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高二数学测评
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册导数占40%，选择性必修第三册占40%，集合、常用逻辑用语、不等式占20%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．定义一种运算：．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知某旗舰店近五年“十一”黄金周期间的成交额如下表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代号x 1 2 3 4 5
成交额y/万元 33 90 107
根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．2026年“十一”黄金周期间该旗舰店的成交额一定为131万元
B．
C．当时，残差为
D．点一定在经验回归直线上
6．某快递店每天的快递量（单位：个），记T表示200天内快递量介于420至540的天数，则T的均值约为（附：若随机变量，则，，）
A．154 B．164 C．174 D．184
7．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．45 B． C． D．120
8．如图，对一个正五边形的五个区域进行涂色，要求同一个区域只涂一种颜色，相邻的两个区域涂不同的颜色．现有红、黄、蓝3种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方案数为（ ）
A．24 B．28 C．30 D．36
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知正数x，y满足，则（ ）
A． B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
10．某社团开展百科知识竞赛答题活动，参与者在6道试题（有4道文史题和2道理科题）中不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到理科题”，事件B为“第2次抽到理科题”，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，，若函数有3个不同的零点，，，且，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数，若，则 ▲ ．
13．现有4男4女共8人，从中选取6人分配到A，B两个单位，每个单位3人，其中A单位要求接收的3人中，女性的人数多于男性，B单位要求接收的3人中，至少有1名女性，则不同的分配方法数为 ▲ ．
14．某特色文旅店推出一款以西汉“长信宫灯”为原型的创意小夜灯，每个小夜灯的制作成本为60元，经市场调研发现，该小夜灯的日销量y（单位：个）与售价x（单位：元）之间的关系式为（）．若要使该店销售此款小夜灯的日利润最大，则每个小夜灯的售价应定为 ▲ 元．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围；
（3）若，求m的取值范围．
16．（15分）
已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若在内仅存在一个极值点，求a的取值范围．
17．（15分）
中国民间传统文化蕴含着老百姓代代相传的生活智慧和风俗习惯，其内容丰富多彩，涵盖了生活的方方面面，从节庆习俗、民间艺术到传统技艺和民间文学等．某文化公司在某地开展中国民间传统文化宣传活动，并于活动期间调查了参加活动的市民对中国民间传统文化的了解情况，数据如下：
年龄段 对中国民间传统文化的了解情况 合计
不了解 了解
老年 40 70 110
青年 60 30 90
合计 100 100 200
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为了解中国民间传统文化与年龄段有关？
（2）利用分层随机抽样的方法从了解中国民间传统文化的100人中抽取10人，再从这10人中抽取3人进行文化宣传，记X表示这3人中青年的人数，若Y服从两点分布，且，X与Y相互独立，求．
附：，．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18．（17分）
已知函数．
（1）若关于x的方程有且只有一个根，求a的值；
（2）若对于任意的，恒成立，求a的取值范围．
19．（17分）
设随机变量X的分布列为（），且．
（1）求；
（2）求；
（3）证明：．
高二数学测评参考答案
1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．B 7．A 8．C 9．BC 10．ACD 11．ABD
12．3 13．240 14．100
15．解：（1）当时，， 1分
因为，所以， 2分
． 3分
（2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 5分
则解得，即m的取值范围为． 7分
（3）因为，所以或， 9分
所以或，
解得或， 11分
即，所以m的取值范围为． 13分
16．解：（1）因为，所以，则二次方程的判别式． 3分
①当，即时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间． 5分
②当，即或时，的两个实根为，，所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 7分
（2）若在内仅存在一个极值点，则在内仅存在一个变号零点． 9分
由，可得， 11分
易知函数在上单调递减，在上单调递增，且，， 13分
由的图象（略）可知，所以，即a的取值范围为． 15分
17．解：（1）零假设为：是否了解中国民间传统文化与年龄段无关． 1分
， 5分
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否了解中国民间传统文化与年龄段有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001． 7分
（2）由样本数据可知了解中国民间传统文化的青年人数与老年人数之比为3∶7， 8分
所以抽取的10人中有3人是青年人，有7人是老年人． 9分
，10分
， 11分
因为X与Y相互独立，所以
． 15分
18．解：（1）关于x的方程有且只有一个根，即有且只有一个根，
所以有且只有一个根． 1分
令，则，令，得，令，得， 3分
所以在上单调递减，在上单调递增， 4分
所以，当时，，当时，， 5分
所以． 6分
（2）恒成立，即恒成立，令（），
则，令，则． 8分
①若，则，在上单调递减， 9分
所以，即，则在上单调递减， 10分
所以，故满足条件． 11分
②若，令，得． 12分
（ⅰ）当，即时，在上单调递减，
所以，即，则在上单调递减，
所以，故满足条件． 14分
（ⅱ）当，即时，在上单调递增，所以，所以
在上单调递增，所以，故不满足条件． 16分
综上所述，a的取值范围为． 17分
19．（1）解：因为， 1分
所以， 2分
则． 3分
（2）解：当时，， 4分
即，则， 6分
所以， 8分
则，得． 9分
（3）证明：由（2）知，当时，．
又，所以， 10分
则． 12分
设（），则，则在上单调递增，所以，即（）． 13分
令，得， 14分
则
， 16分
则． 17分
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