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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
[复习目标]
1．了解曲线运动的特点，知道物体做曲线运动的条件。　2.知道合运动与分运动的关系，能够对运动进行合成和分解。　3.能够分析“小船过河”和“绳(杆)端速度分解”模型。
一、曲线运动
1．速度方向：沿曲线在这一点的切线方向。
2．性质：做曲线运动的物体，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一直线上。
(2)动力学角度：物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。
1．(1)在恒力作用下的物体不可能做曲线运动。(　　)
(2)曲线运动一定是变速运动。(　　)
(3)做曲线运动的物体所受合力可以为零。(　　)
(4)曲线运动的速度大小一定变化。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：由分运动求合运动的过程。
(2)运动的分解：由合运动求分运动的过程。
2．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵从矢量运算法则。
2．(1)合运动的速度一定比分运动的速度大。(　　)
(2)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(　　)
(3)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√
考点一　曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动的类型
(1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变。
(2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化。
2．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
(2026·江苏苏锡常镇调研)中国自主研制的歼 35A隐形战斗机在珠海航展亮相，表演中战斗机沿着一段圆弧从M到N加速拉升，关于歼 35A所受合力的方向，下列图中可能正确的是(　　)
[解析]　做曲线运动的物体受合外力方向指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，因加速拉升，则合力方向与速度方向夹角为锐角。
[答案]　C
(2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；当篮球的速度斜向右上方时，A符合条件，故A正确。
[答案]　A
　
1．合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧。
2．合力方向与速率变化的关系
考点二　运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性 各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性 各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性 各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
2.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)
(2)
3．两个直线运动的合运动
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，匀变速曲线运动
(多选)(2026·云南曲靖市统考)某质点在一竖直平面内运动，其水平方向的分运动情况和竖直方向的分运动情况分别如图甲、乙所示，初始时刻质点在坐标原点，竖直方向初速度为0，下列说法正确的是(　　)
A．质点的运动轨迹是直线
B．t＝2 s时，质点的合速度方向与水平方向成45°
C．t＝3 s时，质点的合速度大小为 m/s
D．t＝4 s时，质点的合位移大小为16 m
[解析]　由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，质点速度方向和受力方向不在同一直线上，质点做曲线运动，A错误；t＝2 s时，质点竖直方向上的速度vy＝at＝2 m/s，质点的合速度方向与水平方向的夹角tan θ＝＝1，质点的合速度方向与水平方向成45°，B正确；t＝3 s时，竖直方向上的速度vy＝at＝3 m/s，质点合速度的大小v＝ eq \r(v＋v)＝ m/s，C正确；t＝4 s时，质点水平方向位移x＝vxt＝8 m，质点竖直方向上的位移y＝at2＝8 m，故质点的合位移大小s＝＝8 m，D错误。
[答案]　BC
(2025·湖南卷，T2)如图所示，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是(　　)
[解析]　设斜面倾角为θ，物块的初速度为v0，加速度大小为a，则水平方向上由速度位移公式有(v0cos θ)2－v＝2ax cos θ，变形得vx＝ eq \r(vcos2θ－2ax cosθ)，则vx－x图像是抛物线的一部分，A、B错误；同理竖直方向上有(v0sin θ)2－v＝2ay sin θ，变形得vy＝ eq \r(vsin2θ－2ay sinθ)，则vy－y图像是抛物线的一部分，C正确，D错误。
[答案]　C
考点三　小船渡河模型
1．船的实际运动是水流的运动和船相对于静水的运动的合运动。
2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。
3．小船渡河的两类问题、三种情境
渡河时间最短 当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v1>v2，当船头方向与上游夹角θ满足v1cos θ＝v2时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v1(2026·湖南临湘市期末)如图所示，小船以大小v1＝5 m/s、方向与上游河岸成θ＝60°的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法正确的是(　　)
A．河中水流速度为2.5 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为72 s
C．小船渡河的最短时间为3.6 s
D．小船以最短的时间渡河的位移是90 m
[解析]　由题意知，河中水流速度v2＝v1cos 60°，解得v2＝2.5 m/s，故A错误；小船以最短位移渡河的时间t′＝＝24 s，故B错误；小船以最短时间渡河，船头应垂直于对岸，最短时间t＝＝36 s，故C错误；小船以最短时间渡河时，沿河岸通过的位移x＝v2t＝90 m，渡河的位移x′＝＝90 m，故D正确。
[答案]　D
一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
[解析]　
当船在静水中的速度垂直于河岸时渡河时间最短，有tmin＝＝50 s，沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝250 m，故A、B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能垂直渡河，如图所示，当合速度与静水速度的方向垂直时渡河位移最短，设此时合速度与水流速度的夹角为θ，则sin θ＝＝，则渡河的最短位移xmin＝＝250 m，故C正确；若船以最短位移渡河，则用时t＝＝62.5 s，故D错误。
[答案]　C
　
解决小船渡河问题的注意要点
(1)正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，与船头所指方向一般情况下不共线。
(2)按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头所指方向分解。
(3)渡河时间只与船垂直于河岸的分速度有关，与水流速度无关。
(4)求最短渡河位移时，根据船速v1与水流速度v2的大小情况，用三角形定则处理。
考点四　绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
两物体通过绳(杆)相连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳(杆)的长度是不变的，所以两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度大小是相等的。
2．解题思路
先明确合运动(物体的实际运动)的方向，然后按运动的实际效果[一方面有沿绳(杆)方向伸缩的效果，另一方面有使绳(杆)转动的效果]确定两个分运动的方向：沿绳(杆)方向的分运动和垂直于绳(杆)方向的分运动，而沿绳(杆)方向的分速度大小相同。常见的模型如图所示：
模型1　绳端速度分解模型
(2025·黑吉辽蒙卷，T6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A．一直减小　　　　　 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
[解析]　
设塔块的速度为v1，绳与竖直方向的夹角为θ，将速度分解，如图所示，则v1cos θ＝v sin θ，解得v＝，塔块沿竖直方向匀速下落的过程中，θ减小，tan θ一直减小，故v一直增大，B正确。
[答案]　B
模型2　杆端速度分解模型
(2026·江苏苏锡常镇一模)如图所示，压缩机通过光滑活塞在汽缸内往复运动来压缩气体，活塞的中心A与转轮在同一平面内，O为转轮圆心，B为转轮边缘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，转轮绕O点做角速度为ω的匀速圆周运动。已知转轮半径为r，则当B点从O点水平右侧转动到O点水平左侧的过程中(　　)
A．轻杆对活塞做负功
B．活塞速度保持不变
C．当OB垂直于AB时，活塞速度为ωr
D．当OB垂直于AO时，活塞速度为ωr
[解析]　
轻杆对活塞先做正功后做负功，故A错误；当B点从O点水平右侧转动到O点水平左侧的过程中，活塞速度先变大后变小，故B错误；当OB垂直于AB时，此时B点的速度方向一定沿杆，则vA≠vB，故C错误；当OB垂直于AO时，vA＝vB＝ωr，故D正确。
[答案]　D
　
解决绳(杆)端速度分解问题的技巧
(1)明确分解谁：分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度。
(2)知道如何分解：沿绳(杆)方向和垂直于绳(杆)方向分解。
(3)求解依据：因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。(共40张PPT)
第四章　曲线运动　
万有引力与宇宙航行
第1讲　曲线运动　
运动的合成与分解
[复习目标]
1．了解曲线运动的特点，知道物体做曲线运动的条件。　2.知道合运动与分运动的关系，能够对运动进行合成和分解。　3.能够分析“小船过河”和“绳(杆)端速度分解”模型。
基础自主梳理
第一部分
一、曲线运动
1．速度方向：沿曲线在这一点的______方向。
2．性质：做曲线运动的物体，速度的______是变化的，所以曲线运动是______运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向________________。
(2)动力学角度：物体所受合力的方向跟它的速度方向________________。
切线
方向
变速
不在同一直线上
不在同一直线上
深化辨析
1．(1)在恒力作用下的物体不可能做曲线运动。(　　)
(2)曲线运动一定是变速运动。(　　)
(3)做曲线运动的物体所受合力可以为零。(　　)
(4)曲线运动的速度大小一定变化。(　　)
×
√
×
×
二、运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：由________求合运动的过程。
(2)运动的分解：由________求分运动的过程。
2．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵从______________。
分运动
合运动
矢量运算法则
深化辨析
×
√
2．(1)合运动的速度一定比分运动的速度大。(　　)
(2)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。(　　)
(3)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。(　　)
×
考点一　曲线运动的条件及轨迹
第二部分
1．曲线运动的类型
(1)匀变速曲线运动：合力(加速度)恒定不变。
(2)变加速曲线运动：合力(加速度)变化。
2．运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
例1 (2026·江苏苏锡常镇调研)中国自主研制的歼 35A隐形战斗机在珠海航展亮相，表演中战斗机沿着一段圆弧从M到N加速拉升，关于歼 35A所受合力的方向，下列图中可能正确的是(　　)

[解析]　做曲线运动的物体受合外力方向指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，因加速拉升，则合力方向与速度方向夹角为锐角。
C
A
例2 (2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；
当篮球的速度斜向右上方时，A符合条件，故A正确。
1．合力方向与轨迹的关系
无力不拐弯，拐弯必有力。曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧。
2．合力方向与速率变化的关系
方法技巧
第三部分
考点二　运动的合成与分解
1．合运动和分运动的关系
等时性
独立性
等效性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
各分运动的规律叠加起来与合运动有完全相同的效果
3．两个直线运动的合运动
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，匀变速曲线运动
BC
[解析]　由于质点水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，质点速度方向和受力方向不在同一直线上，质点做曲线运动，A错误；
例4 (2025·湖南卷，T2)如图所示，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是(　　)
C
第四部分
考点三　小船渡河模型
1．船的实际运动是水流的运动和船相对于静水的运动的合运动。
2．三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。
3．小船渡河的两类问题、三种情境
D
[解析]　由题意知，河中水流速度v2＝v1cos 60°，解得v2＝2.5 m/s，故A错误；
例6 一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m，流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
C
解决小船渡河问题的注意要点
(1)正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，与船头所指方向一般情况下不共线。
(2)按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头所指方向分解。
(3)渡河时间只与船垂直于河岸的分速度有关，与水流速度无关。
(4)求最短渡河位移时，根据船速v1与水流速度v2的大小情况，用三角形定则处理。
方法技巧
考点四　绳(杆)端速度分解模型
第五部分
1．模型特点
两物体通过绳(杆)相连，当两物体都发生运动时，两物体的速度往往不相等，但因绳(杆)的长度是不变的，所以两物体的速度沿绳(杆)方向的分速度大小是相等的。
2．解题思路
先明确合运动(物体的实际运动)的方向，然后按运动的实际效果[一方面有沿绳(杆)方向伸缩的效果，另一方面有使绳(杆)转动的效果]确定两个分运动的方向：沿绳(杆)方向的分运动和垂直于绳(杆)方向的分运动，而沿绳(杆)方向的分速度大小相同。常见的模型如图所示：
模型1　绳端速度分解模型
例7 (2025·黑吉辽蒙卷，T6)如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v(　　)
A．一直减小　　　　　 B．一直增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
B
模型2　杆端速度分解模型
例8 (2026·江苏苏锡常镇一模)如图所示，压缩机通过光滑活塞在汽缸内往复运动来压缩气体，活塞的中心A与转轮在同一平面内，O为转轮圆心，B为转轮边缘上一点，A、B处通过铰链连接在轻杆两端，转轮绕O点做角速度为ω的匀速圆周运动。已知转轮半径为r，则当B点从O点水平右侧转动到O点水平左侧的过程中(　　)
A．轻杆对活塞做负功
B．活塞速度保持不变
C．当OB垂直于AB时，活塞速度为ωr
D．当OB垂直于AO时，活塞速度为ωr
D
[解析]　轻杆对活塞先做正功后做负功，故A错误；
当B点从O点水平右侧转动到O点水平左侧的过程中，活塞速度先变大后变小，故B错误；
当OB垂直于AB时，此时B点的速度方向一定沿杆，则vA≠vB，故C错误；
当OB垂直于AO时，vA＝vB＝ωr，故D正确。
解决绳(杆)端速度分解问题的技巧
(1)明确分解谁：分解不沿绳(杆)方向运动物体的速度。
(2)知道如何分解：沿绳(杆)方向和垂直于绳(杆)方向分解。
(3)求解依据：因为绳(杆)不能伸长，所以沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
归纳总结1．(2026·安徽六安市教学质检)关于运动和力的关系，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受合力为恒力且与初速度成直角时，可能做匀速圆周运动
B．物体所受合力为恒力且与初速度成锐角时，一定做匀加速曲线运动
C．物体做平抛运动的过程中，突然受水平方向风力作用，此后不可能做直线运动
D．物体在多个共点力作用下做匀速直线运动，撤掉其中一个恒力后，一定做匀变速曲线运动
解析：选B。物体所受合力为恒力且与初速度成直角时，做类平抛运动，故A错误；物体所受合力为恒力且与初速度成锐角时，根据牛顿第二定律及曲线运动的条件知，物体一定做匀加速曲线运动，故B正确；物体做平抛运动的过程中，突然受水平方向风力作用，若风力与重力的合力与当时的速度共线，则可能做直线运动，故C错误；物体在多个共点力作用下做匀速直线运动，撤掉其中一个恒力后，其余力的合力与这个力等大反向，若其余力的合力与速度共线，则做匀变速直线运动，故D错误。
2．(2026·山东菏泽市模拟)一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N加速行驶。下列各图中汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是(　　)
解析：选B。汽车做曲线运动，则合力方向指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，因汽车加速行驶，则合力F与速度夹角为锐角。
3．(2026·广东广州市天河区综合测试)无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0到t2时间内，该无人机的运动轨迹为(　　)
解析：选A。由题图可知，在0到t1时间内，无人机在竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1到t2时间内，无人机在竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知无人机受到的合外力方向竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知无人机运动的轨迹向下弯曲。
4．(2026·山东高密市期末联考)如图所示，某同学将篮球自空中P点以大小为v0的初速度竖直向上抛出，篮球因受到水平恒定风力作用，到达Q点时速度方向水平。P、Q两点连线与水平方向夹角为37°，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则篮球运动到Q点时的速度大小为(　　)
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
解析：选C。根据运动的独立性可知，竖直方向h＝ eq \f(v,2g)，t＝，水平方向x＝，由几何关系＝tan 37°，联立解得篮球运动到Q点时的速度大小vx＝v0。
5．如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
解析：选C。将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，C正确。
6．(2026·山东泰安市一模)一无人机欲将货物从甲地送往乙地，其从地面起飞过程中水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内无人机做变加速直线运动
B．前2 s内无人机做匀加速曲线运动
C．2 s到4 s内无人机的位移大小为14 m
D．前4 s内货物一直处于超重状态
解析：选D。选根据vx－t图像可知，前2 s内水平方向的加速度ax＝＝4 m/s2，根据vy－t图像可知，前2 s内竖直方向的加速度为ay＝＝3 m/s2，则前2 s内无人机的加速度a＝ eq \r(a＋a)＝5 m/s2，由于无人机在t＝0时刻的速度为0，则前2 s内无人机做匀加速直线运动，故A、B错误；根据vx－t图像可知，2 s到4 s内无人机的水平位移大小x＝8×2 m＝16 m，无人机的竖直位移大小y＝×(6＋8)×2 m＝14 m，则2 s到4 s内无人机的位移大小s合＝＝2 m，故C错误；根据vy－t图像可知，前4 s内货物在竖直方向一直向上做加速运动，竖直加速度方向一直向上，所以货物一直处于超重状态，故D正确。
7．(2026·广东深圳市港台联考)质量为m的物块P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物块P与小车，物块P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v0水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)
A．物块P的速率为v0sin θ2
B．物块P的速率为v0cos θ1
C．细绳对物块P的拉力恒为mg sin θ1
D．细绳对物块P的拉力大于mg sin θ1
解析：选D。细绳相连的物体，沿绳子方向速度大小相等，把小车速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，物块P速度沿绳子方向，即物块P速度大小vP＝v0cos θ2，A、B错误；小车向右运动，细绳和水平方向的夹角θ2减小，物块P的速度大小vP＝v0cos θ2在增大，则物块P加速度沿斜面向上，由牛顿第二定律可知FT－mg sin θ1＝ma，细绳拉力大于mg sin θ1，C错误，D正确。
8．(多选)在某次救援演习中，一冲锋舟匀速横渡一条两岸平直、水流速度不变的河流，当冲锋舟船头垂直于河岸航行时，恰能到达正对岸下游600 m处；若冲锋舟船头保持与河岸成30°角向上游航行时，则恰能到达正对岸。已知河水的流速大小为5 m/s，下列说法正确的是(　　)
A．冲锋舟在静水中的速度大小为10 m/s
B．河的宽度为400 m
C．冲锋舟在静水中的速度大小为 m/s
D．河的宽度为600 m
解析：选BC。冲锋舟恰能到达正对岸时，在静水中速度v静与水的流速v水的合速度垂直于河岸，则有v静sin 60°＝v水，v静＝ m/s，故A错误，C正确；当冲锋舟船头垂直于河岸航行时，恰能到达正对岸下游600 m处，由于冲锋舟在垂直于河岸方向和沿河岸方向都是做匀速运动，所以两个方向的位移之比等于两方向的速度之比， 即＝，式中s指沿河岸方向的位移，为600 m，d指河宽，可解得d＝400 m，故B正确，D错误。
9．(2026·河北石家庄市教学质检)某空气动力学实验室测试飞行器模型的气动性能。如图所示，风洞启动后将测试模型从地面P点沿与水平面成45°角的方向射出，该模型受到水平恒定风力作用，经过一段时间又恰好回到P点。忽略其他阻力，则水平风力大小为该模型重力的(　　)
A．1倍 B．倍
C．2倍 D．2倍
解析：选A。模型在竖直方向上先上升后下落，加速度为g，可得vyt－gt2＝0，水平方向受到水平恒定风力作用，经过一段时间又恰好回到P点，可知水平方向有vxt－at2＝0，又因初速度方向与水平面成45°角，所以vx＝vy，则水平方向加速度与竖直方向加速度大小相等，根据牛顿第二定律可知，水平风力大小与该模型重力大小相等，故A正确。
10．(8分)如图所示，物体M悬挂在动滑轮上，两者可沿竖直固定的轻杆运动。绳子的一端固定在A点，绳子的另一端以速率v匀速收绳，当绳BC段与竖直方向夹角为α时，求物体M的速度大小是多少？
解析：根据题意可得
v·Δt＝vBC·Δt＋vAB·Δt
vBC＝vM cos α
vAB＝vM
所以物体M的速度vM＝。
答案：
11．(12分)(2026·江苏扬州模拟)正在公路上行驶的汽车，只需按下一个键，就能轻松切换到飞行模式，变身飞机跃入天空，这就是飞行汽车。一辆飞行汽车在平直的公路上以30 m/s的速度行驶，某时刻司机启动飞行模式，汽车保持水平速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过一段时间爬升到200 m高处。用x表示水平位移，y表示竖直位移，这一过程的y－x图像如图所示。g取10 m/s2，求汽车飞行时：
(1)从启动飞行模式，到离地200 m高处需要多长时间；(4分)
(2)到达200 m高处时竖直速度和瞬时速度的大小(可用根式表示)。(8分)
解析：(1)由题可知，汽车在水平方向做匀速直线运动，根据y－x图像可知，到离地200 m高处时的水平位移x为600 m，则从启动飞行模式，到离地200 m高处的时间t＝＝＝20 s。
(2)由题可知，汽车在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据匀变速运动规律有y＝t
可得到达200 m高处时竖直速度的大小
vy＝＝＝20 m/s
则到达200 m高处时的瞬时速度的大小
v＝ eq \r(v＋v)＝10 m/s。
答案：(1)20 s　(2)20 m/s　10 m/s(共23张PPT)
演练知能提升
B
1．(2026·安徽六安市教学质检)关于运动和力的关系，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受合力为恒力且与初速度成直角时，可能做匀速圆周运动
B．物体所受合力为恒力且与初速度成锐角时，一定做匀加速曲线运动
C．物体做平抛运动的过程中，突然受水平方向风力作用，此后不可能做直线运动
D．物体在多个共点力作用下做匀速直线运动，撤掉其中一个恒力后，一定做匀变速曲线运动
解析：物体所受合力为恒力且与初速度成直角时，做类平抛运动，故A错误；
物体所受合力为恒力且与初速度成锐角时，根据牛顿第二定律及曲线运动的条件知，物体一定做匀加速曲线运动，故B正确；
物体做平抛运动的过程中，突然受水平方向风力作用，若风力与重力的合力与当时的速度共线，则可能做直线运动，故C错误；
物体在多个共点力作用下做匀速直线运动，撤掉其中一个恒力后，其余力的合力与这个力等大反向，若其余力的合力与速度共线，则做匀变速直线运动，故D错误。
B
2．(2026·山东菏泽市模拟)一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N加速行驶。下列各图中汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是(　　)
解析：汽车做曲线运动，则合力方向指向轨迹的凹侧，速度方向沿轨迹的切线方向，因汽车加速行驶，则合力F与速度夹角为锐角。
A
3．(2026·广东广州市天河区综合测试)无人机灯光表演给喜庆的节日氛围增添了几许惊艳。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0到t2时间内，该无人机的运动轨迹为(　　)
解析：由题图可知，在0到t1时间内，无人机在竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1到t2时间内，无人机在竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知无人机受到的合外力方向竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知无人机运动的轨迹向下弯曲。
C
C
5．如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
解析：将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，C正确。
D
6．(2026·山东泰安市一模)一无人机欲将货物从甲地送往乙地，其从地面起飞过程中水平方向和竖直方向的速度随时间变化的规律分别如图甲、乙所示。下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内无人机做变加速直线运动
B．前2 s内无人机做匀加速曲线运动
C．2 s到4 s内无人机的位移大小为14 m
D．前4 s内货物一直处于超重状态
根据vy－t图像可知，前4 s内货物在竖直方向一直向上做加速运动，竖直加速度方向一直向上，所以货物一直处于超重状态，故D正确。
D
7．(2026·广东深圳市港台联考)质量为m的物块P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着物块P与小车，物块P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v0水平向右做匀速直线运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)
A．物块P的速率为v0sin θ2
B．物块P的速率为v0cos θ1
C．细绳对物块P的拉力恒为mg sin θ1
D．细绳对物块P的拉力大于mg sin θ1
解析：细绳相连的物体，沿绳子方向速度大小相等，把小车速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，物块P速度沿绳子方向，即物块P速度大小vP＝v0cos θ2，A、B错误；
小车向右运动，细绳和水平方向的夹角θ2减小，物块P的速度大小vP＝v0cos θ2在增大，则物块P加速度沿斜面向上，由牛顿第二定律可知FT－mg sin θ1＝ma，细绳拉力大于mg sin θ1，C错误，D正确。
BC
A
10．(8分)如图所示，物体M悬挂在动滑轮上，两者可沿竖直固定的轻杆运动。绳子的一端固定在A点，绳子的另一端以速率v匀速收绳，当绳BC段与竖直方向夹角为α时，求物体M的速度大小是多少？
11．(12分)(2026·江苏扬州模拟)正在公路上行驶的汽车，只需按下一个键，就能轻松切换到飞行模式，变身飞机跃入天空，这就是飞行汽车。一辆飞行汽车在平直的公路上以30 m/s的速度行驶，某时刻司机启动飞行模式，汽车保持水平速度不变，沿竖直方向开始匀加速爬升，经过一段时间爬升到200 m高处。用x表示水平位移，y表示竖直位移，这一过程的y－x图像如图所示。g取10 m/s2，求汽车飞行时：
(1)从启动飞行模式，到离地200 m高处需要多长时间；(4分)
答案：20 s　
(2)到达200 m高处时竖直速度和瞬时速度的大小(可用根式表示)。(8分)

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