资源简介

2026年普通高等学校招生全国统一考试 (天津卷)
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。（试题来源于网络，公众号MST数学聚集地整理）
参考公式:
若事件 A与事件 B互斥,那么 P A∪B = P A + P B .
若事件 A与事件 B独立,那么 P AB = P A P B .
球的表面积公式为 S= 4πR2 ,其中 R表示球的半径.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U={-2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3}，集合 A={-1 , 0 , 1 , 3}，集合 B={-2 , 0 , 1}，则 UA ∪ B=
A. {-2} B. {-2 , 2} C. {0 , 1 , 2} D. {-2 , 0 , 1 , 2}
2.设 x∈ R ,则“x> 0”是“x2+ 3x> 0”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.调查候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，其中相关系数 r=-0.91 ,根

据最小二乘法算得: y=-1.17x+ 1370.7 ,下列说法正确的是
A. y与 x呈负相关 B. 当 x= 10时, y一定为 1359
C. 当 x= 10时, y一定小于 1359 D. 两变量无线性关系
4.函数 f x 的部分图象如图所示,则 f x 的解析式可能为
A. x+ sinπx B. x- sinπx C. - x+ sinπx D. x sinπx
数学试题 第 1 页 共 4 页
5.正方体 ABCD- A1B1C1D1中,下列说法错误的是
A. AC A1C1 B. CC1⊥面 ABC
C. 面 ACD1 面 A1C1B D. 面 ADD1⊥面 ACD1
6.已知函数 f x = lnx .若 a= f 20.3 , b= f 30.3 , c= f 3-0.5 ,则 a , b , c的大小关系为
A. a< b< c B. b< a< c C. c< b< a D. c< a< b
7.设 x≠ 0 ,则 x+ 1x x+
4
x 最小值为
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
8.已知数列 an 的前 n项和为 Sn，S2n- Sn= n , a3= 6，则 a7+ a8=
A. 68 B. 56 C. - 3 D. - 4
2 y2
9. x已知双曲线 2 - 2 = 1 a>0,b>0 的左焦点为 F , A是右顶点，P是双曲线上一点,满足 FA = FP ,a b
∠FAP= 30° ,则双曲线离心率为
A. 4 B. 83 C.
8
5 D.
4
3
二、填空题:把答案填在题中的横线上。
10.已知 i是虚数单位，化简 3+ i 2 = .
11.在 x+2y 4 展开式中 x3y的系数为 .
12.在△ABC中, BC= 4 , AC= 3 , cosA=- 14 .则 sinB= .
13.箱子里有一个红球,两个黄球,三个白球.有放回的取三次,回答下列问题:
①三次都没取到黄球的概率是 ；
②在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是 .

14. 已知 a = a b= 1 , b > 1. 记 c= λa + μb.回答下列问题:

①当 a+ b- c = 0时，λ+ μ= ；
a

+b-c ②当 = 1时，λ+ μ的范围是 .
15.在平面内,O为坐标原点,抛物线 y2= 2x上有 A、B、C、D四个点,纵坐标分别为 yA、yB、yC、yD ,直线 AB
与直线CD交 x轴于点 P ,直线 AC交 x轴于点M，直线 BD交 x轴于点N，以下说法正确的有 .
①若M与抛物线焦点重合，则 yAyB=-2；
② yA yB= yC yD；
③ OM ON = 2 OP 2；
④ yB-yC OP = yB-yD OM ;
S 2
⑤ △ACP
OM
S =△BDP ON
数学试题 第 2 页 共 4 页
三、解答题:解答写出文字说明、证明过程和计算步骤。
16.函数 f x = sin 2x+ π6
(1)求 f x 的最小正周期；
(2) x∈ - π , π若 6 12 上，求 f x 的最大值和最小值；
(3)若 α∈ 0, π2 , sinα=
3
3 ，求 f α .
17.在长方体 ABCD- A1B1C1D1中, AB= 2 , AA1= 3 , AD= 4 , A1E= 3ED1,C1F= 2FC.
(1)求证: BD⊥面CEF.
(2)求面 AEF与面CEF的夹角的余弦值:
(3)求三棱锥 A-CEF的体积.
D1
E
C1
A1
B F1 D
C
A
B
2 y2
18. x 1已知椭圆C :
a2
+ 2 = 1 a>b>0 的离心率为 2 ,椭圆被直线 x= b截的线段长为 3 .b
(1)求C的标准方程；
(2)斜率为- 3的直线与圆 x2+ y2= b2相切，且该直线交椭圆于 P x1,y1 ，Q x2,y2 , y1< y2.A是椭圆上
顶点. k记直线 AP , AQ的斜率分别为 k1 , k2 ,求 1k 的值.2
数学试题 第 3 页 共 4 页
19.等差数列 an 与等比数列 bn 满足: a1= 2 , b1= 1 , a2= b1+ b2 , a4= b3- b1.
(1)求数列 an , bn 的通项公式:
(2)记 En= x∈R∣x≤n， k∈N *使得 x=ak或x=bk ，记 cn为 En中的元素个数.回答下列问题:
①求 c3n；
3m-1
②求 -1 m am cm.
m=1
20. 2已知 f x = ex- 3 sinx.
(1)求 f x 在点 0, f 0 处的切线方程.
(2)当 x∈ -
1
3 ,+∞
x
时,证明 f x ≥ 1+ 3 .
(3) n∈N * , f 1 f 1 f 1 2 3 f
1 1 a
4 f n ≥ n+1 恒成立.求实数 a的最大值
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. D
【解析】 UA= -2,2 . UA ∪ B= -2,2 ∪ -2,0,1 = -2,0,1,2 .
2. A
【解析】解法一 (解不等式判定)x2+ 3x> 0 x x+3 > 0 x> 0或 x<-3.
记 P={x ∣ x> 0} ,Q={x ∣ x> 0或 x<-3}.
因 P Q ,故 x> 0能推出 x2+ 3x> 0(充分),但反之不行 (如 x=-4满足Q而不满足 P ,不必要).
解法二 (举反例否定必要性)取 x=-4 : x2+ 3x= 16- 12= 4> 0成立，但 x> 0不成立，故“x> 0”不是必
要条件；而 x> 0 x2+ 3x= x x+3 > 0恒成立，是充分条件.综上为充分不必要.
3. A
【解析】解法 (逐项辨析)r=-0.91< 0且 r 接近 1 ,说明 x , y之间存在很强的负线性相关,故 A正确，D
错误 (“无线性关系”对应 r≈ 0).

当 x= 10时 y=-1.17× 10+ 1370.7= 1359 ,这是估计值而非确定值,实际值在其上下波动,故 B("一定
为 1359”)与C(“一定小于 1359”)都把预测说成必然，均错误.
4. C
【解析】解法一 (奇偶性+特殊值双重筛选)图象关于原点对称，f x 为奇函数.选项D : xsinπx是偶函数
(奇×奇) ,排除. A、B、C均为奇函数,再用特殊值:在 x= 1处 sinπ= 0 ,故 A : f 1 = 1, B : f 1 = 1,C :
f 1 =-1 ;由图 x= 1附近图象在 x轴下方 f 1 <0 .
解法二 (端点趋势+单调判定)对C : f x =-x+ sinπx , f x =-1+ πcosπx , f 0 = π- 1> 0，原点附
近递增，与图象在原点附近上升一致；而 B : f 0 = 1- π< 0，原点附近递减，与图不符,排除 B.结合
f 1 =-1选C.
5. D
【解析】解法一 (建系，用法向量判定)设棱长为 1,
A 0,0,0 , B 1,0,0 ,C 1,1,0 ,D 0,1,0 , A1 0,0,1 ,C1 1,1,1 ,
A : AC= 1,1,0 = A1C1，平行，正确.
B :CC1= 0,0,1 与底面 ABC(即 z= 0)垂直，正确.
C :面 ACD1与面 A1C1B是正方体中一对平行截面 (经典结论)，正确.
D : ADD x= 0 , n = 1,0,0 ; ACD n

面 1即 法向量 1 面 1的法向量 2= AC× AD1= 1,1,0 × 0,1,1 =
1,-1,1 n .因 1 n

2= 1≠ 0 ,两面不垂直,故D错误.
解法二 (几何推理)对C ,由 AD1∥ BC1、AC∥ A1C1 ,两组相交直线分别平行,故两面平行.对D , ACD1是
斜截面,过棱 AD1作截面可验证二面角不是直角,故D不成立.
6. A
【解析】解法一 (化为 ln 再比绝对值)a= ln20.3 = 0.3ln2 , b= ln30.3 = 0.3ln3 , c= ln3-0.5 = 0.5ln3.
由 ln2< ln3得 a= 0.3ln2< 0.3ln3= b ;又 b= 0.3ln3< 0.5ln3= c.故 a< b< c.
解法二 (数轴+ lnx 1 的几何意义)20.3≈ 1.23 , 30.3≈ 1.39都> 1 , 3-0.5= ≈ 0.58< 1.
3
f x = lnx 表示点 x到 1的“对数距离”.
计算 ln1.23≈ 0.21 , ln1.39≈ 0.33 , ln0.58 ≈ 0.55 ,得 a< b< c.
7. B
参考答案 1 页 共 7 页
( + ) x+ 1 x+ 4 = x2+ 4+ 1+ 4 4【解析】解法一 展开 基本不等式 x x 2 = x2+ 2 + 5.x x
由 x2+ 42 ≥ 2 x
2 4x2 = 4(当 x
2= 2即 x=± 2取等) ,故原式≥ 4+ 5= 9.
x
解法二 (换元)令 t= x2> 0 ,原式= t+ 4t + 5
4
.函数 g t = t+ t 在 t= 2处取最小值 4 ,故最小值 9.
8. C
【解析】解法 (相邻作差,递推求项)对 n与 n- 1 n≥2 分别写出 S2n- Sn= n、S2n-2- Sn-1= n- 1,
两式相减: S2n-S2n-2 - Sn-Sn-1 = 1 a2n+ a2n-1- an= 1.
逐次代入:
n= 1 : a2+ a1- a1= 1 a2= 1 ;
n= 2 : a4+ a3- a2= 1 a4+ 6- 1= 1 a4=-4 ;
n= 4 : a8+ a7- a4= 1 a7+ a8= 1+ a4= 1+ -4 =-3.
9. D
【解析】解法一 (坐标法:定 P代入曲线)设 F -c,0 , A a,0 ，则 FA = a+ c.因 FP = FA = a+ c且
∠FAP= 30° ,等腰△FAP底角 30° ,底边 AP = 2 FA cos30° = 2 a+c 3 2 = 3 a+c .
P在 A处沿与 x负方向成 30°的射线 (取上方)，方向 - 3 12 , 2 ，
故 P= a- 3 32 a+c , 2 a+c = -
a+3c , 32 2 a+c .
x2 y2- = 1 , e= c
1+3e 2 3 1+e 2 3 1+e
代入 2 2 令 a , b
2= a2 e2-1 : - 4 2 = 1 1+3e
2 -

a b 4 e -1 e-1
= 4.
注意 1+3e 2 - 4= 3e-1 3e+3 = 3 3e-1 e+1 ，
e+1 : 3 3e-1 = 3约去 e-1 3e-1 e-1
4
= 1 3e2- 4e= 0 e= 3 .
解法二 (焦点三角形+余弦定理)等腰△FAP中 FA = FP = a+ c ,顶角∠AFP= 180° -2× 30° = 120°.
结合双曲线定义对 P所在支讨论,可建立含 a , c的方程,化简同样得 e= 43 (坐标法更直接).
10. 8+ 6i
【解析】 3+ i 2 = 9+ 6i+ i2= 9+ 6i- 1= 8+ 6i.
11. 8
4 4-r r 4【解析】通项 T r 4-r r 3
4
r+1= x 2y = 2 x y .要 x y ,须 4- r= 3 , r= 1,系数为 21= 4× 2= 8.r r 1
12. 3 1516
【解析】(同角关系+正弦定理)由 cosA=- 1 14 (A为钝角)得 sinA= 1- 16 =
15
4 .记 a= BC= 4(对
A), b= AC= 3(对 B).
a b bsinA 3 15 3 15
由正弦定理 sinA = sinB : sinB= a = 4 4 = 16 .
13. (i) 827 ; (ii)
37
64
4 2
【解析】解法 (独立重复+条件概率)共 6球:红 1、黄 2、白 3.一次取球不取到黄球的概率= 6 = 3 .有放
2 3 8
回三次相互独立，故 P 三次无黄 = 3 = 27 .
在“三次无黄”的条件下，每次只可能取到红或白，且红、白在非黄中所占比为 1 : 3，即条件下取红的概率
参考答案 2 页 共 7 页
1 3 3 3
4 、取白 4 .“至少一次红”取反面“三次全白”: P 至少一红∣无黄 = 1- 4 = 1-
27
64 =
37
64 .
14. (i)2 ; (ii) [1 , 3]

【解析】解法一 ( + ) a
a b
基底唯一性 二次型分析 由 = 1 、a b= 1 b > 1 cos< a 、 知 , b>= =
1
<
a b b

1,故 a , b不共线,构成平面的一组基底.
(i)a+ b- c= 0 c = a

+ b , 与 c= λa + μb比较 (基底表示唯一)得 λ= μ= 1 ,故 λ+ μ= 2.

(ii)记 p= 1- λ , q= 1- μ , a 则 + b- c = 1-λ a+ 1-μ b= pa + qb.
2
设 B= b > 1 , pa 由 +qb = 1平方: p2+ 2pq a b + q2
2
b = p2+ 2pq+Bq2= 1.
1 1这是关于 p,q 的正定二次型 (因 det = B- 1> 0) ,其图形是一个椭圆.1 B
求线性量 s= p+ q在该椭圆上的范围，用拉格朗日乘数 p+q ∥ p2+2pq+Bq2 :
2p+ 2q= 2p+ 2Bq q B-1 = 0 q= 0 , p2= 1 p=±1.
故 s= p+ q=±1 ,即 p+ q∈ -1,1 ,于是 λ+ μ= 2- p+q ∈ 1,3 .
解法二 (消元化一元二次约束)由约束 p2+ 2qp+ Bq2-1 = 0有实根，判别式≥ 0得 4q2- 4 Bq2-1 ≥
0 , 1即 q2≤ B-1 ;同理界定 p+ q的端点.代入 q= 0 , p=±1时取到 λ+ μ= 1与 3,与解法一一致.
15.②
【解析】核心引理 (抛物线弦与 x轴交点的“纵积”公式)设抛物线 y2= 2x上两点纵坐标为 s , t，即点
s
2
,s , t
2
2 2 , t
s- t 2
.当 s≠ t时，过此二点的弦斜率 k= 2 2 = ,s
2 -
t s+ t
2
2
直线方程 y- s= 2s+ t x-
s
2 .
st
令 y= 0 x st 解得与 轴交点横坐标 x0=- 2 ,即该交点到原点距离 x0 = 2 .
即弦与 x轴交点的横坐标只由两端点纵坐标之积决定.
1
①错误. y2= 2x化为 y2= 2px得 2p= 2 , p= 1 ,焦点 2 ,0 .
yAyB 1
若弦 AB过焦点,由引理- 2 = 2 ,得 yAyB=-1 ,并非-2. (一般地, y
2= 2px的焦点弦满足两纵坐标
之积=-p2=-1.)故①错.
y y y y
②正确. AB与CD交于 x A B C D轴上同一点 P ,由引理两弦的 x截距相等:- 2 =- 2 yAyB= yCyD.
即②是“两弦共 x轴交点”这一条件的直接代数翻译，恒成立.
yAyC y yOM = , ON = B D
yAy, OP = B
yCy= D ③错误.由引理 2 2 2 2 .
yAyC yByD yAyByCyD y 2AyB
于是 OM ON = = , OP 24 4 = 4 .
当 P在 x轴上 (②成立，yAyB= yCyD)时， y 2 2 2AyByCyD = yAyB ，故 OM ON = OP ，而非 2 OP .③中的
系数 2不成立.
y
OP = A
yB y, OM = A
yC
④错误.由引理 2 2 ,
yAyB y y
代入论断左、右两边: yB-yC OP = 2 y -y , y -y OM =
A C
B C B D 2 yB-yD .
参考答案 3 页 共 7 页
二者相等需 yB yB-yC = yC yB-yD 对任意满足 yAyB= yCyD的取值恒成立--这显然不成立.
取 yA= 1 , yB=-4 , yC= 2 , yD=-2(满足 yAyB= yCyD=-4)验证:左= -4-2 2=-12 ,右= -4+2
1=-2 ,左≠右.故④错误.
⑤错误.以 P为公共顶点，△ACP与△BDP的“底”分别为 AC , BD.用纵坐标表示面积，由引理及相似关
S OM OM 2
系可化简得 △ACPS = ,而非 .仍取上例 yA= 1 , yB=-4 , yC= 2 , yD=-2 :直接计算 SON ON △ACP :△BDP
OM OM
2
S△BDP= 1 : 4= ,而 =
1 ,二者不符.故⑤中的平方是多余的,论断错误.
ON ON 16
背景深挖
(1)一条引理贯通全题.对 y2= 2px，纵坐标为 s , t的弦交 x轴于 x =- st st0 2p p=- 2 (本题 p= 1).由此立
得三条常用结论: (i)焦点弦 st=-p2；(ii)弦过定点 m,0 st=-2pm为定值; (iii)多条弦共 x轴交
点 各自纵积相等.
(2)射影几何视角--配极与对合.把 x轴上的点 x0,0 与抛物线上“纵积=-2x0”的点对对应，这是关
于抛物线的一组对合 (involution).论断②“两弦共点 纵积相等”正是对合不变量相等的体现；这类结
构在圆锥曲线“定点、定值、配极”问题中反复出现，强基与竞赛常以“两点对合式”“极线”形式考查.
(3) 1面积比的统一处理.△ACP与△BDP共顶点 P，可用 S= 2 OP y上-y下 之类的底高分解,结合引理
OM
把面积比化为纵坐标的对称式之比--同样只依赖 yA , yB , yC , yD的积与差,最终化为一次比 .这
ON
解释了为何⑤的平方是错误的.
16. (1) (求周期) f x = sin 2x+ π6 ,角频率ω= 2 , T=
2π
故 2 = π.
(2) ( π π整体换元定区间最值)当 x∈ - , 6 12 时,令 u= 2x+
π ∈ - π , π 6 6 3 .
sinu π在此区间单调递增，于是 sinu∈ sin - 6 ,sin
π 3 =
1
- 2 ,
3
2 .
故 f x = sinu π 3的最大值为 sin 3 = 2 (u=
π x= π3 即 12 ),
π
最小值为 sin - 6 =-
1
2 (u=-
π
6 即 x=-
π 3 1
6 ).即最大值 2 ,最小值- 2 .
解 (3) ( π 3同角关系+二倍角+两角和)α∈ 0, 2 , sinα= 3 ，故 cosα= 1-
1 = 63 3 .
于是 sin2α= 2sinαcosα= 2 3 6 2 18 2 23 3 = 9 = 3 , cos2α= 1- 2sin
2α= 1- 23 =
1
3 .
π
所以 f α = sin 2α+ 6 = sin2αcos
π + cos2αsin π = 2 2 3 + 1 16 6 3 2 3 2 =
6 + 1 2 6+13 6 = 6 .
17.建系 (以D为原点)设D 0,0,0 , A 4,0,0 , B 4,2,0 ,C 0,2,0 ,D1 0,0,3 , A1 4,0,3 , B1 4,2,3 ,
C1 0,2,3
E在 A1D1上, A1E= 3ED1 ,即 E分 A1D1为 3 : 1 ,靠近D1 : E= A1+ 34 D1-A1 = 1,0,3 .
F在CC1上, 2C1F= FC即 FC= 2C1F , F分CC1使CF : FC1= 2 : 1 : F= 0,2,2 .

(1) (法向量法证线面垂直)DB= 4,2,0 ,CE= 1,-2,3 ,CF= 0,0,2 .

DB CE= 4- 4+ 0= 0 ,DB CF= 0.

CE ,CF不共线,张成平面CEF ,而DB同时垂直于二者,故 BD⊥平面CEF.

(2) ( 两平面法向量夹角)平面CEF的一个法向量可取 n1=DB= 4,2,0 ∥ 2,1,0 .
参考答案 4 页 共 7 页

平面 AEF : AE= -3,0,3 ∥ -1,0,1 , AF= -4,2,2 ∥ -2,1,1 ,

i j k
n 2= AE× AF= -1 0 1 = -1,-1,-1 ∥ 1,1,1 .-2 1 1
n n 1 2 2+1+0
cosθ= = = 3 = 15故
n n 5 3 15 5
.
1 2
15
所求二面角的余弦值为 5 .
(3) (标量三重积求体积)以C为顶点,CA= 4,-2,0 ,CE= 1,-2,3 ,CF= 0,0,2 :
4 -2 0
V = 1 det 1 -2 3 = 1 2 4 -2 - -2 1 12A CEF 6 6 1 = 6 2 -6 = 6 = 2. 0 0 2
背景深挖

(1)为什么 BD恰好垂直于平面CEF.在底面内DB= 4,2,0 ，而CE在底面的投影 1,-2,0 恰与

4,2,0 垂直 4-4=0 ，竖直分量又被CF的纯竖直方向“吸收”.命题人通过选取 E , F的分点比例，使
CEF的法方向正好落在底面对角线 BD上--这是“逆向设计”垂直关系的典型手法.

(2)几何法 (不建系)的等体积技巧.第 (3)问也可用等体积转换:注意CF= 0,0,2 与底面垂直，当某条
棱与底面平行或垂直时，“平移顶点体积不变”常能把不规则四面体化为易算的直棱锥.
(3)法向量与几何向量的统一.线面垂直的向量判定、二面角的法向量夹角、体积的三重积，三者都建立
在同一套坐标与叉积 /行列式运算上.熟练“建系-求向量-叉积-行列式”四步即可处理立体几何中
的角度与体积.
18. (1) ( c 1 a 3离心率+截弦定 a , b)由 e= 2 2 2 2a = 2 得 c= 2 , b = a - c = 4 a .
b2 y2 2
将 x= b代入椭圆: + = 1 y2= b2 1- ba2 b2 a2 .
b2
又 2 =
3
4 ,故 y
2= b2 1 b4 ,弦长= 2 y = 2 2 = b= 3.a
b2 2 y2
于是 b2= 3 , a2= 3/4 = 4 ,
x
椭圆为 4 + 3 = 1.
(2) (相切定截距+联立求斜率比)上顶点 A= 0, 3 .圆为 x2+ y2= b2= 3.
m
设 l : y=- 3 x+m l .与圆相切 原点到 的距离 = 3 ,得 m = 2 3 ,即m=±2 3.
1+3
x2 - 3x+2 3 2 x2
取m= 2 3 ,代入椭圆: 4 + 3 = 1 + x
2
4 - 4x+ 4= 1 5x
2- 16x+ 12= 0.
解得 x= 2或 x= 65 .
x= 2 : y=-2 3+ 2 3= 0 ,点 2,0 ;
x= 6 6 35 : y=- 5 + 2 3=
4 3 6
5 ,点 5 ,
4 3
5 .
6 4 3
因 y1< y2 ,故 P= 2,0 ,Q= 5 , 5 .
4 3 - 3 - 3
k1= kAP= 0- 3 3 5 5 32-0 =- 2 , k2= kAQ= 6 = =--0 6 6
.
5 5
参考答案 5 页 共 7 页
k1 = - 3/2故 k = 3.对m=-2 3 ,
k
由对称性同理得 1
2 - 3/6 k
= 3.
2
19. (1) (基本量列方程)设公差 d、公比 r ,则 an= 2+ n-1 d , b = rn-1n a2= b1+ b2 2+ d= 1+ r d= r-
1 ; a4= b3- b1 2+ 3d= r2- 1.
代入 d= r- 1 : 2+ 3 r-1 = r2- 1 r2- 3r= 0 r= 3 r≠0 , d= 2.故 a = 2n , b = 3n-1n n .
(2) (I) (计数:偶数与 3的幂不相交) ak = 2,4,6, 全为偶数; bk = 1,3,9,27, 全为 3的幂 (奇
数).
n
两集合不相交，故 cn= 2 + gn .
≤n ≤n的3个幂个数的偶数个数
3n 3n-1
取 n= 3n : 3n为奇数, = ;≤ 3n的 3的幂为 30 , 31 , , 3n 2 2 共 n+ 1个.
n n
故 c = 3 -13n 2 + n+1 = n+ 1+
3 -1
2 .
n
解 (2) (II) ( N 3 -1按奇偶配对求交错和)记N= 3n- 1(偶数), J= 2 = 2 , am= 2m.
将相邻两项m= 2 j- 1(奇，负号)、m= 2 j(偶，正号)配对，j= 1 , 2 , , J.
设 g j为≤ 2 j- 1(也=≤ 2 j ,因 2 j非 3的幂)的 3的幂个数,
则 c2 j-1= j-1 + g j , c2 j= j+ g j.
每对之和:-2 2 j-1 c2 j-1+ 4 jc2 j=-2 2 j-1 j-1 +g j + 4 j j+g j
= -4 j2+6 j-2+4 j2 + g j -2 2 j-1 +4 j = 6 j-2 + 2g j.
J J J
对 j= 1 , , J求和:∑ 6 j-2 + 2∑g 2j= 3J + J+ 2∑g j.
j=1 j=1 j=1
J
交换求和次序算∑g :≤ 2J- 1= 3nj - 2的 3的幂为 30 , , 3n-1,
j=1
i i
对每个 3i ,满足 2 j- 1≥ 3i的 j 3 +1 1-3个数为 J- 2 + 1= J+ 2 ,
J n-1 i n
于是∑g =∑ J+ 1-3j 2 = nJ+
n 3 -1
j=1 i=0 2
- 4 .
n n
( J= 3 -1 ) : 3J 2+ J+ 2nJ+ n- 3 -1 3代回 注意 n2 2 = 4 3 -1
2 + n 3n-1 3 + n= n 3n+ 3n4 -1
2 .
背景深挖
(1)集合计数的“不相交”本质. ak= 2k给出全体偶数，bk= 3k-1给出全体 3的幂；由于 3的幂皆为奇数,两
列无公共元素,故 En 直接相加无需容斥.
(2)交错和的两件利器:配对与 Abel求和.含 -1 m 的和最稳的处理是相邻配对 (把 化为差分)，本题每
对化简出 6 j- 2+ 2g j；另一通法是 Abel分部求和，当 cm分段常值时尤为方便.
(3)强基视角--“取整+数论密度”. gn= log3n + 1是“≤ n的 3的幂个数”,与 n/2 (偶数密度)叠加
给出 cn.这类“把数列值域当集合、统计落点个数”的题目，融合取整函数、等比增长、计数估计，是竞赛与
强基中“数列∩数论”的常见交汇点.
20. (1) (切线) f 0 = e0- 2 sin0= 1 ; f x = ex- 23 3 cosx , f
0 = 1- 2 1 13 = 3 .故切线 y= 1+ 3 x.
(2) ( + ) g x = f x - 1- x = ex- 2构造差函数 凸性 令 3 3 sinx- 1-
x
3 .
g 2 1 2 1则 0 = 0 , g x = ex- 3 cosx- 3 , g
0 = 1- 3 - 3 = 0.
2 1 2 2
再求二阶导: g x = ex+ 3 sinx.在
x
- 3 ,+∞ 上:当 x≥ 0时 e ≥ 1> 3 ≥ 3 sinx ,故 g > 0 ;
参考答案 6 页 共 7 页
当 x∈ 1 - 3 ,0 时 g x ≥ e-1/3+
2
3 sin -
1
3 ≥ 0.716-
2
3 0.328> 0.49> 0.
故 g x > 0 - 1在 3 ,+∞ 上恒成立, g 严格递增.
结合 g 0 = 0知: x< 0时 g < 0 , x> 0时 g > 0,
故 g在 x= 0取最小值 g 0 = 0 ,即 g x ≥ 0 , x亦即 f x ≥ 1+ 3 .
解 (3) (切线不等式+立方放缩裂项)由 (2) ,对 k∈ * , 1k ∈ 0,1
1
- 3 ,∞ ,
故 f 1k ≥ 1+
1 3k+1
3k = 3k .
3
: 3k+1 ≥ k+1关键放缩 3k k .
事实上 3k+1 3 k- k+1 3k 3 = k 27k3+27k2+9k+1 - 27k3 k+1 = 9k2+ k= k 9k+1 > 0,
不等式成立.
n
∏ f 1
3 n 3 n
于是 k ≥∏k=1 k=1
3k+1
3k ≥∏
k+1
k=1 k
= n+ 1(裂项相消) ,
n
从而∏ f 1k ≥ n+1
1 /3 ,即 a= 13 时不等式恒成立.k=1
再证 a不能更大 a≤ 13 :
1
取对数, lnf k = ln 1+
1 +o 13k k =
1 1
3k + o k ,
n
故∑lnf 1 1k=1 k = 3 lnn+O 1 .
1 1
而 ln n+1 a = alnn+ o lnn .若 a> 3 ,当 n充分大时 alnn> 3 lnn+O 1 ,不等式将被破坏.故 a≤
1 1
3 .综上 amax= 3 .
点评:第 (1) (2)问是“切线不等式”问题: f x ≥其切线，靠构造 g= f-切线并证 g凸且在切点取最小
值.第 (3) 1 1 1问关键是把单项下界 1+ 3k 立方后裂项相消，使乘积化为 n+ 1；再用对数渐近∑ 3k 3 lnn
1
说明 3 已是上确界.
背景深挖
(1)切线不等式的统一框架.凡“ex型函数≥一次式”皆可化为 g= f- ，验证 g x0 = g x0 = 0且 g ≥ 0
(凸)即得 g≥ 0 2.本题切点在原点, g = ex+ 3 sinx
1 1在 - 3 ,∞ 上为正一区间左端- 3 的设置正是为了
保证 e-1/3> 23 压住 sin的负值.
(2)“立方裂项”为何恰好成立.取下界 1+ 1 k+13k 后,希望乘积裂项成∏ k = n+ 1.立方的来由:
ln 1+ 1 1 k+1 13k ≈ 3k ,而 ln k ≈ k ,比值约 3 ,故三次方后量级匹配.代数上 3k+1
3 ≥ 3k 2 3k+3 化
简为 9k+ 1≥ 0恒真,这是“AM-GM /伯努利”型的精确化.
(3)上确界的渐近判定 (强基常用).判断常数 a的最大值，标准武器是取对数化乘积为和+调和级数渐
n 1 1 1
近∑ k = lnn+ γ+ o 1 .本题∑lnf k 3 lnn alnn a =
1
与 比较即定 max 3 .这种“先猜后证、用渐近卡k=1
上界”的思路，是处理“对一切 n成立的最优常数”问题的通法.
参考答案 7 页 共 7 页

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