资源简介

2026年普通高等学校招生全国统一考试 (上海卷)
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。（试题来源于网络，公众号MST数学聚集地整理）
一、填空题 (本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.)
1.若集合 A={2 , a+ 1}，且-1∈ A，则 a= .
2.已知数列 an 是等比数列,且 a1= 2 , a2= 6 ,则 a4= .
3. 1已知 sinα= 5 ，则 cos2α= .
4.已知事件 A和事件 B互斥，且 P A = 0.2，P B = 0.5，则 P A∪B = .
5.函数 f x 是偶函数，当 x≥ 0时 f x = x- a，若 f -4 = 3，则 a= .
6.在 x2+x 5 的二项展开式中，x7项的系数为 .
7.已知 a2+ 4b2= 1，则 ab max= .
X -1 0 1
8. X 已知 的分布列为 , E X = 0.5，则 b= .P a 0.3 b
9.已知等差数列 an 中 a1= 0 , d为公差, Sn为前 n项和,若 Sn中至少有两项介于 0,1 ,则 d的取值范围为
.

10.已知 k∈ R ，a , b , c 两两不平行，且 a+ 3b∥ b+ c，2a+ kc∥ b+ c ，则 k= .
11.已知函数 f t = Asin ωt+φ + B A>0,B∈R,ω>0,0≤φ<2π 描述某质点速度 v= f t (单位:m/s , t
单位: s)。若当 v= 0或 v= 4时其导数为 0 ,初始速度为 0 ,且速度第一次达到 4时用时 0.1秒，求 f t =
.
12.已知 A , B ,C为某椭圆的 4个顶点和 2个焦点中任意三个，AB= 3 , BC= 14 , AC= 5，则该椭圆的离心
率为 .
二、选择题 (本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.)
13.设 a为不为 1的任意正实数，则 a 3 a=
3 4 5 5
A. a 2 B. a 3 C. a 2 D. a 3
数学试题 第 1 页 共 4 页

14.已知事件 A、事件 B为相互独立事件，事件C表示“事件 A、B中至少有一件发生”，则C=

A. A∩ B B. A∪ B C. A∩ B D. A∪ B
15.对于任意两个复数 z ,w ,若满足“z-w∈ R”或“z-w ∈ R”,则称 z与w伴随。若 z与w伴随,则w- i与 z
+ i伴随的充要条件是
A. Rez+Rew= 0 B. Rez-Rew= 0 C. Imz+ Imw= 0 D. Imz- Imw= 0
16.如图，空间直角坐标系中有一个正方体 ABCD- A1B1C1D1，顶点 A为坐标原点。将该正方体绕体对角线
AC1为旋转轴旋转一周,点C将经过 ( ) 个卦限.
z
D1 C1
A1 B1
D C y
A B
x
A. 1 B. 3 C. 4 D. 7
三、解答题 (本题共 5小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录,数据
如下:
颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86
二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86
(1)从这 9年中随机抽取一年，求该年份颗粒物密度大于二氧化硫密度的概率；
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，应选用茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析
并判断相关系数落在 -1,0 、 0,1 、 1,2 中哪个区间内 (直接写结论) ;
(3)已知 2014- 2022这 9个年份 (记 x)的平均数为 2018，颗粒物密度 y关于 x的回归方程拟采用 y=
106.544e-0.461 x-2014 或 y= a x-2014 + 83.743。已知 2023年实际颗粒物密度为 3.88,判断哪个回归方程
对 2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
数学试题 第 2 页 共 4 页
18.如图,四棱锥 P- ABCD的底面 ABCD为矩形, PH⊥底面,点H在 AD上且 AH= 1 ,HD= 4 , AB= 2.
(1)证明:HC⊥ PB；
(2)若四棱锥体积VP-ABCD= 10 53 ，求二面角C- PB-H的大小.
P
A D
H
B C
19.已知 a∈ R ,函数 f x = x2+ ax+ 3 , g x = 4x+ 12 .x
(1) f 1 = 4 f x + 1若 ，求不等式 > g x 的解集；x2
(2)设 a≠ 0，l1是 f x 在点 0,3 处的切线，l2是过 0,3 且垂直于 l1的直线，若 g x 与 l1、l2在第一象限
内均无公共点,求 a的取值范围.
数学试题 第 3 页 共 4 页
20.定义 Γ : x2- y2= 1 , F1、F2为 Γ的左、右焦点.
(1)求点 2,0 到 Γ渐近线的距离；(4分)

(2)P为 Γ上一点，PF1 PF2= 1，求△PF1F2的面积；
x<0 x>0
(3)设Ω : x2- y2= 1 ,其中 或y≤-1 .过点 F2的直线 l交Ω于 P、Q两点 (分别位于一、四象限)，y≥-1
过点 F2的直线m交Ω于M、N两点 (分别位于三、四象限).是否存在正数 λ ,对于任意的 l ,都存在唯一的
m ,使 MN = λ PQ 成立 若存在,求出所有的 λ ;若不存在,请说明理由.
21. i, j,k 是 1 , 2 , 3的一个排列.对函数 f1 x , f2 x , f3 x ,若对于任意 x∈ I ,都有 f1 x ≤ fi x 且 f1 x
+ f2 x ≤ fi x + f j x ,则称 i, j,k 是关于 f1 x , f2 x , f3 x 的一个 I排列;关于 f1 x , f2 x , f3 x 的 I
排列总数记为 nI.
(1)对 I=[3 ,+∞)，f1 x = x，f2 x = 0，f3 x = x2+ 1，判断 3,1,2 是否为 I排列；
(2)对 I= 0,+∞ , f1 x = x- 1 , f2 x = x+m , f3 x = x2，满足条件的 nI= 6，求m的取值范围;
(3)对 x∈ [0 ,+∞)恒有 0< F x < 1 ,令 I= [a ,+∞) , f 11 x = F x , f2 x = 2 (F x+a + F x-a ) ,
f3 x = 1- e-x.证明:若 F x 严格减,则存在 a> 0 ,使 nI≥ 4 ;若 F x 严格增,则存在 a∈ 0,1 ,使 nI≠
2.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. -2
【解析】(元素归属)由-1∈ A且 2≠-1 ,只能 a+ 1=-1 ,故 a=-2. (此时 A= 2,-1 ,且 2 ,-1互异,
符合集合的互异性.).
2. 54
a
【解析】解法一 (公比逐项推)公比 q= 2a = 3 ,故 a4= a1q
3= 2× 27= 54.
1
a2 36 a2 182
解法二 (等比中项)a3= 2a = 2 = 18 , a
3
4=
1 a
= 6 = 54.2
3. 2325
2
【解析】(二倍角降幂)选用只含 sinα的公式: cos2α= 1- 2sin2α= 1- 2× 1 2 235 = 1- 25 = 25 .
4. 0.7
【解析】(互斥加法公式)A , B互斥即 P AB = 0 ,故 P A∪B = P A + P B = 0.2+ 0.5= 0.7.
5. -1
【解析】由偶函数 f -4 = f 4 ，而 4≥ 0，故 f 4 = 4- a= 2- a= 3 a=-1.
6. 10
【解析】通项 Tr+1=Cr x2 5 -rxr=Cr 10-r5 5x .令 10- r= 7得 r= 3 ,故 x7的系数为C35= 10.
7. 14
【解析】解法一 (基本不等式)1= a2+ 4b2≥ 2 a2 4b2= 4 ab ，故 ab ≤ 14 ，当且仅当 a
2= 4b2(即 a= 2b)
时取等, ab max=
1
4 .
解法二 (三角换元)设 a= cosθ , 2b= sinθ，则 ab= cosθ sinθ = 12 4 sin2θ≤
1
4 , θ=
π
4 时取等.
8. 0.6
【解析】(概率归一+期望方程)由归一性 a+ 0.3+ b= 1即 a+ b= 0.7 ;由 E X =-a+ 0+ b= 0.5即 b
- a= 0.5.两式相加得 2b= 1.2 ,故 b= 0.6 a=0.1 .
9. 0, 13
n n-1 d d
【解析】(写出前几个和再筛选)由 a1= 0得 Sn= na1+ 2 d= n
2
2 - 2 n,
于是 S1= 0 , S2= d , S3= 3d , S4= 6d ,
S1= 0 0,1 .若 d≤ 0则各 Sn≤ 0 ,无项落入 0,1 ,故 d> 0 ,此时 Sn n≥2递增.
要“至少两项”在 0,1 ,最先入选的是 S2 , S3 ,需 0< S2< 1且 0< S3< 1 0< d< 1且 0< 3d< 1,
1
取交集得 0< d< 3 . (此时 S2= d , S3= 3d均在 0,1 ,而 S4= 6d可超出,不影响“至少两项”.).
10. -6

【解析】(两次共线+ 唯一表示)由两条平行关系,设 a+ 3b=m b+c , 2a+ kc= n b+c .
n
由第一式 a= m-3 b+mc ;由第二式 a= 2 b+
n-k
2 c.

b , c n n-k因 不平行可作基底,表示唯一,故对应系数相等:m- 3= 2 ,m= 2 .
参考答案 1 页 共 6 页
由第一式 n= 2m- 6 ,代入第二式m= 2m-6-k2 =m- 3-
k
2 ,
k
得 2 =-3 ,即 k=-6.
11. f t =-2cos 10πt + 2
【解析】(极值定振幅+半周期定ω)导数为 0处即 v的最值，故 v的最小值为 0、最大值为 4，
A= 4-0 = 2 , B= 4+0于是 2 2 = 2.
“初始速度为 0”即从最小值出发，“第一次到 4”即首次到最大值，
T 2π
历时半周期: 2 = 0.1 T= 0.2 ω= T = 10π.
故 f t = 2sin 10πt+φ + 2.由 f 0 = 0 : 2sinφ+ 2= 0 sinφ=-1 , 0,2π φ= 3π在 取 2 .
f t = 2sin 10πt+ 3π所以 2 + 2=-2cos 10πt + 2.
12. 23
x2 y2
【解析】(对称性锁定三类点+解方程组)设椭圆 2 + = 1a b2
a>b>0 ，长轴顶点 ±a,0 、短轴顶点
0,±b 、焦点 ±c,0 .
由对称性，互不重合的三点必从“左右顶点、上下顶点、两焦点”三类中各取其一.
其三条两两距离只可能是短轴顶点到焦点= b2+c2= a ,长轴顶点到焦点= a± c,
长轴顶点到短轴顶点= a2+b2.
a=3,
将 3, 14 ,5 与之匹配,取可行的一组: a+c=5, c= 2 , b2= a2- c2= 5 , 9+5= 14a2+b2= 14,
(其余匹配会导致 b2< 0 c< 0 ). e= c = 2或 等矛盾而舍去 故 a 3 .
13. B
1 1 4
【解析】a 3 a= a1 a 3 = a1+ 3 = a 3.
14. C
【解析】(事件语言+德摩根律)“至少一件发生”即 A发生、或 B发生、或二者都发生,对应并事件C= A

∪ B.由德摩根律，“并的对立”等于“各自对立的交”:C= A∪B= A∩ B,
其含义正是“A , B都不发生”.
15. C
【解析】(设代数形式比较虚部)设 z= a+ bi ,w= c+ di.
对“伴随”定义, z-w= a-c + b-d i∈ b= d ; z-w = a-c + b+d i∈ b=-d.
故 z与w伴随 b = d .
再看w- i= c+ d-1 i与 z+ i= a+ b+1 i :
w- i - z+ i = c-a + d-b-2 i∈ d- b= 2,

w- i - z+ i = c-a + d+b i∈ b+ d= 0.
两支中能用所给选项整齐刻画、且与“z ,w伴随”相容的充要条件是 b+ d= 0，即 Imz+ Imw= 0.
16. A
【解析】(轨迹圆与三坐标面相切)以 A为原点,设棱长为 a ,三条棱方向为 x , y , z轴,
则C1= a,a,a , AC1方向= 1,1,1 ,C= a,a,0 .
C绕轴 AC1旋转所成圆位于过C且垂直于 1,1,1 的平面内.
参考答案 2 页 共 6 页

AC 1,1,1C ( )O= 1,1,1 = 2a 2a 2a 2a在轴上的投影 圆心
1,1,1 2 3
1,1,1 = 3 , 3 , 3 ,
半径 r= C-O = a , a ,- 2a 3 3 3 =
6
3 a.
考察圆上各点的坐标范围:垂直于 1,1,1 的平面内,坐标轴方向投影长为 1- 1 = 63 3 ,
2a 6
故每个坐标取值为 3 ± r 3 =
2a ± 2a ∈ 0, 4a 3 3 3 .
即三个坐标都恰好≥ 0(最小值 0处与坐标面相切).
这条圆正是以 P 2a,0,0 ,Q 0,2a,0 , R 0,0,2a 为顶点的正三角形 PQR的内切圆
( 2a 2 6内切圆半径= = 3 a吻合) ,整圈落在第一卦限 (含边界)内.故点C只经过 1个卦限.2 3
17. (1)逐年比较两密度大小，仅“101.02< 119.47”与末年“3.86= 3.86(不算大于)”两年不满足,其余 7年颗
C1 7
粒物密度均大于二氧化硫密度,故 P= 7 = .
C19 9
(2)要呈现“随二氧化硫密度变化、颗粒物密度的变化趋势”，需用散点图.由数据看，二氧化硫密度增大
时颗粒物密度随之增大，二者正相关，相关系数为正；又 r ≤ 1，故相关系数落在 0,1 .
(3)对指数方程，2023年 (x- 2014= 9)

预测值 y1= 106.544e-0.461×9≈ 106.544× 0.01578≈ 1.681 , y 1-3.88 ≈ 2.199.

对线性方程,回归直线过 x,y ,其中 x= 2018,
y = 101.02+87.02+57.46+21.85+11.76+8.86+5.03+4.63+3.869 ≈ 33.499 ,
代入 33.499= a 2018-2014 + 83.743得 a≈-12.561.
于是 2023年预测值 y 2=-12.561× 9+ 83.743≈-29.306 , y 2-3.88 ≈ 33.186.
因 2.199< 33.186 ,故指数方程 y= 106.544e-0.461 x-2014 对 2023年的预测更接近实际.
18. (1)由H在 AD上、AH= 1 ,HD= 4知 AD= 5，故矩形中 BC= AD= 5.
以底面计算: BH= AB2+AH2= 4+1= 5 ,HC= CD2+HD2= 4+16= 2 5,
于是 BH2+HC2= 5+ 20= 25= BC2 ,由勾股定理逆定理 BH⊥HC.
又 PH⊥底面 PH⊥HC ,且 PH∩ BH=H ,故HC⊥平面 PBH ,从而HC⊥ PB.
(三垂线视角: BH是斜线 PB在底面内的射影,底面内HC⊥ BH ,由三垂线定理即得HC⊥ PB.)
(2)由V= 13 PH SABCD=
1
3 PH 2×5 =
10
3 PH=
10 5
3 得 PH= 5.
几何法.在平面 PBH内作HQ⊥ PB于Q ,连QC.
由 (1)HC⊥平面 PBH ,故HC⊥ PB ,结合HQ⊥ PB得 PB⊥平面HQC ,于是QC⊥ PB.
所以∠HQC为二面角C- PB-H的平面角.
在 Rt△PBH中，PB= PH2+BH2= 5+5= 10 ,HQ= PH BH = 5 5PB =
10
10 2
.
又HC⊥HQ(因HC⊥平面 PBH),
Rt△CHQ tan∠HQC= HC = 2 5 = 4 5在 中， HQ = 2 2.10/2 10
故二面角大小为 arctan2 2.

坐标法.以H为原点，HD ,HB ,HP为 x , y , z轴 (其中HB取在底面内并使坐标正交).
更直接地取H= 0,0,0 , A= -1,0,0 ,D= 4,0,0 , B= -1,2,0 ,C= 4,2,0 , P= 0,0, 5 .

则 PB= -1,2,- 5 , BC= 5,0,0 , BH = 1,-2,0 .
参考答案 3 页 共 6 页

平面 PBH法向量 n1 :由 n1⊥ PB , BH

解得 n1= 2,1,0 ;

平面 PBC法向量 n2 :由 n

2⊥ PB , BC

解得 n2= 0, 5 ,2 .
n

1 n2
cos< n1 , n >= 5 12
n
= = ,
1 n2 5 3 3
arccos 1故二面角为 3 = arctan2 2 ,与几何法一致.
19. (1)由 f 1 = 1+ a+ 3= 4得 a= 0，故 f x = x2+ 3。
x≠0 x2+ 3+ 1不等式 化为 2 > 4x+
1 x22 - 4x+ 3> 0 x-1 x-3 > 0,x x
解得 x< 1或 x> 3 ,再去掉 x= 0 ,故解集为 -∞,0 ∪ 0,1 ∪ 3,+∞ .
(2) f x = 2x+ a , f 0 = a ,故 l1 : y= ax+ 3 , l2 : y=- 1a x+ 3。
“g与 l 1 1 31无第一象限公共点”即 4x+ 2 = ax+ 3在 x> 0无解,分离参数: a= 4+x x3
- x x>0 ;
g l 4x+ 1“ 与 2无第一象限公共点”即 2 =-
1
a x+ 3在 x> 0无解,
1 1 3
分离参数:- a = 4+ - x>0x x3 x
.
两者右端是同一函数。
3 x2-1
令 h x = 4+ 1 - 3 x>0 , h x =- 3 + 3 = 则 ,x3 x x4 x2 x4
故 h在 0,1 上递减、在 1,+∞ 上递增,极小值 h 1 = 4+ 1- 3= 2 ;
当 x→ 0+时 h→+∞ ,当 x→+∞时 h→ 4。
故 h在 0,+∞ 上的值域为 2,+∞ 。
于是“y= a y=- 1、 a 都与 y= h
1
x 无交点” a< 2且- a < 2。
当 a> 0 :- 1a < 0< 2恒成立,只需 a< 2 ,得 0< a< 2 ;
当 a< 0 :- 1 1a > 0 ,由- a < 2 a<-
1
得 2 ,而 a< 2自动成立,得 a<-
1
2 .
综上 a∈ -∞,- 12 ∪ 0,2 .
20. (1)由 a2= 1、b2= 1知 Γ的渐近线为 y=±x，即 x± y= 0。
2-0
两条渐近线关于 x 2轴对称，点 2,0 到二者距离相等,取 x- y= 0 : d= = = 2.
12+ -1 2 2
(2)由 a2= 1 , b2= 1得 c2= a2+ b2= 2，故 F1 - 2 ,0 , F2 2 ,0 。
解法一 (坐标法)设 P x,y 在 Γ上，则 x2- y2= 1。

又 PF1 PF2= - 2-x 2-x + -y -y = x2- 2+ y2= 1,
故 x2+ y2= 3。与 x2- y2= 1联立得 x2= 2 , y2= 1，即 y = 1。
S = 1 1于是 △PF F 2 F1F2 y = 2 2 2 1= 2.1 2
解法二 (焦半径+余弦定理)记 PF1 = r1 , PF2 = r2 , ∠F PF = θ。 1 2
由 PF1 PF2= r1r2cosθ= 1。
又余弦定理 F 21F2 = r21+ r22- 2r r 2 21 2cosθ= 8 r1+ r2= 8+ 2= 10.
由双曲线定义 r1-r2 = 2a= 2 ,得 r2 21+ r2- 2r1r2= 4 ,故 r1r2= 3 ,从而 cosθ= 1 2 23 , sinθ= 3 。
1 1 2 2
所以 S△PF F = 2 r1r2sinθ= 2 3 3 = 2.1 2
参考答案 4 页 共 6 页
(3)过右焦点 F2 2 ,0 的直线设为 x= ty+ 2。
代入 x2- y2= 1 : ty+ 2 2 - y2= 1 t2-1 y2+ 2 2 ty+ 1= 0.
y , y , y + y = -2 2 t 1设交点纵坐标为 1 2 则 1 2 t2
, y
-1 1
y2= 2 ,t -1
8t2 4 4 t22 2 +1 y1-y2 = y

1+y2 - 4y1y2= -
t2-1 2 t2
=
-1 t2-1 2
,

2 t2+1
故弦长= 1+ t2 y1-y2 =
t2
。
-1
对直线 l ,由 P ,Q分居一、四象限的位置要求得 t∈ 0,1 ,此时 t2-1 = 1- t2,
2 t2+1PQ = 2 =-2+
4
,
1- t 1- t2
当 t∈ 0,1 时 PQ 严格递增，值域为 2,+∞ 。
对直线m : x= ny+ 2 ,由M ,N分居三、四象限的位置要求得 n∈ 1,2 2 ,
2
MN =
n2+1 4
同理 n2
= 2+ ,
-1 n2-1
18
当 n∈ 1,2 2 时 MN 严格递减，值域为 7 ,+∞ ；且因严格单调，n与 MN 一一对应，即给定 MN
之值时m唯一。
于是“对任意 l都存在唯一的m使 MN = λ PQ” 等价于:当 PQ 取遍 2,+∞ 时, λ PQ 取遍 2λ,+∞ ,
MN 18需被 的值域 7 ,+∞ 包含,即 2λ,+∞
18 18
7 ,+∞ 2λ≥ 7 λ≥
9
7 .
9
故存在这样的正数 λ，其取值范围为 λ≥ 7 .
【背景深挖】
过焦点的弦用 x= ty+ c而非 y= k x-c 来联立,可避免斜率不存在的讨论,并使Δ=判别式与韦达定
2 k2+1
理形式更整齐--这是圆锥曲线焦点弦的“横式 (定比点差 /对合)”常用处理。本题中
k2
即焦点
-1
弦长关于直线参数的显式表达，其中 k→ 1(趋于渐近线方向)时弦长发散，k= 0(垂直于实轴)时取通径
2b2
a = 2，恰为 PQ 的最小值。把“存在唯一m”翻译为“严格单调 一一对应”，再化为值域包含 2λ≥
18
7 ，是高考压轴“存在性+唯一性”问题的通法:单调保证唯一，端点定出临界 λ.
21. (1)此时 i, j,k = 3,1,2 ，即 i= 3 , j= 1。逐条验证:
2
条件一 f1≤ fi= f3 : x≤ x2+ 1 x2- x+ 1= x- 1 32 + 4 ≥ 0 ,在 上恒成立,自然在 3,+∞ 上成立;
条件二 f 21+ f2≤ fi+ f j= f3+ f1 ,即 f2≤ f3 : 0≤ x + 1恒成立.
两条件均满足,故 3,1,2 是 I排列.
(2)nI= 6即 1 , 2 , 3的全部 6个排列都是 I排列。
注意定义中两条件对所有排列汇总后等价于: f 1≤ f2 , f1 ≤ f 3 , f 2≤ f3 , f1 ≤ f 3
条件一对 i=2,3 条件二
在 0,+∞ 上恒成立,即 f1≤ f2≤ f3在 0,+∞ 上恒成立。
f1≤ f2 : x- 1≤ x+m m≥-1 ;
f1≤ f3 : x- 1≤ x2 x2- x+ 1≥ 0恒成立;
f ≤ f 2 2 2 1 1 12 3 : x+m≤ x m≤ x - x。而 x> 0时 x -x min=- 4 (x= 2 取到)，故m≤- 4
综上m∈ -1,-
1
4 .
参考答案 5 页 共 6 页
(3)先处理 F严格减的情形。因 f -x3 x = 1- e 在 0,+∞ 上严格增且 x> 0时 f3∈ 0,1 。
(i)构造 h x = f3 x - f1 x = 1- e-x- F x 。在 I= a,+∞ 上, f3严格增、F严格减 (故-F严格增)，所
以 h严格增，h x ≥ h a 。
又 a→+∞时 f3 a → 1，而 F严格减且有界 (0< F< 1)其极限< 1 ,故 h a → 1- limF> 0。
于是存在足够大的 a> 0使 h a > 0 ,从而 h x ≥ h a > 0,即 f1≤ f3在 I上成立。
(ii)又 f3- f2= 1- e-x-
1
2 F x+a +F x-a ,
由 F x-a ∈ 0,1 f -x 1 1 知 3- f2> 1- e - 2 F x+a +1 =
-x
2 1-2e -F x+a =: g x .
x→+∞时 g x 1 → 2 1- limF x+a > 0 ,故存在足够大的 a ,使 x∈ a,+∞ 时 g x > 0 ,从而 f2≤ f3在
I上成立。
(iii)于是在 I上 f1≤ f3且 f2≤ f3。据此检验排列:
1,2,3 : f1≤ f1 , f1+ f2≤ f1+ f2 ,成立;
1,3,2 : f1≤ f1 , f1+ f2≤ f1+ f3 f2≤ f3 ,成立;
3,1,2 : f1≤ f3 , f1+ f2≤ f3+ f1 f2≤ f3 ,成立;
3,2,1 : f1≤ f3 , f1+ f2≤ f3+ f2 f1≤ f3 ,成立.
故存在 a> 0使上述 4个排列均为 I排列,即 nI≥ 4.
1
再看 F严格增的情形。此时 f3仍严格增, f2= 2 F x+a +F x-a 为 F的对称平均。
可证:当 a∈ 0,1 适当选取时,成立的 I排列个数不等于 2(即 nI≠ 2)。该方向的完整论证依回忆版试题
尚需进一步补全,此处从略。
【背景深挖】
两条件的实质: f1≤ fi与 f1+ f2≤ fi+ f j联合刻画了在排列 i, j,k 下 fi(及 fi, f j 之和)相对“偏大”的地
位;当三函数在 I上具备全序 f1≤ f2≤ f3时 nI达到最大值 6 ,这与“优超 /majorization"中按大小重排的思
想相通。第 (3)问以 f3= 1- e-x(值域 0,1 的标准 "S型 "控制函数)为参照、以对称平均 f2=
1
2 F x+a +F x-a 为桥梁:当 F单调时，f2与 F x 、与上界 f3的大小关系可由单调性与 x→+∞的极
( F 1限统一控制 若进一步假定 的凸性，2 F x+a +F x-a 与 F x 的比较即 Jensen思想)。这类“函
数控制+平移对称化”手法在强基 /竞赛中常见，是把“排序型”离散条件转化为连续不等式的典型范
例。
参考答案 6 页 共 6 页

展开更多......

收起↑