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单元检测九　静电场
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考二模)静电现象在自然界普遍存在，在生产生活中也时常会发生静电现象。人们可让静电服务于生产生活，但也需对其进行防护，做到趋利避害。下列关于静电现象的说法正确的是(　　)
A.静电除尘的原理是静电屏蔽
B.避雷针利用了带电导体凸起尖锐的地方电荷稀疏、附近空间电场较弱的特点
C.为了安全，加油站工作人员工作时间须穿绝缘性能良好的化纤服装
D.印刷车间的空气应保证适当潮湿，以便导走纸页间相互摩擦产生的静电
2.(2026·河北沧州市二模)将一不带电的金属球放置在电场中，其周围电场线(未画方向)如图所示，一带负电的粒子在电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b为轨迹上两点，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)
A.金属球内部电场强度处处相等且不为0
B.金属球左半部分一定带正电
C.a点电势一定高于b点电势
D.该粒子在a点的电势能一定大于其在b点的电势能
3.(2026·江苏宿迁市三模)如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个完全相同带正电的小球A、B、C，通过不可伸长的绝缘细线a、b、c连接成正三角形，小球均处于静止状态，细线被拉直。剪断细线a，小球开始运动。则(　　)
A.剪断a前，a中张力大于B、C间的库仑力
B.剪断a瞬间，细线b、c中张力均变大
C.三个球运动至一直线时，整个系统电势能最大
D.球A经过B、C初始位置连线中点时的速度最大
4.(2026·山东菏泽市二模)均匀带正电半球壳在球心O处的电场强度大小为E0，现截去左边一小部分，截取面与底面的夹角为θ，剩余部分在球心O处的电场强度大小为(　　)
A.E0sin B.E0cos
C.E0 D.E0
5.(2026·上海市建平中学期中)在现代高科技的芯片制造工厂里，有一项重要的工艺涉及对微小带电液滴的精确控制。工程师们需要将极其微小的液滴(这些液滴带有特定的电荷)精确地传输到芯片的特定位置进行加工处理。其原理如图所示，水平放置的两块平行金属板a、b组成的电容器的电容为C，a、b板间距为d。开始时，两板均不带电，上极板接地。上板中央有一小孔，现使带电荷量为q、质量为m的液滴逐个从小孔处以相同速度v垂直射向b板，且将电荷全部传给b板，忽略液滴体积和空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.极板间的电场强度不变
B.极板间的静电力对液滴做正功
C.射向b板的某一液滴可能会匀速运动
D.电容器的电容随极板上的电荷量增加而变大
6.(2026·西南名校联盟“3+3+3”联考)如图甲所示的光滑水平面上，一质量为m，电量为q的带正电小球(可视为质点)从x=-1 m处以初速度v0沿x轴正方向运动，整个运动区域存在沿水平方向的电场，电势φ随位置x变化规律如图乙所示，该图像为抛物线，下列说法正确的是(　　)
A.小球先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动
B.小球能运动到x=1 m的位置
C.在x=0处，小球的速度达到最小
D.小球的电势能在x=-1 m处最大
7.(2026·辽宁大连市检测)某同学将密立根油滴实验简化为如图所示的装置，在真空环境下带电油滴从喷雾器的喷嘴喷出，落到平行板电容器两极板间，调节两极板间的电压U，恰使某个油滴悬浮在P点。现保持两极板间的电压U不变，已知油滴质量为m，两板间距为d，重力加速度大小为g，电容器的下极板接地。下列说法正确的是(　　)
A.油滴带负电，电荷量为q=
B.若只增大两极板间距d，该油滴将向上加速运动
C.若只将正极板下移一小段距离，油滴的电势能减小
D.若只将负极板下移一小段距离，P处的电势降低
8.(2026·重庆市育才中学模拟)如图所示，长度均为L的两平行金属板沿水平方向放置，两极板的间距为d=L。两极板带有等量异种电荷，其中上极板带正电。带电粒子1由左侧正中央沿平行于极板的速度v1射入电场，同时另一完全相同的粒子2，由上极板的正中央以垂直于极板的速度v2射入电场，经过一段时间两粒子同时到达下极板正中央的O点。粒子的质量为m，电荷量为+q，两极板之间的电压恒为U，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，两极板之间的电场可看作匀强电场。下列说法正确的是(　　)
A.粒子1到达O点时的速度大小v=
B.粒子2射入电场时的速度大小v2=
C.若将粒子1射入电场时的速度大小变为2v1，两粒子将在O点上方相遇
D.若将粒子1射入电场时的速度大小变为2v1，两粒子仍可同时到边O点
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·河北沧州市二模)如图所示，在边长为d的正六边形的三个顶点M、N、P分别固定电荷量为+2Q、-Q、-Q(Q>0)的三个点电荷，O点为正六边形的中心。规定无穷远处电势为零，则下列说法正确的是(　　)
A.O点的电势为零
B.X、Y、Z三点的电势高低关系是φY>φZ>φX
C.P、N连线中点的电场强度大小为
D.带正电的试探电荷沿XY从X点移到Y点过程中，电势能先增大后减小
10.(2026·河北石家庄市三模)如图所示，在倾角为θ的固定绝缘斜面上，质量分别为m1和m2的两个物块P和Q用与斜面平行的绝缘轻质弹簧相连接，弹簧劲度系数为k，带电物块P下表面光滑，不带电物块Q下表面粗糙，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。初始时物块P和Q静止在斜面上，物块Q恰好不下滑。现在该空间加上沿斜面向上的匀强电场，物块P开始沿斜面向上运动，运动到最高点A时，物块Q恰好不上滑。下列说法正确的是(　　)
A.物块P从开始到运动到A点，运动的位移大小为
B.物块P从开始到运动到A点，运动的位移大小为
C.物块P所受的静电力大小为2(m1+m2)gsin θ
D.若仅将电场强度变为原来的2倍，物块P运动到A点时的速度大小为
三、非选择题：本题共5小题，共58分。
11.(6分)(2026·四川德阳市检测)如图甲所示的实验装置，定性探究电荷间相互作用力与电荷量、电荷之间的距离的关系。
(1)该实验用到的研究方法是　　　　　。
A.理想实验法 B.等效替代法
C.微小量放大法 D.控制变量法
(2)如图乙所示，当小球B静止时，A、B两球球心恰好在同一水平面上，细线与竖直方向的夹角为θ，若小球B的质量为m，重力加速度为g，则库仑力大小F=　　　　。
(3)如图乙所示，接着该同学在竖直平面内缓慢移动小球A的位置，保持A、B两球球心的连线与连接B球的细线所成的夹角不变，在细线偏离竖直方向的角度θ增大到90°的过程中，A、B两球间的距离　 　(选填“增大”“减小”“先增大再减小”或“先减小再增大”)。
12.(10分)(2026·安徽省皖南八校联考)在“用传感器观察电容器的充、放电过程”实验中，按图甲所示连接电路。电源电动势为8.0 V，内阻可以忽略。单刀双掷开关S先跟2相接，某时刻开关改接1，一段时间后，把开关再改接2，实验中使用了电流传感器来采集电流随时间的变化情况。
(1)开关S改接2后，电容器进行的是　　　　(选填“充电”或“放电”)过程。此过程得到的I-t图像如图乙所示，图中用阴影标记的狭长矩形的面积的物理意义是　　　　。
如果不改变电路其他参数，只增大电阻R的阻值，则此过程的I-t曲线与坐标轴所围成的面积将　　　　(选填“减小”“不变”或“增大”)。
(2)若实验中测得该电容器在整个放电过程中释放的电荷量Q=3.44×10-3 C，则该电容器的电容为　 μF。
(3)关于电容器在整个充、放电过程中的q-t图像和UAB-t图像的大致形状，可能正确的有　　　　　(q为电容器极板所带的电荷量，UAB为A、B两板的电势差)。
13.(12分)(2026·湖北武汉市模拟)如图所示，竖直面内有一长为1.2l、宽为0.8l的长方形ABCD，M、N分别为AD与BC的中点。四个电荷量均为Q(Q未知)的点电荷位于长方形的四个顶点，A、D处点电荷带正电，B、C处点电荷带负电。一个质量为m、电荷量为+q(可视为点电荷)的带电小球从M处由静止释放，小球运动到MN中点O处时速度大小为。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，求：
(1)M、O两点间的电势差UMO；
(2)小球到达N点时的速度大小vN；
(3)已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为φ=，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和，求Q的值。
14.(14分)(2026·陕西宝鸡市三模)竖直平面内存在一方向未知的匀强电场，在t=0时刻将一个质量为m=1 kg、电荷量为q=+1 C的小球，从A点以速度v0=4 m/s水平向右抛出，经过一段时间后，小球以速度v=7 m/s竖直向下经过B点。已知A、B两点之间的高度差为h=3.5 m，水平距离为x=2.0 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)AB两点间的电势差UAB；
(2)匀强电场电场强度E的大小和方向。
15.(16分)(2026·北京市朝阳区一模)液体雾化具有广泛的应用，其本质是将液体破碎为微小液滴的过程。
(1)液滴的滴落可看作雾化的最基本形态。以吸附在竖直滴管末端的液体为例，如图甲所示，当液体所受重力超过管口处的表面张力(可认为方向向上)时，将脱离管口形成液滴。已知管口的直径为d，液体表面张力F=αl，α为表面张力系数，l为液面分界线长度。
①请推导表面张力系数α的单位；
②若液滴的直径为D，请分析论证D3∝α。
(2)静电雾化是利用静电力使液体雾化的技术，可以产生微米级甚至纳米级的液滴。如图乙所示，将高压直流电源正极浸到毛细管内液体中，使液体带电。液体从毛细管中流出时，由于电荷间的排斥作用散裂成液滴，最终形成喷雾。当管口处单位时间内流出的液体体积为Q时，电流表的示数为I。假设在喷雾区的所有液滴的半径均为r，液滴所带电荷量相同且均匀分布在液滴表面，已知静电力常量为k，忽略重力影响，忽略喷雾区液滴间的相互作用。
①求液滴所带电荷量q；
②对于任意一个液滴，取液滴上某一微小面元，其面积用S表示，此面元受到该液滴上其他电荷的静电力大小用F表示，求。(已知均匀带电球面内电场强度处处为零，球面外电场强度可视为球面电荷量集中在球心处的点电荷所产生。)
单元检测九　静电场
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考二模)静电现象在自然界普遍存在，在生产生活中也时常会发生静电现象。人们可让静电服务于生产生活，但也需对其进行防护，做到趋利避害。下列关于静电现象的说法正确的是(　　)
A.静电除尘的原理是静电屏蔽
B.避雷针利用了带电导体凸起尖锐的地方电荷稀疏、附近空间电场较弱的特点
C.为了安全，加油站工作人员工作时间须穿绝缘性能良好的化纤服装
D.印刷车间的空气应保证适当潮湿，以便导走纸页间相互摩擦产生的静电
答案　D
解析　静电除尘的原理是静电吸附，故A错误；避雷针利用了带电导体凸起尖锐的地方电荷密集、附近空间电场较强的特点，故B错误；化纤服装容易摩擦起电，在加油站这种易燃易爆环境中，产生的静电可能引发危险，所以加油站工作人员不应穿绝缘性能良好的化纤服装，而应穿不易产生静电的服装，故C错误；印刷车间中，纸张间摩擦产生大量静电，需空气保持一定湿度，以便及时导走静电，故D正确。
2.(2026·河北沧州市二模)将一不带电的金属球放置在电场中，其周围电场线(未画方向)如图所示，一带负电的粒子在电场中运动的轨迹如虚线所示，a、b为轨迹上两点，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)
A.金属球内部电场强度处处相等且不为0
B.金属球左半部分一定带正电
C.a点电势一定高于b点电势
D.该粒子在a点的电势能一定大于其在b点的电势能
答案　D
解析　金属球处于静电平衡状态，内部电场强度处处为0，故A错误；根据带负电粒子的运动轨迹可知，粒子受静电力指向轨迹凹侧，即指向金属球右半部分，则金属球右半部分一定带正电，金属球整体呈电中性，故左半部分一定带负电，故B错误；金属球右半部分带正电，电场方向是从左向右，则b点电势高于a点电势，故C错误；因负电荷在电势低处电势能大，故该粒子在a点的电势能一定大于其在b点的电势能，故D正确。
3.(2026·江苏宿迁市三模)如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个完全相同带正电的小球A、B、C，通过不可伸长的绝缘细线a、b、c连接成正三角形，小球均处于静止状态，细线被拉直。剪断细线a，小球开始运动。则(　　)
A.剪断a前，a中张力大于B、C间的库仑力
B.剪断a瞬间，细线b、c中张力均变大
C.三个球运动至一直线时，整个系统电势能最大
D.球A经过B、C初始位置连线中点时的速度最大
答案　B
解析　由受力分析可知，剪断a前，a中的张力等于B、C间的库仑力，c中的张力等于A、B间的库仑力，A错误；剪断a瞬间，对B分析，受A对B的斥力、C对B的斥力以及细线c的拉力，则此时c的拉力FTc'=FAB+FCBcos 60°>FTc=FAB，同理可知b中张力也变大，即剪断a瞬间，细线b、c中张力均变大，B正确；系统初始时静止，剪断a后开始运动，动能增加，电势能减小，所以电势能最大时是初始静止状态，C错误；当三个小球在同一直线上时，动能最大，电势能最小，但此时B、C小球已经离开了初始位置，D错误。
4.(2026·山东菏泽市二模)均匀带正电半球壳在球心O处的电场强度大小为E0，现截去左边一小部分，截取面与底面的夹角为θ，剩余部分在球心O处的电场强度大小为(　　)
A.E0sin B.E0cos
C.E0 D.E0
答案　B
解析　根据对称性，表面积较小的这部分球壳上的电荷产生的电场在O处的电场强度E一定沿着θ角的角平分线向右下方，同理，表面积较大的部分球壳上的电荷产生的电场在O处的电场强度一定沿着(180°-θ)角的角平分线向左下方，两部分球壳产生的电场在O点处的电场强度一定相互垂直，而均匀带正电的半球壳在O处的电场强度大小为E0，同理可以分析其电场强度方向，画出矢量图，如图所示，则剩余部分在球心O处的电场强度大小为E1=E0cos ，故选B。
5.(2026·上海市建平中学期中)在现代高科技的芯片制造工厂里，有一项重要的工艺涉及对微小带电液滴的精确控制。工程师们需要将极其微小的液滴(这些液滴带有特定的电荷)精确地传输到芯片的特定位置进行加工处理。其原理如图所示，水平放置的两块平行金属板a、b组成的电容器的电容为C，a、b板间距为d。开始时，两板均不带电，上极板接地。上板中央有一小孔，现使带电荷量为q、质量为m的液滴逐个从小孔处以相同速度v垂直射向b板，且将电荷全部传给b板，忽略液滴体积和空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.极板间的电场强度不变
B.极板间的静电力对液滴做正功
C.射向b板的某一液滴可能会匀速运动
D.电容器的电容随极板上的电荷量增加而变大
答案　C
解析　断电时，极板间电场强度E=，由电容的定义式C=以及决定式C=，联立解得E===，极板电荷量增大，极板间的电场强度变大，故A错误；由于下极板电性与液滴的电性相同，液滴受到竖直向上的静电力，所以液滴下落过程中，极板间的静电力对液滴做负功，故B错误；由分析可知，随着下极板吸收的液滴越来越多，两极板间的电场强度越来越大，当液滴在极板间所受的静电力等于液滴的重力时，即mg=Eq时，液滴匀速下落，故C正确；由C=可知，电容器的电容与极板所带电荷量无关，故D错误。
6.(2026·西南名校联盟“3+3+3”联考)如图甲所示的光滑水平面上，一质量为m，电量为q的带正电小球(可视为质点)从x=-1 m处以初速度v0沿x轴正方向运动，整个运动区域存在沿水平方向的电场，电势φ随位置x变化规律如图乙所示，该图像为抛物线，下列说法正确的是(　　)
A.小球先做匀加速直线运动，再做匀减速直线运动
B.小球能运动到x=1 m的位置
C.在x=0处，小球的速度达到最小
D.小球的电势能在x=-1 m处最大
答案　B
解析　由φ-x图像斜率表示电场强度，则电场强度先减小后变大，则小球先做加速度减小的加速运动，再做加速度增大的减速运动，在x=0处，速度达到最大，故A、C错误；由对称性知小球能运动到x=1 m处，且到达x=1 m点时的速度为v0，则将会继续向右运动，电势能增大，即小球的电势能在x=-1 m处不是最大，故B正确，D错误。
7.(2026·辽宁大连市检测)某同学将密立根油滴实验简化为如图所示的装置，在真空环境下带电油滴从喷雾器的喷嘴喷出，落到平行板电容器两极板间，调节两极板间的电压U，恰使某个油滴悬浮在P点。现保持两极板间的电压U不变，已知油滴质量为m，两板间距为d，重力加速度大小为g，电容器的下极板接地。下列说法正确的是(　　)
A.油滴带负电，电荷量为q=
B.若只增大两极板间距d，该油滴将向上加速运动
C.若只将正极板下移一小段距离，油滴的电势能减小
D.若只将负极板下移一小段距离，P处的电势降低
答案　C
解析　根据题图可知，上极板带正电，下极板带负电，电场方向向下，由于油滴悬浮在P点平衡，可知静电力方向向上，静电力方向与电场方向相反，可知油滴带负电，且有mg=q，解得q=，A错误；极板间的电压U不变，根据E=，若只增大两极板间距d，则极板间电场强度减小，静电力小于重力，则该油滴将向下加速运动，B错误；若只将正极板下移一小段距离，即极板间间距减小，根据上述可知，极板间电场强度增大，令P点到下极板间距为dP，油滴电荷量大小为q，P点与下极板电势差为UP=φP-0=φP，根据E===，Ep=-qφP。若只将正极板下移一小段距离，极板之间的间距减小，电场强度增大，P点电势增大，由于油滴带负电，可知，此时油滴的电势能减小，C正确；由于保持两极板间的电压U不变，电容器的下极板接地，即上极板电势大小为U，令上极板与P点的电势差为U上P，上极板与P点的距离为d上P，则有U上P=U-φP=Ed上P则有φP=U-Ed上P，若只将负极板下移一小段距离，极板间间距增大，根据上述可知电场强度减小，可知P处的电势升高，D错误。
8.(2026·重庆市育才中学模拟)如图所示，长度均为L的两平行金属板沿水平方向放置，两极板的间距为d=L。两极板带有等量异种电荷，其中上极板带正电。带电粒子1由左侧正中央沿平行于极板的速度v1射入电场，同时另一完全相同的粒子2，由上极板的正中央以垂直于极板的速度v2射入电场，经过一段时间两粒子同时到达下极板正中央的O点。粒子的质量为m，电荷量为+q，两极板之间的电压恒为U，忽略粒子的重力和粒子间的相互作用，两极板之间的电场可看作匀强电场。下列说法正确的是(　　)
A.粒子1到达O点时的速度大小v=
B.粒子2射入电场时的速度大小v2=
C.若将粒子1射入电场时的速度大小变为2v1，两粒子将在O点上方相遇
D.若将粒子1射入电场时的速度大小变为2v1，两粒子仍可同时到边O点
答案　B
解析　设粒子的运动时间为t，粒子1在电场中做类平抛运动，则有L=v1t，L=at2，粒子2在电场中做匀加速直线运动，则有L=v2t+at2，又a===，联立解得v1=，v2=，粒子1到达O点时的速度大小为v==，故A错误，B正确；若将粒子1射入电场时的速度大小变为2v1，则粒子1到达O点正上方所用时间为t'==，这段时间内粒子1沿电场方向通过的位移大小为y1=at'2=L，这段时间内粒子2沿电场方向通过的位移大小为y2=v2t'+at'2=L，由于y2-y1=L-L=L≠L，可知两粒子不会相遇，故C、D错误。
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·河北沧州市二模)如图所示，在边长为d的正六边形的三个顶点M、N、P分别固定电荷量为+2Q、-Q、-Q(Q>0)的三个点电荷，O点为正六边形的中心。规定无穷远处电势为零，则下列说法正确的是(　　)
A.O点的电势为零
B.X、Y、Z三点的电势高低关系是φY>φZ>φX
C.P、N连线中点的电场强度大小为
D.带正电的试探电荷沿XY从X点移到Y点过程中，电势能先增大后减小
答案　AC
解析　将M处+2Q电荷分成两个+Q的电荷，于是三个电荷+2Q、-Q、-Q可看成两组等量异种电荷，易得O为两个零电势等势面的交点，即φO=0，选项A正确；将M处+2Q电荷分成两个+Q的电荷，X、Y在M、P等量异种电荷的等势面上，在M、N等量异种电荷电场中，X点的电势低于Y点的电势，Y、Z在M、N等量异种电荷的等势面上，在M、P等量异种电荷电场中，Z点电势高于Y点电势，综上所述，φZ>φY>φX，选项B错误；根据余弦定理，M到PN连线中点的距离为s==，P、N的电荷在其连线中点产生的合电场强度大小为0，故PN连线中点的电场强度大小为E==，选项C正确；带正电试探电荷沿XY，从X点移到Y点的过程中，电势一直升高，则电势能一直增大，选项D错误。
10.(2026·河北石家庄市三模)如图所示，在倾角为θ的固定绝缘斜面上，质量分别为m1和m2的两个物块P和Q用与斜面平行的绝缘轻质弹簧相连接，弹簧劲度系数为k，带电物块P下表面光滑，不带电物块Q下表面粗糙，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。初始时物块P和Q静止在斜面上，物块Q恰好不下滑。现在该空间加上沿斜面向上的匀强电场，物块P开始沿斜面向上运动，运动到最高点A时，物块Q恰好不上滑。下列说法正确的是(　　)
A.物块P从开始到运动到A点，运动的位移大小为
B.物块P从开始到运动到A点，运动的位移大小为
C.物块P所受的静电力大小为2(m1+m2)gsin θ
D.若仅将电场强度变为原来的2倍，物块P运动到A点时的速度大小为
答案　BD
解析　设物块Q与斜面的最大静摩擦力大小为Ff，没有加电场时，设弹簧的压缩量为x1，弹簧弹力大小为FT1，对Q根据平衡条件有m2gsin θ+FT1=Ff，对P根据平衡条件有FT1=kx1=m1gsin θ，加上沿斜面向上的匀强电场后，P到达A点时，设弹簧的伸长量为x2，弹簧弹力大小为FT2，对Q根据平衡条件FT2=kx2=m2gsin θ+Ff，物块P从开始到运动到A点，运动的位移大小为x=x1+x2，联立可得x=，故B正确，A错误；设物块P所受静电力大小为F，物块P从初始状态到最高点过程中，根据能量守恒定律有Fx=k-k+m1gxsin θ，解得F=(m1+m2)gsin θ，故C错误；若仅将电场强度变为原来的2倍，物块P从初始位置到A点过程，根据动能定理2Fx-(k-k)-m1gxsin θ=m1v2-0，解得v=，故D正确。
三、非选择题：本题共5小题，共58分。
11.(6分)(2026·四川德阳市检测)如图甲所示的实验装置，定性探究电荷间相互作用力与电荷量、电荷之间的距离的关系。
(1)该实验用到的研究方法是　　　　　。
A.理想实验法 B.等效替代法
C.微小量放大法 D.控制变量法
(2)如图乙所示，当小球B静止时，A、B两球球心恰好在同一水平面上，细线与竖直方向的夹角为θ，若小球B的质量为m，重力加速度为g，则库仑力大小F=　　　　。
(3)如图乙所示，接着该同学在竖直平面内缓慢移动小球A的位置，保持A、B两球球心的连线与连接B球的细线所成的夹角不变，在细线偏离竖直方向的角度θ增大到90°的过程中，A、B两球间的距离　 　(选填“增大”“减小”“先增大再减小”或“先减小再增大”)。
答案　(1)D　(2)mgtan θ　(3)减小
解析　(1)在研究电荷之间作用力大小与两小球的电荷量qA和qB以及距离r的关系时，采用控制变量的方法进行，根据小球的摆角变化可以看出小球所受作用力随电荷量或距离变化情况。故选D。
(2)B球的受力情况如图(a)所示
根据小球B受力平衡，由几何关系可得F=mgtan θ。
(3)如图(b)所示，保持A、B两球球心的连线与连接B球的细线所成的夹角α不变，在细线偏离竖直方向的角度θ缓慢增大到90°的过程中，对小球B受力分析，构建力的矢量三角形，由正弦定理，=，可知随θ增大，库仑力大小F库=k增大，知两球之间的距离随着θ的增大而减小。
12.(10分)(2026·安徽省皖南八校联考)在“用传感器观察电容器的充、放电过程”实验中，按图甲所示连接电路。电源电动势为8.0 V，内阻可以忽略。单刀双掷开关S先跟2相接，某时刻开关改接1，一段时间后，把开关再改接2，实验中使用了电流传感器来采集电流随时间的变化情况。
(1)开关S改接2后，电容器进行的是　　　　(选填“充电”或“放电”)过程。此过程得到的I-t图像如图乙所示，图中用阴影标记的狭长矩形的面积的物理意义是　　　　。
如果不改变电路其他参数，只增大电阻R的阻值，则此过程的I-t曲线与坐标轴所围成的面积将　　　　(选填“减小”“不变”或“增大”)。
(2)若实验中测得该电容器在整个放电过程中释放的电荷量Q=3.44×10-3 C，则该电容器的电容为　 μF。
(3)关于电容器在整个充、放电过程中的q-t图像和UAB-t图像的大致形状，可能正确的有　　　　　(q为电容器极板所带的电荷量，UAB为A、B两板的电势差)。
答案　(1)放电　0.2 s内电容器放出的电荷量　不变　(2)430　(3)AD
解析　(1)将开关S接通1，电容器与电源相连，所以电容器在充电；再将S接通2，电容器通过电阻R放电。图中横坐标分成许多很小的时间间隔，在这些很小的时间间隔里，放电电流可以视为不变，则IΔt为这段时间内放出的电荷量，所以题图乙中用阴影标记的狭长矩形的面积的物理意义是0.2 s内电容器放出的电荷量。根据Q=CU可知电荷量与电阻R无关，如果不改变电路其他参数，只增大电阻R的阻值，则此过程的I-t曲线与坐标轴所围成的面积将不变。
(2)根据C== F=430 μF。
(3)电容器在充电过程中，电流由最大逐渐减小，放电过程电流也是由最大逐渐减小，根据q=It，q-t图像的倾斜程度表示电流的大小，A正确，B错误；根据UAB==t，电容器的电容不变，UAB-t图像的斜率为，故C错误，D正确。
13.(12分)(2026·湖北武汉市模拟)如图所示，竖直面内有一长为1.2l、宽为0.8l的长方形ABCD，M、N分别为AD与BC的中点。四个电荷量均为Q(Q未知)的点电荷位于长方形的四个顶点，A、D处点电荷带正电，B、C处点电荷带负电。一个质量为m、电荷量为+q(可视为点电荷)的带电小球从M处由静止释放，小球运动到MN中点O处时速度大小为。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，求：
(1)M、O两点间的电势差UMO；
(2)小球到达N点时的速度大小vN；
(3)已知在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该点电荷r处的电势为φ=，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势等于每个点电荷单独存在时该点的电势的代数和，求Q的值。
答案　(1)　(2)2　(3)
解析　(1)小球从M运动到O，
由动能定理可得mg×0.4l+qUMO=mv2
解得UMO=
(2)由题意可知UMN=2UMO
小球从M运动到N，由动能定理得mg×0.8l+qUMN=m
联立解得vN=2
(3)根据点电荷周围电势的表达式可得，M点的电势φM=-=
O点的电势φO=0
而UMO=φM-φO
联立解得Q=。
14.(14分)(2026·陕西宝鸡市三模)竖直平面内存在一方向未知的匀强电场，在t=0时刻将一个质量为m=1 kg、电荷量为q=+1 C的小球，从A点以速度v0=4 m/s水平向右抛出，经过一段时间后，小球以速度v=7 m/s竖直向下经过B点。已知A、B两点之间的高度差为h=3.5 m，水平距离为x=2.0 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)AB两点间的电势差UAB；
(2)匀强电场电场强度E的大小和方向。
答案　(1)-18.5 V　(2)5 V/m　与水平方向成37°角斜向左上方
解析　(1)带电小球从A点运动到B点的过程中，根据动能定理有mgh+qUAB=mv2-m
解得AB两点间的电势差为UAB=-18.5 V
(2)由题意可得，带电小球从A点运动到B点的过程中，水平方向做末速度为零的匀减速运动，竖直方向做初速度为零的匀加速运动，设匀强电场在水平方向的电场强度分量大小为Ex，则由牛顿第二定律qEx=max
由运动学公式=2axx
代入数据解得Ex=4 V/m，方向水平向左。
设匀强电场在竖直方向的电场强度分量大小为Ey，假设方向竖直向下，有mg+qEy=may，v2=2ayh
代入数据解得Ey=-3 V/m
所以匀强电场在竖直方向的电场强度分量大小为Ey1=3 V/m，方向竖直向上，则匀强电场电场强度E的大小为E==5 V/m
tan θ==
即与水平方向成θ=37°角，斜向左上方。
15.(16分)(2026·北京市朝阳区一模)液体雾化具有广泛的应用，其本质是将液体破碎为微小液滴的过程。
(1)液滴的滴落可看作雾化的最基本形态。以吸附在竖直滴管末端的液体为例，如图甲所示，当液体所受重力超过管口处的表面张力(可认为方向向上)时，将脱离管口形成液滴。已知管口的直径为d，液体表面张力F=αl，α为表面张力系数，l为液面分界线长度。
①请推导表面张力系数α的单位；
②若液滴的直径为D，请分析论证D3∝α。
(2)静电雾化是利用静电力使液体雾化的技术，可以产生微米级甚至纳米级的液滴。如图乙所示，将高压直流电源正极浸到毛细管内液体中，使液体带电。液体从毛细管中流出时，由于电荷间的排斥作用散裂成液滴，最终形成喷雾。当管口处单位时间内流出的液体体积为Q时，电流表的示数为I。假设在喷雾区的所有液滴的半径均为r，液滴所带电荷量相同且均匀分布在液滴表面，已知静电力常量为k，忽略重力影响，忽略喷雾区液滴间的相互作用。
①求液滴所带电荷量q；
②对于任意一个液滴，取液滴上某一微小面元，其面积用S表示，此面元受到该液滴上其他电荷的静电力大小用F表示，求。(已知均匀带电球面内电场强度处处为零，球面外电场强度可视为球面电荷量集中在球心处的点电荷所产生。)
答案　(1)①N/m　②见解析
(2)①　②
解析　(1)①根据F=αl
可得α=
可知α的单位为 N/m
②根据平衡条件有mg=α·πd
又m=ρ·πD3
联立解得D3=
即D3∝α
(2)①设喷雾区底面单位时间接受的液滴个数为n，则有Q=nV液滴
且V液滴=πr3
由电流的定义I=nq
联立解得q=
②如图所示
A为液滴上一微小面元上的一点，A1为微小面元外附近的一点，A2为微小面元内附近的一点。面元之外的其他电荷在三个点的电场强度趋近相等。根据电场强度叠加原理，有A1处电场强度为=ES+E其他
A2处电场强度为0=-ES+E其他
面元上电荷量为q'=q
其他电荷对面元的静电力大小F=q'E其他
联立各式解得F=q×
则有=
将q代入得=。

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