资源简介

1．(2026·内蒙古赤峰市统测)如图所示的是超市坡道式自动扶梯，顾客站在自动扶梯上与扶梯保持相对静止，在扶梯将顾客匀速运送至高处的过程中，下述说法正确的是(　　)
A．支持力对顾客做正功
B．重力对顾客做正功
C．摩擦力对顾客做正功
D．合外力对顾客做正功
解析：选A。顾客随扶梯匀速向上运动时，顾客受重力和支持力，不受摩擦力作用，顾客所受合外力为零，故重力做负功，支持力做正功，摩擦力不做功，合外力做功为零。
2．(2026·福建泉州市质量检测)生活中，人们常利用传送带运送物品。如图，行李箱与水平传送带保持相对静止，一起做匀速直线运动，不计空气阻力，则在此过程中传送带(　　)
A．对行李箱的摩擦力方向与传送方向相同
B．对行李箱的摩擦力方向与传送方向相反
C．对行李箱做正功
D．对行李箱不做功
解析：选D。行李箱与水平传送带保持相对静止，一起做匀速直线运动，行李箱处于平衡状态，水平方向上如果存在摩擦力，就没有其他力与之平衡，所以行李箱不受摩擦力，A、B错误。根据做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离；虽然行李箱在运动，但没有在运动方向上受力，所以传送带对行李箱不做功，C错误，D正确。
3．(多选)(2026·河北邢台市期末)低空经济是以低空空域为依托，以通用航空产业为主导，以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态。一无人机运送快递时，可以垂直起降，也可以快速前进。无人机在竖直匀速上升的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．无人机对快递做正功
B．重力对快递做负功
C．空气阻力对快递做正功
D．合力对快递做负功
解析：选AB。无人机在竖直匀速上升的过程中，对快递做正功，A正确；快递受到的重力方向与快递的运动方向相反，重力对快递做负功，B正确；快递受到的空气阻力方向与快递的运动方向相反，空气阻力对快递做负功，C错误；快递匀速上升，动能不变，由动能定理可知，合力对快递做功为零，D错误。
4．(2026·辽宁省重点中学协作校模拟)2024年12月29日，随着一声嘹亮的鸣笛，全球最快高铁列车CR450动车组正式亮相。列车提速的一个关键技术是提高机车发动机的功率。若匀速运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即f＝kv2。设提速前速度为200 km/h，提速后速度为400 km/h，则提速前与提速后机车发动机的功率之比为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B。列车匀速运动时牵引力F＝f＝kv2，则列车发动机功率P＝Fv＝kv3，可知发动机功率与速度的三次方成正比，即提速前与提速后机车发动机的功率之比＝＝。
5．如图是某地铁列车从左向右匀速率通过下穿轨道abcd的示意图，其中bc段水平、ab与cd段的倾角相等，已知整个过程中列车所受阻力的大小保持不变(包括摩擦阻力和空气阻力)，在ab和bc段，牵引列车的功率分别为P1和P2，则在cd段牵引列车的功率为(　　)
A．2P2－P1 B．P2－P1
C． D．
解析：选A。由牛顿第二定律得在ab段有＋mg sin θ－f＝0，在bc段有－f＝0，在cd段有－mg sin θ－f＝0，联立解得P3＝2P2－P1。
6．(2026·辽宁葫芦岛市模拟)被称为“空中电站”的S1000型涵道式浮空风力发电系统(如图)，于2025年1月首次稳定悬停于高空，并顺利发电。该系统叶片转动时可形成与风向垂直的圆面，并将此圆面内10%的空气动能转化为电能。已知悬停位置的风速为v时，该系统的发电功率为P，则悬停位置的风速为3v时，该系统的发电功率为(　　)
A．3P B．9P
C．18P D．27P
解析：选D。由题意可知，空气动能Ek＝mv2＝ρSv3t，该系统的发电功率P＝＝ρSv3，当风速为3v时，系统的发电功率P′＝ρS(3v)3＝27P。
7．(2026·河北石家庄市教学质检)质量为m的汽车从静止开始以恒定功率P启动，达到最大速度v时撤去牵引力，汽车开始做减速运动直至停止，整个过程中汽车所受阻力恒定。下列说法正确的是(　　)
A．在加速阶段，汽车在相同时间间隔内的速度增加量逐渐增大
B．在加速阶段，汽车的动能变化量等于牵引力做的功
C．在减速阶段，汽车的位移大小为
D．在整个运动阶段，汽车的平均速度大于
解析：选D。汽车在加速阶段有F－f＝ma，P＝Fv，可知汽车速度增大，牵引力减小，加速度减小，所以汽车在相同时间间隔内的速度增加量逐渐减小，故A错误；在加速阶段，根据动能定理可知，汽车的动能变化量等于牵引力与阻力做功之和，故B错误；汽车在减速阶段有v2＝2ax，a＝，f＝，联立可得x＝，故C错误；由于汽车在加速阶段加速度减小，所以平均速度大于，在减速阶段平均速度等于，所以在整个运动阶段，汽车的平均速度大于，故D正确。
8．(2026·河南省五市期末)学校秋季运动会上，某同学参加铅球比赛，比赛时先后两次将同一铅球从同一点P掷出，铅球轨迹如图所示，第二次的成绩比第一次的好，但铅球两次在空中运动时的最大高度相同，不计空气阻力，不计铅球大小，则第二次与第一次相比，下列判断正确的是(　　)
A．铅球第二次在空中运动的时间长
B．第二次重力对铅球做的功多
C．铅球第二次落地时重力的瞬时功率大
D．该同学第二次对铅球做的功多
解析：选D。设抛出点到最高点的高度为h1，到地面的高度为h2，铅球竖直方向的初速度为v0y，铅球竖直方向做竖直上抛运动，由v＝2gh1，由于最大高度相同，则铅球竖直方向的初速度v0y相同，设从抛出到落地的时间为t，则h2＝－v0yt＋gt2，因此铅球两次在空中运动的时间一样长，抛出点相同，因此从抛出到落地重力做功WG＝mgh2相同，故A、B错误；由于抛出时竖直方向的初速度相同，落地时竖直方向的分速度相同，则落地时重力的瞬时功率P＝mgvy相同，故C错误；由于第二次成绩好，因此第二次抛出时水平分速度大，第二次抛出时初速度大，根据功能关系可知W＝mv，该同学第二次对铅球做的功多，故D正确。
9．(多选)(2026·江西省部分学校模拟)一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示，机车前进过程中所受阻力大小恒定，t＝t0时刻机车达到额定功率，之后保持该功率不变。下列说法正确的是(　　)
A．机车所受恒定阻力大小为1.5×105 N
B．机车运动的额定功率为6×106 W
C．机车匀加速运动的时间为30 s
D．机车的质量为6×105 kg
解析：选AD。由题图乙可知，机车在BC段以恒定功率运动，当速度最大时，机车匀速行驶，此时机车所受恒定阻力大小等于机车牵引力的大小，则有f＝F＝1.5×105 N，A正确；机车运动的额定功率P＝Fvm＝9×106 W，B错误；机车匀加速的末速度v＝＝20 m/s，AB段机车以恒定加速度启动，由题图甲可知此时机车的加速度a＝0.5 m/s2，机车匀加速运动的时间t0＝＝40 s，C错误；根据牛顿第二定律，可得F′－f＝Ma，解得M＝6×105 kg，D正确。
10．(10分)如图1所示的水平地面上，质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动。图2为F随时间t变化的关系图像，已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小g取10 m/s2，求：
(1)在2 s末物体的速度大小；(4分)
(2)在前3 s内物体所受摩擦力做的功。(6分)
解析：(1)物体所受的摩擦力
f＝μmg＝0.2×1×10 N＝2 N
前2 s内，根据牛顿第二定律，有F－f＝ma
其中F＝6 N
解得a＝4 m/s2
2 s末的速度v＝at＝2×4 m/s＝8 m/s。
(2)前2 s内物体的位移
x1＝at2＝×4×22 m＝8 m
2 s到3 s内，根据牛顿第二定律F′－f＝ma′
其中F′＝－3 N
可得a′＝－5 m/s2
2 s到3 s内，物体的位移x2＝vt′＋a′t′2
代入数据可得x2＝5.5 m
在前3 s内物体所受摩擦力做的功
Wf＝－f(x1＋x2)
代入数据可得Wf＝－27 J。
答案：(1)8 m/s　(2)－27 J
11．(10分)(2026·福建莆田市模拟)据《吕氏春秋》记载，我国在尧舜时代就有春节扫尘的风俗，寓意平安顺遂。如图所示，质量m＝50 kg的沙发静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ＝0.3。小海从侧面用平行于地面的力F＝200 N推开沙发打扫卫生，沙发由静止开始匀加速前进s＝2 m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。这个过程中，求：
(1)合力对沙发所做的功W；(4分)
(2)合力的平均功率P。(6分)
解析：(1)沙发受到的合力F合＝F－μmg
合力对沙发所做的功W＝F合s＝100 J。
(2)沙发由静止开始做匀加速运动，根据牛顿第二定律，有F合＝ma
由运动学公式，有s＝at2
合力的平均功率P＝＝50 W。
答案：(1)100 J　(2)50 W第1讲　功和功率
[复习目标]
1．理解功的概念，能够判断是否做功和功的正负。　2.能够求解功的大小。　3.理解功率的概念以及两个表达式，能够求解瞬时功率和平均功率。　4.会分析机车启动类问题。
一、功
1．概念：力对物体做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦这三者的乘积。
2．做功的两要素：力和物体在力的方向上发生的位移。
3．物理意义：功是能量转化的量度。
4．公式：W＝Fl_cos_α(α为F与l的夹角)。
5．当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。
1．(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　　)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　　)
(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、功率
1．定义：功W与完成这些功所用时间t之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，常用于求平均功率。
(2)P＝Fv cos α
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率：机械正常工作时的最大输出功率。
5．实际功率：机械实际输出的功率，不能大于额定功率。
2．(1)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意时刻的功率。(　　)
(2)由P＝Fv既能求某一时刻的瞬时功率，也可以求平均功率。(　　)
(3)当F为恒力时，v增大，F的功率一定增大。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×
考点一　恒力做功的分析和计算
1．功的正负
(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断
(3)依据能量变化来判断：若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力做功的计算方法
3．总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W总＝F合l cos α求功，此法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
考向1　做功和功的正负
(多选)如图所示，物块A、B叠放在粗糙水平面上，A、B之间的接触面粗糙，用水平力F拉B，使A、B一起沿水平面向右做匀减速直线运动。在A、B一起运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．B对A的摩擦力对A做正功
B．B对A的摩擦力对A做负功
C．A对B的摩擦力对B做正功
D．A对B的摩擦力对B做负功
[解析]　A、B一起沿水平面向右做匀减速直线运动，可知加速度方向向左，对A受力分析，可知物块B对A的静摩擦力方向向左，则B对A的摩擦力对A做负功；对B受力分析，A对B的摩擦力方向向右，则A对B的摩擦力对B做正功，A、D错误，B、C正确。
[答案]　BC
考向2　恒力的功
(2023·北京卷，T11)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中(　　)
A．摩擦力做功大小与F的方向无关
B．合力做功大小与F的方向有关
C．F为水平方向时，F做功为μmgx
D．F做功的最小值为max
[解析]　设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力f＝μ(mg－F sin θ)，摩擦力做功Wf＝μ(mg－F sin θ)x，即摩擦力做功与F的方向有关，A错误；合力做的功W＝F合x＝max，可知合力做功与力F方向无关，B错误；当力F水平时，F＝ma＋μmg，力F做的功WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，C错误；因合外力做的功max大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力f做的功的代数和，而当F sin θ＝mg时，摩擦力f＝0，此时力F做的功最小，最小值为max，D正确。
[答案]　D
考点二　变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
(1)微元法：如图1所示，质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。
(2)图像法：如图2所示，一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，W＝x0。
(3)等效转换法：如图3所示，恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F。
(4)平均值法：如图4所示，置于光滑水平面上的物体拴接在一端固定在竖直墙壁的弹簧上，用力F缓慢推动物体，使弹簧压缩Δx，力与位移为线性关系，力可用平均值＝表示，力F做的功W＝·Δx。
(5)应用动能定理：如图5所示，用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)。
　　
　　
方法1　微元法
(2026·河北廊坊市模拟)石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘(不动盘)和上盘(转动盘)两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平力作用使石磨上盘匀速转动。已知B点到转轴O的距离为0.3 m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为(　　)
A．0 B．－3 J
C．－6 J D．－18 J
[解析]　因石磨上盘匀速转动，其动能不变，F克服摩擦力做功，因F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则微元功ΔW＝FΔx，根据W＝∑ΔW＝F∑Δx＝F·2πL＝10×2π×0.3 J＝6π J≈18 J，可知摩擦力所做的功约为－18 J，故选D。
[答案]　D
方法2　图像法
如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
[解析]　滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N，物体先做加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减速运动，A、C错误；F－x图像中图线与横轴所围的面积表示推力做的功，W＝×100×4 J＝200 J，B正确，D错误。
[答案]　B
方法3　动能定理法
(2026·云南曲靖市统考)南城门是曲靖市的标志性建筑之一，如图甲所示，其门洞正上方为拱形结构，可简化为半圆形模型，其圆心为O，半径为R。假如一同学在墙角对地面上一质量为m的足球做功后，该足球在竖直平面内沿门洞内侧恰能通过高为H(H>R)的最高点。已知足球运动过程中受到墙壁和空气的平均阻力为f，运动示意图如图乙所示，则该同学对足球做的功是(　　)
A．(mg－f)H
B．mgH＋f(H－R＋)
C．mgH＋mgR＋f(H－R＋)
D．mgH－f(H－R＋)
[解析]　设足球恰能通过门洞最高点的速度为v，根据牛顿第二定律可得mg＝m，足球从静止到门洞最高点，根据动能定理可得W－mgH－f(H－R＋·2πR)＝mv2－0，联立可得该同学对足球做的功W＝mgH＋mgR＋f(H－R＋)。
[答案]　C
方法4　等效转换法
如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的水平距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g。求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)拉力F的大小；
(2)滑块由A到C过程中拉力F做的功。
[解析]　(1)滑块运动到C点时速度最大，则在C点有F cos 53°＝mg
解得F＝mg。
(2)由能量守恒可知，拉力对绳端点做的功就等于绳的拉力对滑块做的功
滑轮与A间绳长L1＝
滑轮与C间绳长L2＝
则滑轮右侧绳子增加的长度
ΔL＝L1－L2＝－＝
故拉力做的功W＝FΔL＝mgd。
[答案]　(1)mg　(2)mgd
考点三　功率的理解和计算
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。
2．瞬时功率的计算方法
(1)用P＝Fv cos α，v为t时刻的瞬时速度。
(2)用P＝FvF，vF为物体的速度v在力F方向上的分速度，v为t时刻的瞬时速度。
(3)用P＝Fvv，Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力，v为t时刻的瞬时速度。
(2026·云南楚雄州测试)电动玩具水枪(如图所示)是一种新式的电动玩具，使用时扣动扳机，水从枪口快速射出。已知水枪喷口的直径为0.8 cm，水的密度为1×103 kg/m3，水喷出时的速度大小为10 m/s，某次开启连续射击模式，则水枪在连续射击模式下对喷出的水做功的平均功率约为(　　)
A．0.25 W　　　　　　 B．2.5 W
C．25 W D．250 W
[解析]　以水柱为研究对象，其功率P＝＝＝＝＝，代入数据可得水枪对水做功的平均功率P≈25 W。
[答案]　C
福建舰是我国完全自主设计建造的弹射型航空母舰。在始终静止的福建舰上进行的电磁驱动弹射测试中，配重小车自甲板前端水平射出，落至海面上。简化模型如图所示，两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，M、N为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点，则配重小车1和小车2(　　)
A．落水瞬间速度大小vM＝vN
B．在空中运动过程中速度变化量Δv1<Δv2
C．在空中运动过程中重力的平均功率P1D．落水瞬间重力的瞬时功率PM＝PN
[解析]　配重小车离开甲板后做平抛运动，下落高度相等，根据h＝gt2，可知下落时间相等，竖直方向的分速度vy＝gt，可知vNy＝vMy，根据x＝vxt，可知水平初速度大小关系为vNx>vMx，落入海平面瞬间的速度v＝ eq \r(v＋v)，可得vM[答案]　D
　
1．首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。
2．平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
3．瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。
考点四　机车启动问题
机车的两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图和v－t图
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变，v↑ P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 F阻＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以速度vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 过程分析 — F＝F阻 a＝0 vm＝
运动性质 以速度vm做匀速直线运动
(2026·山西孝义市一模)一辆汽车由静止开始沿平直公路行驶，汽车所受牵引力F随时间t变化关系图线如图所示。若汽车的质量为1.2×103 kg，阻力恒定，汽车的最大功率恒定，则以下说法正确的是(　　)
A．汽车的最大功率为5×104 W
B．汽车匀加速运动阶段的加速度为 m/s2
C．汽车先做匀加速运动，然后再做匀速直线运动
D．汽车从静止开始运动12 s内的位移是61.5 m
[解析]　由题图可知，汽车在前4 s内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，4 s到12 s内汽车的牵引力逐渐减小，则汽车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到汽车的速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在4 s末汽车的功率达到最大值，汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力f＝2×103 N，前4 s内汽车的牵引力F＝5×103 N，由牛顿第二定律有F－f＝ma，解得a＝2.5 m/s2，4 s末汽车的速度v1＝at1＝2.5×4 m/s＝10 m/s，所以汽车的最大功率P＝Fv1＝5×104 W，A正确，B、C错误；汽车在前4 s内的位移x1＝at＝20 m，汽车的最大速度vm＝＝25 m/s，汽车在4 s到12 s内的位移设为x2，根据动能定理可得Pt－fx2＝mv－mv，代入数据可得x2＝42.5 m，所以汽车的总位移x＝x1＋x2＝62.5 m，D错误。
[答案]　A
(2026·安徽黄山市质检)一款能垂直起降的遥控无人机质量m＝200 kg，发动机的功率最大值Pm＝24 000 W，最大竖直升力Fm＝3 000 N，执行侦察任务时悬停在离地高度h1＝189.6 m的高空。执行任务后需要尽快竖直上升到离地高度超过h2＝240 m的安全区域。忽略空气阻力，g取10 m/s2。
(1)求该过程的最大上升速度的大小与最大上升加速度的大小。
(2)执行任务后，无人机立即以最大竖直升力上升，求到达最大功率时所用的时间及该过程位移的大小。
(3)执行任务后，为尽快到达安全区域，求无人机至少需要运动的时间(到达安全区域之前已经达到最大速度)。
[解析]　(1)设最大速度为vm，当无人机的升力与重力平衡时，速度最大，由Pm＝mgvm
解得vm＝12 m/s
设最大上升加速度为am
Fm－mg＝mam
解得am＝5 m/s2。
(2)设无人机匀加速到最大功率的末速度为v1，有Pm＝Fmv1
设该段时间为t1，由速度公式有v1＝amt1
设该过程位移为x1，有v＝2amx1
联立解得t1＝1.6 s
x1＝6.4 m。
(3)为尽快到达安全区域，无人机首先需要以最大加速度匀加速，到达最大功率后，保持最大功率运动，设保持最大功率运动的距离为x2，有x2＝h2－h1－x1
设该过程的时间为t2，对无人机应用动能定理有Pmt2－mgx2＝mv－mv
解得t2＝4 s
所以，无人机至少需要运动的时间t＝t1＋t2
解得t＝5.6 s。
[答案]　(1)12 m/s　5 m/s2　(2)1.6 s　6.4 m　(3)5.6 s
　
1．无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
2．机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝3．机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝Pt，由动能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移或速度。(共27张PPT)
演练知能提升
A
1．(2026·内蒙古赤峰市统测)如图所示的是超市坡道式自动扶梯，顾客站在自动扶梯上与扶梯保持相对静止，在扶梯将顾客匀速运送至高处的过程中，下述说法正确的是(　　)
A．支持力对顾客做正功
B．重力对顾客做正功
C．摩擦力对顾客做正功
D．合外力对顾客做正功
解析：顾客随扶梯匀速向上运动时，顾客受重力和支持力，不受摩擦力作用，顾客所受合外力为零，故重力做负功，支持力做正功，摩擦力不做功，合外力做功为零。
D
2．(2026·福建泉州市质量检测)生活中，人们常利用传送带运送物品。如图，行李箱与水平传送带保持相对静止，一起做匀速直线运动，不计空气阻力，则在此过程中传送带(　　)
A．对行李箱的摩擦力方向与传送方向相同
B．对行李箱的摩擦力方向与传送方向相反
C．对行李箱做正功
D．对行李箱不做功
解析：行李箱与水平传送带保持相对静止，一起做匀速直线运动，行李箱处于平衡状态，水平方向上如果存在摩擦力，就没有其他力与之平衡，所以行李箱不受摩擦力，A、B错误。
根据做功的两个必要因素：一是作用在物体上的力，二是物体在力的方向上通过的距离；虽然行李箱在运动，但没有在运动方向上受力，所以传送带对行李箱不做功，C错误，D正确。
AB
3．(多选)(2026·河北邢台市期末)低空经济是以低空空域为依托，以通用航空产业为主导，以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态。一无人机运送快递时，可以垂直起降，也可以快速前进。无人机在竖直匀速上升的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．无人机对快递做正功
B．重力对快递做负功
C．空气阻力对快递做正功
D．合力对快递做负功
解析：无人机在竖直匀速上升的过程中，对快递做正功，A正确；
快递受到的重力方向与快递的运动方向相反，重力对快递做负功，B正确；
快递受到的空气阻力方向与快递的运动方向相反，空气阻力对快递做负功，C错误；
快递匀速上升，动能不变，由动能定理可知，合力对快递做功为零，D错误。
B
A
D
6．(2026·辽宁葫芦岛市模拟)被称为“空中电站”的S1000型涵道式浮空风力发电系统(如图)，于2025年1月首次稳定悬停于高空，并顺利发电。该系统叶片转动时可形成与风向垂直的圆面，并将此圆面内10%的空气动能转化为电能。已知悬停位置的风速为v时，该系统的发电功率为P，则悬停位置的风速为3v时，该系统的发电功率为(　　)
A．3P B．9P
C．18P D．27P
D
解析：汽车在加速阶段有F－f＝ma，P＝Fv，可知汽车速度增大，牵引力减小，加速度减小，所以汽车在相同时间间隔内的速度增加量逐渐减小，故A错误；
在加速阶段，根据动能定理可知，汽车的动能变化量等于牵引力与阻力做功之和，故B错误；
D
8．(2026·河南省五市期末)学校秋季运动会上，某同学参加铅球比赛，比赛时先后两次将同一铅球从同一点P掷出，铅球轨迹如图所示，第二次的成绩比第一次的好，但铅球两次在空中运动时的最大高度相同，不计空气阻力，不计铅球大小，则第二次与第一次相比，下列判断正确的是(　　)
A．铅球第二次在空中运动的时间长
B．第二次重力对铅球做的功多
C．铅球第二次落地时重力的瞬时功率大
D．该同学第二次对铅球做的功多
由于抛出时竖直方向的初速度相同，落地时竖直方向的分速度相同，则落地时重力的瞬时功率P＝mgvy相同，故C错误；
AD
解析：由题图乙可知，机车在BC段以恒定功率运动，当速度最大时，机车匀速行驶，此时机车所受恒定阻力大小等于机车牵引力的大小，则有f＝F＝1.5×105 N，A正确；
机车运动的额定功率P＝Fvm＝9×106 W，B错误；
根据牛顿第二定律，可得F′－f＝Ma，解得M＝6×105 kg，D正确。
10．(10分)如图1所示的水平地面上，质量为1 kg的物体在水平方向力F的作用下从静止开始做直线运动。图2为F随时间t变化的关系图像，已知物体与水平地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度大小g取10 m/s2，求：
(1)在2 s末物体的速度大小；(4分)
解析：物体所受的摩擦力
f＝μmg＝0.2×1×10 N＝2 N
前2 s内，根据牛顿第二定律，有F－f＝ma
其中F＝6 N
解得a＝4 m/s2
2 s末的速度v＝at＝2×4 m/s＝8 m/s。
答案：8 m/s　
(2)在前3 s内物体所受摩擦力做的功。(6分)
答案：－27 J
11．(10分)(2026·福建莆田市模拟)据《吕氏春秋》记载，我国在尧舜时代就有春节扫尘的风俗，寓意平安顺遂。如图所示，质量m＝50 kg的沙发静止在水平地面上，与地面间的动摩擦因数μ＝0.3。小海从侧面用平行于地面的力F＝200 N推开沙发打扫卫生，沙发由静止开始匀加速前进s＝2 m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。这个过程中，求：
(1)合力对沙发所做的功W；(4分)
解析：沙发受到的合力F合＝F－μmg
合力对沙发所做的功W＝F合s＝100 J。
答案：100 J　
(2)合力的平均功率P。(6分)
答案：50 W(共51张PPT)
第五章　机械能
第1讲　功和功率
[复习目标]
1．理解功的概念，能够判断是否做功和功的正负。　2.能够求解功的大小。　3.理解功率的概念以及两个表达式，能够求解瞬时功率和平均功率。　
4.会分析机车启动类问题。
基础自主梳理
第一部分
一、功
1．概念：力对物体做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移夹角的______这三者的乘积。
2．做功的两要素：力和物体在力的方向上发生的位移。
3．物理意义：功是__________的量度。
4．公式：W＝____________(α为F与l的夹角)。
5．当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的________。
余弦
能量转化
Fl cos α
代数和
深化辨析
1．(1)只要物体受力的同时又发生了位移，则一定有力对物体做功。(　　)
(2)一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。(　　)
(3)作用力做正功时，反作用力一定做负功。(　　)
(4)力对物体做功的正负是由力和位移间的夹角大小决定的。(　　)
×
√
×
√
二、功率
1．定义：功W与完成这些功所用________之比。
2．物理意义：描述力对物体做功的______。
3．公式
(1)P＝____，常用于求平均功率。
(2)P＝Fv cos α
①v为平均速度，则P为______功率。
②v为瞬时速度，则P为______功率。
时间t
快慢
平均
瞬时
4．额定功率：机械正常工作时的最大输出功率。
5．实际功率：机械实际输出的功率，不能大于______功率。
额定
深化辨析
×
√
×
考点一　恒力做功的分析和计算
第二部分
1．功的正负
(1)恒力做功的判断：依据力与位移方向的夹角来判断。
(2)曲线运动中功的判断

(3)依据能量变化来判断：若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断。
2．恒力做功的计算方法
3．总功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W总＝F合l cos α求功，此法要求F合为恒力。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
BC
考向1　做功和功的正负
例1 (多选)如图所示，物块A、B叠放在粗糙水平面上，A、B之间的接触面粗糙，用水平力F拉B，使A、B一起沿水平面向右做匀减速直线运动。在A、B一起运动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．B对A的摩擦力对A做正功
B．B对A的摩擦力对A做负功
C．A对B的摩擦力对B做正功
D．A对B的摩擦力对B做负功
[解析]　A、B一起沿水平面向右做匀减速直线运动，可知加速度方向向左，对A受力分析，可知物块B对A的静摩擦力方向向左，则B对A的摩擦力对A做负功；对B受力分析，A对B的摩擦力方向向右，则A对B的摩擦力对B做正功，A、D错误，B、C正确。
D
考向2　恒力的功
例2 (2023·北京卷，T11)如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程中(　　)
A．摩擦力做功大小与F的方向无关
B．合力做功大小与F的方向有关
C．F为水平方向时，F做功为μmgx
D．F做功的最小值为max
[解析]　设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力f＝μ(mg－F sin θ)，摩擦力做功Wf＝μ(mg－F sin θ)x，即摩擦力做功与F的方向有关，A错误；
合力做的功W＝F合x＝max，可知合力做功与力F方向无关，B错误；
当力F水平时，F＝ma＋μmg，力F做的功WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，C错误；
因合外力做的功max大小一定，而合外力做的功等于力F与摩擦力f做的功的代数和，而当F sin θ＝mg时，摩擦力f＝0，此时力F做的功最小，最小值为max，D正确。
第三部分
考点二　变力做功的分析和计算
求变力做功的五种方法
(1)微元法：如图1所示，质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR。
方法1　微元法
例3 (2026·河北廊坊市模拟)石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘(不动盘)和上盘(转动盘)两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平力作用使石磨上盘匀速转动。已知B点到转轴O的距离为0.3 m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为(　　)
A．0 B．－3 J
C．－6 J D．－18 J
D
[解析]　因石磨上盘匀速转动，其动能不变，F克服摩擦力做功，因F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则微元功ΔW＝FΔx，根据W＝∑ΔW＝F∑Δx＝F·2πL＝10×2π×0.3 J＝6π J≈18 J，可知摩擦力所做的功约为－18 J，故选D。
方法2　图像法
例4 如图甲所示，质量为4 kg的物体在水平推力作用下开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A．物体先做加速运动，推力减小到零后才开始做减速运动
B．运动过程中推力做的功为200 J
C．物体在运动过程中的加速度先变小后不变
D．因推力是变力，无法确定推力做功的大小
B
[解析]　滑动摩擦力Ff＝μmg＝20 N，物体先做加速运动，当推力减小到20 N时，加速度减小为零，之后推力逐渐减小，物体做加速度增大的减速运动，当推力减小为零后，物体做匀减速运动，A、C错误；
C
方法4　等效转换法
例6 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O。现以大小不变的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。滑块运动到C点时速度最大。已知滑块质量为m，滑轮O到竖直杆的水平距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g。求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
(1)拉力F的大小；
(2)滑块由A到C过程中拉力F做的功。
第四部分
考点三　功率的理解和计算
2．瞬时功率的计算方法
(1)用P＝Fv cos α，v为t时刻的瞬时速度。
(2)用P＝FvF，vF为物体的速度v在力F方向上的分速度，v为t时刻的瞬时速度。
(3)用P＝Fvv，Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力，v为t时刻的瞬时速度。
例7 (2026·云南楚雄州测试)电动玩具水枪(如图所示)是一种新式的电动玩具，使用时扣动扳机，水从枪口快速射出。已知水枪喷口的直径为0.8 cm，水的密度为1×103 kg/m3，水喷出时的速度大小为10 m/s，某次开启连续射击模式，则水枪在连续射击模式下对喷出的水做功的平均功率约为(　　)
A．0.25 W　　　　　　 B．2.5 W
C．25 W D．250 W
C
D
例8 福建舰是我国完全自主设计建造的弹射型航空母舰。在始终静止的福建舰上进行的电磁驱动弹射测试中，配重小车自甲板前端水平射出，落至海面上。简化模型如图所示，两辆质量相同的配重小车1和小车2先后进行弹射测试，轨迹分别为曲线1和曲线2，M、N为两次弹射的落水点。忽略空气阻力，配重小车可视为质点，则配重小车1和小车2(　　)
A．落水瞬间速度大小vM＝vN
B．在空中运动过程中速度变化量Δv1<Δv2
C．在空中运动过程中重力的平均功率P1D．落水瞬间重力的瞬时功率PM＝PN
根据速度变化量公式Δv＝gΔt，因为配重小车1和小车2下落时间相等，所以在空中运动过程中速度变化量Δv1＝Δv2，故B错误；
根据落水瞬间重力的瞬时功率P＝mgvy，可知配重小车1和小车2落水瞬间重力的瞬时功率相等，故D正确。
归纳总结
1．首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。
2．平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
3．瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。
考点四　机车启动问题
第五部分
机车的两种启动方式
A
[解析]　由题图可知，汽车在前4 s内的牵引力不变，汽车做匀加速直线运动，4 s到12 s内汽车的牵引力逐渐减小，则汽车的加速度逐渐减小，汽车做加速度减小的加速运动，直到汽车的速度达到最大值，以后做匀速直线运动，可知在4 s末汽车的功率达到最大值，汽车的速度达到最大值后牵引力等于阻力，所以阻力f＝2×103 N，前4 s内汽车的牵引力F＝5×103 N，由牛顿第二定律有F－f＝ma，解得a＝2.5 m/s2，4 s末汽车的速度v1＝at1＝2.5×4 m/s＝10 m/s，所以汽车的最大功率P＝Fv1＝5×104 W，A正确，B、C错误；
例10 (2026·安徽黄山市质检)一款能垂直起降的遥控无人机质量m＝200 kg，发动机的功率最大值Pm＝24 000 W，最大竖直升力Fm＝3 000 N，执行侦察任务时悬停在离地高度h1＝189.6 m的高空。执行任务后需要尽快竖直上升到离地高度超过h2＝240 m的安全区域。忽略空气阻力，g取10 m/s2。
(1)求该过程的最大上升速度的大小与最大上升加速度的大小。
[解析] 设最大速度为vm，当无人机的升力与重力平衡时，速度最大，由Pm＝mgvm
解得vm＝12 m/s
设最大上升加速度为am
Fm－mg＝mam
解得am＝5 m/s2。
[答案]　12 m/s　5 m/s2　
(2)执行任务后，无人机立即以最大竖直升力上升，求到达最大功率时所用的时间及该过程位移的大小。
[答案]　1.6 s　6.4 m　
(3)执行任务后，为尽快到达安全区域，求无人机至少需要运动的时间(到达安全区域之前已经达到最大速度)。
[解析]　为尽快到达安全区域，无人机首先需要以最大加速度匀加速，到达最大功率后，保持最大功率运动，设保持最大功率运动的距离为x2，有x2＝h2－h1－x1
[答案]　5.6 s
归纳总结

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