的挡光时间为Δt，此时小球的向心加速度大小为　　　　　　(用L、d、Δt表示)。
(3)只改变小球由静止释放的高度，记录每次小球经过最低点时拉力传感器的示数F与光电门记录的挡光时间Δt，作出图像如图丙所示，则图像的横轴表示的物理量为　　　　　　(选填“Δt”“”或“”)。测得图丙中直线的纵截距为b，斜率为k，则当地的重力加速度大小g=　　　(用L、d、b、k表示)。
(4)下列措施有利于提高重力加速度的测量精度的是　　　　　(多选)。
A.换用质量相同但半径更大的小球
B.换用密度更大的小球
C.适当增大小球静止释放的高度
答案　(1)1.20　(2)
(3)　　(4)BC
解析　(1)根据游标卡尺的读数规律，该读数为12 mm+0.1×0 mm=12.0 mm=1.20 cm
(2)根据光电门测速原理，小球的线速度大小v=
则小球的向心加速度大小a==
(3)设小球质量为m，根据牛顿第二定律，在最低点有F-mg=ma
结合上述解得F=mg+
为了使图像呈现线性关系，则图像横轴表示的物理量为
结合题图丙有mg=b，k=
解得g=
(4)实验中，为了减小光电门测速的误差，应选用体积较小的小球，即换用质量相同但半径更小的小球，故A错误；
为了减小空气阻力的影响，实验中应换用密度更大的小球，故B正确；
适当增大小球静止释放的高度，小球在最低点的速度增大，光电门挡光时间减小，会减小速度测量的误差，故C正确。
13.(11分)(2026·江苏扬州市检测)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离r= m处有一质量m=1 kg、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为θ=37°，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。
(1)当圆盘角速度ω= rad/s时，求物体受到的向心力大小。
(2)当圆盘角速度ω=2 rad/s时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。
答案　(1)0.75 N　(2)
解析　(1)当角速度ω= rad/s时，由牛顿第二定律得Fn=mrω2
代入数据解得Fn=0.75 N
(2)分析可知，当物体转到圆盘的最低点恰好不下滑时，μ有最小值，受力分析如图
由牛顿第二定律有FfQ=μmmgcos θ
FfQ-mgsin θ=mrω2
代入数据解得μm=。
14.(14分)(2026·北京市海淀区一模)如图，一个质量为m=0.6 kg的小球，在左侧平台上运行一段距离后从边缘A点以v0= m/s的速度水平飞出，恰能沿圆弧切线从P点进入竖直固定在地面上的圆弧细管道并继续滑行。已知圆弧半径OP与竖直方向的夹角是θ=37°，平台到地面的高度差为h=1.45 m。取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
(1)小球从A点运动到P点所需的时间t；
(2)P点距地面的高度Δh和圆弧半径R；
(3)若通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小为9 N，求小球经过Q点时的速度v的大小。
答案　(1)0.5 s　(2)0.2 m　1 m　(3)5 m/s
解析　(1)对P点的速度矢量分解可得tan 37°==
解得t== s=0.5 s
(2)竖直方向小球做自由落体运动，则A、P两点的高度差为h1=gt2=×10×0.52 m=1.25 m
由几何关系得，P点高度为Δh=h-h1=1.45 m-1.25 m=0.2 m
由几何关系得cos 37°=
代入数据得R=1 m
(3)通过最高点Q点时小球对管上壁的压力大小为9 N，由牛顿第三定律得，在最高点Q点时管上壁对小球的作用力大小为9 N，则在Q点由牛顿第二定律可得FN+mg=
代入数据得v== m/s=5 m/s。
15.(16分)(2026·山西晋中市部分学校检测)跳台滑雪是最具观赏性的冰雪运动项目之一，图甲所示的跳台滑雪比赛场地可简化为图乙所示的雪道示意图。运动员从助滑道的起点由静止开始下滑，到达起跳点O时，借助设备和技巧，从倾角α=30°的斜面顶端O点以v0=20 m/s的初速度飞出，初速度方向与斜面的夹角θ=60°，图中虚线为运动员在空中的运动轨迹，A为轨迹的最高点，B为轨迹上离斜面最远的点，C为过B点作竖直线与斜面的交点。不计空气阻力，运动员可视为质点，重力加速度大小g取10 m/s2。求：
(1)运动员从O点运动到A点的时间；
(2)O、C两点间的距离。
答案　(1)1 s　(2)40 m
解析　(1)A为轨迹的最高点，则运动员在A点速度方向水平向右，设从O运动到A时间为t1，根据斜抛运动规律，在竖直方向上，有v0sin (θ-α)=gt1
代入数据解得t1=1 s
(2)将v0沿斜面向下和垂直斜面向上分解，如图所示
垂直斜面方向向上的速度为v1=v0sin θ
垂直斜面方向向下的加速度为a1=gcos α
沿斜面向下的速度为v2=v0cos θ
沿斜面向下的加速度为a2=gsin α
运动员从O运动到B点的时间t2=
解得t2=2.0 s
此时垂直斜面方向向上的位移y=t2
沿斜面方向向下的位移x=v2t2+a2
O、C两点间的距离为Δx=x+ytan α
代入数据解得Δx=40 m。

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