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第4讲　万有引力与宇宙航行
[复习目标]
1．知道开普勒三定律的内容，会分析简单的天体运动问题。　2.理解万有引力定律，能够应用万有引力定律分析万有引力的大小、重力加速度、宇宙速度等。　3.能够应用万有引力定律求解天体的质量和密度。
一、开普勒定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个对所有行星都相同的常量
1．(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　　)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　　)
(3)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)√
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。
3．适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
4．万有引力定律在天体上的应用
(1)基本特征：把天体运动看成匀速圆周运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
(2)表达式：应用万有引力定律分析天体运动的方法：
G＝ma＝m＝mrω2＝mr。
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9km/s。
(2)第一宇宙速度是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
(4)第一宇宙速度的计算方法
由G＝m得v＝_；
由mg＝m得v＝。
2．第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2km/s。
3．第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7km/s。
2．(1)只有天体之间才存在万有引力。(　　)
(2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G计算物体间的万有引力。(　　)
(3)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(　　)
(4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
考点一　开普勒行星运动规律
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。
2．由开普勒第二定律可得在近日点和远日点，Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在这两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则在近日点的速度最大，在远日点的速度最小。
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。如研究行星绕太阳运动时，k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，k只与地球的质量有关。
(2025·云南卷，T5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间
B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间
D．天王星与海王星的公转轨道之间
[解析]　由开普勒第三定律 eq \f(T,R)＝ eq \f(T,R)得R行＝ eq \r(3,\f(T,T))R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。
[答案]　C
(2026·陕西宝鸡市模拟)中国的二十四节气是中华民族优秀的文化传统与祖先广博智慧的世代传承，被国际气象界誉为中国“第五大发明”。如图所示为地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处的四个位置，分别对应我国的四个节气。冬至和夏至时地球中心与太阳中心的距离分别为r1、r2，下列说法正确的是(　　)
A．冬至时地球的运行速度最小
B．地球运行到冬至和夏至时，运行速度之比为
C．地球从秋分到冬至的运行时间为公转周期的
D．地球在冬至和夏至时，所受太阳的万有引力之比为
[解析]　由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时地球的运行速度最大，A错误；地球从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积S＝，同理地球从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积S＝，又＝，可得速度之比为，B正确；地球从秋分到冬至速度变快，所以运行时间小于公转周期的，C错误；由万有引力公式F＝可知，F与R2成反比，所以所受太阳的万有引力之比为，D错误。
[答案]　B
考点二　万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
忽略地球自转 在地球表面，物体随地球自转所需的向心力与物体重力相比较小，常忽略不计，认为万有引力等于重力，即G＝mg，可得GM＝gR2
考虑地球自转 重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体绕地轴做圆周运动所需的向心力。(1)在赤道上，G＝mg1＋mω2R，g1为赤道处的重力加速度。(2)在两极处，G＝mg2，g2为两极处的重力加速度。(3)在一般位置，万有引力等于重力与向心力的矢量和。(4)从赤道到两极，重力加速度越来越大。
2.地球表面上的重力加速度
(1)设在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，由mg＝G，得g＝G。
(2)设在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝，得g′＝，所以＝。
3．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
(2025·海南卷，T4)载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是(　　)
A．火箭加速升空失重
B．航天员在空间站受到的万有引力小于在地表受到的万有引力
C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度
D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度
[解析]　火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，处于超重状态，故A错误；根据F＝可知，航天员与地球的质量不变，航天员在空间站离地心更远，则受到的万有引力小于在地表受到万有引力，故B正确；根据＝mω2R可得ω＝，又R空[答案]　B
(2025·广东卷，T5)一颗绕太阳运行的小行星，其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星，下列说法正确的是(　　)
A．公转周期约为6年
B．从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C．从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D．在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
[解析]　由题意可知该小行星轨道的半长轴a小行星为地球到太阳距离的6倍，由开普勒第三定律可知 eq \f(a,T)＝ eq \f(r,T)，可得T小行星＝ eq \r(\f(a,r))T地≈14.7年，故A错误；从远日点到近日点，该小行星到太阳的距离逐渐减小，由万有引力定律F引＝可知，从远日点到近日点该小行星所受太阳引力大小逐渐增大，由开普勒第二定律可知当行星离太阳较近时，运行的速度较大，而离太阳较远的时候速度较小，因此从远日点到近日点，该小行星的线速度大小逐渐增大，故B、C错误；结合牛顿第二定律F引＝ma，可得a＝，由于该小行星的轨道近日点到太阳的距离约为地球到太阳距离的5倍，则该小行星在近日点的加速度大小约为地球公转加速度的，故D正确。
[答案]　D
(多选)(2024·广东卷，T9)如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1 000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小g取10 m/s2。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有(　　)
A．该行星表面的重力加速度大小为4 m/s2
B．该行星的第一宇宙速度为7.9 km/s
C．“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为80 m/s2　
D．“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
[解析]　在行星表面，根据G＝mg，可得g＝，可得该行星表面的重力加速度大小g′＝4 m/s2，故A正确；由G＝m，可得v＝，故该行星的第一宇宙速度v行＝v地＝×7.9 km/s，故B错误；“背罩分离”前，绳的弹力F弹＝(m背＋m探)g′，分离后瞬间，F弹不变，a＝＝80 m/s2，故C正确；“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝m探g′v＝240 kW，故D错误。
[答案]　AC
考点三　天体质量和密度的估算
1．中心天体质量的估算
(1)利用运行天体：已知运行天体的轨道半径r和运行周期T，利用＝mr得M＝。
(2)利用天体表面的重力加速度g：已知天体的半径R和g，利用＝mg得M＝。
2．天体密度的估算
(1)利用运行天体的轨道半径r和运行周期T，求中心天体质量，若已知天体的半径R，则天体密度ρ＝＝。若卫星在天体表面运行，则认为R≈r，ρ＝。
(2)利用天体表面重力加速度和天体半径R，求天体质量，再求天体密度ρ＝＝。
3．两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动运行一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
方法1　“重力加速度法”计算天体质量和密度
(2026·安徽芜湖市模拟)2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球(不计地面上的空气阻力)，小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为(　　)
A．6∶1　　　　　　　 B．1∶6
C．2∶3 D．3∶2
[解析]　根据h＝ eq \f(v,2g)，可得＝＝，根据G＝mg，ρ＝＝，可得＝·＝。
[答案]　D
2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F。已知月球半径为r，引力常量为G。求：
(1)月球表面的重力加速度g；
(2)月球的质量M。
[解析]　(1)月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F，则有F＝mg
解得g＝。
(2)在月球表面有G＝mg
结合上述解得M＝。
[答案]　(1)　(2)
方法2　“环绕法”计算天体质量和密度
(2026·安徽黄山市质检)2025年4月30日，神舟十九号载人飞船与空间站组合体成功分离，当天中午成功返回东风着陆场。空间站组合体距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知(　　)
A．悬浮在空间站内的物体，不受力的作用
B．空间站组合体的质量m＝
C．地球的密度ρ＝
D．神舟十九号飞船与空间站组合体分离后做离心运动
[解析]　悬浮在空间站内的物体，仍受地球的引力作用，A错误；根据G＝m(R＋h)，可得地球的质量M＝，B错误；地球的密度ρ＝＝，C正确；神舟十九号飞船与空间站组合体分离后将做向心运动，D错误。
[答案]　C(共47张PPT)
第4讲　万有引力与宇宙航行
[复习目标]
1．知道开普勒三定律的内容，会分析简单的天体运动问题。　2.理解万有引力定律，能够应用万有引力定律分析万有引力的大小、重力加速度、宇宙速度等。　3.能够应用万有引力定律求解天体的质量和密度。
基础自主梳理
第一部分
一、开普勒定律
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上
开普勒第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的______相等
椭圆
椭圆
面积
三次方
二次方
深化辨析
1．(1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(　　)
(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(　　)
(3)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆。(　　)
×
√
√
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成______、与它们之间距离r的二次方成______。
正比
反比
3．适用条件
(1)公式适用于______间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是________间的距离。
4．万有引力定律在天体上的应用
(1)基本特征：把天体运动看成__________运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提供。
质点
两球心
匀速圆周
三、宇宙速度
1．第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为________km/s。
(2)第一宇宙速度是物体在______附近绕地球做匀速圆周运动时的速度。
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小______速度，也是人造卫星的最大______速度。
7.9
地球
发射
环绕
2．第二宇宙速度：使物体挣脱______引力束缚的最小发射速度，其数值为__________km/s。
3．第三宇宙速度：使物体挣脱______引力束缚的最小发射速度，其数值为__________km/s。
地球
11.2
太阳
16.7
深化辨析
×
√
×
×
考点一　开普勒行星运动规律
第二部分
C
例1 (2025·云南卷，T5)国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于(　　)
行星 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 0.39 0.72 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A．金星与地球的公转轨道之间 B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间 D．天王星与海王星的公转轨道之间
B
[解析]　由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，近地点的速度大于远地点的速度，所以冬至时地球的运行速度最大，A错误；
第三部分
考点二　万有引力定律的理解及应用
1．万有引力与重力的关系
3．宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发＝7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
例3 (2025·海南卷，T4)载人飞船的火箭成功发射升空，载人飞船进入预定轨道后，与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是(　　)
A．火箭加速升空失重
B．航天员在空间站受到的万有引力小于在地表受到的万有引力
C．空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度
D．空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度
B
[解析]　火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，处于超重状态，故A错误；
D
AC
“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率P＝m探g′v＝240 kW，故D错误。
第四部分
考点三　天体质量和密度的估算
3．两点区别
(1)天体半径和卫星的轨道半径
通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。
(2)自转周期和公转周期
自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动运行一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。
方法1　“重力加速度法”计算天体质量和密度
例6 (2026·安徽芜湖市模拟)2025年中国航天将迎来更多突破，新一代载人飞船和月面着陆器将进入实质性测试阶段，我国第四批预备航天员不仅要执行空间站任务，未来也将执行载人登月任务。假设以同样大小的初速度分别在月面和地面竖直上抛小球(不计地面上的空气阻力)，小球在月面上升的最大高度为在地面上的6倍。已知地球半径为月球半径的4倍，则地球和月球的平均密度之比为(　　)
A．6∶1　　　　　　　 B．1∶6
C．2∶3 D．3∶2
D
例7 2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样。采样的月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F。已知月球半径为r，引力常量为G。求：
(1)月球表面的重力加速度g；
(2)月球的质量M。
C
[解析]　悬浮在空间站内的物体，仍受地球的引力作用，A错误；
神舟十九号飞船与空间站组合体分离后将做向心运动，D错误。(共25张PPT)
演练知能提升
B
1．(2026·广东惠州市调研)中国行星际探测器天问二号于2025年5月29日在西昌卫星发射中心成功发射，用于对绕太阳沿椭圆轨道公转的小行星2016HO3和主带彗星311P进行探测，地球绕太阳的转动可视为圆周运动，如图所示。已知2016HO3和311P绕太阳公转的轨道半长轴分别为1 AU和2.2 AU(AU为天文单位，即日地之间的距离)。下列说法正确的是(　　)
A．311P的公转周期大于4年
B．2016HO3的公转周期比311P的公转周期小
C．天问二号探测器在地面上的发射速度将超过第三宇宙速度
D．在相等时间内，2016HO3与太阳连线扫过面积等于311P与太阳连线扫过面积
天问二号用于对绕太阳沿椭圆轨道公转的小行星2016HO3和主带彗星311P进行探测，其围绕太阳运动，则发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，故C错误；
开普勒第二定律只适用于同一个行星，故D错误。
C
解析：探测器在b点和d点的受力方向不同，则加速度不相同，故A错误；
根据开普勒第二定律可知，探测器在a点的速度大于在c点的速度，故B错误；
探测器只有引力做功，则探测器在a点的机械能等于在c点的机械能，故C正确；
AC
3．(多选)(2026·江西南昌市模拟)我国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国首次火星探测之旅。“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力F1与其距离地表高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”抵达火星附近时，所受火星的万有引力F2与其距离火星表面的高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球质量约为火星质量的9倍，则下列说法正确的是(　　)
A．物体在地球表面做自由落体运动时下落更快
B．物体在火星表面做自由落体运动时下落更快
C．地球与火星的半径之比约为2∶1
D．地球与火星的半径之比约为3∶2
又由地球质量约为火星质量的9倍，由上式联立，解得R地∶R火＝2∶1，故C正确，D错误。
C
C
5．(2026·河北张家口市模拟)神舟二十一号是我国载人航天工程的第二十一艘飞船，于2025年10月31日成功发射，是我国航天事业的又一重要里程碑。该飞船不仅可用于留轨观测，还可交会对接飞行器，满足天地往返的需求。已知该飞船绕地球近地飞行且可视为绕地球做匀速圆周运动，地球半径为6 400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2，则神舟二十一号(　　)
A．做匀速圆周运动的角速度小于地球自转的角速度
B．在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．绕地球运动一周的时间不小于1.4 h
D．与飞行器对接后，由于质量增大，轨道半径变小
解析：因该飞船绕地球近地飞行，所以该飞船做匀速圆周运动的速度等于第一宇宙速度7.9 km/s，大于地球上的物体随地球自转的线速度，所以该飞船做匀速圆周运动的角速度大于地球自转角速度，故A、B错误；
轨道半径与质量无关，所以与飞行器对接后，轨道半径不变，故D错误。
C
6．(2026·山东泰安市期末)假设宇宙中有两颗行星A和B，轨道半径分别为RA和RB，RB＝3RA。两颗行星的卫星轨道半径的三次方(r3)与运行公转周期的二次方(T2)的关系如图所示。若不考虑其他星体对A、B的影响及A、B之间的作用力，则行星A、B第一宇宙速度之比为(　　)
A．1∶5 B．1∶4
C．1∶3 D．1∶1
AB
7．(多选)(2026·山西省适应性测试)2025年11月1日，神舟二十一号航天员乘组入驻中国空间站。已知天宫空间站在距地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。用以上数据可求得(　　)
A．空间站的运行速度 B．空间站的运行周期
C．地球的质量 D．地球的密度
AC
9．(8分)(2026·江西鹰潭市模拟)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星表面重力加速度约为月球的p倍，半径约为月球的q倍，忽略火星及月球的自转。如图所示，着陆前，“祝融”和“玉兔”某段时间可认为分别绕火星和月球做匀速圆周运动，且距离火星和月球的高度可以忽略不计。试求：
(1)火星质量m1和月球的质量m2的比值；(4分)
答案：pq2　
(2)“祝融”和“玉兔”分别绕火星和月球做匀速圆周运动线速度大小v1和v2的比值。(4分)
(1)该行星表面的重力加速度大小；(4分)
答案：4 m/s2
(2)刚打开降落伞瞬间探测器加速度的大小；(4分)
解析：打开降落伞后当速度为40 m/s时匀速阶段有kv2＝mg′
刚打开降落伞时瞬间速度为100 m/s
由牛顿第二定律kv1－mg′＝ma
得a＝6 m/s2。
答案：6 m/s2　
(3)反推发动机启动时探测器距离地面的高度。(4分)
答案：450 m1．(2026·广东惠州市调研)中国行星际探测器天问二号于2025年5月29日在西昌卫星发射中心成功发射，用于对绕太阳沿椭圆轨道公转的小行星2016HO3和主带彗星311P进行探测，地球绕太阳的转动可视为圆周运动，如图所示。已知2016HO3和311P绕太阳公转的轨道半长轴分别为1 AU和2.2 AU(AU为天文单位，即日地之间的距离)。下列说法正确的是(　　)
A．311P的公转周期大于4年
B．2016HO3的公转周期比311P的公转周期小
C．天问二号探测器在地面上的发射速度将超过第三宇宙速度
D．在相等时间内，2016HO3与太阳连线扫过面积等于311P与太阳连线扫过面积
解析：选B。根据＝k，可知2016HO3的公转周期比311P的公转周期小，根据地球的半径与周期有＝，解得T≈3.3年，311P的公转周期小于4年，故A错误，B正确；天问二号用于对绕太阳沿椭圆轨道公转的小行星2016HO3和主带彗星311P进行探测，其围绕太阳运动，则发射速度大于第二宇宙速度小于第三宇宙速度，故C错误；开普勒第二定律只适用于同一个行星，故D错误。
2．(2026·山东济南市期末学习质检)如图所示的是“嫦娥六号”月球探测器沿椭圆轨道环月绕行的示意图，a、c为椭圆轨道长轴端点，b、d为椭圆轨道短轴端点，探测器沿图中箭头所示方向运行。已知探测器绕行周期为T，若只考虑月球对探测器的引力作用，下列说法正确的是(　　)
A．探测器在b点和d点的加速度相同
B．探测器在a点的速度小于在c点的速度
C．探测器在a点的机械能等于在c点的机械能
D．探测器从c点到d点的运行时间为T
解析：选C。探测器在b点和d点的受力方向不同，则加速度不相同，故A错误；根据开普勒第二定律可知，探测器在a点的速度大于在c点的速度，故B错误；探测器只有引力做功，则探测器在a点的机械能等于在c点的机械能，故C正确；探测器在c点的速度最小，则探测器从c点到d点的运行时间大于T，故D错误。
3．(多选)(2026·江西南昌市模拟)我国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国首次火星探测之旅。“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力F1与其距离地表高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”抵达火星附近时，所受火星的万有引力F2与其距离火星表面的高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球质量约为火星质量的9倍，则下列说法正确的是(　　)
　　
A．物体在地球表面做自由落体运动时下落更快
B．物体在火星表面做自由落体运动时下落更快
C．地球与火星的半径之比约为2∶1
D．地球与火星的半径之比约为3∶2
解析：选AC。物体在地球表面有G eq \f(M地m,R)＝mg地＝9F0，火星表面有G eq \f(M火m,R)＝mg火＝4F0，所以＝，故物体在地球表面做自由落体运动时下落更快，故A正确，B错误；又由地球质量约为火星质量的9倍，由上式联立，解得R地∶R火＝2∶1，故C正确，D错误。
4．(2026·福建省模拟)火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，火星的质量约为地球质量的，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度之比约为(　　)
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
解析：选C。根据G＝，可得v火＝，v地＝，则＝≈。
5．(2026·河北张家口市模拟)神舟二十一号是我国载人航天工程的第二十一艘飞船，于2025年10月31日成功发射，是我国航天事业的又一重要里程碑。该飞船不仅可用于留轨观测，还可交会对接飞行器，满足天地往返的需求。已知该飞船绕地球近地飞行且可视为绕地球做匀速圆周运动，地球半径为6 400 km，地球表面重力加速度g取10 m/s2，则神舟二十一号(　　)
A．做匀速圆周运动的角速度小于地球自转的角速度
B．在轨道上飞行的速度大于7.9 km/s
C．绕地球运动一周的时间不小于1.4 h
D．与飞行器对接后，由于质量增大，轨道半径变小
解析：选C。因该飞船绕地球近地飞行，所以该飞船做匀速圆周运动的速度等于第一宇宙速度7.9 km/s，大于地球上的物体随地球自转的线速度，所以该飞船做匀速圆周运动的角速度大于地球自转角速度，故A、B错误；该飞船绕地球运动一周的时间t＝＝ h≈1.41 h，故C正确；轨道半径与质量无关，所以与飞行器对接后，轨道半径不变，故D错误。
6．(2026·山东泰安市期末)假设宇宙中有两颗行星A和B，轨道半径分别为RA和RB，RB＝3RA。两颗行星的卫星轨道半径的三次方(r3)与运行公转周期的二次方(T2)的关系如图所示。若不考虑其他星体对A、B的影响及A、B之间的作用力，则行星A、B第一宇宙速度之比为(　　)
A．1∶5 B．1∶4
C．1∶3 D．1∶1
解析：选C。根据万有引力提供向心力有＝mr，解得M＝，由题图可知A、B的质量分别为MA＝ eq \f(4π2R,GT)，MB＝ eq \f(4π2R,GT)，第一宇宙速度满足＝m，即v＝，解得＝＝。
7．(多选)(2026·山西省适应性测试)2025年11月1日，神舟二十一号航天员乘组入驻中国空间站。已知天宫空间站在距地面高度为h的轨道上绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。用以上数据可求得(　　)
A．空间站的运行速度 B．空间站的运行周期
C．地球的质量 D．地球的密度
解析：选AB。放在地球表面的物体有G＝m′g，空间站绕地球做匀速圆周运动有G＝m＝m(R＋h)，联立可以求出空间站的运行速度v＝，周期T＝，但无法求得地球的质量及密度。
8．(多选)(2026·广西壮族自治区模拟)某行星的直径是地球直径的2.5倍，它围绕着一颗恒星做匀速圆周运动的周期为地球绕太阳运动的周期的，该行星的质量为地球质量的5倍，行星到恒星的距离为地球到太阳的距离的4倍，则下列说法正确的是(　　)
A．该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的
B．该行星的第一宇宙速度为地球第一宇宙速度的2倍
C．该恒星的质量为太阳质量的144倍
D．该行星的密度为地球密度的
解析：选AC。在星球表面上有G＝mg，根据题意有R行＝2.5R地，M行＝5M地，解得g行＝g地，故A正确；由G＝m，解得＝，故B错误；由G＝mr，解得＝ eq \f(rT,rT)＝144，故C正确；由密度与质量的关系ρ＝，其中V＝πR3，解得＝ eq \f(M行R,M地R)＝，故D错误。
9．(8分)(2026·江西鹰潭市模拟)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星表面重力加速度约为月球的p倍，半径约为月球的q倍，忽略火星及月球的自转。如图所示，着陆前，“祝融”和“玉兔”某段时间可认为分别绕火星和月球做匀速圆周运动，且距离火星和月球的高度可以忽略不计。试求：
(1)火星质量m1和月球的质量m2的比值；(4分)
(2)“祝融”和“玉兔”分别绕火星和月球做匀速圆周运动线速度大小v1和v2的比值。(4分)
解析：(1)对火星表面的物体有G eq \f(mm1,R)＝mg1
对月球表面的物体有G eq \f(mm2,R)＝mg2
解得＝pq2。
(2)对“祝融”有G eq \f(mm1,R)＝m eq \f(v,R1)
对“玉兔”有G eq \f(mm2,R)＝m eq \f(v,R2)，解得＝。
答案：(1)pq2　(2)
10．(12分)(2026·广东汕头市模拟)在登陆某行星的过程中，探测器在接近行星表面时打开降落伞，速度从v1＝100 m/s降至v2＝40 m/s后开始匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与降落伞断开连接，5 s后推力为8 000 N的反推发动机启动，速度减至0时恰落到地面上。设降落伞所受的空气阻力f＝kv，其中k为定值，v为速率，其余阻力不计，设全过程为竖直方向的运动。已知探测器质量为1 000 kg，降落伞和背罩质量忽略不计，该行星的质量和半径分别为地球的和，地球表面重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)该行星表面的重力加速度大小；(4分)
(2)刚打开降落伞瞬间探测器加速度的大小；(4分)
(3)反推发动机启动时探测器距离地面的高度。(4分)
解析：(1)在星球表面，根据万有引力等于重力有G＝mg，可得g＝
则该行星表面的重力加速度大小
g′＝g＝4 m/s2。
(2)打开降落伞后当速度为40 m/s时匀速阶段有kv2＝mg′
刚打开降落伞时瞬间速度为100 m/s
由牛顿第二定律kv1－mg′＝ma
得a＝6 m/s2。
(3)反推发动机启动时探测器速度v3＝v2＋g′t
对探测器，有F－mg′＝ma1
减速到速度为0时v＝2a1h，得h＝450 m。
答案：(1)4 m/s2　(2)6 m/s2　(3)450 m

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