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八年级 A卷答案
一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）
1 2 3 4 5 6 7 8
1 31 0 14 12
5
2 3 2 104
18
4
二、计算题（每题 12 分，共 24 分）
9、 解 ∵ > 0, > 0, > 0，
2
∴原式= ( 3 ) ÷ 3 5 3 3 ÷
2
1
= 5 3

3

1
= 5 5 4

1
= 2 2 2

= 2 2
2 2
10.解：∵ + 11 6 + 2 = + 2 6 + 2 + 9 = + 2 3 ，
2 2
+ 18 8 + 2 = + 2 8 + 2 + 16 = + 2 4 ，
2 2
∴原方程可变形为： + 2 3 + + 2 4 = 1，
∵ 2 = ，
∴ + 2 3 + + 2 4 = 1，
令 = + 2，
则方程变形为： 3 + 4 = 1 ≥ 0 ，
（1）当 < 3 时， 3 + 4 = 1，得 = 3，与 < 3 矛盾，舍去；
（2）当 3 ≤ ≤ 4时， 3 + 4 = 1，得 1 = 1，等式恒成立，此时 3 ≤ ≤ 4；
（3）当 > 4 时， 3 + 4 = 1，得 = 4，与 > 4 矛盾，舍去；
由 3 ≤ ≤ 4， = + 2，
得：3 ≤ + 2 ≤ 4，
两边平方得，9 ≤ + 2 ≤ 16，
解得，7 ≤ ≤ 14，
∴整数解之和：7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 84．
三、解答题（11 题 10 分；12 题 12 分；13 题 15 分；14 题 25 分，共 62 分）
= 1 3 +3 ÷ 11、解：原式
3 2 3
= 1 +3 3 = 3 3 3
3 3
6 3
=
3
= 6 ；

2 2
∵ + 2 + = 0，
2
∴ + 2 = 0, 2 = 0，
2
∴ = 2 2， = ，
2
6× 2
∴原式= 2 = 3．
2
12. （1）解：设 型无人机单价为 元、 型无人机单价为 元，
2 + 3 = 650①
由题意得：
4 + 5 = 1150②
①×2 得：4 + 6 = 1300③
③-②得： = 150
将 = 150代入①得：2 + 450 = 650，解得： = 100
= 100
所以 = 150．
答： 型无人机单价为 100 元， 型无人机单价为 150 元．
（2）解：设购买 型无人机 台，则 型无人机 10 台，购买费用为 元，
1 10
由题意得： ≤ 10 ， 解得： ≤ ，
2 3
由题意可得： = 100 + 150 10 = 50 + 1500，
∵ 50 < 0，
∴ 随 的增大而减小，
∵ 为非负数且 ≤ 10，要使 W 的值最小，m 应取最大整数值，
3
∴当 = 3 时， 有最小值， 且最小值为 = 100 × 3 + 150 × 7 = 1350（元）.
答：购买 3 个 型无人机时才能花费最低，最低花费为 1350 元．
13.
（1）证明：过点 作 ⊥ 于点 ,
∵∠ + ∠ = 90°∴∠ + ∠ = 90°
∵∠ + ∠ = 90°∴∠ = ∠ ,
∵ = , ⊥ ,∴∠ = ∠ ,
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 1∠ = 45°,∴△ 是等腰直角三角形，∴∠ = 45°, = ,
2
∵∠ + ∠ = 90°,∠ + ∠ = 90°,∴∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ = 90° ,∴△ ≌△ AAS ，∴ = , = ,∴ = = = =
=
,∴ = ,
∴△ 是等腰直角三角形，∴∠ = 45°,∴∠ = ∠ + ∠ = 90°,∴ ⊥ ，
（2）解：根据题意可得，取 的中点 ，连接 , ,
∵△ ≌△ ，∴∠ = ∠ = 90°,∴ = = ,∴当 ⊥ 时，△ 的面积最大，
则此时点 与点 重合， 为 的中点，
过点 作 ∥ ，过点 作 ⊥ ，
∵∠ = ∠ = 45°,
∴△ 为等腰直角三角形，
2 = 2 + 2 = 2 2
= 2∴
2
2
∴ + = + ,
2
∴当 , , 三点共线时，取最小值，
则点 与点 重合时，取最小值，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°,
∴ 为矩形，
∴ = 2 + 2 = 2 =
2
∴ + = + = = 2 ．
2
14.解答
设 , , 是方程的一组正整数解，则有
2 2 + 2 + 4 = 3 7 ①
记 = 2, 2 + 2 + 4 ，由 2 + 2 + 4 = 2 + 4 + 12，可知 = 2,12 ，而 ① 式右边为奇数，知 2
为奇数，故 = 1 或 3。
情形一： = 1，这时，有 2, 2 + 2 + 4 = 1, 3 7 ，3 , 7 或 7 , 3 。前者显然不成立，对于次者，有 = 3 +
2 ≡ 1 (mod 3)，要求 1 ≡ 7 = 2 + 2 + 4 ≡ 1 2 + 4 ≡ 0 (mod 3)，矛盾；对于后者，有 = 7 + 2 ≡ 0 (mod 3)，从
而，要求 0 ≡ 3 = 2 + 2 + 4 ≡ 1 (mod 3)，亦矛盾。
情形二： = 3，则 2 = 3 7 或者 2 = 3 1。对于前者，有 = 3 7 + 2，代入 2 + 2 + 4 = 3 1，有
9 72 + 18 7 + 12 = 3 1
此式左边大于 12，故 > 2，两边都除以 3，得
3 72 + 6 7 + 4 = 3 2
但此时左边 ≡ 1 (mod 3)，矛盾。对于后者，有 = 3 1 + 2，代入 2 + 2 + 4 = 3 7 ，得
3 1 + 3 2 + 3 = 3 7
当 = 1,2 时，直接计算可知不能成立，故 > 2。对此式两边模 4，有 3 ≡ 3 1 (mod 4)，故 为偶数，于
是，可设 = 2 ， 为正整数，方程变形为
3 1 3 2 + 2 = 7 2 7 + 2 ②
2
由于 7 2 ≡ 1 2 = 1 (mod 3)，故 3 1∣7 + 2，可设 7 + 2 = 3 1 ， 3 +2为正整数。进而，有 7 2 = 。

若 > 1，则由 ② 知
2
4 = 7
3 + 2
+ 2 7 2 = 3 1

2
1 3 + 2 11 3
2
≥ 3 2 = 1
2 2
> 5 3 2 1 ≥ 4
矛盾。所以， = 1，进而，有 4 = 3 1 3 2 2，解得 = 3，于是， = 11， = 2。直接验证可知 , , = 11,3,2
符合方程。
综上可知，方程有唯一解 , , = 11,3,2 。绝密★启用前 7、设开始 A = 0。将一枚硬币掷出，若掷得正面，则A加上 1，否则A减去 1。当A = 3或掷出次数达到
第十五届海峡两岸青少年思维能力展示活动福建晋级赛 7次时就不再掷了。问当掷币停止时，不同掷币情况有 种。
（2026年5月） 8、如图，正方形 的边长为 1，点 在边 上，连接 ，将△ 沿直线 翻折得到△ ，延长
选手须知： 交射线 于点 ，∠ 和∠ 的角平分线 ， 相交于点 ，连接 。若四边形 是平行四边形，则
1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计24分；第三部分：解答题， △ 的面积为 。
共计62分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、考场、入场证号写在规定的位置。
3、答题时不能使用计算工具。
4、答题时间结束时试卷和草稿纸将被收回。
题 号 一 二 三 总分 核查人 得 分
得 分 二、计算题（每题12分，共计24分） 评卷人
八年级试题（A卷） 29、化简： 5 3 3 3 ÷ 3 > 0, > 0, > 0
2
得 分
（本试卷满分150分 ，考试时间90分钟 ）
评卷人
一、填空题（每题8分，共计64分）
1、如果 = ，那么我们规定 , = 。例如：因为32 = 9，所以 3,9 = 2。若 3,21 = ， 7,21 = ，
+
则 = 。
4
2、已知 5 12 6 + 17 6 + 17 13 20 可因式分解为 + 8 + （其中 ， ， 均为整
数），则 + + = 。
a
2 ≥ 1
3、若数 使得关于 x的分式方程 3 = 5有正数解，且使得关于 y的不等式组 1
1 1 + < 3 有解， 10、计算：所有满足方程 + 11 6 + 2 + +18 8 + 2 = 1的整数解之和。
2
那么符合条件的所有整数 a的和为 。
4、实数 、 、 满足条件 + 1+ 2 = 1 + + + 9 ，则 的值是 。
4
5、如图，在四边形 中，∠ = 90°，∠ = 45°，∠ = ∠ = 60°，若 = 6 2，则△
的周长为 。
6、如图，在平行四边形 中∠ = 60°， ⊥ 于点E，点F在 边上，且 = ，∠ = 90°，
若 = 8，则 的长为________。
第5题 第6题
八年级 第 1页 八年级 第 2页
省 市 学校 姓名 考场 入场证号
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题
得 分
评卷人
三、解答题（11题10分；12题12分；13题15分；14题25分，共62分）
2 9 2 2 2
11、先化简 1
2
÷ ，当 x，y满足 + 2 + = 0时，求上式的值。
6 +9 2 3 2
12、学校计划购买A型无人机和B型无人机作为“科技铸就强国”演讲比赛的奖品。已知购买 2个A型无人
机和 3个B型无人机共需 650元，购买 4个A型无人机和 5个B型无人机共需 1150元。
(1)求A型无人机、B型无人机的单价；
(2) 1若学校准备购买A型无人机、B型无人机共 10个，且A型无人机的数量不多于B型无人机数量的 ，购买A
2
型无人机多少个时，采购费用最少？最少费用为多少元？
14、求所有的三元正整数组 , , ，使得 3 = 3 7 +8。
13、已知，正方形 边长为 a，点E，F为边 上的两点，连接 、 并延长交于点G，连接 ，H
为 上一点，连接 、 。
(1)如图 1，若∠ +∠ = 90°， = ，过点A作 ⊥ 于点 I，求证： ⊥ ；
(2)如图 2，若F为射线 上的动点，过C点作 ⊥ 于点P，将△ 沿 翻折得△ ，K为直线 上
一动点，连接 ，当△ 2面积最大时，请求出 + 的最小值。（用含 a的式子表示）。
2
八年级 第 3页 八年级 第 4页
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题

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