资源简介

1．2024巴黎奥运会女子10米跳台项目中，我国运动员上演“水花消失术”成功卫冕，该运动员入水时的动能约为(　　)
A．5 J B．50 J
C．500 J D．5 000 J
解析：选D。根据机械能守恒定律可知Ek＝mgh≈5 000 J。
2．撑竿跳高是一项运动员经过持竿助跑，借助撑竿的支撑腾空，在完成一系列复杂的动作后越过横杆的运动。忽略空气阻力，在运动员腾空上升的过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．运动员的机械能守恒
B．运动员的重力势能一直增大
C．撑竿的弹力对运动员做正功
D．撑竿的弹性势能始终减小
解析：选A。运动员腾空上升的过程中，撑竿的弹力对运动员做正功，所以运动员的机械能是变化的，故A错误，C正确；运动员上升过程中重力势能是增大的，故B正确；撑竿由弯曲变直，弹性势能始终减小，故D正确。
3．(2026·辽宁省部分学校模拟)近年来无人机在军事、工业等领域均有广泛的应用，一质量为m的无人机在执行远程侦察任务，某段时间内该无人机以速度v沿着与水平方向成θ角斜向上的方向匀速直线飞行，重力加速度为g，则(　　)
A．该无人机处于超重状态
B．该无人机在运动的过程中机械能守恒
C．空气对该无人机作用力的大小为mg
D．重力对无人机做功的瞬时功率为mgv
解析：选C。该无人机处于平衡状态，故A错误；无人机运动过程中动能不变，重力势能增加，机械能增加，故B错误；无人机在运动过程中受到自身竖直向下的重力，空气对其作用力与重力等大、反向，故C正确；重力与速度v有夹角，重力对无人机做功的瞬时功率不等于mgv，故D错误。
4．(2026·山东威海市期末)如图所示，长为L的轻质硬杆中点和末端各固定一小球1、2，两小球的质量相等，硬杆可以绕顶端O点在竖直面内转动。若小球2从最低点获得初速度v0，恰好能通过最高点，重力加速度为g，忽略所有阻力，则v0为(　　)
A． B．2
C．3 D．4
解析：选B。由于两球的角速度相等，小球2做圆周运动的半径是小球1的2倍，故当小球2的速度为v0时，小球1的速度为v0，小球2恰好过最高点，杆可以起到支撑的作用，故在最高点时，两球的速度v1＝v2＝0，整个过程系统的机械能守恒，则有mv＋m()2＝mg·2L＋mgL，解得v0＝2。
5．(2026·广西壮族自治区模拟)一小朋友在安全环境下练习蹦床，若小朋友离开蹦床后一直在同一竖直线上运动，且忽略空气阻力，用x、a、p、E、t分别表示小朋友竖直向上离开蹦床在空中运动的位移、加速度、动量、机械能和时间，取竖直向上为正方向，则下列图像可能正确的是(　　)
解析：选C。小朋友竖直向上离开蹦床在空中做竖直上抛运动，整个运动过程中小朋友只受重力，机械能不变，加速度一直为重力加速度，根据对称性可知，小朋友上升的时间和下降的时间相等，由匀变速直线运动公式有x＝v0t－gt2可知，x－t图像为开口向下的一条抛物线，故A、B、D错误；根据动量定理有－mgt＝p－mv0，解得p＝mv0－mgt，可知p－t图像为一条倾斜的直线，且斜率为负值，故C正确。
6．(2026·广东深圳市龙岗区期末质量监测)深圳龙岗大运城万架无人机表演特别震撼，每架无人机携带着显像屏从地面升空到达表演地点。如图，一架无人机竖直升空过程先从静止做匀加速运动再做匀减速运动至静止，下列说法正确的有(　　)
A．显像屏一直处于超重状态
B．无人机对显像屏的支持力先做正功后做负功
C．显像屏克服重力做功的功率先增大后减小
D．无人机及显像屏构成的系统上升过程中机械能守恒
解析：选C。由题意可知，一架无人机竖直升空过程加速度方向先向上后向下，则显像屏先处于超重状态，后处于失重状态，故A错误；无人机对显像屏的支持力方向一直向上，支持力做正功，故B错误；根据P＝mgv，由速度先增大后减小，则显像屏克服重力做功的功率先增大后减小，故C正确；无人机及显像屏构成的系统加速上升过程中，动能增加，重力势能增加，机械能增加，故D错误。
7．(2026·广东汕头市模拟)如图1所示的是海盗桶玩具，当插进桶内的剑触发桶内开关时，小海盗就从木桶顶部突然跳出来。其原理可简化为图2所示，弹簧压缩后被锁扣K锁住，打开锁扣K，小球被弹射出去，A位置为弹簧原长，忽略弹簧质量和空气阻力，从B到A的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球的机械能守恒
B．小球的速度一直在增大
C．小球的加速度先增大后减小
D．小球与弹簧组成的系统重力势能与弹性势能之和先减小后增大
解析：选D。小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；小球向上运动的过程中，对小球受力分析可知，刚开始弹簧的弹力大于重力，小球做加速度不断减小的加速运动，当弹簧的弹力等于重力时，加速度为零，速度最大，之后弹簧的弹力小于重力，小球做加速度不断增加的减速运动，所以此过程小球的速度先增大后减小，加速度先减小后增大，故B、C错误；小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，由上述分析可知，小球的动能先增大后减小，所以重力势能与弹性势能之和先减小后增大，故D正确。
8．(多选)(2026·江苏南通市下学期统考)如图所示，一根很长且不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面，b球质量为4m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b球，不计空气阻力，已知b球落地后速度变为零，则下列说法正确的是(　　)
A．在a球上升的全过程中，a球的机械能始终是增加的
B．在a球上升的全过程中，系统的机械能守恒
C．a球到达高度h时两球的速度大小v＝
D．从释放开始，a球能上升的最大高度为1.6h
解析：选CD。在a球上升的全过程中，第一个过程系统的机械能守恒，a球的机械能是增加的，在第二个过程中a球的机械能守恒，故A错误；b球落地时，有机械能损失，系统机械能不守恒，故B错误；设a球到达高度h时两球的速度为v，根据机械能守恒定律有4mgh－mgh＝·5mv2，得出v＝，此时轻绳恰好松弛，a球开始做初速度为v的竖直上抛运动，a球的机械能守恒，则mgh＋mv2＝mgH，计算得出a球能上升的最大高度H为1.6h，故C、D正确。
9．(2026·广东肇庆市端州区模拟)如图所示，a、b两小球通过轻质细线连接跨在光滑轻质定滑轮(视为质点)上。开始时，a球放在水平地面上，连接b球的细线伸直并水平。现由静止释放b球，当连接b球的细线摆到竖直位置时，a球对地面的压力恰好为0，则a、b两球的质量之比为(　　)
A．3∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．1∶1
解析：选A。连接b球的细线摆到竖直位置时，由机械能守恒定律有mbgl＝mbv2，对小球b有T－mbg＝mb，对球a有T＝mag，联立解得ma∶mb＝3∶1。
10．(多选)(2026·山东青岛市调研)如图所示，长度为l的轻杆上固定质量均为m的3个小球，1、2球将杆三等分，轻杆一端通过转轴与O点链接。让轻杆由水平位置自由释放，忽略一切阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．摆至竖直位置时，小球1和2的动能之比为1∶4　
B．摆至竖直位置时，球的角速度为
C．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球2做功为0
D．摆至竖直位置过程中，轻杆对小球3做功为
解析：选AD。由于3个球在同一杆上，三个球的角速度ω相等，根据题意可知三个球的半径之比r1∶r2∶r3＝1∶2∶3，由v＝ωr可得v1∶v2∶v3＝1∶2∶3，由Ek＝mv2可得，摆至竖直位置时，小球1、2和3的动能之比Ek1∶Ek2∶Ek3＝1∶4∶9，故A正确；从起始位置摆至竖直位置过程中，机械能守恒，有mg＋mg＋mgl＝mv＋mv＋mv，又有v1＝，联立解得ω＝，故B错误；从起始位置摆至竖直位置过程中，对小球2、3，分别由动能定理得mg＋W杆2＝mv－0，mgl＋W杆3＝mv－0，又有v2＝，v3＝ωl，联立解得W杆2＝－，W杆3＝，故C错误，D正确。
11．(12分)(2026·辽宁省名校联盟调研)如图所示，两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平地面上，斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮，两端分别连接质量均为2m的滑块B、C，质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点，O点与两滑轮的距离均为l。先托住A，使两滑轮间的细绳呈水平状态，然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触，B、C运动过程中均未与滑轮发生碰撞，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
(1)物块A下落的最大高度H；(5分)
(2)从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中，物块A机械能的变化量。(7分)
解析：(1)根据题意可知，物块A下落的最大高度H时，速度为零，由机械能守恒定律有
mgH＝2×2mg sin 30°(－l)
整理可得H＝2(－l)
解得H＝0(舍去)，H＝l。
(2)根据题意，由几何关系可得，结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°时，物块A下落的高度
h＝＝l
设此时物块A的速度为v，则物块B、C的速度
v′＝v cos 53°＝v
下落过程中，由机械能守恒定律有
mgh－2×2mg sin 30°＝mv2＋2××2mv′2
则物块A机械能的变化量
ΔE＝mv2－mgh＝－mgl。
答案：(1)l　(2)－mgl(共25张PPT)
演练知能提升
D
1．2024巴黎奥运会女子10米跳台项目中，我国运动员上演“水花消失术”成功卫冕，该运动员入水时的动能约为(　　)
A．5 J B．50 J
C．500 J D．5 000 J
解析：根据机械能守恒定律可知Ek＝mgh≈5 000 J。
A
2．撑竿跳高是一项运动员经过持竿助跑，借助撑竿的支撑腾空，在完成一系列复杂的动作后越过横杆的运动。忽略空气阻力，在运动员腾空上升的过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．运动员的机械能守恒
B．运动员的重力势能一直增大
C．撑竿的弹力对运动员做正功
D．撑竿的弹性势能始终减小
解析：运动员腾空上升的过程中，撑竿的弹力对运动员做正功，所以运动员的机械能是变化的，故A错误，C正确；
运动员上升过程中重力势能是增大的，故B正确；
撑竿由弯曲变直，弹性势能始终减小，故D正确。
C
3．(2026·辽宁省部分学校模拟)近年来无人机在军事、工业等领域均有广泛的应用，一质量为m的无人机在执行远程侦察任务，某段时间内该无人机以速度v沿着与水平方向成θ角斜向上的方向匀速直线飞行，重力加速度为g，则(　　)
A．该无人机处于超重状态
B．该无人机在运动的过程中机械能守恒
C．空气对该无人机作用力的大小为mg
D．重力对无人机做功的瞬时功率为mgv
解析：该无人机处于平衡状态，故A错误；
无人机运动过程中动能不变，重力势能增加，机械能增加，故B错误；
无人机在运动过程中受到自身竖直向下的重力，空气对其作用力与重力等大、反向，故C正确；
重力与速度v有夹角，重力对无人机做功的瞬时功率不等于mgv，故D错误。
B
C
5．(2026·广西壮族自治区模拟)一小朋友在安全环境下练习蹦床，若小朋友离开蹦床后一直在同一竖直线上运动，且忽略空气阻力，用x、a、p、E、t分别表示小朋友竖直向上离开蹦床在空中运动的位移、加速度、动量、机械能和时间，取竖直向上为正方向，则下列图像可能正确的是(　　)
根据动量定理有－mgt＝p－mv0，解得p＝mv0－mgt，可知p－t图像为一条倾斜的直线，且斜率为负值，故C正确。
C
6．(2026·广东深圳市龙岗区期末质量监测)深圳龙岗大运城万架无人机表演特别震撼，每架无人机携带着显像屏从地面升空到达表演地点。如图，一架无人机竖直升空过程先从静止做匀加速运动再做匀减速运动至静止，下列说法正确的有(　　)
A．显像屏一直处于超重状态
B．无人机对显像屏的支持力先做正功后做负功
C．显像屏克服重力做功的功率先增大后减小
D．无人机及显像屏构成的系统上升过程中机械能守恒
解析：由题意可知，一架无人机竖直升空过程加速度方向先向上后向下，则显像屏先处于超重状态，后处于失重状态，故A错误；
无人机对显像屏的支持力方向一直向上，支持力做正功，故B错误；
根据P＝mgv，由速度先增大后减小，则显像屏克服重力做功的功率先增大后减小，故C正确；
无人机及显像屏构成的系统加速上升过程中，动能增加，重力势能增加，机械能增加，故D错误。
D
7．(2026·广东汕头市模拟)如图1所示的是海盗桶玩具，当插进桶内的剑触发桶内开关时，小海盗就从木桶顶部突然跳出来。其原理可简化为图2所示，弹簧压缩后被锁扣K锁住，打开锁扣K，小球被弹射出去，A位置为弹簧原长，忽略弹簧质量和空气阻力，从B到A的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．小球的机械能守恒
B．小球的速度一直在增大
C．小球的加速度先增大后减小
D．小球与弹簧组成的系统重力势能与弹性势能之和先减小后增大
解析：小球和弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；
小球向上运动的过程中，对小球受力分析可知，刚开始弹簧的弹力大于重力，小球做加速度不断减小的加速运动，当弹簧的弹力等于重力时，加速度为零，速度最大，之后弹簧的弹力小于重力，小球做加速度不断增加的减速运动，所以此过程小球的速度先增大后减小，加速度先减小后增大，故B、C错误；
小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，由上述分析可知，小球的动能先增大后减小，所以重力势能与弹性势能之和先减小后增大，故D正确。
CD
解析：在a球上升的全过程中，第一个过程系统的机械能守恒，a球的机械能是增加的，在第二个过程中a球的机械能守恒，故A错误；
b球落地时，有机械能损失，系统机械能不守恒，故B错误；
A
9．(2026·广东肇庆市端州区模拟)如图所示，a、b两小球通过轻质细线连接跨在光滑轻质定滑轮(视为质点)上。开始时，a球放在水平地面上，连接b球的细线伸直并水平。现由静止释放b球，当连接b球的细线摆到竖直位置时，a球对地面的压力恰好为0，则a、b两球的质量之比为(　　)
A．3∶1 B．2∶1
C．3∶2 D．1∶1
AD
11．(12分)(2026·辽宁省名校联盟调研)如图所示，两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平地面上，斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮，两端分别连接质量均为2m的滑块B、C，质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点，O点与两滑轮的距离均为l。先托住A，使两滑轮间的细绳呈水平状态，然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触，B、C运动过程中均未与滑轮发生碰撞，不计一切摩擦。已知重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。求：
(1)物块A下落的最大高度H；(5分)
(2)从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中，物块A机械能的变化量。(7分)(共43张PPT)
第3讲　机械能守恒定律
[复习目标]
1．理解重力势能和弹性势能，理解机械能守恒的条件，知道机械能守恒的各种表达式。
2．能够应用机械能守恒定律分析单个物体和连接体的机械能守恒问题。
基础自主梳理
第一部分
一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的______有关，而跟物体运动的______无关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
位置
路径
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝________。
(2)重力势能的特点
重力势能是由______与物体所组成的“系统”共有的，重力势能的大小与参考平面的选取______，但重力势能的变化与参考平面的选取______。
3．重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能______；重力对物体做负功，重力势能______。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
mgh
地球
有关
无关
减少
增加
二、弹性势能
1．弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
(2)弹性势能的大小与形变量及__________有关。
(3)矢标性：标量。
劲度系数
2．弹力做功与弹性势能
(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，即W＝－ΔEp。
(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能______；劲度系数越大，弹性势能______。
越大
越大
深化辨析
1．(1)物体在竖直平面内做圆周运动又回到出发点的过程中，重力做功为零。(　　)
(2)物体自由下落过程中重力做正功，重力势能减少。(　　)
(3)弹簧弹力做正功，弹性势能增加。(　　)
×
√
√
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有____________做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力，不受其他外力。
(2)系统除受重力或弹簧弹力外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。
重力或弹力
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化。
深化辨析
×
√
2．(1)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
(2)物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒。(　　)
(3)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　)
×
考点一　机械能守恒的判断
第二部分
三点提醒
(1)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统。
(2)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
D
例1 (2026·河南五市联考)某餐厅的传菜装置如图所示，装载着菜品的小车沿等距螺旋轨道向下匀速率运动，该轨道各处弯曲程度相同，在此过程中(　　)
A．小车所受合力为零
B．小车向心力保持不变
C．小车和菜品总的机械能保持不变
D．小车对菜品做负功
[解析]　装载着菜品的小车做匀速率曲线运动，所以必有合力提供向心力，因此合力不为零，故A错误；
小车做曲线运动，向心力始终指向圆心，因此方向时刻发生变化，故B错误；
小车和菜品匀速率下降，动能不变，势能逐渐减小，所以机械能逐渐减小，故C错误；
对菜品分析，根据动能定理有mgh＋W＝ΔEk＝0，可知小车对菜品做的功W<0，即小车对菜品做负功，故D正确。
AD
例2 (多选)下列物理过程中，图甲为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；图乙中轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；图丙为物体A将弹簧压缩的过程；图丁为不计任何阻力和定滑轮的质量时，A加速下落，B加速上升的过程。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断正确的是(　　)
A．图甲中小球机械能守恒
B．图乙中小球机械能守恒
C．图丙中物体A的机械能守恒
D．图丁中A、B组成的系统机械能守恒
[解析]　题图甲过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，故A正确；
题图乙过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故B错误；
题图丙中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故C错误；
题图丁中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。
机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或系统内弹力做功”不等于“只受重力或系统内弹力作用”。
易错提醒
第三部分
考点二　单个物体的机械能守恒
1．机械能守恒定律的表达式
2．解题思路
例3 (2026·广东三校模拟)半径为r和R(rA．机械能均逐渐减小
B．经过最低点时动能相等
C．机械能总是相等的
D．两物体在最低点时加速度大小不相等
C
[解析]　由于在运动的过程中，只有重力做功，因此两个物体的机械能都守恒，A错误；
初始状态机械能相等，而运动过程中，机械能守恒，因此两物体的机械能总是相等的，C正确；
由于光滑半圆形槽的半径不同，到达最低点时势能不同，因此动能也不相同，B错误；
BC
摩托车从B点到A点的过程中，竖直速度vy先增大后减小，则重力的功率P＝mgvy先增大后减小，C正确；
摩托车从B点到A点的过程中，加速度竖直分量先向下后向上，即先失重后超重，D错误。
第四部分
考点三　连接体的机械能守恒
1．分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
2．用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
3．对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
C
考向2　轻杆牵连物体模型
1．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。由v＝ωr知，v与r成正比。
2．杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
3．对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
角速度相等的情境
D
[解析]　设B球到右侧最高点时，B与圆心连线和竖直方向夹角为θ，如图，以圆环圆心处为零势能面，系统机械能守恒有mAgR＝mBgR cos θ－mAgR sin θ，代入数据得θ＝37°，所以B球在圆环右侧区域内能到达的最高点为与竖直方向夹角为37°的点，A错误，D正确。
考向3　轻弹簧牵连物体模型
1．含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒。
2．含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。
3．弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。
4．由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)。
(1)圆环在B点时的动能；
[答案]　2kL2　
(2)圆环的质量。
BD
[解析]　根据题意可知，链条总长度为3l，根据分析可知，平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随着悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，根据牛顿第二定律可知，两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动，故A错误，B正确；第3讲　机械能守恒定律
[复习目标]
1．理解重力势能和弹性势能，理解机械能守恒的条件，知道机械能守恒的各种表达式。
2．能够应用机械能守恒定律分析单个物体和连接体的机械能守恒问题。
一、重力做功与重力势能
1．重力做功的特点
(1)物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2．重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。
(2)重力势能的特点
重力势能是由地球与物体所组成的“系统”共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3．重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能减少；重力对物体做负功，重力势能增加。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
二、弹性势能
1．弹性势能
(1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。
(2)弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关。
(3)矢标性：标量。
2．弹力做功与弹性势能
(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，即W＝－ΔEp。
(2)对于弹性势能，一般物体的弹性形变量越大，弹性势能越大；劲度系数越大，弹性势能越大。
1．(1)物体在竖直平面内做圆周运动又回到出发点的过程中，重力做功为零。(　　)
(2)物体自由下落过程中重力做正功，重力势能减少。(　　)
(3)弹簧弹力做正功，弹性势能增加。(　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)×
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力，不受其他外力。
(2)系统除受重力或弹簧弹力外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化。
3．表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。
2．(1)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
(2)物体做匀速直线运动，其机械能一定守恒。(　　)
(3)物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√
考点一　机械能守恒的判断
三点提醒
(1)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统。
(2)系统机械能守恒时，机械能一般在系统内物体间转移，其中的单个物体机械能通常不守恒。
(3)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。
(2026·河南五市联考)某餐厅的传菜装置如图所示，装载着菜品的小车沿等距螺旋轨道向下匀速率运动，该轨道各处弯曲程度相同，在此过程中(　　)
A．小车所受合力为零
B．小车向心力保持不变
C．小车和菜品总的机械能保持不变
D．小车对菜品做负功
[解析]　装载着菜品的小车做匀速率曲线运动，所以必有合力提供向心力，因此合力不为零，故A错误；小车做曲线运动，向心力始终指向圆心，因此方向时刻发生变化，故B错误；小车和菜品匀速率下降，动能不变，势能逐渐减小，所以机械能逐渐减小，故C错误；对菜品分析，根据动能定理有mgh＋W＝ΔEk＝0，可知小车对菜品做的功W<0，即小车对菜品做负功，故D正确。
[答案]　D
(多选)下列物理过程中，图甲为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；图乙中轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；图丙为物体A将弹簧压缩的过程；图丁为不计任何阻力和定滑轮的质量时，A加速下落，B加速上升的过程。关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断正确的是(　　)
A．图甲中小球机械能守恒
B．图乙中小球机械能守恒
C．图丙中物体A的机械能守恒
D．图丁中A、B组成的系统机械能守恒
[解析]　题图甲过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，故A正确；题图乙过程中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，故B错误；题图丙中重力和系统内弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A的机械能不守恒，故C错误；题图丁中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。
[答案]　AD
　
机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或系统内弹力做功”不等于“只受重力或系统内弹力作用”。
考点二　单个物体的机械能守恒
1．机械能守恒定律的表达式
2．解题思路
(2026·广东三校模拟)半径为r和R(rA．机械能均逐渐减小
B．经过最低点时动能相等
C．机械能总是相等的
D．两物体在最低点时加速度大小不相等
[解析]　由于在运动的过程中，只有重力做功，因此两个物体的机械能都守恒，A错误；初始状态机械能相等，而运动过程中，机械能守恒，因此两物体的机械能总是相等的，C正确；由于光滑半圆形槽的半径不同，到达最低点时势能不同，因此动能也不相同，B错误；到达最低点时，根据机械能守恒定律有mgR＝mv2，由向心加速度公式可得加速度大小a＝＝2g，与半径大小无关，因此两物体在最低点时加速度大小相等，D错误。
[答案]　C
(多选)某马戏团上演的飞车节目如图所示，在竖直平面内有半径为R的固定圆轨道。表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动。已知人和摩托车的总质量为m，重力加速度大小为g，摩托车以的速度通过圆轨道的最高点B，关闭摩托车的动力，不计摩擦，忽略空气阻力，人和摩托车整体可视为质点，下列说法正确的是(　　)
A．摩托车经过B点时对轨道的压力大小为2mg　
B．摩托车经过A点时的速度大小为
C．摩托车从B点到A点的过程中，重力的功率先增大后减小
D．摩托车从B点到A点的过程中，先超重后失重
[解析]　由题意可知，摩托车在B点时，有FB＋mg＝m eq \f(v,R)，解得FB＝mg，由牛顿第三定律可知，摩托车经过B点时对轨道的压力大小为mg，A错误；摩托车从B点到A点的过程中，由机械能守恒定律有2mgR＋mv＝mv，解得v2＝，B正确；摩托车从B点到A点的过程中，竖直速度vy先增大后减小，则重力的功率P＝mgvy先增大后减小，C正确；摩托车从B点到A点的过程中，加速度竖直分量先向下后向上，即先失重后超重，D错误。
[答案]　BC
考点三　连接体的机械能守恒
考向1　轻绳牵连物体模型
速率相等的情境　　　 　
1．分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
2．用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
3．对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
(2026·安徽芜湖市期末)如图所示，竖直固定轨道由水平杆和半圆形轨道连接而成，半圆形轨道两端点与圆心等高，现将光滑的小圆环A、B分别套在水平杆与圆轨道上，A、B用一不可伸长的轻质细绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，细绳长为半圆轨道半径的倍，开始时细绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当B通过半圆轨道上P点时，圆环B下滑的速度大小为v，已知P点和圆心连线OP与竖直方向的夹角为30°，重力加速度为g，则半圆轨道的半径为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　
当B运动至P点时，位置如图所示，沿绳方向速度相等vB＝vA cos 30°＝v，A、B两圆环组成的系统机械能守恒，有mgR cos 30°＝mv＋mv，解得R＝。
[答案]　C
考向2　轻杆牵连物体模型
角速度相等的情境
1．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。由v＝ωr知，v与r成正比。
2．杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
3．对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
(2026·山西阳泉市期末)如图所示，半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有质量分别为m和2m的小球A和B，A、B之间用一长为R的轻杆相连。开始时A在圆环的最高点，现将A、B由静止释放，则(　　)
A．B球可以运动到圆环的最高点
B．A球运动到圆环的最低点时，速度为零
C．B球从开始运动至到达圆环最低点的过程中，杆对B球所做的总功不为零
D．B球运动至右半圆弧上最高点时，其与圆心连线和竖直方向夹角为37°
[解析]　
设B球到右侧最高点时，B与圆心连线和竖直方向夹角为θ，如图，以圆环圆心处为零势能面，系统机械能守恒有mAgR＝mBgR cos θ－mAgR sin θ，代入数据得θ＝37°，所以B球在圆环右侧区域内能到达的最高点为与竖直方向夹角为37°的点，A错误，D正确。在A、B运动的过程中，A、B组成的系统只有重力做功，机械能守恒，当A球运动到圆环最低点时，则有2mAgR＝mAv＋mBv，由几何关系可得vA＝vB，得vA＝，B错误。B运动至圆环最低点的过程中，有mAgR＋mBgR＝mAvA′2＋mBvB′2，且vA′＝vB′，对B球，根据动能定理可得mBgR＋W＝mBvB′2，解得W＝0，C错误。
[答案]　D
考向3　轻弹簧牵连物体模型
1．含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹簧机械能都不守恒。
2．含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧弹力和弹性势能的特点。
3．弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。
4．由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小(为零)。
如图所示，光滑硬直杆与水平面成53°角固定放置，劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧一端固定在O点，另一端与圆环(视为质点)相连，圆环套在杆上。现让圆环从与O点等高的A点由静止释放，当圆环运动到O点的正下方B点时，圆环的动能正好等于圆环在A处时弹簧的弹性势能。已知A、B两点间的距离为5L，重力加速度大小为g，对劲度系数为k的轻质弹簧，其弹性势能Ep与弹簧的形变量x的关系式为Ep＝kx2，弹簧始终在弹性限度内，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1)圆环在B点时的动能；
(2)圆环的质量。
[解析]　(1)由几何关系有OA＝3L，OB＝4L
弹簧的原长为L，则圆环在A点时弹簧的伸长量为2L，弹簧的弹性势能EpA＝k(2L)2＝2kL2
圆环在B点时的动能EkB＝EpA＝2kL2。
(2)圆环在B点时弹簧伸长量为3L，弹簧的弹性势能EpB＝k(3L)2＝4.5kL2
圆环从A点运动到B点，由机械能守恒定律，有
mg·4L＝EpB－EpA＋EkB
解得圆环的质量m＝。
[答案]　(1)2kL2　(2)
考向4　链条类物体的机械能守恒问题
(多选)(2026·河北保定市期末)如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球(直径相对于链条长度可忽略不计)，如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．两链条在触地之前做加速度大小不变的加速运动
B．两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动
C．甲图中链条触地瞬间的速度大小为
D．乙图中链条触地瞬间的速度大小为
[解析]　根据题意可知，链条总长度为3l，根据分析可知，平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随着悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，根据牛顿第二定律可知，两链条在触地之前做加速度越来越大的加速运动，故A错误，B正确；题图甲中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有mg(l＋)＝mv，解得v1＝，故C错误；题图乙中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有mg(l＋)＋mgl＝×2mv，解得v2＝，故D正确。
[答案]　BD

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