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单元检测五　万有引力与宇宙航行
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列关于万有引力定律以及天体运行的说法中，正确的是(　　)
A.伽利略通过理想斜面实验发现一切物体间都存在引力
B.卡文迪什通过扭秤实验发现万有引力与物体间的距离成反比
C.太阳系里的行星轨道半长轴越长，绕太阳运行的周期越长
D.在万有引力作用下，所有天体都做匀速圆周运动
2.(2026·天津市二模)2025年我国已经完成了1500颗卫星的组网，北斗系统升级完成，性能实现了质的飞跃。关于地球静止轨道卫星(同步卫星)，下列说法正确的是(　　)
A.入轨后可以位于北京正上方
B.入轨后的速度大于第一宇宙速度
C.发射速度大于第二宇宙速度
D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
3.由万有引力定律可知，任何两个物体之间都存在相互作用的引力。若我国发射的“天问一号”火星探测器绕火星做半径为R的匀速圆周运动的周期为T。忽略火星的自转，当“天问一号”登陆火星后，在距火星表面h高度处由静止释放一个小球，小球到达火星表面时的速度大小为v，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.火星的质量为
B.火星的质量为
C.火星的半径为
D.火星的半径为
4.(2026·安徽芜湖市二模)2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球(不计地面上的空气阻力)，小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为(　　)
A.6∶1 B.1∶6 C.2∶3 D.3∶2
5.(2025·贵州黔南州三模)2025年3月10日01时17分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十五号发射升空，卫星首先顺利进入预定轨道Ⅰ，然后经过变轨后顺利进入预定轨道Ⅱ。图中A、B分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，卫星变轨前后质量视为不变。下列说法正确的是(　　)
A.卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能
B.卫星在A点的线速度等于第一宇宙速度
C.卫星在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期
D.卫星在轨道Ⅰ上B点的加速度大于在轨道Ⅱ上B点的加速度
6.(2026·浙江温州市三模)“食双星”是特殊的双星系统，由两颗亮度不同的恒星组成，它们在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡，造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化，如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为r1和r2(r1和r2远小于该双星系统到观测者的距离)。下列说法正确的是(　　)
A.t2时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B.较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为
C.两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为(t2-t1)
D.较亮的恒星线速度与较暗的恒星线速度之比为
7.(2026·山东枣庄市检测)2024年10月30日，“神舟十九号”航天员乘组顺利进驻中国空间站。假设“神舟十九号”飞船升空后先进入停泊轨道(即近地圆轨道)，而后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与空间站组合体对接。各个轨道的示意图如图所示，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船在停泊轨道的运行周期为T，中国空间站轨道可视为圆形轨道且距地面高度为h，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.飞船在P点从停泊轨道进入转移轨道时需要减速
B.空间站组合体的向心加速度大小为()2g
C.可估得地球的平均密度为
D.飞船在转移轨道上从P点运行至Q点所需的时间为T
8.(2026·山西长治市联考)宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三颗星体在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为
B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小变为原来的2倍
二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·安徽省模拟)截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是(　　)
A.绕地球运转的所有卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积均相等
B.卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为
C.根据已知条件，可估算地球的密度为
D.根据已知条件，可估算地球的质量为
10.(2026·湖南岳阳市二模)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b与地球的位置关系如图所示，O为地心。已知卫星a、b相对地球的张角分别为θa、θb(θb图中未标出)，卫星b到O的距离是地球半径的n1倍，a到O的距离是地球半径的n2倍，卫星a、b的角速度分别为ωa、ωb，且绕地球同向运行。在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通讯的盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略。下列分析正确的是(　　)
A.a、b受到地球的万有引力大小一定不相等
B.a、b的周期之比为
C.a、b每次信号中断的时间间隔为
D.a、b每次信号中断的时间间隔为
11.(2026·福建泉州市检测)我国计划完成下一代北斗系统关键技术攻关，形成由地球同步卫星和中轨道卫星组成的星座体系。如图甲所示，同步卫星a和中轨道卫星b在同一平面内环绕地球同向做匀速圆周运动。两卫星之间距离d随时间t变化关系如图乙所示。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑卫星间的作用力，下列说法正确的是(　　)
A.a与b的轨道半径之比为2∶1
B.a与b的线速度之比为1∶2
C.图乙中t0的值为 h
D.b卫星所在处的重力加速度大小为
12.卫星绕某行星做匀速圆周运动的加速度大小为a，卫星的轨道半径为r，a-的关系图像如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，该行星的自转周期为T0，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.行星的质量为
B.行星的半径为
C.行星的第一宇宙速度为
D.该行星同步卫星的轨道半径为
三、非选择题：本题共3小题，共36分。
13.(10分)(2026·湖北黄冈市一模)2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探月卫星在空中的运动可简化为如图所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道。已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R和R1，地球半径为r，月球半径为r1，地球表面的重力加速度为g，月球表面的重力加速度为地球表面的重力加速度的。求：
(1)卫星在停泊轨道上运行的速度大小；
(2)卫星在工作轨道上运行的周期。
14.(11分)(2026·河北省模拟)“北斗”卫星导航系统是我国自主研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统。假设系统中有在同一轨道平面上同向运行的两颗地球卫星P、Q，其对地张角分别为α、θ，其中α>θ，如图所示。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：
(1)卫星P运行的线速度；
(2)两颗卫星相邻两次距离最近的时间间隔。
15.(15分)(2026·北京市海淀区二模)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图甲所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。
(1)设星系P到O点的距离为r0时，宇宙的密度为ρ0。
①求此时星系P受到的引力大小F0。
②请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小F引随距离r变化的关系式。
(2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度(单位体积内所含的能量)，且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为ρ1的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为G'。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小F斥随距离r变化的关系式。
(3)根据(1)(2)中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。
①以星系P受到斥力的方向为正方向，在图乙中定性画出合力F随距离r变化的图线。
②若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。
单元检测五　万有引力与宇宙航行
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·辽宁省部分重点中学协作体模拟)下列关于万有引力定律以及天体运行的说法中，正确的是(　　)
A.伽利略通过理想斜面实验发现一切物体间都存在引力
B.卡文迪什通过扭秤实验发现万有引力与物体间的距离成反比
C.太阳系里的行星轨道半长轴越长，绕太阳运行的周期越长
D.在万有引力作用下，所有天体都做匀速圆周运动
答案　C
解析　牛顿用“月—地检验”证实了万有引力定律的正确性，即一切物体间都存在引力，故A错误；卡文迪什通过扭秤实验测得引力常量，牛顿发现万有引力与物体间的距离平方成反比，故B错误；根据开普勒第三定律可知，太阳系里的行星轨道半长轴越长，绕太阳运行的周期越长，故C正确；在万有引力作用下，所有行星绕太阳的运动轨道均为椭圆轨道，并不是做匀速圆周运动，故D错误。
2.(2026·天津市二模)2025年我国已经完成了1500颗卫星的组网，北斗系统升级完成，性能实现了质的飞跃。关于地球静止轨道卫星(同步卫星)，下列说法正确的是(　　)
A.入轨后可以位于北京正上方
B.入轨后的速度大于第一宇宙速度
C.发射速度大于第二宇宙速度
D.若发射到近地圆轨道所需能量较少
答案　D
解析　同步卫星只能位于赤道正上方，所以入轨后不可以位于北京正上方，故A错误；第一宇宙速度是最大的环绕速度，所以同步卫星入轨后的速度小于第一宇宙速度，故B错误；同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故C错误；若发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较小，故D正确。
3.由万有引力定律可知，任何两个物体之间都存在相互作用的引力。若我国发射的“天问一号”火星探测器绕火星做半径为R的匀速圆周运动的周期为T。忽略火星的自转，当“天问一号”登陆火星后，在距火星表面h高度处由静止释放一个小球，小球到达火星表面时的速度大小为v，已知引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.火星的质量为
B.火星的质量为
C.火星的半径为
D.火星的半径为
答案　C
解析　根据万有引力提供向心力有G=mR，所以M=，故A、B错误；
小球下落过程有h=，G=m'g火，联立解得R火=，故C正确，D错误。
4.(2026·安徽芜湖市二模)2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球(不计地面上的空气阻力)，小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为(　　)
A.6∶1 B.1∶6 C.2∶3 D.3∶2
答案　D
解析　根据h=，可得==，根据G=mg，ρ==，可得=·=，故选D。
5.(2025·贵州黔南州三模)2025年3月10日01时17分，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将通信技术试验卫星十五号发射升空，卫星首先顺利进入预定轨道Ⅰ，然后经过变轨后顺利进入预定轨道Ⅱ。图中A、B分别为椭圆轨道Ⅰ的近地点和远地点，卫星变轨前后质量视为不变。下列说法正确的是(　　)
A.卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于在轨道Ⅱ上的机械能
B.卫星在A点的线速度等于第一宇宙速度
C.卫星在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期
D.卫星在轨道Ⅰ上B点的加速度大于在轨道Ⅱ上B点的加速度
答案　A
解析　卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，需要在B点点火加速，变轨时卫星的机械能增加，所以卫星在轨道Ⅰ上的机械能小于卫星在轨道Ⅱ上的机械能，故A正确；假设卫星在A点绕地球做匀速圆周运动，则此时卫星的线速度等于第一宇宙速度，而卫星从A点的圆轨道变轨到椭圆轨道Ⅰ，需要在A点点火加速，所以卫星在椭圆轨道Ⅰ上A点的线速度大于第一宇宙速度，故B错误；根据开普勒第三定律可得=，由于卫星在轨道Ⅰ上的半长轴小于在轨道Ⅱ上的半径，所以卫星在轨道Ⅰ上的运行周期小于在轨道Ⅱ上的运行周期，故C错误；根据牛顿第二定律可得=ma，解得a=，可知卫星在轨道Ⅰ上B点的加速度等于在轨道Ⅱ上B点的加速度，故D错误。
6.(2026·浙江温州市三模)“食双星”是特殊的双星系统，由两颗亮度不同的恒星组成，它们在相互引力作用下绕连线上某点做匀速圆周运动，且轨道平面与观测者视线方向几乎平行。由于两颗恒星相互遮挡，造成观测者观察到双星的亮度L发生周期性变化，如图所示。若较亮的恒星和较暗的恒星轨道半径分别为r1和r2(r1和r2远小于该双星系统到观测者的距离)。下列说法正确的是(　　)
A.t2时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星
B.较亮的恒星与较暗的恒星质量之比为
C.两颗恒星做匀速圆周运动的周期均为(t2-t1)
D.较亮的恒星线速度与较暗的恒星线速度之比为
答案　B
解析　由题意可知，t1时刻，较亮的恒星遮挡住较暗的恒星，t2时刻较暗的恒星遮挡住较亮的恒星，即t1~t2时间里，转了半个周期，故周期为T=2(t2-t1)，故A、C错误；设较亮的恒星和较暗的恒星的质量分别为m1和m2，均由彼此间的万有引力提供向心力，故两颗恒星的向心力大小相等，有G=m1ω2r1=m2ω2r2，解得=，故B正确；设较亮的恒星和较暗的恒星的线速度分别为v1和v2，根据v=rω，因为角速度相等，解得==，故D错误。
7.(2026·山东枣庄市检测)2024年10月30日，“神舟十九号”航天员乘组顺利进驻中国空间站。假设“神舟十九号”飞船升空后先进入停泊轨道(即近地圆轨道)，而后进入转移轨道，最后在中国空间站轨道与空间站组合体对接。各个轨道的示意图如图所示，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，飞船在停泊轨道的运行周期为T，中国空间站轨道可视为圆形轨道且距地面高度为h，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.飞船在P点从停泊轨道进入转移轨道时需要减速
B.空间站组合体的向心加速度大小为()2g
C.可估得地球的平均密度为
D.飞船在转移轨道上从P点运行至Q点所需的时间为T
答案　C
解析　飞船从低轨道(停泊轨道)进入高轨道(转移轨道)，需要做离心运动，根据离心运动条件，需要加速使所需向心力大于万有引力，而不是减速，故A错误；空间站组合体的向心加速度大小a=，因为GM=gR2，联立解得a=g，故B错误；在停泊轨道有=mR，解得地球质量M=，地球密度ρ=，联立解得ρ=，故C正确；根据开普勒第三定律有=，飞船在转移轨道上从P点运行至Q点所需的时间为t=，联立解得t=，故D错误。
8.(2026·山西长治市联考)宇宙空间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L。忽略其他星体对它们的引力作用，三颗星体在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为
B.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小变为原来的2倍
答案　C
解析　任意两颗星之间的万有引力F=G，每一颗星受到的合力为F1=F，由几何关系知它们的轨道半径为r=L，合力提供向心力，则有=m，联立解得v=，故A错误；根据=ma，得a=，故加速度与质量有关，故B错误；根据=m，解得T=π，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C正确；根据v=可知，若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍，则线速度大小不变，故D错误。
二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·安徽省模拟)截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是(　　)
A.绕地球运转的所有卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积均相等
B.卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为
C.根据已知条件，可估算地球的密度为
D.根据已知条件，可估算地球的质量为
答案　BD
解析　根据开普勒第二定律可知，绕地球运转的同一卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积相等，故A错误；由加速度an=得，加速度与卫星到地心的距离平方成反比，则卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为，故B正确；假设近地卫星周期为T1，地球半径为R，对近地卫星满足G=mR，可得地球密度ρ==，但此卫星不是近地卫星，故C错误；根据开普勒第三定律可知=，且有M=，可得M=，故D正确。
10.(2026·湖南岳阳市二模)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b与地球的位置关系如图所示，O为地心。已知卫星a、b相对地球的张角分别为θa、θb(θb图中未标出)，卫星b到O的距离是地球半径的n1倍，a到O的距离是地球半径的n2倍，卫星a、b的角速度分别为ωa、ωb，且绕地球同向运行。在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通讯的盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略。下列分析正确的是(　　)
A.a、b受到地球的万有引力大小一定不相等
B.a、b的周期之比为
C.a、b每次信号中断的时间间隔为
D.a、b每次信号中断的时间间隔为
答案　BD
解析　由F=知，a、b的轨道半径虽不同，但它们质量也不同，因此受到地球的万有引力大小可能相等，故A错误；由开普勒第三定律得=，得a、b的周期之比为=，故B正确；以a为参考，b的角速度为ωb-ωa，b在通讯盲区对应的角度为θb+θa，所以a、b每次信号中断的时间间隔为Δt=，故C错误，D正确。
11.(2026·福建泉州市检测)我国计划完成下一代北斗系统关键技术攻关，形成由地球同步卫星和中轨道卫星组成的星座体系。如图甲所示，同步卫星a和中轨道卫星b在同一平面内环绕地球同向做匀速圆周运动。两卫星之间距离d随时间t变化关系如图乙所示。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑卫星间的作用力，下列说法正确的是(　　)
A.a与b的轨道半径之比为2∶1
B.a与b的线速度之比为1∶2
C.图乙中t0的值为 h
D.b卫星所在处的重力加速度大小为
答案　BC
解析　由题图乙可以知道a、b两卫星的最近距离为4.95R，最远距离为8.25R，设a、b的轨道半径为ra、rb，则两者关系满足ra+rb=8.25R，ra-rb=4.95R，解得ra=6.6R，rb=1.65R，故ra∶rb=4∶1，故A错误；由万有引力提供向心力得=m，解得v=，联立轨道半径比例关系可得va∶vb=1∶2，故B正确；由开普勒第三定律得=，得=，根据圆周运动关系可得(-)t0=2π，代入Ta=24 h，解得t0= h，故C正确；在地球表面有=mg，b卫星所在处的重力加速度满足=mg'，故g'=，故D错误。
12.卫星绕某行星做匀速圆周运动的加速度大小为a，卫星的轨道半径为r，a-的关系图像如图所示，图中b为图线纵坐标的最大值，图线的斜率为k，该行星的自转周期为T0，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A.行星的质量为
B.行星的半径为
C.行星的第一宇宙速度为
D.该行星同步卫星的轨道半径为
答案　AD
解析　卫星绕行星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有=ma，得a=GM·，a-图线斜率为k=GM，则行星的质量为M=，故A正确；卫星运动的加速度最大时，即卫星运行轨道半径约等于行星半径时，则有b=GM·，解得R==，故B错误；行星的第一宇宙速度为v1====，故C错误；由=mr，得r==，故D正确。
三、非选择题：本题共3小题，共36分。
13.(10分)(2026·湖北黄冈市一模)2024年6月25日，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回。“嫦娥六号”探月卫星在空中的运动可简化为如图所示的过程，卫星由地面发射后，经过发射轨道进入停泊轨道，在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，再次调速后进入工作轨道。已知卫星在停泊轨道和工作轨道运行的半径分别为R和R1，地球半径为r，月球半径为r1，地球表面的重力加速度为g，月球表面的重力加速度为地球表面的重力加速度的。求：
(1)卫星在停泊轨道上运行的速度大小；
(2)卫星在工作轨道上运行的周期。
答案　(1)r　(2)
解析　(1)设卫星的质量为m，该卫星在停泊轨道上运行的线速度为v，地球的质量为M，处于地球表面的某一物体的质量为m'，卫星做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，有=m
且有=m'g
联立解得v=r
(2)设卫星在工作轨道上运行的周期为T，月球的质量为M1，处于月球表面的某一物体质量为m″，则有=mR1
且有=m″·
联立解得T=。
14.(11分)(2026·河北省模拟)“北斗”卫星导航系统是我国自主研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统。假设系统中有在同一轨道平面上同向运行的两颗地球卫星P、Q，其对地张角分别为α、θ，其中α>θ，如图所示。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g。求：
(1)卫星P运行的线速度；
(2)两颗卫星相邻两次距离最近的时间间隔。
答案　(1)
(2)
解析　(1)在地球表面有G=mg
根据几何关系可知，P的轨道半径为rP=
卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G=m
解得v=
(2)Q的轨道半径为rQ=
卫星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有G=m，G=m
解得TQ=2π，TP=2π
设两卫星相邻两次距离最近对应时间为t，则有t-t=2π
解得t=。
15.(15分)(2026·北京市海淀区二模)科学家根据天文观测提出宇宙膨胀模型：在宇宙大尺度上，所有的宇宙物质在做彼此远离运动，且质量始终均匀分布，在宇宙中所有位置观测的结果都一样。如图甲所示，以某一点O为观测点，以质量为m的星系P为观测对象，以P到O点的距离r为半径建立球面。已知星系P受到的万有引力相当于球内质量集中于O点对P的引力，质量均匀分布的球壳对壳内质点万有引力的合力为零，引力常量为G。
(1)设星系P到O点的距离为r0时，宇宙的密度为ρ0。
①求此时星系P受到的引力大小F0。
②请推导宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小F引随距离r变化的关系式。
(2)根据最新天文观测，科学家推测星系不仅受引力作用，而且受到斥力影响，斥力作用来源于“暗能量”。我们将其简化如下：科学家所说的“暗能量”是一种均匀分布在整个宇宙空间中的能量，它具有恒定的能量密度(单位体积内所含的能量)，且不随宇宙的膨胀而变化，暗能量会产生等效的“排斥力”。某同学对此“排斥力”做了如下猜想：其作用效果可视为球面内某种密度均匀且恒为ρ1的“未知物质”产生与万有引力方向相反的排斥力，排斥力的大小与万有引力大小的规律相似，“排斥力常量”为G'。请基于上述简化模型和猜想，推导宇宙膨胀过程星系P受到的斥力大小F斥随距离r变化的关系式。
(3)根据(1)(2)中的简化模型和猜想，星系P同时受到引力与斥力的作用。
①以星系P受到斥力的方向为正方向，在图乙中定性画出合力F随距离r变化的图线。
②若某时测得星系P在做远离O点的加速度减小的减速运动，推测此后P可能的运动情况。
答案　(1)①Gρ0πmr0
②F引=Gρ0πm·
(2)F斥=G'ρ1πmr
(3)见解析
解析　(1)①由题可知，球体内包含的质量大小为M=ρ0π
根据万有引力定律可得，星系P受到引力的大小为F0==Gρ0πmr0
②宇宙膨胀过程中星系P受到的引力大小F引=
结合M=ρ0π
解得F引随距离r变化的关系式F引=Gρ0πm·
(2)当P到O的距离为r时，球体内包含的“未知物质”的质量为M'=ρ1πr3
星系P受到的斥力为F斥==G'ρ1πmr
(3)①根据上述分析可知，F引∝，F斥∝r
故其大致图像如图
②结合F-r图像可知，此后P的运动情况可能为：P做远离O点的加速度增加的加速运动；P做靠近O点的加速度增加的加速运动；P处于静止状态。

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