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2025-2026学年下学期七年级期末质量检测卷（一）（数学）
----12章
学校__________ 姓名__________ 考号___________
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入括号内)
1．黄河鲶鱼是已知的黄河中特有肉身性鱼，有“活人参”之称．下列四幅图中能由如图所示的图案平移得到的是（ ）
B．
C． D．
2．如图，在古诗《春夜洛城闻笛》中，建立平面直角坐标系，使“折”字用表示，“暗”字用表示，则表示的字是（ ）
春夜洛城闻笛李白谁家玉笛暗飞声，散入春风满洛城，此夜曲中闻折柳，何人不起故园情，
A．人 B．入 C．不 D．中
3．计算：（ ）
A． B． C．4 D．
4．小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
6．关于数据的收集，下列说法正确的有（ ）
①小刚调查全班同学最喜欢的体育活动应该用普查；
②神州二十三号载人飞船发射前对零件的检查工作应该用抽样调查；
③了解一批笔芯的使用寿命，应该用抽样调查；
④小颖想要调查全市70岁以上老人的健康状况，她应该前往医院抽样调查老人一年生病的次数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（ ）
A．， B．，8 C．1， D．，1
8．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．对x，y，定义运算“”如下：，已知2a＝16，则实数a等于（ ）
A． B．4 C． D．4或
10．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将正确答案填入横线上）
11．判断：_________无理数（选填“是”或“不是”）．
12．如图1所示的桔槔是商代在农业灌溉方面采用的一种原始的汲水工具，图2是示意图，架子水平地面EF，杠杆绕点旋转，当点旋转到时，的度数为_____．
13．在平面直角坐标系中，点、，其中，且所在的直线与坐标轴平行．下列四个结论中：
①满足条件的点有3个；
②的值为3或；
③当时，；
④当时，点均在第四象限．
所有正确结论的序号是______．
14．学校社团组织义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟．
（1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________．
（2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________．
15．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）以下是小凡同学用代入法解方程组的解答过程：
解：由①得③； 第一步把③代入②得； 第二步去分母得； 第三步解之得，再由③得． 第四步
①填空：以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；请直接写出方程组的解______；
②请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组要注意的事项给其他同学提一条建议．
17．（6分）国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？
18．（8分）在平面直角坐标系中，点为原点，线段平移得到线段，点的对应点为．已知．
(1)根据平移的性质，求的值；
(2)若点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标．
19．（9分）为丰富校园文化生活，提升学生审美与创造力，增强集体凝聚力，某校在“校园艺术节”开展了多项活动，活动后校方对本次最受欢迎的活动进行了投票统计，以便于下一届活动更好地开展．已知投票的活动包含A．歌唱展示，B．舞蹈展示，C．科技展，D．手工作品展，投票方式为线上和线下两种方式（线下和线上只能选择一个），得到投票结果后，随机抽取部分九年级学生的投票数据绘制成如下所示的统计图．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)本次所抽取九年级投票的学生人数为_______人，并补全条形统计图；
(2)若九年级共有600名学生，请估计投票给“手工作品展（D）”的人数；
(3)根据上述分析结果，请你为该校下一届“校园艺术节”的顺利开展给出一条合理性建议．
20．（8分）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题．
请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明．
21．（9分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
二元一次方程组解的情况的讨论我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组．解：，得．下面我们分几种情况讨论：（1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为．（2）当，即时，①若，即，也就是，方程组有无穷多个解；②若，即，也就是，方程组无解．
任务：
(1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）．
A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想
(2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况：
①；②；③．
(3)运用小论文提供的公式，解方程组．
22．（12分）项目学习
根据以下信息，按要求完成下列任务．
“绿茵梦想·运动筑梦”校园足球采购创意探究项目
项目背景 为了让校园足球活动更加丰富多彩，某校决定采购一批全新的甲、乙两种足球，用于即将举办的足球大课间活动．
项目要求 运用二元一次方程、一元一次不等式组等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性．
素材展示
素材1 已知学校前期进行了小规模试采购，购买1个甲种足球和2个乙种足球共花费230元；购买2个甲种足球和1个乙种足球则花费了250元．
素材2 学校计划采购80个足球，以满足足球大课间活动的需求．同时，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元．
素材3 为了保证活动的有效开展，购买甲种足球的数量不得少于乙种足球数量的一半．
问题解决
任务一 精准定价 请你依据素材1，精确计算出购买一个甲种足球和一个乙种足球分别需要多少钱．
任务二 方案规划 请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种足球的具体购买数量．
任务三 成本优化 在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案．
23．（13分）综合与探究
问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．
(1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由．
(2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数．
(3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）．
①当，时，求的度数；
②直接写出与之间的数量关系．
2025-2026学年下学期七年级期末质量检测卷（一）（数学）
----12章
学校__________ 姓名__________ 考号___________
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题(本大题共有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入括号内)
1．黄河鲶鱼是已知的黄河中特有肉身性鱼，有“活人参”之称．下列四幅图中能由如图所示的图案平移得到的是（ ）
B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据平移的定义可知，由题中图经过平移得到的图形是B．
2．如图，在古诗《春夜洛城闻笛》中，建立平面直角坐标系，使“折”字用表示，“暗”字用表示，则表示的字是（ ）
春夜洛城闻笛李白谁家玉笛暗飞声，散入春风满洛城，此夜曲中闻折柳，何人不起故园情，
A．人 B．入 C．不 D．中
【答案】A
【分析】本题考查了图形与坐标，解题关键是确定坐标系．
通过已知坐标确定坐标系建立方式，再根据坐标推断对应字的位置．
【详解】解：根据“暗”对应坐标，
“折”对应坐标，可确定坐标系如图，
可知坐标对应的字为“人”，
故选：A．
3．计算：（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【详解】解：．
4．小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯．如果设小唯还可以买个小风扇，那么可列不等式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，掌握不超过对应不等号≤，以及正确计算两种物品的总花费是解题的关键．
根据题意，小唯已买个水杯，每个元，花费元；还可以买个小风扇，每个元，花费元，总花费不超过班费元，故用小于等于号．
【详解】解：∵总花费为水杯花费加小风扇花费，即，
且总花费不超过元，
∴不等式为.
故选：D．
5．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（ ）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
【答案】B
【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，，
又∵反射角等于入射角即，
∴，
所以这一步推理的依据是等角的余角相等，
故选：．
6．关于数据的收集，下列说法正确的有（ ）
①小刚调查全班同学最喜欢的体育活动应该用普查；
②神州二十三号载人飞船发射前对零件的检查工作应该用抽样调查；
③了解一批笔芯的使用寿命，应该用抽样调查；
④小颖想要调查全市70岁以上老人的健康状况，她应该前往医院抽样调查老人一年生病的次数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①调查全班同学，总体数量少，需要准确结果，适合用普查，①说法正确；
②神州飞船发射对零件安全性要求极高，所有零件都必须检查，必须用普查，
不能用抽样调查，②说法错误；
③测试笔芯使用寿命会破坏笔芯，且这批笔芯总体数量大，适合用抽样调查，③说法正确；
④仅在医院抽样，样本为就医老人，不具有全市70岁以上老人健康状况的代表性，
抽样方法错误，④说法错误；
综上，正确的说法共有2个．
7．小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（ ）
A．， B．，8 C．1， D．，1
【答案】A
【详解】解：设●，※两处分别代表的是，，
∵，
∴，
解得．
8．给出下列命题：①若，则；②若，则x，y同时为0；③两个负数的差一定是负数④如果，那么，其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】本题主要考查了命题的真假判断，绝对值的性质，实数的运算等知识点，根据绝对值的性质对①进行判断；根据实数的运算对②，③，④进行判断即可，熟练掌握其性质并能正解对命题进行判断是解决此题的关键．
【详解】解：①若，则，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
②若，则同时为0，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
③两个负数的差一定是负数，是假命题，如就不成立，不符合题意；
④如果，那么，是假命题，如，就不成立，不符合题意；
故选：A．
9．对x，y，定义运算“”如下：，已知2a＝16，则实数a等于（ ）
A． B．4 C． D．4或
【答案】A
【分析】根据定义分两种情况讨论，先判断与的大小关系，代入对应表达式计算后，舍去不符合前提条件的解，即可得到的值。
【详解】解：当时，
解得
前提为，不符合条件，舍去；
当时，
整理得
解得
，
∴不符合条件，舍去，
∴
综上，.
10．法国数学家笛卡尔创立了平面直角坐标系，被誉为“解析几何之父”．在平面直角坐标系中，我们定义点的“笛卡尔变换”为：．已知点的坐标为，则经过2025次笛卡尔变换后得到的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点坐标规律探索，找到正确的规律是解决本题的关键．
根据各点坐标得出每4次变换为一个循环是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴经过一次变换为：，
经过二次变换为：，
经过三次变换为：，
经过四次变换为：，
∴变换周期为4，
∵，
∴．
故选D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，将正确答案填入横线上）
11．判断：_________无理数（选填“是”或“不是”）．
【答案】不是
【分析】根据求一个数的算术平方根可得，即可判断．
【详解】虽然带根号，但它的结果是，故它是有理数，不是无理数．
故答案为不是.
【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．无理数的定义：“无限不循环的小数是无理数” ．
12．如图1所示的桔槔是商代在农业灌溉方面采用的一种原始的汲水工具，图2是示意图，架子水平地面EF，杠杆绕点旋转，当点旋转到时，的度数为_____．
【答案】
#46度
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂线的定义，解题的关键是利用垂直关系判定，再由平行线的同位角相等直接求解角度．
由、得，与为同位角，根据两直线平行，同位角相等，直接得出的度数．
【详解】解：，(为铅垂线,垂直于水平面），
，
与是同位角，
．
故答案为：．
13．在平面直角坐标系中，点、，其中，且所在的直线与坐标轴平行．下列四个结论中：
①满足条件的点有3个；
②的值为3或；
③当时，；
④当时，点均在第四象限．
所有正确结论的序号是______．
【答案】②④
【分析】本题考查坐标与图形性质，熟知平行于坐标轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【详解】解：如图：
点，向上平移四个单位可得，；
点，向下平移四个单位可得，；
点，向左平移四个单位可得，；
点，向右平移四个单位可得，；
故满足条件的点有4个；说法①不正确，的值为3或；说法②正确；
当轴时，，
当轴时，，
故说法③不正确，
当时，由图可知点均在第四象限．故说法④正确
故答案为②④．
14．学校社团组织义卖活动中，有手工皂和香薰蜡烛两种商品需要分装打包，由社团的甲、乙两个小组分别负责，甲组负责打包手工皂，打包份的总耗时可表示为分钟；乙组负责打包香薰蜡烛，打包份的总耗时可表示为分钟．
（1）第一天，社团准备了12份商品分配给两个小组，两组刚好同时完成打包，则分配给甲组的手工皂的份数与乙组的香薰蜡烛的份数之比为__________．
（2）第二天，社团分配给甲组的份数在第一天的基础上增加了份，分配给乙组的份数在第一天的基础上增加了份，若两组仍能同时完成打包，且、均为小于12的正整数，则的值为__________．
【答案】
【分析】（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，两组同时完成即耗时相等列方程求解，再计算份数之比；
（2）根据两组仍同时完成列方程，结合第一天的等式化简得到m与n的关系，根据m，n的取值范围确定的值即可．
【详解】解：（1）设分配给甲组的手工皂份数为x份，乙组的香薰蜡烛份数为y份，由题意得：
，
解得：，
∴；
（2）由题意，两组同时完成，耗时相等，得：
，
展开得，
由第一天的结果可知，代入上式得：
，
整理得：，
即，
∵m，n均为小于12的正整数，
∴满足条件的对应值比值恒为，
故．
15．将一副直角三角尺和三角形（其中，，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间，，在同一直线上，若，则的度数为___________．
【答案】
【分析】过点作，可得，依次计算角度、、、、，即可得出结果．
【详解】解：过点作，如下图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：；
（2）以下是小凡同学用代入法解方程组的解答过程：
解：由①得③； 第一步把③代入②得； 第二步去分母得； 第三步解之得，再由③得． 第四步
①填空：以上解题过程中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；请直接写出方程组的解______；
②请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】（1）4；（2）①三，去分母时等号右边漏乘2，．②见解析
【分析】（1）按照实数运算法则计算即可；
（2）根据解方程的步骤，可判断哪步出现错误和错误原因，根据学生常见错误提出合理建议即可．
【详解】解：（1）
=
=5-1
=4．
（2）①其中错误的一步为第三步，错误的原因是去分母时等号右边漏乘2，
去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
移项合并得：﹣19y＝﹣14，
解得：y＝；
代入③得，；
方程组的解为
故答案为：三，去分母时等号右边漏乘2，．
②建议：在解二元一次方程组时，如果化简方程时要去分母，注意方程两边每一项都要乘以公分母．
【点睛】本题考查了实数的运算和二元一次方程组的解法，解题关键是熟练掌握相关法则，准确进行计算．
17．（6分）国内某知名车企研发的最新超快充充电技术，大幅提升充电效率，5分钟即可补能，9分钟能充至近满电．该技术兼顾极寒环境适应性与电池安全性，配合新一代刀片电池，实现高效、安全、耐用的综合优势，全面引领电动车快充新时代．为响应节能减排号召，某市出租车公司计划采购该车企的A、B两款搭载此项超快充技术的新能源电动汽车．已知每辆A款车进价18万元，每辆B款车进价10万元，公司拟用不超过1500万元的资金购进两款车共120辆，求最多可购买多少辆A款新能源电动汽车？
【答案】37辆
【分析】设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】解：设购买x辆A款新能源电动汽车，则购买辆B款新能源电动汽车，根据题意得：
，
解得：，
∵x为整数，
∴x最大值取37，
答：最多可购买37辆A款新能源电动汽车．
18．（8分）在平面直角坐标系中，点为原点，线段平移得到线段，点的对应点为．已知．
(1)根据平移的性质，求的值；
(2)若点在轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据平移前和平移后对应点的坐标建立方程求解即可；
（2）由（1）中结论在坐标系中描出的坐标，进而求出三角形的面积为，设，根据题意可得，即可解答．
【详解】（1）解：根据平移的性质得：，，
解得；
（2）解：由（1）得，如图，
则三角形的面积，
∵，
设，
∴三角形的面积，
∵三角形的面积等于三角形的面积，
∴，
∴，
∴P点的坐标为或．
19．（9分）为丰富校园文化生活，提升学生审美与创造力，增强集体凝聚力，某校在“校园艺术节”开展了多项活动，活动后校方对本次最受欢迎的活动进行了投票统计，以便于下一届活动更好地开展．已知投票的活动包含A．歌唱展示，B．舞蹈展示，C．科技展，D．手工作品展，投票方式为线上和线下两种方式（线下和线上只能选择一个），得到投票结果后，随机抽取部分九年级学生的投票数据绘制成如下所示的统计图．
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)本次所抽取九年级投票的学生人数为_______人，并补全条形统计图；
(2)若九年级共有600名学生，请估计投票给“手工作品展（D）”的人数；
(3)根据上述分析结果，请你为该校下一届“校园艺术节”的顺利开展给出一条合理性建议．
【答案】(1)100；图见解析
(2)估计投票给“手工作品展（D）”的人数约有36人；
(3)见解析
【分析】（1）利用C组人数和占比可求得所抽取九年级投票的学生人数，再求得B组线下投票的学生人数即可补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体即可求解；
（3）说法合理即可．
【详解】（1）解：由题意C组人数为人，占比为，
人，
人，
补全条形统计图如图：
；
（2）解：人，
答：估计投票给“手工作品展（D）”的人数约有36人；
（3）解：从投票结果来看，舞蹈展示(B)的人气最高，占比，
建议下一届校园艺术节可以增加舞蹈展示的场次或丰富舞蹈展示的形式，同时也可以适当宣传科技展、手工作品展等活动，提升它们的参与度．
20．（8分）在数学课上，老师提出了这样一个问题：
如图，请从①，②，③中选取两个作为已知条件，第三个作为结论，组成一个真命题．
请你选择一种情况，写出已知、求证、并加以证明．
【答案】见解析
【分析】本题考查命题与定理，平行线判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
任选取两个作为已知条件，第三个作为结论，都可以组成一个真命题，选择一种情况，即可写出已知、求证；由平行线的性质推出，得到，判定，推出，由对顶角相等得到，即可证明．
【详解】解：已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
，
；
已知：，，
求证：．
证明：，
，
，
，
，
，
；
已知：，，
求证：．
证明：，
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21．（9分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
二元一次方程组解的情况的讨论我们知道，二元一次方程组的解法主要有代入消元法和加减消元法，它的解的情况有三种．一是唯一解，例如方程组，有唯一解；二是有无穷多个解，例如方程组有无穷多个解；三是无解，例如方程组无解．下面我们讨论一下方程组，在什么情况下有唯一解，有无穷多个解或无解．我们先利用加减消元法解方程组．解：，得．下面我们分几种情况讨论：（1）当，即时，，进而可得方程组的唯一解为．（2）当，即时，①若，即，也就是，方程组有无穷多个解；②若，即，也就是，方程组无解．
任务：
(1)上面小论文中的分析过程中，主要体现的数学思想是 （填选项）．
A．整体思想；B．分类讨论思想；C．数形结合思想
(2)请参照小论文提供的方法直接写出下列方程组解的情况：
①；②；③．
(3)运用小论文提供的公式，解方程组．
【答案】(1)B
(2)①有无穷多个解；②有唯一解；③无解
(3)
【分析】（1）根据对分类讨论思想进行解答；
（2）根据小论文中的判断方法进行方程组解的判断；
（3）根据当，即时，，进而可得方程组的唯一解为，解出答案．
【详解】（1）解：分不同情况讨论得出结果，故为分类讨论思想．
故选B．
（2）由题意得
①中，，故有无穷多个解，
②中，，故有唯一解，
③中，，故方程组无解．
（3）∵，，，，，，
∴，，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂例题中对不同方程组的解的情况分类．
22．（12分）项目学习
根据以下信息，按要求完成下列任务．
“绿茵梦想·运动筑梦”校园足球采购创意探究项目
项目背景 为了让校园足球活动更加丰富多彩，某校决定采购一批全新的甲、乙两种足球，用于即将举办的足球大课间活动．
项目要求 运用二元一次方程、一元一次不等式组等数学知识解决问题，确保过程的准确性与规范性．
素材展示
素材1 已知学校前期进行了小规模试采购，购买1个甲种足球和2个乙种足球共花费230元；购买2个甲种足球和1个乙种足球则花费了250元．
素材2 学校计划采购80个足球，以满足足球大课间活动的需求．同时，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元．
素材3 为了保证活动的有效开展，购买甲种足球的数量不得少于乙种足球数量的一半．
问题解决
任务一 精准定价 请你依据素材1，精确计算出购买一个甲种足球和一个乙种足球分别需要多少钱．
任务二 方案规划 请你综合考虑这些条件，运用数学知识，探究学校共有几种可行的购买方案，并详细列出每种方案中甲、乙两种足球的具体购买数量．
任务三 成本优化 在满足任务二条件的基础上，为了进一步提高资金使用效率，请你深入分析不同采购方案的成本构成，找出总费用最低的采购方案．
【答案】任务一：购买一个甲种足球90元，购买一个乙种足球70元；任务二：学校共有4种购买方案：方案一：购买甲种足球27个，购买乙种足球为53个；方案二：购买甲种足球28个，购买乙种足球为52个；方案三：购买甲种足球29个，购买乙种足球为51个；方案四：购买甲种足球30个，购买乙种足球为50个；任务三：6140元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和正确列出一元一次不等式组．
（任务一）设购买一个甲种足球需要x元，一个乙种足球需要y元，根据“购买1个甲种足球和2个乙种足球共花费230元；购买2个甲种足球和1个乙种足球则花费了250”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（任务二）设购买甲种足球m个，则购买乙种足球为个，根据“此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不得少于乙种足球数量的一半”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案；
（任务三）根据甲种足球的单价大于乙种足球的单价，得出购买的甲种足球越少所需总费用越低，即可算出最低费用．
【详解】任务一
解：设购买一个甲种足球x元，购买一个乙种足球y元，
根据题意，得：，解得：，
答：购买一个甲种足球90元，购买一个乙种足球70元；
任务二
解：设购买甲种足球m个，则购买乙种足球为个，
根据题意，得：， 解得：，
均为整数，
的取值可能为27，28，29，30，
学校共有4种购买方案，
方案一：购买甲种足球27个，购买乙种足球为53个；
方案二：购买甲种足球28个，购买乙种足球为52个；
方案三：购买甲种足球29个，购买乙种足球为51个；
方案四：购买甲种足球30个，购买乙种足球为50个 ；
任务三
甲种足球的单价大于乙种足球的单价，
购买的甲种足球越少所需总费用越低，
当购买甲种足球27个，购买乙种足球为53个时所需总费用越低，
最低费用为：（元）．
23．（13分）综合与探究
问题情境：如图1，根据光的反射定律，当一束光线照射到平面镜上发生反射现象时，始终有．潜望镜是从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．
(1)操作猜想：如图2，是一个潜望镜的示意图，是两面互相平行的镜面，光线照射到镜面上，反射光线为；照射到镜面上，反射光线为．试判断光线和的位置关系，并说明理由．
(2)类比探究：如图3，将两块平面镜的一个端点重合于点B，一束光线照射在镜面上，经过两次反射后得到光线．若，，求及的度数．
(3)拓展探究：如图4，光线与光线交于点H．设两面镜子的夹角（），设（）．
①当，时，求的度数；
②直接写出与之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，
(3)①②
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质定理和平角定义解答即可；
（2）利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可；
（3）①在点G右侧作，利用题干中的性质和平行线的性质定理解答即可；
②在点G右侧作，设，则，类比①的方法解答即可．
【详解】（1）解：，理由：
由题意得：，，
∵，
，
∴，
又，，
∴，
∴；
（2）解：由题意得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，
∴,
∴．
（3）解：①在点G右侧作，如图，
由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
②α与β之间的数量关系为．理由：
在点G右侧作，如图，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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