资源简介

1．某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯。关于这一现象，下列说法正确的是(　　)
A．声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B．声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C．需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D．在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
解析：选D。发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，用声音震碎玻璃杯是声音的频率与玻璃杯的固有频率相等，使玻璃杯发生共振，从而震碎玻璃杯，与音量的大小无关。
2．(多选)如图所示，一小木块漂浮在足够宽水面上且处于静止状态，对木块施加向下的力使其偏离平衡位置处于静止状态，在t＝0时由静止释放，释放后木块的运动可视为简谐运动，周期为1 s。规定竖直向上为正方向，则小木块在t＝5.5 s时刻(　　)
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的浮力最大
解析：选AC。由于木块的运动可视为简谐运动，周期是1 s，则5.5 s时刻为5T，故此时木块处于最高点，位移最大，方向向上为正，速度为零，加速度最大，方向向下为负，故A、C正确，B错误；最高点木块浸入水中的体积最小，根据公式F＝ρgV可知，木块受到的浮力最小，故D错误。
3．(2026·湖北十一校联考)若某国产小汽车的驾驶员与汽车总质量为1 500 kg，其减震系统由四个相同的竖直弹簧组成，每个弹簧的劲度系数为3.0×104 N/m。当汽车行驶过路面凸起后，车身在竖直方向做简谐振动(设在水平方向上汽车做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)，若振幅为0.10 m，则振动过程中的最大加速度大小为(　　)
A．2.0 m/s2 B．8.0 m/s2
C．16.0 m/s2 D．4.0 m/s2
解析：选B。简谐运动位移最大(为振幅)时，振动的加速度最大，根据牛顿第二定律知4kA＝ma，可得a＝8 m/s2。
4．(2026·新疆乌鲁木齐市质监)如图所示，同一竖直平面内固定的光滑圆弧轨道MNP与固定的光滑水平轨道PQ相切于P点。一小滑块从圆弧轨道上的M点由静止释放，经过6.3 s后到达Q点，小滑块在光滑水平轨道上运动的速度为v1；若小滑块从圆弧轨道上的N点由静止释放，经过9.5 s后到达Q点，小滑块在光滑水平轨道上运动的速度为v2。已知圆弧轨道的半径为40 m，MNP的圆弧长度为1.0 m，重力加速度g取10 m/s2，则v1∶v2最接近(　　)
A．5∶4 B．4∶3
C．3∶2 D．2∶1
解析：选D。圆弧轨道的半径为40 m，MNP的圆弧长度为1.0 m，半径比弧长大得多，可将其视为单摆模型，根据单摆的周期公式T＝2π，可知滑块从M到P和从N到P的时间相等，均为t＝×2π＝3.14 s，则有＝，解得≈。
5．(2026·广东深圳市调研)上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图乙所示。下列关于阻尼器的说法正确的是(　　)
A．振动周期越来越小
B．t＝4 s时的动能为零
C．t＝8 s时沿x轴负方向运动
D．t＝10 s时加速度沿x轴负方向
解析：选D。由题图乙可知，振动周期不变，故A错误；t＝4 s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误；t＝8 s时图线切线的斜率为正，则沿x轴正方向运动，故C错误；t＝10 s时位移达到正向最大，则加速度最大，方向沿x轴负方向，故D正确。
6．(2026·湖北七市州模拟)如图所示的是一质量均匀分布的木块竖直浮在水面上，现将木块竖直向上拉一小段距离A后由静止释放，并开始计时，经时间木块第一次回到原位置，在短时间内木块在竖直方向的上下振动可近似看作简谐运动，则在前时间内木块运动的距离为(　　)
A．A B．A
C．A D．A
解析：选D。规定竖直向上为正方向，则该简谐运动的位移公式为y＝A cos t，当t＝时有y＝A cos ＝A，所以在前时间内木块从最高点向下运动的距离d＝A－A＝A。
7．(2026·山东省部分学校模拟)如图甲所示，劲度系数为k的轻弹簧下端挂一质量为m的小球(可视为质点)，小球在竖直方向上做简谐运动，弹簧对小球的拉力F随时间变化的图像如图乙所示。已知弹簧弹性势能的表达式为Ep＝kx2，x为弹簧的形变量，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的动能总和不变
B．小球的振幅为
C．小球在平衡位置时弹簧弹性势能为
D．小球的最大加速度为3g
解析：选B。弹簧与小球组成的系统机械能守恒，在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的机械能总和不变，故A错误；小球处于最高点时，弹簧的压缩量x1＝，小球处于最低点时，弹簧的伸长量x2＝，根据对称性可得2A＝x1＋x2，解得小球的振幅A＝，故B正确；小球在平衡位置时，弹簧的伸长量x0＝x2－A＝，此时弹簧弹性势能Ep＝kx＝，故C错误；小球在简谐运动的最大位移处加速度最大，可知小球在最高点或最低点时加速度最大，则有3mg－mg＝ma，解得小球的最大加速度a＝2g，故D错误。
8．(2026·甘肃兰州市模拟)在建筑工地上，工人使用插入式混凝土振捣器对浇筑的混凝土进行振捣作业。振捣器开启后，其内部的偏心块高速旋转，带动振捣棒做简谐运动，并将振动传递给混凝土。已知振捣棒的振动方程为x＝sin (200πt＋)mm。下列说法正确的是(　　)
A．振捣棒做简谐运动的频率为50 Hz
B．t＝0时刻，振捣棒的位移为1.5 mm
C．振捣棒在1 s内通过的路程是600 mm
D．振捣棒的振动频率越高，混凝土颗粒的振动一定越剧烈
解析：选C。根据表达式x＝sin (200πt＋)mm，可知频率f＝＝ Hz＝100 Hz，将t＝0代入振动方程解得x＝ mm，故A、B错误；振捣棒的周期T＝＝0.01 s，由于1 s＝100T，则振捣棒在1 s内通过的路程s＝100×4A＝600 mm，故C正确；当振捣棒的振动频率与混凝土颗粒的固有频率越接近时，振动越剧烈，故D错误。
9．(2026·江苏扬州市期末)一根粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在平静的湖水中，如图所示。把木筷从原静止位置P处往上提至Q处放手，木筷就在水中上下振动，不计水的阻力。在木筷下降过程中(　　)
A．加速度变大 B．P处为最低点
C．浮力先变大后变小 D．合力先变小后变大
解析：选D。根据题意可知Q位置为振幅最大的位置，P位置为平衡位置，木筷做简谐运动，木筷向下运动的最低点是Q关于P的对称点，木筷做简谐运动的位移先减小后增大，加速度a＝先变小后变大，所受合力先变小后变大，故D正确，A、B错误；根据F浮＝ρgV排可知木筷向下运动到最低点过程中，排开水的体积变大，则浮力一直变大，故C错误。
10．(2026·黑龙江齐齐哈尔市模拟)用单摆可以测量某一行星的自转周期，若测得在相同时间t内，摆长为L的单摆在该行星两极处完成了N1次全振动，在该行星赤道处完成了N2次全振动，设该行星为质量分布均匀的球体，半径为R，则该行星的自转周期是(　　)
A． eq \r(\f(L（N－N）t2,R)) B． eq \r(\f(Rt2,L（N－N）))
C． eq \r(\f(Lt2,R（N－N）)) D． eq \r(\f(R（N－N）t2,L))
解析：选B。在两极处，设重力加速度为g1，单摆的周期T1＝，根据单摆周期公式T1＝2π，联立可得g1＝ eq \f(4π2LN,t2)，在赤道处，设重力加速度为g2，同理可得g2＝ eq \f(4π2LN,t2)，设自转周期为T，根据mg1＝mg2＋m·()2·R，联立解得T＝ eq \r(\f(Rt2,L（N－N）))。
11．(2026·广东顺德区教学质检)拉力传感器连接到计算机上可以测量变化的力。如图甲所示，一单摆悬挂于固定在O点的拉力传感器下方，把小球(可视为质点)拉至偏离平衡位置一定角度α(α＜5°)无初速度释放。图乙是拉力传感器受到的拉力F大小随时间t变化的图像，忽略空气阻力，其中g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球运动的周期为0.2π s
B．单摆的摆长为0.1 m
C．小球摆到最高点时合外力为零
D．小球的最大速度为 m/s
解析：选D。小球在最低点拉力最大，一个周期经过最低点两次，由题图乙可知，小球运动的周期T＝2×0.2π s＝0.4π s，故A错误；根据单摆的周期公式T＝2π，解得L＝0.4 m，故B错误；小球摆到最高点时线速度为零，沿半径方向的向心力为零，但重力沿切线方向的分力仍然存在，此时合外力不为零，故C错误；在最高点，根据牛顿第二定律有F1－mg cos α＝m eq \f(v,L)，其中v1＝0，F1＝0.495 N，则mg cos α＝0.495 N，在最低点，根据牛顿第二定律有Fm－mg＝m eq \f(v,L)，其中Fm＝0.510 N，从最高点到最低点，根据机械能守恒定律有mgL(1－cos α)＝mv，联立解得vm＝ m/s，故D正确。
12．(8分)(2026·湖北随州市期末联考)有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度。
(1)求振子的振幅和周期。(2分)
(2)在图中作出该振子的位移—时间图像。(2分)
(3)写出振子的振动方程。(4分)
解析：(1)由题意可知，振幅A＝10 cm
周期T＝ s＝0.2 s。
(2)振子在周期时具有正向最大加速度，故有负向最大位移，其位移—时间图像如图所示。
(3)设振动方程为x＝A sin (ωt＋φ)
ω＝
当t＝0时，x＝0，则sin φ＝0
解得φ＝π或φ＝0(舍去)
所以振动方程为x＝10sin (10πt＋π) cm。
答案：(1)10 cm　0.2 s　(2)图见解析
(3)x＝10sin (10πt＋π) cm(共53张PPT)
第七章　机械振动和机械波
第1讲　机械振动
[复习目标]
1．理解简谐运动的两种模型的特点，能够应用简谐运动的图像和公式分析解决问题。　2.知道单摆的周期公式，能够应用公式解决简单的问题。　3.了解受迫振动的特点，知道产生共振的条件和应用。
基础自主梳理
第一部分
一、简谐运动
1．概念：如果物体的位移与时间的关系遵从__________的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条__________，这样的振动是一种简谐运动。
2．平衡位置：物体在振动过程中________为零的位置。
3．回复力
(1)定义：使物体返回到__________的力。
(2)方向：时刻指向__________。
(3)来源：属于______力，可以是某一个力，也可以是几个力的______或某个力的______。
正弦函数
正弦曲线
回复力
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
4．物理量
(1)振幅：振动物体离开平衡位置的__________。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次________所需要的时间。
(3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比。
(4)相位：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，它代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。
最大距离
全振动
5．简谐运动的特征
(1)动力学特征：物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置______的大小成正比。
(2)运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
(3)能量特征：系统的机械能守恒，振幅A______。
位移
不变
深化辨析
1．(1)简谐运动是匀变速运动。(　　)
(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(　　)
(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。(　　)
(4)简谐运动的回复力可以是恒力。(　　)
×
√
×
×
二、简谐运动的公式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝________，其中“－”表示F与x反向。
(2)运动学表达式：x＝______________，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫作________。
－kx
A sin (ωt＋φ)
初相位
2．简谐运动的图像
(1)从__________开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图像如图甲所示。
(2)从____________开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图像如图乙所示。
平衡位置
最大位移处
深化辨析
×
√
2．(1)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(　　)
(2)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(　　)
(3)根据简谐运动的图像可以判断质点在某一时刻的位移大小、振动方向。(　　)
√
三、简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图 弹簧振子(水平)
简谐运 动条件 (1)弹簧质量可忽略 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线
(2)无空气等阻力
(3)最大摆角小于5°
3．(1)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(　　)
(2)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　　)
深化辨析
×
√
四、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的__________无关。
2．共振
(1)条件：驱动力的频率等于物体的__________。
(2)特征：振幅最大。
固有频率
固有频率
4．(1)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关。(　　)
(2)物体在发生共振时的振动是受迫振动。(　　)
(3)驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大。(　　)
深化辨析
×
√
×
考点一　简谐运动的规律
第二部分
受力特征
运动特征
能量特征
周期性 特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
质点衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
振动的能量包括动能Ek和势能Ep。在简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
相隔nT(n为正整数)的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同
对称性特征
AD
[解析]　释放小球b后，当小球b向上运动挤压弹簧时，若弹簧的弹力大于小球a的重力，小球a会向上运动，A正确；
小球b做简谐运动时的振幅A＝l，B错误。
例2 (2026·山东菏泽市模拟)粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向上为正方向。
(1)证明木筷做简谐运动。
[解析]　木筷静止在水中时，设木筷在水中部分的长度为l0，有mg＝ρgl0S
当木筷在静止位置上方x处时，以竖直向上为正方向，合外力F＝ρg(l0－x)S－mg
联立解得F＝－ρgSx
故木筷做简谐运动。
[答案]　见解析　
C
第三部分
考点二　简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
B
[解析]　游船在t1时刻位于平衡位置，加速度最小且为零，故A错误；
游船做简谐运动的振幅A＝10 cm，在四分之一周期内，如果游船的初始位置是平衡位置或者最大位移处，则游船运动的路程为10 cm，如果游船的初始位置不是平衡位置或者最大位移处，则游船运动的路程不为10 cm，故C错误。
第四部分
考点三　单摆及其周期公式的应用
C
例5 (2024·甘肃卷，T5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
例6 (2025·四川卷，T5)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直于纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放，释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点，则(　　)
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D．小球丙、丁的摆长之比为1∶2
C
例7 (2026·江苏省四市调研)如图所示，光滑圆弧轨道ABC竖直固定，与水平面相切于A点，B为圆弧上一点，C为圆弧最高点，弧长AC远小于半径。质量相等的小球甲、乙(视为质点)分别从B、C位置由静止同时释放，则两球从开始运动到A点的过程中(　　)
A．甲球比乙球运动的时间短
B．两球可能在A点右侧相撞
C．两球动量的改变量相等
D．两球重力的冲量相等
D
根据IG＝mgt，两球质量相等，可知两球重力的冲量相等，故D正确；
考点四　受迫振动和共振
第五部分
1．简谐振动、受迫振动和共振的比较
振动类型
受力情况
振动周期或频率
简谐振动
受迫振动
共振
仅受回复力
受驱动力
受驱动力
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
常见例子
系统的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对固有频率为f0的某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统，其机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
例8 (多选)某手机充电时闹钟响起手机振动，充电线也振动，手机振动的频率为f1，充电线上某点的频率为f2，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．充电线做受迫振动，f1＝f2
B．手机振动的频率越大，充电线抖动幅度越大
C．充电线上离手机充电口近的点先振动
D．同一手机，更换不同长度充电线，振动时的频率不同
AC
[解析]　闹钟响起手机振动，充电线也跟着振动，可知充电线做受迫振动，则有f1＝f2，由于受迫振动的频率取决于驱动力的频率，所以同一手机，更换不同长度充电线，振动时的频率相同，故A正确，D错误；
当手机振动的频率等于充电线振动的固有频率时，充电线抖动幅度最大，所以手机振动的频率越大，充电线抖动幅度不一定越大，故B错误；
充电线上越靠近振源位置的点越先振动，所以充电线上离手机充电口近的点先振动，故C正确。
B(共28张PPT)
演练知能提升
D
1．某电视节目上一男子表演“狮吼功”——用声音震碎玻璃杯。关于这一现象，下列说法正确的是(　　)
A．声音频率越低越容易震碎玻璃杯
B．声音频率越高越容易震碎玻璃杯
C．需要很大的音量才能震碎玻璃杯
D．在适当的频率下无需很大的音量就能震碎玻璃杯
解析：发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，用声音震碎玻璃杯是声音的频率与玻璃杯的固有频率相等，使玻璃杯发生共振，从而震碎玻璃杯，与音量的大小无关。
AC
2．(多选)如图所示，一小木块漂浮在足够宽水面上且处于静止状态，对木块施加向下的力使其偏离平衡位置处于静止状态，在t＝0时由静止释放，释放后木块的运动可视为简谐运动，周期为1 s。规定竖直向上为正方向，则小木块在t＝5.5 s时刻(　　)
A．位移最大，方向为正
B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负
D．受到的浮力最大
最高点木块浸入水中的体积最小，根据公式F＝ρgV可知，木块受到的浮力最小，故D错误。
B
3．(2026·湖北十一校联考)若某国产小汽车的驾驶员与汽车总质量为1 500 kg，其减震系统由四个相同的竖直弹簧组成，每个弹簧的劲度系数为3.0×104 N/m。当汽车行驶过路面凸起后，车身在竖直方向做简谐振动(设在水平方向上汽车做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)，若振幅为0.10 m，则振动过程中的最大加速度大小为(　　)
A．2.0 m/s2 B．8.0 m/s2
C．16.0 m/s2 D．4.0 m/s2
解析：简谐运动位移最大(为振幅)时，振动的加速度最大，根据牛顿第二定律知4kA＝ma，可得a＝8 m/s2。
D
4．(2026·新疆乌鲁木齐市质监)如图所示，同一竖直平面内固定的光滑圆弧轨道MNP与固定的光滑水平轨道PQ相切于P点。一小滑块从圆弧轨道上的M点由静止释放，经过6.3 s后到达Q点，小滑块在光滑水平轨道上运动的速度为v1；若小滑块从圆弧轨道上的N点由静止释放，经过9.5 s后到达Q点，小滑块在光滑水平轨道上运动的速度为v2。已知圆弧轨道的半径为40 m，MNP的圆弧长度为1.0 m，重力加速度g取10 m/s2，则v1∶v2最接近(　　)
A．5∶4 B．4∶3
C．3∶2 D．2∶1
D
5．(2026·广东深圳市调研)上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图乙所示。下列关于阻尼器的说法正确的是(　　)
A．振动周期越来越小
B．t＝4 s时的动能为零
C．t＝8 s时沿x轴负方向运动
D．t＝10 s时加速度沿x轴负方向
解析：由题图乙可知，振动周期不变，故A错误；
t＝4 s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误；
t＝8 s时图线切线的斜率为正，则沿x轴正方向运动，故C错误；
t＝10 s时位移达到正向最大，则加速度最大，方向沿x轴负方向，故D正确。
D
B
解析：弹簧与小球组成的系统机械能守恒，在振动过程中，弹簧的弹性势能和小球的机械能总和不变，故A错误；
小球在简谐运动的最大位移处加速度最大，可知小球在最高点或最低点时加速度最大，则有3mg－mg＝ma，解得小球的最大加速度a＝2g，故D错误。
C
当振捣棒的振动频率与混凝土颗粒的固有频率越接近时，振动越剧烈，故D错误。
D
9．(2026·江苏扬州市期末)一根粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，竖直浮在平静的湖水中，如图所示。把木筷从原静止位置P处往上提至Q处放手，木筷就在水中上下振动，不计水的阻力。在木筷下降过程中(　　)
A．加速度变大 B．P处为最低点
C．浮力先变大后变小 D．合力先变小后变大
根据F浮＝ρgV排可知木筷向下运动到最低点过程中，排开水的体积变大，则浮力一直变大，故C错误。
B
D
解析：小球在最低点拉力最大，一个周期经过最低点两次，由题图乙可知，小球运动的周期T＝2×0.2π s＝0.4π s，故A错误；
小球摆到最高点时线速度为零，沿半径方向的向心力为零，但重力沿切线方向的分力仍然存在，此时合外力不为零，故C错误；
(1)求振子的振幅和周期。(2分)
答案：10 cm　0.2 s　
(2)在图中作出该振子的位移—时间图像。(2分)
答案：图见解析
(3)写出振子的振动方程。(4分)
答案：x＝10sin (10πt＋π) cm第1讲　机械振动
[复习目标]
1．理解简谐运动的两种模型的特点，能够应用简谐运动的图像和公式分析解决问题。　2.知道单摆的周期公式，能够应用公式解决简单的问题。　3.了解受迫振动的特点，知道产生共振的条件和应用。
一、简谐运动
1．概念：如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像(x－t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
2．平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
3．回复力
(1)定义：使物体返回到平衡位置的力。
(2)方向：时刻指向平衡位置。
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
4．物理量
(1)振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。
(3)频率：物体完成全振动的次数与所用时间之比。
(4)相位：物理学中把(ωt＋φ)叫作相位，它代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。
5．简谐运动的特征
(1)动力学特征：物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比。
(2)运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。
(3)能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变。
1．(1)简谐运动是匀变速运动。(　　)
(2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。(　　)
(3)振幅等于振子运动轨迹的长度。(　　)
(4)简谐运动的回复力可以是恒力。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、简谐运动的公式和图像
1．简谐运动的表达式
(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示F与x反向。
(2)运动学表达式：x＝A_sin_(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫作初相位。
2．简谐运动的图像
(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝A sin ωt，图像如图甲所示。
(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝A cos ωt，图像如图乙所示。
2．(1)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。(　　)
(2)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。(　　)
(3)根据简谐运动的图像可以判断质点在某一时刻的位移大小、振动方向。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)√
三、简谐运动的两种模型
模型 弹簧振子 单摆
示意图 弹簧振子(水平)
简谐运动条件 (1)弹簧质量可忽略(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内 (1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气等阻力(3)最大摆角小于5°
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
周期 与振幅无关 T＝2π
能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
3．(1)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。(　　)
(2)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　　)
提示：(1)√　(2)×
四、受迫振动和共振
1．受迫振动
系统在驱动力作用下的振动叫作受迫振动。受迫振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
2．共振
(1)条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。
(2)特征：振幅最大。
4．(1)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关。(　　)
(2)物体在发生共振时的振动是受迫振动。(　　)
(3)驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×
考点一　简谐运动的规律
受力特征 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征 质点衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征 振动的能量包括动能Ek和势能Ep。在简谐运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性特征 相隔nT(n为正整数)的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同
对称性特征 (1)相隔或(n为正整数)的两个时刻，振子的位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反；(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等；(3)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′；(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO
考向1　简谐运动的分析
(多选)(2025·湖北卷，T9)质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后(　　)
A．小球a可能会运动
B．若小球b做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
D．当且仅当l≤时，小球b才能始终做简谐运动
[解析]　释放小球b后，当小球b向上运动挤压弹簧时，若弹簧的弹力大于小球a的重力，小球a会向上运动，A正确；当小球a向上运动时小球b不做简谐运动，所以小球b始终做简谐运动的临界条件是弹簧压缩时的最大弹力等于mg，此时弹簧的压缩量x1＝，小球b做简谐运动，在平衡位置时弹簧的伸长量x2＝，所以最大振幅Amax＝x1＋x2＝，即将小球b下拉l≤Amax时，小球b才能始终做简谐运动，C错误，D正确；小球b做简谐运动时的振幅A＝l，B错误。
[答案]　AD
(2026·山东菏泽市模拟)粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈细铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中，把木筷往上提起一段距离A后放手，木筷就在水中上下振动。已知木筷横截面积为S，木筷与铁丝总质量为m，水的密度为ρ，重力加速度为g。以木筷静止时其下端所在位置为原点，竖直向上为正方向。
(1)证明木筷做简谐运动。
(2)已知简谐运动的周期T＝2π，其中m是做简谐运动物体的质量，k为回复力与位移比值的绝对值。写出放手后木筷位移x随时间t变化的关系式。
[解析]　(1)木筷静止在水中时，设木筷在水中部分的长度为l0，有mg＝ρgl0S
当木筷在静止位置上方x处时，以竖直向上为正方向，合外力F＝ρg(l0－x)S－mg
联立解得F＝－ρgSx
故木筷做简谐运动。
(2)木筷放手后做简谐运动，有x＝A cos t
又T＝2π
由(1)可知k＝ρgS
整理可知放手后木筷位移随时间变化的关系式为x＝A cos t。
[答案]　(1)见解析　(2)x＝A cos t
考向2　简谐运动的对称性和周期性
(2024·黑吉辽卷，T7)如图(a)，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)，设地球、该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为(　　)
A．2n　　　　　　　 B．
C． D．
[解析]　设地球表面的重力加速度为g，某球状天体表面的重力加速度为g′，弹簧的劲度系数为k，根据简谐运动的对称性有k·4A－mg＝mg，k·2A－mg′＝mg′，可得g＝，g′＝，可得＝2；设某球状天体的半径为R，在星球表面，有G＝mg，G＝mg′，联立可得＝。
[答案]　C
考点二　简谐运动的表达式和图像
1．简谐运动图像可获取的信息
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定。
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴。
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
2．利用图像理解简谐运动的对称性
(1)相隔Δt＝T(n＝0，1，2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速度也等大反向。
(2)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2026·安徽六安市教学质检)国庆假期，一游客来到了风景秀丽的六安万佛湖边欲乘坐游船，游客观察到游船上下浮动，可以把游船浮动看成竖直方向的简谐运动，其振动图像如图所示。t＝0时刻游船甲板刚好上升到相对码头地面5 cm高度处，则下列说法正确的是(　　)
A．游船在t1时刻加速度最大
B．经过 s游船第一次运动到平衡位置
C．在四分之一周期内，游船运动的路程一定为10 cm
D．游船的振动方程为y＝10sin (2πt＋)cm
[解析]　游船在t1时刻位于平衡位置，加速度最小且为零，故A错误；由振动图像可知振幅A＝10 cm，游船做简谐运动的周期为1 s，设游船做简谐运动的振动方程为y＝A sin (t＋φ0)＝10sin (2πt＋φ0)cm，由振动图像可知t＝0时，游船向上振动，且满足y0＝10sin φ0(cm)＝5 cm，可得φ0＝，则游船的振动方程为y＝10sin (2πt＋)cm，经过t1时间游船第一次运动到平衡位置，则有y＝10sin (2πt1＋)cm＝0，解得t1＝ s，故B正确，D错误；游船做简谐运动的振幅A＝10 cm，在四分之一周期内，如果游船的初始位置是平衡位置或者最大位移处，则游船运动的路程为10 cm，如果游船的初始位置不是平衡位置或者最大位移处，则游船运动的路程不为10 cm，故C错误。
[答案]　B
考点三　单摆及其周期公式的应用
1．单摆的受力特征
(1)回复力：摆球所受重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mg sin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
(2)向心力：细线的拉力和摆球所受重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mg cos θ。
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mg cos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝ eq \f(mv,l)，F向最大，FT＝mg＋m eq \f(v,l)。
2．单摆周期公式T＝2π的两点说明
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
(2)g为当地重力加速度。
(2024·甘肃卷，T5)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B．摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C．摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D．摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
[解析]　根据题图可知，单摆的周期T＝1.0π s－0.2π s＝0.8π s，结合T＝2π可得单摆的摆长L＝1.6 m，起始时刻，单摆的位移最大，加速度最大，速度为零，A、B两点速度大小相等，方向相反，A、C两点速度相同，A、B、D错误，C正确。
[答案]　C
(2025·四川卷，T5)如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直于纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放，释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点，则(　　)
A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零
B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零
C．小球甲、乙的振动周期之比为3∶4
D．小球丙、丁的摆长之比为1∶2
[解析]　根据单摆周期公式T＝2π，可知T丁>T丙>T乙>T甲，根据题意可得2T甲＝＝T丙＝，可得T丙＝2T甲，T乙＝T甲，T丁＝4T甲，可得T甲∶T乙＝3∶4，T丙∶T丁＝1∶2，可得小球丙、丁的摆长之比L丙∶L丁＝1∶4，故C正确，D错误；小球甲第一次回到释放位置时，即经过T甲()时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位移最大，根据a＝－，可知此时小球丙加速度最大，故A错误；根据上述分析可得T乙＝T丁，小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为(即)，可知此时小球乙经过平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B错误。
[答案]　C
(2026·江苏省四市调研)如图所示，光滑圆弧轨道ABC竖直固定，与水平面相切于A点，B为圆弧上一点，C为圆弧最高点，弧长AC远小于半径。质量相等的小球甲、乙(视为质点)分别从B、C位置由静止同时释放，则两球从开始运动到A点的过程中(　　)
A．甲球比乙球运动的时间短
B．两球可能在A点右侧相撞
C．两球动量的改变量相等
D．两球重力的冲量相等
[解析]　由于弧长AC远小于半径，可认为小球甲、乙在光滑圆弧轨道做简谐运动，根据单摆周期公式可得周期T＝2π，小球甲、乙从B、C位置由静止同时释放，两球从开始运动到A点运动时间均为t＝＝，可知两球在A点相撞，故A、B错误；根据IG＝mgt，两球质量相等，可知两球重力的冲量相等，故D正确；根据动能定理可得mgh＝mv2，可得小球到达A点的速度大小v＝，则小球的动量变化量Δp＝mv－0＝m，因为两球释放高度不同，所以两球动量的改变量不相等，故C错误。
[答案]　D
考点四　受迫振动和共振
1．简谐振动、受迫振动和共振的比较
振动类型 简谐振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量 系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣
2.对共振的理解
(1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A。它直观地反映了驱动力频率对固有频率为f0的某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；当f＝f0时，振幅A最大。
(2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统，其机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换。
(多选)某手机充电时闹钟响起手机振动，充电线也振动，手机振动的频率为f1，充电线上某点的频率为f2，如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．充电线做受迫振动，f1＝f2
B．手机振动的频率越大，充电线抖动幅度越大
C．充电线上离手机充电口近的点先振动
D．同一手机，更换不同长度充电线，振动时的频率不同
[解析]　闹钟响起手机振动，充电线也跟着振动，可知充电线做受迫振动，则有f1＝f2，由于受迫振动的频率取决于驱动力的频率，所以同一手机，更换不同长度充电线，振动时的频率相同，故A正确，D错误；当手机振动的频率等于充电线振动的固有频率时，充电线抖动幅度最大，所以手机振动的频率越大，充电线抖动幅度不一定越大，故B错误；充电线上越靠近振源位置的点越先振动，所以充电线上离手机充电口近的点先振动，故C正确。
[答案]　AC
(2026·陕西商洛市模拟)某喜剧电影中，包租婆的“狮子吼”可以将酒杯震碎。若我们用手指轻弹同样的酒杯，听到清脆的声音，并测得该声音的频率为f，空气中声波的传播速度大小为v，认为“狮子吼”可视为简谐波，则“狮子吼”的波长为(　　)
A．vf　　 B．　　
C．　　 D．
[解析]　“狮子吼”将酒杯震碎是共振现象，发生共振的条件是驱动力的频率等于物体的固有频率，可得“狮子吼”的波长λ＝。
[答案]　B

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