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2025-2026人教版七年级数学下期末复习满分冲刺篇
第十一章------不等式与不等式组期末提升卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（ ）
A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数
4．方程组有正整数解，则整数的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．按照如下程序，输入的值并计算，规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，，则a的取值范围是________．
12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________．
13．全国中小学生安全教育日，是我国为了加强校园安全教育，提高广大中小学生法治意识、安全防范意识和自我防护能力而设定的教育宣传活动日，时间为每年3月份最后一周的星期一．为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，某校组织安全知识竞赛，试题共30题，评分规则是答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．已知某同学在此次竞赛中的得分不低于90分，则他至少答对了________道题．
14．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________．
15．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）解不等式（组）：
(1)；
(2)．
17．（8分）为提升学生动手实践能力，某校计划购买一批教学器材．生物实验室需要配备放大倍数相同的单目显微镜和双目显微镜．经市场调查，现将相关信息整理如下：
单目显微镜（台） 双目显微镜（台） 总费用（元）
3 2 1440
8 5 3720
(1)单目显微镜和双目显微镜的单价分别是多少元/台？
(2)若学校计划购买这两种显微镜共台，且购买的总价不超过元，则最多可购买双目显微镜多少台？
18．（8分）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需____秒；
(2)当的面积为时，求的值；
(3)当的面积大于时，求的取值范围．
19．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
20．（8分）已知关于x的不等式．
(1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值；
(2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值．
21．（8分）阅读与思考
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“关联方程”的研究报告
智慧小组
研究对象：关联方程
研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明
研究内容：
【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，
所以称方程为不等式组的关联方程．
【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）．
任务：
(1)补全报告中横线处内容______．
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值．
22．（12分）综合与实践
【背景】
夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台．
【素材1】
已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变）
【素材2】
现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元．
【任务】
(1)求、两种型号空调的销售单价；
(2)求型空调所有可能的进货台数；
(3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案．
23．（13分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，且满足为第一象限内的一点．
(1)求的面积．
(2)如图1，点在直线的上方，若，求的取值范围．
(3)如图2，点，当时，过点作直线轴，动点从点出发，沿着直线向轴的负半轴移动，同时动点从点出发，沿着轴的正半轴方向移动，点的移动速度是点的2倍，当最短时，直接写出点的坐标和的面积．
2025-2026人教版七年级数学下期末复习满分冲刺篇
第十一章------不等式与不等式组期末提升卷（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐步分析即可．
【详解】解：根据不等式的性质进行推导：
∵，
不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，
∴，
不等式两边同时加5，不等号方向不变，
∴ ．
因此“□”中应填．
2．若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到结论．
【详解】解：、由，可得，该选项成立，不符合题意；
、由，可得，该选项成立，不符合题意；
、由，可得，该选项不成立，符合题意；
、由，可得，该选项成立，不符合题意．
3．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（ ）
A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数
【答案】B
【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故满足条件的的值为大于6的数．
4．方程组有正整数解，则整数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可.
【详解】解：，
①②得 ，
解得 ，
由②得 ，
∵方程组有正整数解，为整数，
∴均为正整数，只需为正整数，
∴为正整数，且，
∴是的正约数，且，
∴的可能取值为，
∴对应整数为，共个．
5．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
解得：，
∴的最大值为1．
6．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，即可得解．
【详解】解：根据题意可知： ，
在数轴上表示如下：
7．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围．
【详解】解不等式组 ，
解不等式①，移项得 ，即 ，
∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律
∴ ．
8．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解两个不等式组，再依据不等式组无解可以得出的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组无解，
∴，
解得．
9．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先解，可得，，结合题目条件，可得，解不等式求解即可．
【详解】解：的解都能使的一元一次不等式成立，
，即，
解得，，
的解都满足，
，
，
，
，
．
10．按照如下程序，输入的值并计算，规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得，
∵所有符合条件的正整数的最大值为，最小值为，
，，
．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若，，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
【详解】解：，，
12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________．
【答案】21
【分析】设输入的值为，当为偶数，；当为奇数，，即可得到答案．
【详解】解：设输入的值为，
当为偶数，，解得，
当为奇数，，解得，
则输入的最小正整数是．
13．全国中小学生安全教育日，是我国为了加强校园安全教育，提高广大中小学生法治意识、安全防范意识和自我防护能力而设定的教育宣传活动日，时间为每年3月份最后一周的星期一．为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，某校组织安全知识竞赛，试题共30题，评分规则是答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．已知某同学在此次竞赛中的得分不低于90分，则他至少答对了________道题．
【答案】25
【分析】设出答对的题数，根据总题数表示出不答或答错的题数，结合评分规则和得分要求列出一元一次不等式，求解后得到符合题意的最小整数解．
【详解】解：设该同学答对了道题，则不答或答错的题数为道．
根据题意得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
系数化为，得．
他至少答对了道题．
14．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“不等式组无解”的条件，即两个解集没有公共部分，列出关于的不等式，求解即可．
【详解】解：解不等式：，
，
；
解不等式：，
，
不等式组无解，
，
解得．
15．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案．
【答案】3
【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ．
设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ．
【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个．
根据题意，得，
解不等式①，得；
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
因为x取正整数，所以x取28，29，30，
当时，；当时，；当时，．
故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个；
方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个；
方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个．
故答案为：3．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）解不等式（组）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
解得
∴原不等式的解集为；
（2）解：
由①得，；
由②得，
∴原不等式组的解集为．
17．（8分）为提升学生动手实践能力，某校计划购买一批教学器材．生物实验室需要配备放大倍数相同的单目显微镜和双目显微镜．经市场调查，现将相关信息整理如下：
单目显微镜（台） 双目显微镜（台） 总费用（元）
3 2 1440
8 5 3720
(1)单目显微镜和双目显微镜的单价分别是多少元/台？
(2)若学校计划购买这两种显微镜共台，且购买的总价不超过元，则最多可购买双目显微镜多少台？
【答案】(1)单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台
(2)台
【分析】（1）根据已知信息列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设可购买双目显微镜台，则可表示出购买单目显微镜的数量，再根据“购买的总价不超过元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台．
根据题意，得，解得；
答：单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台．
（2）解：设可购买双目显微镜台，则购买单目显微镜台．
根据题意，得
解得．
为整数，且取最大值，
．
答：最多可购买双目显微镜台．
18．（8分）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒．
(1)点整个运动过程中，共需____秒；
(2)当的面积为时，求的值；
(3)当的面积大于时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)当或时，的面积为
(3)当时，的面积大于
【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间；
（2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；
（3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
点的运动速度为个单位长度每秒，
点整个运动过程中，共需秒；
（2）解：当点在上运动时，，
则有，
，
解得：；
当点在上运动时，，
则有，
，
解得：；
综上所述，当或时，的面积为；
（3）解：当点在上运动时，，
则有，
，
解得：，
当点在上运动时，，
则有，
，
解得：，
当时，的面积大于．
19．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/件） 15 35
售价（元/件） 20 45
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案．
【答案】(1)甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件
(2)有两种购货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件；获利最大的购货方案是甲种商品购进66件，乙种商品购进94件
【分析】（）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，根据题意，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，
由题意得，，
解得，
答：甲种商品应购进件，乙种商品应购进件；
（2）解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，
由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴或，
当时，；当时，；
∴有两种购货方案：
方案一：甲种商品购进件，乙种商品购进件；
方案二：甲种商品购进件，乙种商品购进件；
方案一的获利：元；
方案二的获利：元；
∵，
∴甲种商品购进件，乙种商品购进件获利最大．
20．（8分）已知关于x的不等式．
(1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值；
(2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先分别求出两个一元一次不等式的解集，依据解集相等建立等式，解方程即可求出字母a的值．
（2）先求出原不等式解集，确定其最小整数解，再将该整数解代入一元一次方程，进而求出字母m的值．
【详解】（1）解：解不等式，
解得，
解不等式，得
，
两个不等式的解集相同，
，
解得；
（2）由（1）知：的解集为，
该不等式的最小整数解为，
将代入，得：
，
解得．
21．（8分）阅读与思考
下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“关联方程”的研究报告
智慧小组
研究对象：关联方程
研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明
研究内容：
【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，
所以称方程为不等式组的关联方程．
【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）．
任务：
(1)补全报告中横线处内容______．
(2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值．
【答案】(1)③
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键．
（1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断；
（2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可．
【详解】（1）解：①，
；
②，
；
③，
，
，
；
解不等式组，得，
∵，
∴不等式组的关联方程是③；
（2）解：解不等式组，得．
因此不等式组的整数解为．
将代入关联方程，
得．
22．（12分）综合与实践
【背景】
夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台．
【素材1】
已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变）
【素材2】
现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元．
【任务】
(1)求、两种型号空调的销售单价；
(2)求型空调所有可能的进货台数；
(3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案．
【答案】(1)型空调销售单价为元，型空调销售单价为元
(2)型空调所有可能的进货台数是台，台，台
(3)三种进货方案的总利润分别为元，元，元；总利润最大的进货方案是购进型空调台，型空调台
【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元一次方程，求解得到两种空调的销售单价；
（2）设B型空调进货台数为未知数，结合题目给出的数量限制和总利润限制列一元一次不等式组，结合台数为正整数得到所有可能结果；
（3）写出总利润关于B型空调台数的表达式，分别计算各方案总利润，比较得到总利润最大的方案．
【详解】（1）解：型空调销售单价为元，则型空调销售单价为元．
由题意得
整理得
解得则
答：A型空调销售单价为2300元，B型空调销售单价为2800元．
（2）解：设购进B型空调台，则购进A型空调台．
两种空调总进价为（元），满足不超过100000元的资金要求．
根据题意列不等式组
解第一个不等式得
解第二个不等式得，即
因为为正整数，
所以的取值为14，15，16
答：B型空调所有可能的进货台数为14台，15台，16台．
（3）解：设总利润为元，由题意得
当时，（元），对应方案：购进A型空调36台，B型空调14台．
当时，（元），对应方案：购进A型空调35台，B型空调15台．
当时，（元），对应方案：购进A型空调34台，B型空调16台．
因为
所以总利润最大的方案为购进A型空调34台，B型空调16台
答：三种进货方案的总利润分别为22000元，22500元，23000元，总利润最大的进货方案是购进A型空调34台，B型空调16台．
23．（13分）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，且满足为第一象限内的一点．
(1)求的面积．
(2)如图1，点在直线的上方，若，求的取值范围．
(3)如图2，点，当时，过点作直线轴，动点从点出发，沿着直线向轴的负半轴移动，同时动点从点出发，沿着轴的正半轴方向移动，点的移动速度是点的2倍，当最短时，直接写出点的坐标和的面积．
【答案】(1)6
(2)
(3)；4
【分析】（1）根据非负数的性质求出，得出点，根据三角形面积公式求出结果即可；
（2）连接，先求出，，根据，根据，得出，求出m的取值范围即可；
（3）根据垂线段最短，得出当最短时，，从而得出点的坐标为，根据点的移动速度是点的2倍，得出此时点的坐标为，根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，
点，
，
．
（2）解：如图，连接．
，，
，
∵，
，
解得：．
（3）解：，
∴点，
∵垂线段最短，
∴当最短时，，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴点向左移动了5个单位长度，
∵点的移动速度是点的2倍，
∴点向右移动了10个单位长度，
∴此时点的坐标为，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标平移，非负数的性质，求不等式组的解集，三角形面积计算，解题的关键是数形结合熟练掌握三角形面积公式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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