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绝密★启用前 5 4 = 76、已知 是满足 2023 < < 2033的整数，并且使二元一次方程组 4 +5 = 有整数解，且整数 的所
第十五届海峡两岸青少年思维能力展示活动福建晋级赛
有可能的值为 。
（2026年5月） 7、闽超比赛如火如荼，某足球队参加足球比赛，现在该队有 11名队员在场上踢比赛，在场下还有 7名替
选手须知： 补队员。比赛规定，比赛中，可以从替补队员中挑队员与场上队员交换替补上场，但至多可以换 3名队员，而
1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计24分；第三部分：解答题，
且已经换下的队员不能再替补上场。如果整场比赛中没有队员被罚下，则比赛结束时，场上的 11名队员的不
共计62分。
同情况有 种。
2、答题前请将自己的姓名、学校、考场、入场证号写在规定的位置。
8、若一个四位数的千位数字比个位数字大2，百位数字和十位数字之和为 8，则称这个数为“海峡数”，若
3、答题时不能使用计算工具。
4、答题时间结束时试卷和草稿纸将被收回。 两个“海峡数” 、 ，其中 的千位和百位数字分别为 , ， = 1000 +100 + 10 2 其中 , , , 均为整
题 号 一 二 三 总分 核查人 数，且 2 ≤ ≤ 9,2 ≤ ≤ 9,0 ≤ ≤ 8,0 ≤ ≤ 5 + ，若 为整数，且 的各数位上的数字之和与 的各数位上的
13
得 分 2
数字之和的比值为 ，则满足条件的 + 的最大值与最小值之和为 。
3
七年级试题（A卷） 得 分
二、计算题（每题12分，共计24分） 得 分
（本试卷满分150分 ，考试时间90分钟 ） 评卷人
3 216 8 19、 × 2 + 5× 5 3 评卷人
一、填空题（每题8分，共计64分） 3 4 5
1、已知 = 3 2 2 2 +2， = 2 21 +3 + + 5 + 2，若 + 2 的值与 x无关，则 1 + 2
的值为 。

2、三个互不相等的有理数，既可以表示为1， + ， 的形式，也可以表示为 0，， 的形式，则 2025 + 2026

的值是 。
4 3 4 +6 = 0
3 2
3、若关于 1的一元一次方程 + = 2 + 1 的解为 = 1，则关于 的一元一次方程 10、已知 为实数， 为正整数，关于 、 的方程组 + 的解也为正整数，且以此方
2026 1013 = 3 +10
2
+ = 2 + 的解为 = 。 程组的解为坐标的点在方程 2 + = 9的图象上，求 的值。
3 1
4、如图，在平面直角坐标系中， ,0 ， (0,2)， (1,0)， 0, 连接 、 交于点E，则三角形
2 2
的面积为 。
第4 题 第 5 题
5、如图，已知直线 分别交直线 、 于点 、 ， ∥ ， 、 分别为直线 、 上的点， 为直
线 、 之间的点， ⊥ ，∠ 的平分线 与∠ 的邻补角∠ 的平分线 交于点 ，∠ 的平
分线 交 于点 。若∠ +∠ = 170°，则∠ ∠ = 。
七年级 第 1 页 七年级 第 2 页
省 市 学校 姓名 考场 入场证号
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题
得 分
评卷人
三、解答题（11题10分；12题12分；13题15分；14题25分，共62分） （3）平移线段AB到线段EF，其中点A对应点为E，点B对应点为F，且点E的坐标是方程 x﹣y＝﹣1 的一
11、若不等式 2 +1 5 < 3 1 +4 1的最小整数解是关于 x的方程 = 5的解，求式子 组解，点F的坐标是方程 2x﹣y＝﹣10 的一组解（x，y分别为点的横坐标与纵坐标），求 S
3 △BEF。
2 2 +2026的值。
12、某厂生产三种不同型号的电脑，出厂价分别为甲种2000元，乙种2500元，丙种3000元。
(1)某商场同时购进该厂两种不同型号的电脑共50台，用去11.5万元，请你分析下该商场的购买方案；
(2)若商场销售一台甲种电脑盈利120元，销售一台乙种电脑盈利200元，销售一台丙种电脑盈利300元。在(1)
中的购买方案中，哪种方案盈利最多？
(3)若商场准备用12万元（用完）同时购进三种不同型号的电脑共50台，共有多少种购买方案？盈利最多的
方案是哪个？（每种至少一台）
14、已知 支排球队参加比赛，每支球队与其他任一支球队只比赛1场。一支球队获胜积1分，失败记0
分（排球比赛没有平局）。若任意4支球队之间进行的比赛中，至少有两个球队积分相同。求 的最大值。
13、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（0，3），P为线段AB的中点。
1
（1）求证：S△OAP= 2S△OAB（S△OAP表示三角形OAP的面积，下同）；
（2）点C从原点出发以每秒2个单位长度向 x轴正方向运动，设运动的时间为 t秒，若 S△PAC＜2，求 t的取值
范围；
七年级 第 3 页 七年级 第 4 页
∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕ 密 〇 封 〇 装 〇 订 〇 线 ∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕〇∕∕∕∕∕∕
密 封 线 内 不 要 答 题七年级 A 卷答案
一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）
1 2 3 4 5 6 7 8
7 2025 9 110° 2031 7008 17
2 2 2026 20
二、计算题（每题 12 分，共 24 分）
3
9.解： 216 8 × 2 1+ 5 × 5 3
3 4 5
8 9 3
= 6 + × + 5 × 5 5 ×
3 4 5
8 3
= 6 + × + 5 3
3 2
= 6 + 4 + 2
= 12
4 3 4 + 6 = 0
3 2 2 + 9 = 3 + 8①10. 将方程组 + 化简得： ，= 3 + 10 7 = 3 + 20②
2
①+②得： 2 + + 2 = 28，
由 2 + = 9 得： = 9 2 ，
将 = 9 2 代入 2 + + 2 = 28得： 2 + + 2 9 2 = 28，
整理得： 2 = 10，
∵方程组有解，
∴ 2 ≠ 0 10，即 ≠ 2，∴ = ，
2
∵ 、 、 均为正整数，∴ 2可取 1，2，5，10，即 可取 3，4，7，12，
当 = 3 时， = 10， = 11，不合题意，舍去；
当 = 4 时， = 5， = 1，不合题意，舍去；
= 2 41
当 = 7 时， = 2， = 5，将 = 5代入①得 = ；3
= 12 = 1 = 7 = 1当 时， ， ，将 = 7代入①得： = 19；
41综上所述， 的值为 19或 ．
3
三、解答题（11 题 10 分；12 题 12 分；13 题 15 分；14 题 25 分；共 62 分）
11.解：2 + 1 5 < 3 1 + 4，
解不等式，得 > 4．
∴不等式的最小整数解为 = 3．
∵ 1不等式的最小整数解是关于 x的方程 = 5 的解，
3
∴将 = 3代入方程，得 1 + 3 = 5，
解得 = 2．
∴ 2 2 + 2026 = 22 2 × 2 + 2026 = 2026．
12. （1）解：方案一：购买甲、乙两种，设甲种 台，则乙种为 50 台，依题意有
2000 + 2500 50 = 115000，解得 = 20,50 = 30，即购买甲种 20 台，乙种 30 台；
方案二：购买甲、丙两种，设甲种 台，则丙种为 50 台，依题意有 2000 + 3000 50 = 115000，
解得 = 35,50 = 15，即购买甲种 35 台，丙种 15 台．
方案三：购买乙、丙两种，设乙种 台，则丙种为 50 台，依题意有 2500 + 3000 50 = 115000，
= 70,70 > 50．不符合题意，舍去．
（2）解：方案一盈利：120 × 20 + 200 × 30 = 8400（元），
方案二盈利：120 × 35 + 300 × 15 = 8700（元），
所以方案二盈利最多．
（3）解：设购买甲种 台，乙种 台，丙种 台，
+ + = 50 + + = 50①
则 2000 + 2500 + 3000 = 120000，即 ，4 + 5 + 6 = 240②
② ①× 4得 + 2 = 40，即 = 40 2 ，则 1 ≤ ≤ 19，共 19 种方案．
盈利为 120 + 200 + 300 = 120 + + + 80 + 2 + 20 = 9200 + 20 ，
所以当 = 19 时，盈利最多，此时 = 2, = 29．
答：共有 19 种购买方案，盈利最多的方案是购买甲种 29 台，乙种 2 台，丙种 19 台
13.【答案】（1）见解答；
2
（2）t的取值范围为 ＜ ＜2或 2＜ 10＜
3 3
；
（3）3．
【解答】（1）证明：∵P为线段 AB的中点，
∴ = 12 设点O到直线AB
1
的距离为d，则 △ = 2 × × S =
1 × × = 1 1，△OAP 2 2 × 2 × × ；
∴S△OAP＝S△OAB；
（2）解：由点 A（4，0），B（0，3）得 OA＝4，OB＝3，
1
∴ △ = 2 × 4 × 3 = 6，
设 P（x 1，y），由（1）得 S△OAP＝S△OBP= 2 △ ，
1
∴ ×4y= 12 ×3x=
1
2 ×6，2
解得 x＝2， = 32，
∴ (2 3， 2 )，
1 3 3 1 3 3
由题意得 OC＝2t， △ = 2 × 2 × (4 2 ) = 4 (4 2 )或 △ = 2 × 2 × (2 4) = 4 (2 4)，
3 3
∴ (4 2 )＜2或 (2 4)＜2，
4 4
解得 2 10＞ 3或＜ 3，
2
∴t的取值范围为 ＜ ＜2或 2＜ 10＜
3 3
；
（3）点 E，F的坐标分别是方程 x﹣y＝﹣1，2x﹣y＝10 的一组解，
∴可设 E（m，m+1），F（n，2n+10），
∵线段 EF由线段 AB平移得到，
4 = = 2
∴ + 1 + 3 = 2 + 10 解得 = 2，
∴E（2，3），F（﹣2，6），
= 1∴ △ 2 × 2 × (6 3) = 3．
14.解： 先证明：每支球队最多胜了 3 场比赛。
用反证法，假设球队 至少胜了 4 场，不妨设 胜了 、 、 、 四支队。考虑 、 、 、 中的 3
支球队，如 、 、 ，由于 、 、 、 四支球队中共有 6 场比赛，而 已胜 3 场积 3 分，剩下的 3
分只好 、 、 各积 1 分（因为任意四支球队之间的比赛中，至少有两个球队积分相同），即在 、 、
三支球队之间，每队各胜 1 场。同理 、 、 三支球队之间，每队各胜 1 场， 、 、 三支球队之
间，每队也各胜 1 场。但这是不可能的。故假设不成立，结论成立。
再次， 支球队的循环赛中所有球队得分总和等于比赛场数，即
( 1)
2
而每支球队得分不超过 3 分，得分总和不超过 3 。因此，
( 1)
≤ 3
2
解得 ≤ 7。
下面构造 7 支球队 、 、 、 、 、 、 的得分表，如图 5-1。若 胜 ，则在 队所在行及 队
所在列处记 1，否则记为 0，其余类似，该表中某队的得分是该队所在行的 6 个元素之和。直接验证与任
意四个队的比赛对应的一个 4 × 4 的方阵（共有 35 个不同的 4 × 4 方阵）中总存在两行的和相等，即至
少有两个队的积分相同。
图 5-1 得分表：
A B C D E F G
A 1 1 1 0 0 0
B 0 1 0 0 1 1
C 0 0 1 1 1 0
D 0 1 0 1 0 1
E 1 1 0 0 1 0
F 1 0 0 1 0 1
G 1 0 1 0 1 0
故 的最大值为 7。

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