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绝密★启用前 7、如图，直线 与 轴、 轴交于 、 两点，与双曲线 = 6 ( > 0)交于 、 两点，且 = ，连

第十五届海峡两岸青少年思维能力展示活动福建晋级赛
接 、 ，分别与双曲线 = 2 ( > 0)交于 、 两点，则四边形 的面积为 。

（2026 年 5 月）
选手须知：
1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计 64 分；第二部分：计算题，共计 24 分；第三部分：
解答题，共计 62 分。
2、答题前请将自己的姓名、学校、考场、入场证号写在规定的位置。
3、答题时不能使用计算工具。
4、答题时间结束时试卷和草稿纸将被收回。 8、设开始 A = 0。将一枚硬币掷出，若掷得正面，则 A加上 1，否则 A减去 1。当 A = 3 或掷出次
题 号 一 二 三 总分 核查人
数达到 7次时就不再掷了。问当掷币停止时，不同掷币情况有 种。
得 分
得 分
九年级试题（A 卷） 二、计算题（每题 12 分，共计 24 分）|1 3| sin30°
得 分 9、计算： ( 2)
2 + (2026)0 评卷人
2 tan60° 1
（本试卷满分 150 分 ，考试时间 90 分钟 ）
评卷人
一、填空题（每题 8 分，共计 64 分）
1、已知 1， 2是一元二次方程 2 3 + = 0 的两个根，若 2 21 5 1 = 5 2，则 的值为 。

2、若点 2, 1 、 1, 2 、 2, 3 都在反比例函数 =（ 为常数， ≠ 0）的图象上，且 1 > 3 > 2，
则 的取值范围是 。

3、已知非零实数 、 满足等式 + + 5 = 4 + 2 + ，则 的值为 。
3 +2 2 + 2 2 2
10、已知非负整数 ， 1 2 + 2 3 + 4 = 2 2 3 + 3 4 + 31 2， 3， 4满足 + + + = 2021 ，试求出符合条件4、如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 是 边上的点，满足 = ， 1 2 3 4
的所有 1， 2， 3， 4的值。
且 = ， = 2， = 2 + 2 3，∠ = 2∠ ，则四边形 的面积为 。
5、我们把 = 1,3, 叫集合 M，其中 1，3，x叫做集合 M的元素，集合中的元素具有确定性（如
x必然存在），互异性（如 ≠ 1, ≠ 3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）。若集合 = , 1,3 ，
我们说 = 。已知集合 = 0, , ，集合 = , , ，若 = ，则 + 2 的值是 。
第 4 题 第 6题
6、如图， = ，⊙ 与 相切于点 ，与 、 分别交于点 、 ，与 的延长线交于点 ，
连接 、 ，延长 交 于点 ，若⊙ 的半径为 4， = ，则图中阴影部分的面积为 。
九年级 第 1页 九年级 第 2页
省 市 学校 姓名 考场 入场证号
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题
得 分
三、解答题（11题10分；12题12分；13题15分；14题25分，共62分） 评卷人
11、若关于 的一元二次方程 2 2 +1 + 2+2 = 0有实数根。
(1)求 的取值范围；(2)若该方程的两个实数根分别为 ， ，且 +1 +1 = 20，求 的值。
12、在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，连结 ， ，
， = 。已知 tan = 5，连结 。
(1)如图 1，如果点 ， 关于直线 对称，求 △ : 的值；
(2)如图 2，如果 = 5 ，∠ = ∠ ，求 的值。

14、已知△ABC的三边长都是整数，∠A = 2∠B，∠C > 90 。求△ABC的周长的最小值。
13 2、抛物线 = 2 2 2与 x轴相交于A、B两点（A在B的左侧），与 y轴交于C点，连接 、 。
2
(1)如图 1、2，点P是第四象限内抛物线上的一点，作 垂直于 x轴于E，交 于D点，作 ∥ 交 于F，
当△ 的周长最大时，连接 ，在 x轴上任意取一点R将△ 沿 翻折，P的对应点为 ′，连接 ′，
取 ′的中点G，再连接 ，并求出 的最小值；
(2)如图 3，将△ 沿射线 方向平移，记平移后的图形为△ ′ ′ ′，当△ ′ ′ ′的 ′点恰好落在∠ 的角
平分线上时，将△ ′ ′ ′绕点 ′顺时针旋转105°，直线 ′ ′交 x轴于点M，在 y轴上取一点W，平面内是否存
在点K，使得以点K，M，W， ′为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出K的坐标；若不存在，请说明理由。
九年级 第 3页 九年级 第 4页
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题九年级答案
一、填空题（每题 8分，共计 64 分）
1 2 3 4 5 6 7 8
16
1 < 0 3
3 14
3
1 6 + 2 3 3 104
二、计算题（每题 12 分，共计 24 分）
1
9 = 3 1 1、解： 原式 2 + 1
2 4 3 1
2 3 2 1 3 + 1
= + 1
4 4 4
2 3 2 1 3 1
= + 1
4
3
=
4
10、解：由 2 2 2 21 + 2 + 2 3 + 4 = 2 2 3 + 3 4 + 3 得，
2 + 2 + 2 + 2 + 21 2 3 3 4 = 2 2 3 + 2 + 3 4 + 6，
2 21 + 2 2 + 2 22 3 3 + 3 2 3 4 + 24 = 6，
21 + 3
2
2 + 4
2
3 = 6，于是 0 ≤ 1 ≤ 2．
（1）当 1 = 0
2
时， 2 3 +
2
4 3 = 6，因为没有两个整数的平方和等于 6，故不成立；
（2）当 1 = 1 时， 2
2
3 + 4
2
3 = 5，由此得 3 2 =± 1， 4 3 =± 2或 3 2 =± 2， 4 3 =± 1；
①若 3 2 =± 1， 4 3 =± 2，则 3 =± 1 + 2， 4 =± 2 + 3 =± 2 + ±1 + 2 ，代入方程②得 3 2 = 2020 ±
2 ± 2，该式右边须是 3 的倍数，故只有 3 2 = 2020 2 2 = 2016，解得 2 = 672， 3 = 1 + 2 = 673， 4 = 2 +
3 = 675．
②若 3 2 =± 2， 4 3 =± 1，同理可得 2 = 675， 3 = 673， 4 = 672．
2 2
（3）当 1 = 2 时， 2 3 + 4 3 = 2，由此得 3 2 =± 1， 4 3 =± 1，代入方程②得 3 2 = 2019 ± 2 ±
1，只能是 3 2 = 2019 2 1 = 2016或 3 2 = 2019 + 2 + 1 = 2022，解得 2 = 672或 2 = 674，故 1 = 2， 2 =
672， 3 = 673， 4 = 674或 1 = 2， 2 = 674， 3 = 673， 4 = 672；
综上所述， 1 = 1， 2 = 672， 3 = 673， 4 = 675或 1 = 1， 2 = 675， 3 = 673， 4 = 672或 1 = 2， 2 = 672，
3 = 673， 4 = 674或 1 = 2， 2 = 674， 3 = 673， 4 = 672．
三、解答题（11 题 10 分；12 题 12 分；13 题 15 分；14 题 25 分，共 62 分）
11.（1）解：∵关于 x 的一元二次方程 2 2 + 1 + 2 + 2 = 0 有实数根，
∴ Δ = 2 + 1 2 4 2 + 2 ≥ 0，∴ ≥ 1；
2
（2）解：∵ + 1 + 1 = + + + 1 = 20， = 2 + 2， + = 2 + 1 ，
∴ 2 + 2 + 2 + 1 + 1 = 20，整理得 2 + 2 15 = 0，解得 = 5或 = 3，
∵ ≥ 1，∴ = 3．
2
12.
（1）解：作 ⊥ ，垂足为 ．作 ⊥ ，交 的延长线于 ，延长 交 于 ，延长 交 延长线于点 ．
设 = ，则 = ·tan = 5 ， = = 2 + 2 = 6 ．
∵点 ， 关于直线 对称，∴ = ．∴∠ = ∠ ．
∵ = ，∴∠ = ∠ ．
∠ = ∠ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ △ ∽△ ∵ ，∴ ．∴ ．∴ = ．

∵ = ， ⊥ ，∴ = 2 = 2 6 ．∴ = ．∴ = 3 ．∴ = = 3 ．
6 2
∵ ， 关于直线 对称，∴∠ = ∠ ．
∵ ∥ ．∴∠ = ∠ ．∴∠ = ∠ ．∴ = = 3 ．∴ = ．
∵ ∥ △ ∽△ △ ∽△ = ，∴ ， ．∴ = 3 ， = ．∴ = 3 3．∴ = ．
4
1
= 1

∵ △ ， =

，∴ △ = 2 = 3．
2 8
（2）过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ．
设 = ．
∵ ∥ ，∴∠ = ∠ ．∴ = ·tan∠ = 5 ，sin∠ = 6．∴ = 2 + 2 = 6 ．
6
∵ = 5 ，∴ = 30 ．∴ = 2 2 = 5 ．∴ = 4 = ．∴ ．∴△ ∽△ ．

∴∠ = ∠ ．
设∠ = ∠ = ．∴∠ = 90° ．∴∠ = ∠ = ∠ = 90° ．∴∠ + ∠ = 90°．
∴∠ = 90°．∴∠ = 90°．∴ = ·sin∠ = 4 ·sin∠ = 2 6 ．
3
∵∠ = ∠ ，∠ + ∠ = 90°，∴∠ = ∠ + ∠ = 90°．∴∠ = ∠ ．
又∠ = ∠ 3 3 1，∴△ ∽△ ．∴ = ．∴ = 6 ．∴ = 6 ． ∴ = 6 ．
2 2 2
1

∴ = 2
6
= 1．
6 2
13.（1）解：当 = 0 时， = 2 2 2 2 = 2 × 02 0 2 2 = 2 2，
2 2
= 0 2当 时， 2 2 2 = 0， 2 2 4 = 0，解得 = 2或 2 2，
2
∴ 2, 0 ， 2 2, 0 ， 0, 2 2 ，∴ = = 2 2， = 2，
∵ ⊥ ，∴ ∥ ，∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ =定值，∠ = ∠ =定值，
∴△ 的三个角都为定值，∴当 最大时，△ 的周长最大，
, 2设 2 2 2 ，
2
设直线 的解析式为 = + ，
2 2, 0 0, 2 2 2 2 + = 0 = 1将 ， 代入得 ，解得 = 2 ，∴直线 的解析式为 = 2 2， = 2 2 2
2
∴ , 2 2 ，∴ = 2 2 2 2 2 2 = 2 2 + 2 = 2 2 + 2，
2 2 2
∵ 2 < 0，∴当 = 2时， 的最大值为 2，此时 2, 2 2 ，
2
如图 2 中，连接 ．取 的中点 ，连接 ．
∵ 2 2, 0 ， 0, 2 2 ，且 的中点为 ，∴ 2, 2 ，
2 2
又∵ = ′ = 2， 2, 0 ，∴ = 2 2 + 2 = 10，
∵ = ′， = ，∴ 是△ ′ ∴ = 1的中位线， ′ = 2，
2 2
∵ ≥ ∴ ≥ 10 2 ∴ 10 2， ， 的最小值为 ；
2 2
（2）解：存在，如图 3 中，延长 ′ 交 轴于 ，过点 ′作 ′ ⊥ 于 ．
由平移可得， = = 2 2 = ′ ′，
又∵∠ = 90°，∴△ 为等腰直角三角形，∴ ∠ = 45°，
∵ ′ ′∥ ，∴ ∠ ′ = ∠ ′ ′ ，∠ ′ ′ = ∠ ′ = 90°，
∵ ′ 平分∠ ，∴ ∠ ′ = ∠ ′ ′，∴ ∠ ′ ′ = ∠ ′ ′，
∴ ′ = ′ ′ = 2 2，
∵ ′ ⊥ ，且∠ = 45°，∴△ ′ 为等腰直角三角形，∴ = ′ = 2，
∵∠ ′ ′ = ∠ ′ = ∠ ′ ′ = 90°，∴四边形 ′ ′是矩形，∴ = ′ ′ = 2 2， ′ = ′ = 2，
∴ =
= 2 2 + 2 2 2
= 2，
∴ ′ 2, 2 ，
如图 4 中，过点 ′作 ′ ， ′ ⊥ ′ ′于 ．作 ′ ∥ 交 ′ ′于 ．
∴ ′ = 2，
∵△ ′ ′ ′为等腰直角三角形，∴ ′ ′ = ′ ′ + ′ ′ = 4，
∵ ′ ⊥ ′ ′，∴ ′ = 1 ′ ′ = 2 = ′ ，
2
又∵ ′ = ′ ，∠ ′ = ∠ ′ = 90°，∴ Rt △ ′ ≌ Rt △ ′ HL ，∴ ∠ ′ = ∠ ′ ，
∵将△ ′ ′ ′绕点 ′顺时针旋转 105°，∴ ∠ ′ ′ = 180° 105° = 75°，∴ ∠ ′ ′ = 90° 75° = 15°，
∴ ∠ ′ ′ = ∠ ′ ′ + ∠ ′ ′ = 60°，
∵ ′ ∥ ，∴ ∠ ′ ′ = ∠ ′ = 60°，∴ ∠ ′ = ∠ ′ = 30°，∴ ′ = 2 ′ = 4， = ' ·sin60° = 2 3，
∴ = + = 2 3 + 2，∴ 2 2 3, 0 ，
当四边形 ′ 是菱形时， ′ = ′ = 4，过点 ′作 ′ ⊥ 于点 X，∴ ′ ∥ , ∥ ′ ，
在 Rt △ ′ 中， = ′ 2 ′ 2 = 2 3，∴ = = 2 3 2，∴ 0, 2 3 2 ，
∵ ′ 2, 2 ， 2 2 3, 0 ，且 ′ ∥ , ∥ ′ ，∴ 2 3, 2 3 ；
当四边形 ′ ′ ′ 是菱形时，同理可得 ′ = 2 3 + 2，∴ ′ 0, 2 2 3 ，同理可得 ′ 2 3, 2 3 ，
当四边形 ′ ″ ″是菱形时，设 ″ ″交 ′ 于 ，交 轴于 ．则可得点 为 ″ ″和 ′ 的中点，且 ″ ″ ⊥ ′ ，
在 Rt △ 中， = 2，∠ = 30°，∴ = = 4 3，∠ = 60°，∴ = = 2 + 2 3，
cos30° 3 3
∵∠ = 60° = ∠ ″ ，∴∠ ″ = 90° 60° = 30°，∴ '' = 2 = 4 + 4 3， '' = ''·sin60° = 2 3 + 2，
3
∴ ″ 0, 2 + 2 3 ， ′ 2, 2 ， 2 2 3, 0 ，同理可得 ″ 4 2 3, 4 2 3 ．
满足条件的点 的坐标为 2 3, 2 3 或 2 3, 2 3 或 4 2 3, 4 2 3
14、解答：
△ ∠ = 设 各顶点的对应边长为 、 、 。过 作 的平分线交 于点 ，则
+
利用 △ △ = ，可知

即 2 = +
而 ∠ > 90 ，故 2 > 2 + 2。
由 2 = + ，设 , + = ，则 , = ，并且 2∣ 2，故 ∣ 。
为求 + + 的最小值，可设 = 1，这时， 与 + 都为完全平方数，设 = 2, + = 2, , ∈
则 = 。利用 + > 及 2 > 2 + 2，可知 + 2 > 2 2
且 2 2 2 > 2 + 4
于是 >
即 < 2
并且 4 > 3 2 2
即 2 > 3 2
所以 3 2 < 2 < 4 2
从而在 3 2 与 4 2 之间有一个完全平方数，这要求 ≥ 4，这时 ≥ 7，故 + + ≥ 4 × 7 + 72 = 77
显然 , , = 28,16,33 满足条件，故所求 △ 周长的最小值为 77。

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