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(共41张PPT)
专题提升四　动力学图像　
连接体和临界极值问题
[复习目标]
1．掌握动力学图像的物理意义及其解题思路和策略。　2.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。　3.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。
第一部分
题型一　动力学图像问题
1．常见图像
v－t图像、a－t图像、F－t图像、F－a图像等。
2．题型分类
(1)已知物体受到的力随时间变化的图像，要求分析物体的运动情况。
(2)已知物体的速度、加速度随时间变化的图像，要求分析物体的受力情况。
(3)由已知条件确定某物理量的变化图像。
3．解题策略
C
例1 (2024·安徽卷，T4)倾角为θ的传送带以恒定速率v0顺时针转动。t＝0时在传送带底端无初速度轻放一小物块，如图所示。t0时刻物块运动到传送带中间某位置，速度达到v0。不计空气阻力，则物块从传送带底端运动到顶端的过程中，加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是(　　)
[解析]　0到t0时间内，物块轻放在传送带上，做加速运动，受力分析可知，物块受重力、支持力、滑动摩擦力，滑动摩擦力大于重力的下滑分力，合力不变，故物块做匀加速运动；t0之后，当物块速度与传送带相同时，静摩擦力与重力的下滑分力相等，加速度突变为零，物块做匀速直线运动，C正确，A、B、D错误。
A
例2 (2025·陕晋青宁卷，T3)某智能物流系统中，质量为20 kg的分拣机器人沿水平直线轨道运动，受到的合力沿轨道方向，合力F随时间t的变化如图所示，则下列图像可能正确的是(　　)
例3 (2026·辽宁锦州市期末)如图甲所示，倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平地面上，质量m＝1 kg的物块置于斜面底端。t＝0时对物块施加一个平行于斜面向上的拉力F，t＝2 s时撤去拉力，斜面足够长，物块运动的部分v－t图像如图乙所示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求前2 s过程中加速度a1的大小。
[答案]　8 m/s2　
(2)求前3 s内物块平均速度。(结果保留2位有效数字)
[答案]　9.3 m/s　
(3)求斜面与物块间的动摩擦因数μ和拉力F的大小。
[答案]　0.25　16 N
第二部分
题型二　连接体问题
1．常见的连接体
(1)物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和加速度。
速度、加速度相同
(2)弹簧连接体：在弹簧长度发生变化的过程中，两端连接体的速度、加速度不一定相等；稳定时，两端连接体的速度、加速度相等。
(3)轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的速度和加速度。
速度、加速度相同
(4)轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。
速度、加速度相同
速度、加速度大小相等，方向不同
2．求解方法
C
例5 如图所示，质量为4 kg的物体A放在光滑的水平地面上，质量为2 kg的物体B在手的作用下静止靠在A的竖直左表面上，A、B间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2。对B松手的同时给A右表面施加F＝48 N的水平向左的推力，则此后瞬间A对地面的压力大小为(　　)
A．60 N B．48 N
C．36 N D．40 N
B
[解析]　假设B相对于A恰好静止时，对B在竖直方向上，由平衡条件得mBg＝μFAB，在水平方向上，由牛顿第二定律得FAB＝mBa0，代入数据解得a0＝20 m/s2，对A、B组成的系统有F0＝(mA＋mB)a0＝120 N>F＝48 N，则在推力F作用下A、B相对滑动，在水平方向上，对A、B组成的系统有F＝(mA＋mB)a，对B有FAB′＝mBa，联立可得A、B间的滑动摩擦力f＝μFAB′＝8 N，在竖直方向上，对A由平衡条件得FN＝mAg＋f＝48 N，由牛顿第三定律可知，A对地面的压力大小为48 N。
类型2　弹簧连接体问题
例6 (多选)如图所示，置于光滑水平面上的物块A和B用轻质弹簧连接，mA>mB。在水平恒力F的作用下，A、B以相同的加速度向右运动。为使再次稳定后弹簧的伸长量增大，下列操作可行的是(　　)
A．仅增大A的质量
B．仅增大B的质量
C．仅将A、B的位置对调
D．仅减小水平恒力F
BC
类型3　轻绳、轻杆连接体问题
例7 (2025·安徽卷，T5)如图，装有轻质光滑定滑轮的长方体木箱静置在水平地面上，木箱上的物块甲通过不可伸长的水平轻绳绕过定滑轮与物块乙相连。乙拉着甲从静止开始运动，木箱始终保持静止。已知甲、乙质量均为1.0 kg，甲与木箱之间的动摩擦因数为0.5，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则在乙下落的过程中(　　)
A．甲对木箱的摩擦力方向向左 B．地面对木箱的支持力逐渐增大
C．甲运动的加速度大小为2.5 m/s2 D．乙受到绳子的拉力大小为5.0 N
C
[解析]　甲相对木箱向右运动，所以物块甲受到木箱水平向左的摩擦力，根据牛顿第三定律可知，甲对木箱的摩擦力方向水平向右，A错误；
对甲、乙受力分析如图1所示，根据牛顿第二定律有T－f＝m甲a，m乙g－T＝m乙a，其中f＝μm甲g，联立解得a＝2.5 m/s2，T＝7.5 N，C正确，D错误；
对木箱和甲整体，在竖直方向上受力分析如图2所示，有N＝(m甲＋M箱)g＋T，由上述分析可知m乙g－T＝m乙a，联立可得N＝(m甲＋M箱)g＋m乙g－m乙a，因为甲、乙运动过程中加速度不变，所以地面对木箱的支持力不变，B错误。
例8 如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一质量为2m的小车在沿斜面向下的力F作用下沿斜面下滑，在小车下滑的过程中，小车支架上连接着小球(质量为3m)的轻绳恰好水平，则外力F的大小为(已知重力加速度为g)(　　)
A．5mg B．7.5mg
C．4.5mg D．3.5mg
B
深度探究 连接体模型链接优生自研篇P131
第三部分
题型三　临界极值问题
1．问题特点
当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫作临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫作临界条件。用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。
2．临界条件
(1)两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。
(2)两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。
(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件是加速度变为0。
3．判断方法
极限法
假设法
数学法
把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
4.常用数学方法
(1)三角函数法。
(2)根据临界条件列不等式法。
(3)利用二次函数的判别式法。
AC
小车与货物之间的滑动摩擦力大小f′＝μFN＝μmg，小车与货物之间相对静止为静摩擦，货物受到的摩擦力不一定等于最大静摩擦力，故B错误；
货物即将发生相对滑动时，小车与货物之间的摩擦力为最大静摩擦力，则f′＝μmg，对货物，根据牛顿第二定律可得f′＝ma，对整体，根据牛顿第二定律可得F＝(m＋M)a＝μ(m＋M)g，则至少需要μ(m＋M)g的推力才会相对滑动，故D错误。
C
[解析]　对质量为2m的木块受力分析可知，受重力、地面对它的支持力、质量为m的木块对它的压力和摩擦力，轻绳对它的拉力共5个力，A错误；专题提升四　动力学图像　连接体和临界极值问题
[复习目标]
1．掌握动力学图像的物理意义及其解题思路和策略。　2.知道连接体的类型以及运动特点，会用整体法、隔离法解决连接体问题。　3.理解几种常见的临界极值条件，会用极限法、假设法、数学方法解决临界极值问题。
题型一　动力学图像问题
1．常见图像
v－t图像、a－t图像、F－t图像、F－a图像等。
2．题型分类
(1)已知物体受到的力随时间变化的图像，要求分析物体的运动情况。
(2)已知物体的速度、加速度随时间变化的图像，要求分析物体的受力情况。
(3)由已知条件确定某物理量的变化图像。
3．解题策略
(2024·安徽卷，T4)倾角为θ的传送带以恒定速率v0顺时针转动。t＝0时在传送带底端无初速度轻放一小物块，如图所示。t0时刻物块运动到传送带中间某位置，速度达到v0。不计空气阻力，则物块从传送带底端运动到顶端的过程中，加速度a、速度v随时间t变化的关系图线可能正确的是(　　)
[解析]　0到t0时间内，物块轻放在传送带上，做加速运动，受力分析可知，物块受重力、支持力、滑动摩擦力，滑动摩擦力大于重力的下滑分力，合力不变，故物块做匀加速运动；t0之后，当物块速度与传送带相同时，静摩擦力与重力的下滑分力相等，加速度突变为零，物块做匀速直线运动，C正确，A、B、D错误。
[答案]　C
(2025·陕晋青宁卷，T3)某智能物流系统中，质量为20 kg的分拣机器人沿水平直线轨道运动，受到的合力沿轨道方向，合力F随时间t的变化如图所示，则下列图像可能正确的是(　　)
[解析]　
根据牛顿第二定律a＝，由题图画出如图所示的a－t图像，可知机器人在前1 s和2 s到3 s内加速度大小均为1 m/s2，方向相反，由v－t图线的斜率表示加速度可知，A正确。
[答案]　A
(2026·辽宁锦州市期末)如图甲所示，倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平地面上，质量m＝1 kg的物块置于斜面底端。t＝0时对物块施加一个平行于斜面向上的拉力F，t＝2 s时撤去拉力，斜面足够长，物块运动的部分v－t图像如图乙所示，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求前2 s过程中加速度a1的大小。
(2)求前3 s内物块平均速度。(结果保留2位有效数字)
(3)求斜面与物块间的动摩擦因数μ和拉力F的大小。
[解析]　(1)由v－t图像可知，前2 s内物块的加速度a1＝
解得a1＝8 m/s2。
(2)由v－t图像可知，前3 s内物块的位移
x＝×2×16 m＋×1 m＝28 m
前3 s物块的平均速度＝≈9.3 m/s。
(3)前2 s对物块受力分析有
F－μmg cos θ－mg sin θ＝ma1
2 s到3 s对物块受力分析有
μmg cos θ＋mg sin θ＝ma2
由v－t图像可知，2 s到3 s物块的加速度大小
a2＝＝8 m/s2
联立解得μ＝0.25，F＝16 N。
[答案]　(1)8 m/s2　(2)9.3 m/s　(3)0.25　16 N
题型二　连接体问题
1．常见的连接体
(1)物物叠放连接体：两物体通过弹力、摩擦力作用，具有相同的速度和加速度。
速度、加速度相同
(2)弹簧连接体：在弹簧长度发生变化的过程中，两端连接体的速度、加速度不一定相等；稳定时，两端连接体的速度、加速度相等。
(3)轻杆连接体：轻杆平动时，连接体具有相同的速度和加速度。
速度、加速度相同
(4)轻绳连接体：轻绳在伸直状态下，两端的连接体沿绳方向的速度总是相等。
速度、加速度相同
速度、加速度大小相等，方向不同
2．求解方法
类型1　物体间相互作用的连接体
某运送物资的班列由40节质量相等的车厢组成，在车头牵引下，列车沿平直轨道匀加速行驶时，第2节车厢对第3节车厢的牵引力为F。若每节车厢所受摩擦力、空气阻力均相等，则倒数第3节对倒数第2节车厢的牵引力为(　　)
A．F B．
C． D．
[解析]　对后面38节车厢整体，根据牛顿第二定律有F－38f＝38ma，设倒数第3节车厢对倒数第2节车厢的牵引力大小为F1，对后面2节车厢整体，根据牛顿第二定律有F1－2f＝2ma，联立解得F1＝。
[答案]　C
如图所示，质量为4 kg的物体A放在光滑的水平地面上，质量为2 kg的物体B在手的作用下静止靠在A的竖直左表面上，A、B间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g取10 m/s2。对B松手的同时给A右表面施加F＝48 N的水平向左的推力，则此后瞬间A对地面的压力大小为(　　)
A．60 N B．48 N
C．36 N D．40 N
[解析]　假设B相对于A恰好静止时，对B在竖直方向上，由平衡条件得mBg＝μFAB，在水平方向上，由牛顿第二定律得FAB＝mBa0，代入数据解得a0＝20 m/s2，对A、B组成的系统有F0＝(mA＋mB)a0＝120 N>F＝48 N，则在推力F作用下A、B相对滑动，在水平方向上，对A、B组成的系统有F＝(mA＋mB)a，对B有FAB′＝mBa，联立可得A、B间的滑动摩擦力f＝μFAB′＝8 N，在竖直方向上，对A由平衡条件得FN＝mAg＋f＝48 N，由牛顿第三定律可知，A对地面的压力大小为48 N。
[答案]　B
类型2　弹簧连接体问题
(多选)如图所示，置于光滑水平面上的物块A和B用轻质弹簧连接，mA>mB。在水平恒力F的作用下，A、B以相同的加速度向右运动。为使再次稳定后弹簧的伸长量增大，下列操作可行的是(　　)
A．仅增大A的质量
B．仅增大B的质量
C．仅将A、B的位置对调
D．仅减小水平恒力F
[解析]　弹簧稳定时的伸长量取决于弹簧的弹力T的大小，以整体为研究对象，有a＝，以B为研究对象得a＝，联立可得T＝F，可知当仅增大B的质量或者仅将A、B的位置对调时，弹力T变大。
[答案]　BC
类型3　轻绳、轻杆连接体问题
(2025·安徽卷，T5)如图，装有轻质光滑定滑轮的长方体木箱静置在水平地面上，木箱上的物块甲通过不可伸长的水平轻绳绕过定滑轮与物块乙相连。乙拉着甲从静止开始运动，木箱始终保持静止。已知甲、乙质量均为1.0 kg，甲与木箱之间的动摩擦因数为0.5，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则在乙下落的过程中(　　)
A．甲对木箱的摩擦力方向向左
B．地面对木箱的支持力逐渐增大
C．甲运动的加速度大小为2.5 m/s2
D．乙受到绳子的拉力大小为5.0 N
[解析]　甲相对木箱向右运动，所以物块甲受到木箱水平向左的摩擦力，根据牛顿第三定律可知，甲对木箱的摩擦力方向水平向右，A错误；对甲、乙受力分析如图1所示，根据牛顿第二定律有T－f＝m甲a，m乙g－T＝m乙a，其中f＝μm甲g，联立解得a＝2.5 m/s2，T＝7.5 N，C正确，D错误；对木箱和甲整体，在竖直方向上受力分析如图2所示，有N＝(m甲＋M箱)g＋T，由上述分析可知m乙g－T＝m乙a，联立可得N＝(m甲＋M箱)g＋m乙g－m乙a，因为甲、乙运动过程中加速度不变，所以地面对木箱的支持力不变，B错误。
[答案]　C
如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一质量为2m的小车在沿斜面向下的力F作用下沿斜面下滑，在小车下滑的过程中，小车支架上连接着小球(质量为3m)的轻绳恰好水平，则外力F的大小为(已知重力加速度为g)(　　)
A．5mg B．7.5mg
C．4.5mg D．3.5mg
[解析]　
以小球为研究对象，分析受力情况可知，受重力3mg和绳的拉力T，小球的加速度方向沿斜面向下，则3mg和T的合力方向沿斜面向下，如图所示，由牛顿第二定律得＝3ma，解得a＝2g，再对整体受力分析，根据牛顿第二定律可得F＋(2m＋3m)g sin 30°＝5ma，解得F＝7.5mg，故选B。
[答案]　B
深度探究 连接体模型链接优生自研篇P131
题型三　临界极值问题
1．问题特点
当物体的运动从一种状态转变为另一种状态时必然有一个转折点，这个转折点所对应的状态叫作临界状态；在临界状态时必须满足的条件叫作临界条件。用变化的观点正确分析物体的受力情况、运动状态变化情况，同时抓住满足临界值的条件是求解此类问题的关键。
2．临界条件
(1)两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0。
(2)两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力；绳子松弛的临界条件是FT＝0。
(4)加速度变化时，速度达到最大的临界条件是加速度变为0。
3．判断方法
极限法 把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的
假设法 临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题
数学法 将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解出临界条件
4.常用数学方法
(1)三角函数法。
(2)根据临界条件列不等式法。
(3)利用二次函数的判别式法。
(多选)如图所示，水平恒力F推着平板小车和货物在水平地面一起做匀加速直线运动，小车和货物的质量分别为M和m，货物与小车间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦与滑动摩擦相等。小车与地面间的滚动摩擦力不计，且货物与平板车左侧推杆不接触，在运动过程中，下列分析正确的是(　　)
A．货物受到的合力大小为F
B．货物受到的合力大小一定为μmg
C．货物受到的摩擦力大小一定为F
D．水平恒力F大于μmg时，货物会发生相对滑动
[解析]　对小车和货物整体根据牛顿第二定律可得F＝(M＋m)a，根据牛顿第二定律，货物受到的合力大小F合＝ma＝F，故A正确；小车与货物之间的滑动摩擦力大小f′＝μFN＝μmg，小车与货物之间相对静止为静摩擦，货物受到的摩擦力不一定等于最大静摩擦力，故B错误；小车对货物的摩擦力提供货物加速度，即小车对货物的摩擦力大小f＝F合＝F，故C正确；货物即将发生相对滑动时，小车与货物之间的摩擦力为最大静摩擦力，则f′＝μmg，对货物，根据牛顿第二定律可得f′＝ma，对整体，根据牛顿第二定律可得F＝(m＋M)a＝μ(m＋M)g，则至少需要μ(m＋M)g的推力才会相对滑动，故D错误。
[答案]　AC
如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m和3m的三个木块，其中质量为2m和3m的木块间用一根不可伸长的轻绳相连，轻绳能承受的最大拉力为T。现用水平拉力F拉其中一个质量为3m的木块，使三个木块以同一加速度运动，则以下说法正确的是(　　)
A．质量为2m的木块受到四个力的作用
B．当F逐渐增大到T时，轻绳刚好被拉断
C．当F逐渐增大到1.5T时，轻绳还不会被拉断
D．轻绳刚要被拉断时，质量为m和2m的木块间的摩擦力为T
[解析]　对质量为2m的木块受力分析可知，受重力、地面对它的支持力、质量为m的木块对它的压力和摩擦力，轻绳对它的拉力共5个力，A错误；由轻绳能承受的最大拉力为T，有T＝3ma，解得a＝，对整体有F＝6ma＝6m·＝2T，B错误，C正确；质量m和2m的木块间的摩擦力大小f＝ma＝m·＝，D错误。
[答案]　C(共25张PPT)
演练知能提升
BD
1．(多选)(2026·四川仁寿县模拟)如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面上有一质量为m的物体，物体始终受到沿斜面向上的变力F的作用，物体的加速度a随外力F变化的图像如图乙所示，重力加速度大小g取10 m/s2，根据图乙中所提供的信息可知(　　)
A．m＝0.4 kg B．m＝2.5 kg
C．cos θ＝0.6 D．cos θ＝0.8
AD
2．(多选)(2026·湖北部分地市联考)新能源赛车在水平路面上做直线加速性能测试时，在其车厢内有可视为质点的小球A、B通过轻绳连接，轻绳跨过车厢顶部的光滑轻质定滑轮，小球A用另一轻绳系于车厢侧壁的C处，某段时间内轻绳AC恰好水平，绳OA段与竖直方向夹角为37°，如图所示。已知A、B两小球的质量分别为4 kg和3 kg，车厢的质量为293 kg，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。下列说法正确的是(　　)
A．轻绳OB段与竖直方向的夹角为53°
B．车厢受到的合外力大小为4 000 N
C．轻绳AC的弹力大小为30 N
D．地面对车厢的支持力大小为3 000 N
以两小球和车厢为研究对象，在竖直方向上有N＝(mA＋mB＋M)g＝3 000 N，D正确。
B
3．(2026·山东枣庄市期末)如图所示，长方体形空铁箱在F＝60 N的水平拉力作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，铁箱内的木块紧靠其后壁不下滑。已知铁箱与木块的质量分别为M＝2 kg和m＝0.5 kg，铁箱与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则木块与铁箱内壁间的动摩擦因数至少为(　　)

A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
解析：对木块和铁箱整体进行受力分析，由牛顿第二定律有F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a，若此时木块恰好不下滑，木块与铁箱内壁间的动摩擦因数最小，则对木块受力分析有FN＝ma，μ′FN＝mg，解得μ′＝0.5。
C
解析：装置向左匀速运动时，小球受平衡力的作用，则重力与杆对小球的作用力大小相等、方向相反，即FN＝mg，A、D错误；
进入粗糙的水平面后，整个装置开始在摩擦力的作用下做减速运动，对小球受力分析如图所示，小球受到的合力方向水平向右，由于竖直方向合力一定为零，因此杆对小球的弹力一定有竖直向上的分力，因此在粗糙水平面上运动时，杆对小球的作用力方向不可能水平向右，B错误；
B
A
6．(2026·广东广州市模拟)如图，一滑块置于光滑水平面上，两相同轻质弹簧一端固定，另一端与滑块连接。t＝0时两弹簧均处于原长，以此时滑块位置O为原点，向右为正方向，滑块向右的初速度为v0。设滑块位移为x，速度为v，所受合外力为F，运动时间为t。弹簧始终处于弹性限度内，滑块从t＝0时刻到第一次回到O点的过程中，下列图像可能正确的是(　　)
解析：对滑块受力分析可以得出，滑块做简谐运动，滑块先做加速度逐渐增大的减速运动，后向反方向做加速度逐渐减小的加速运动，故滑块速度随时间变化的图像的斜率先逐渐增大，后逐渐减小，根据对称性，滑块回到O点时速度大小仍为v0，方向向左，故A正确；
滑块向右运动，速度随位移的增大而减小，当滑块向左运动时，其速度随位移的减小而增大，故B错误；
滑块向右运动，加速度随时间增大而增大，但是合力并不是随时间均匀增大，且合力的方向应该为负，故C错误；
滑块运动过程中，合力确实随位移x的增大而均匀增大，即图线是一条倾斜直线，但是合力方向与位移x的方向相反，即位移为正时，合力为负，故D错误。
D
解析：货物与缆车沿山坡向上以加速度a运行时，以货物为研究对象，根据牛顿第二定律有FN－mg＝ma sin 53°，f静＝ma cos 53°，f静≤f＝μFN，解得f静＜f＝0.6ma＋7.5m，即摩擦力始终为静摩擦力，没有达到最大静摩擦力(即自锁)，车厢壁给的弹力恒为0，故货物始终只受到3个力，故A错误；
根据牛顿第三定律知车厢受到的摩擦力方向水平向左，故B错误；
当a＝2 m/s2时，由上述分析可得，车厢对货物的摩擦力大小为60 N，故C错误；
ACD
8．(多选)(2026·辽宁葫芦岛市期末)如图所示，一顶端带有挡板、表面粗糙的斜面固定在水平面上，滑块以速度v0冲上斜面，t1时刻滑到斜面顶端与挡板发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞前后速度大小不变，方向相反。滑块的加速度为a，速度为v，运动时间为t，以沿斜面向上为正方向。在斜面上运动的过程中，其v－t图像或a－t图像可能正确的有(　　)
解析：以沿斜面向上为正方向，由于接触面粗糙，受力分析可知，向上运动时，加速度a1＝g sin θ＋μg cos θ，进行减速，碰撞后向下运动，有三种情况①若μmg cos θ＞mg sin θ，则以加速度a2＝μg cos θ－g sin θ，向下减速，可能减到零，也可能减不到零，其中a2＜a1，故A、D正确；
②若μmg cos θ＝mg sin θ，则加速度a2＝0，向下匀速运动，③若μmg cos θ＜mg sin θ，则以加速度a2＝g sin θ－μg cos θ，向下加速，且a2＜a1，故C正确；
由上述分析可知，当斜面光滑时，才是B选项的运动情况，故B错误。
9．(8分)图为期末考试结束，小包同学回家的场景，已知行李箱质量m＝10 kg，拉力与水平地面夹角θ＝60°，发现当拉力大小F＝60 N时行李箱恰好做匀速直线运动，g取10 m/s2。
(1)求行李箱和地面之间的动摩擦因数μ的大小。(4分)
(2)假定小包同学走出校门，飞快跑向她的父母时做匀加速运动，若仅改变拉力大小，求为使行李箱不离开地面的加速度最大值amax的大小。(4分)
10．(12分)一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可不计，盘内放一个物体P处于静止。P的质量m＝12 kg，弹簧的劲度系数k＝800 N/m。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，如图所示。已知在前0.2 s内F的大小是变化的，在0.2 s以后F是恒力，g取10 m/s2。求：
(1)未施加力F时，弹簧的压缩量；(4分)
解析：未施加力F时，根据受力平衡可得
mg＝kx0
解得弹簧的压缩量x0＝0.15 m。
答案：0.15 m　
(2)物体做匀加速直线运动的加速度大小；(4分)　
答案：7.5 m/s2
(3)F的最小值和最大值。(4分)
解析：物体P与秤盘分离前，以物体P为对象，根据牛顿第二定律可得
F＋N－mg＝ma
由于秤盘质量忽略不计，则有N＝kx
由于压缩量逐渐减小，N逐渐减小，则F逐渐增大；可知初始时刻F最小，则有Fmin＋kx0－mg＝ma
解得Fmin＝90 N
当物体P与秤盘分离时，N＝0，此时F最大，则有Fmax－mg＝ma
解得Fmax＝210 N。
答案：90 N　210 N1．(多选)(2026·四川仁寿县模拟)如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面上有一质量为m的物体，物体始终受到沿斜面向上的变力F的作用，物体的加速度a随外力F变化的图像如图乙所示，重力加速度大小g取10 m/s2，根据图乙中所提供的信息可知(　　)
A．m＝0.4 kg B．m＝2.5 kg
C．cos θ＝0.6 D．cos θ＝0.8
解析：选BD。由牛顿第二定律可知，F－mg sin θ＝ma，得a＝－g sin θ，由题图像可知斜率k＝＝ kg-1＝0.4 kg-1，解得m＝2.5 kg，纵轴截距－g sin θ＝－6 m/s2，解得θ＝37°，则cos θ＝0.8。　
2．(多选)(2026·湖北部分地市联考)新能源赛车在水平路面上做直线加速性能测试时，在其车厢内有可视为质点的小球A、B通过轻绳连接，轻绳跨过车厢顶部的光滑轻质定滑轮，小球A用另一轻绳系于车厢侧壁的C处，某段时间内轻绳AC恰好水平，绳OA段与竖直方向夹角为37°，如图所示。已知A、B两小球的质量分别为4 kg和3 kg，车厢的质量为293 kg，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。下列说法正确的是(　　)
A．轻绳OB段与竖直方向的夹角为53°
B．车厢受到的合外力大小为4 000 N
C．轻绳AC的弹力大小为30 N
D．地面对车厢的支持力大小为3 000 N
解析：选AD。设连接A、B两小球的绳张力为T，OB与竖直方向夹角为θ，则T cos 37°＝mAg，T cos θ＝mBg，解得cos θ＝，T＝50 N，故θ＝53°，A正确；对小球B水平方向受力分析，有T sin θ＝mBa，所以a＝ m/s2，以车厢为研究对象，F＝Ma≈3 907 N，故B错误；设AC的张力为T′，则有T′－T sin 37°＝mAa，解得T′＝ N≈83.3 N，故C错误；以两小球和车厢为研究对象，在竖直方向上有N＝(mA＋mB＋M)g＝3 000 N，D正确。
3．(2026·山东枣庄市期末)如图所示，长方体形空铁箱在F＝60 N的水平拉力作用下沿水平面向右做匀加速直线运动，铁箱内的木块紧靠其后壁不下滑。已知铁箱与木块的质量分别为M＝2 kg和m＝0.5 kg，铁箱与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则木块与铁箱内壁间的动摩擦因数至少为(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
解析：选B。对木块和铁箱整体进行受力分析，由牛顿第二定律有F－μ(M＋m)g＝(M＋m)a，若此时木块恰好不下滑，木块与铁箱内壁间的动摩擦因数最小，则对木块受力分析有FN＝ma，μ′FN＝mg，解得μ′＝0.5。
4．(2026·四川成都市诊断)如图所示，在倾角为θ的三角形斜劈上垂直于斜面固定一轻杆，杆的另一端固定一质量为m的可视为质点的小球，开始时整个装置以恒定的速度沿光滑的水平面向左做匀速直线运动，经过一段时间，装置运动到动摩擦因数为μ的粗糙水平面上，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．向左匀速时，杆对小球的作用力大小为
B．在粗糙水平面上运动时，杆对小球的作用力方向可能水平向右
C．在粗糙水平面上运动时，杆对小球的作用力大小可能为
D．整个运动过程中，杆对小球的作用力始终大于mg
解析：
选C。装置向左匀速运动时，小球受平衡力的作用，则重力与杆对小球的作用力大小相等、方向相反，即FN＝mg，A、D错误；进入粗糙的水平面后，整个装置开始在摩擦力的作用下做减速运动，对小球受力分析如图所示，小球受到的合力方向水平向右，由于竖直方向合力一定为零，因此杆对小球的弹力一定有竖直向上的分力，因此在粗糙水平面上运动时，杆对小球的作用力方向不可能水平向右，B错误；当杆对小球的作用力方向沿杆的方向时，有mg tan θ＝ma，解得a＝g tan θ，此时杆对小球的作用力大小FN′＝，C正确。
5．(2026·山东淄博市一模)如图所示，光滑水平面上放置两块质量均为m的木板，其上分别站有质量均为2m的机器人，两机器人间用一不可伸长的轻绳相连。现用水平拉力F拉其中一块木板，使两机器人和两木板以相同的加速度一起运动，机器人与木板间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则轻绳对机器人的拉力最大为(　　)
A．3μmg B．
C． D．
解析：选B。设轻绳拉力最大值为Fm，对左边一组机器人和木板受力分析，由牛顿第二定律得Fm＝3ma，绳子拉力最大时，右边一组机器人和木板之间的摩擦力为最大静摩擦力，对左边一组和右边机器人整体受力分析，由牛顿第二定律有μ·2mg＝5ma，联立解得绳子拉力最大值Fm＝。
6．(2026·广东广州市模拟)如图，一滑块置于光滑水平面上，两相同轻质弹簧一端固定，另一端与滑块连接。t＝0时两弹簧均处于原长，以此时滑块位置O为原点，向右为正方向，滑块向右的初速度为v0。设滑块位移为x，速度为v，所受合外力为F，运动时间为t。弹簧始终处于弹性限度内，滑块从t＝0时刻到第一次回到O点的过程中，下列图像可能正确的是(　　)
解析：选A。对滑块受力分析可以得出，滑块做简谐运动，滑块先做加速度逐渐增大的减速运动，后向反方向做加速度逐渐减小的加速运动，故滑块速度随时间变化的图像的斜率先逐渐增大，后逐渐减小，根据对称性，滑块回到O点时速度大小仍为v0，方向向左，故A正确；滑块向右运动，速度随位移的增大而减小，当滑块向左运动时，其速度随位移的减小而增大，故B错误；滑块向右运动，加速度随时间增大而增大，但是合力并不是随时间均匀增大，且合力的方向应该为负，故C错误；滑块运动过程中，合力确实随位移x的增大而均匀增大，即图线是一条倾斜直线，但是合力方向与位移x的方向相反，即位移为正时，合力为负，故D错误。
7．(2026·安徽安庆市模拟)乘坐“空中缆车”既能饱览大自然的美景又轻松惬意。如图所示，某一缆车沿坡度为53°的山坡匀速上行，缆车中有一质量m＝50 kg的货物放在水平地板上且与车厢壁恰好接触而无挤压，货物与地板之间的动摩擦因数μ＝，货物与地板之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。某时刻缆车开始沿原方向做加速运动，在这一过程中，加速度大小从零开始缓慢增大，并且整个加速阶段缆车始终保持竖直状态，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则在缆车斜向上加速运动的过程中(　　)
A．货物可能受到3个力或4个力作用
B．车厢受到的摩擦力方向水平向右
C．当a＝2 m/s2时，车厢地板对货物的摩擦力大小为80 N
D．当a＝10 m/s2时，车厢地板对货物的作用力大小为300 N
解析：选D。货物与缆车沿山坡向上以加速度a运行时，以货物为研究对象，根据牛顿第二定律有FN－mg＝ma sin 53°，f静＝ma cos 53°，f静≤f＝μFN，解得f静＜f＝0.6ma＋7.5m，即摩擦力始终为静摩擦力，没有达到最大静摩擦力(即自锁)，车厢壁给的弹力恒为0，故货物始终只受到3个力，故A错误；根据牛顿第三定律知车厢受到的摩擦力方向水平向左，故B错误；当a＝2 m/s2时，由上述分析可得，车厢对货物的摩擦力大小为60 N，故C错误；当a＝10 m/s2时，由上述分析可得f静＝300 N，FN＝900 N，则车厢对货物的作用力为 eq \r(F＋f)＝300 N，故D正确。
8．(多选)(2026·辽宁葫芦岛市期末)如图所示，一顶端带有挡板、表面粗糙的斜面固定在水平面上，滑块以速度v0冲上斜面，t1时刻滑到斜面顶端与挡板发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞前后速度大小不变，方向相反。滑块的加速度为a，速度为v，运动时间为t，以沿斜面向上为正方向。在斜面上运动的过程中，其v－t图像或a－t图像可能正确的有(　　)
解析：选ACD。以沿斜面向上为正方向，由于接触面粗糙，受力分析可知，向上运动时，加速度a1＝g sin θ＋μg cos θ，进行减速，碰撞后向下运动，有三种情况①若μmg cos θ＞mg sin θ，则以加速度a2＝μg cos θ－g sin θ，向下减速，可能减到零，也可能减不到零，其中a2＜a1，故A、D正确；②若μmg cos θ＝mg sin θ，则加速度a2＝0，向下匀速运动，③若μmg cos θ＜mg sin θ，则以加速度a2＝g sin θ－μg cos θ，向下加速，且a2＜a1，故C正确；由上述分析可知，当斜面光滑时，才是B选项的运动情况，故B错误。
9．(8分)图为期末考试结束，小包同学回家的场景，已知行李箱质量m＝10 kg，拉力与水平地面夹角θ＝60°，发现当拉力大小F＝60 N时行李箱恰好做匀速直线运动，g取10 m/s2。
(1)求行李箱和地面之间的动摩擦因数μ的大小。(4分)
(2)假定小包同学走出校门，飞快跑向她的父母时做匀加速运动，若仅改变拉力大小，求为使行李箱不离开地面的加速度最大值amax的大小。(4分)
解析：(1)对行李箱，水平方向有F cos θ＝f
竖直方向有F sin θ＋N＝mg
f＝μN
联立解得μ＝。
(2)若小包同学做匀加速运动，仅改变拉力大小，当行李箱恰好不离开地面时有
F′cos θ＝mamax
F′sin θ＝mg
解得amax＝ m/s2。
答案：(1)　(2) m/s2
10．(12分)一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可不计，盘内放一个物体P处于静止。P的质量m＝12 kg，弹簧的劲度系数k＝800 N/m。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，如图所示。已知在前0.2 s内F的大小是变化的，在0.2 s以后F是恒力，g取10 m/s2。求：
(1)未施加力F时，弹簧的压缩量；(4分)
(2)物体做匀加速直线运动的加速度大小；(4分)　
(3)F的最小值和最大值。(4分)
解析：(1)未施加力F时，根据受力平衡可得
mg＝kx0
解得弹簧的压缩量x0＝0.15 m。
(2)根据题意可知，在t＝0.2 s时，物体P与秤盘开始分离，此时弹簧处于原长状态，则在前0.2 s内，根据运动学公式可得x0＝at2
解得物体做匀加速直线运动的加速度大小
a＝7.5 m/s2。
(3)物体P与秤盘分离前，以物体P为对象，根据牛顿第二定律可得
F＋N－mg＝ma
由于秤盘质量忽略不计，则有N＝kx
由于压缩量逐渐减小，N逐渐减小，则F逐渐增大；可知初始时刻F最小，则有
Fmin＋kx0－mg＝ma
解得Fmin＝90 N
当物体P与秤盘分离时，N＝0，此时F最大，则有Fmax－mg＝ma
解得Fmax＝210 N。
答案：(1)0.15 m　(2)7.5 m/s2　(3)90 N　210 N

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