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(共46张PPT)
第2讲　抛体运动
[复习目标]
1．理解平抛运动的特点和条件。　2.能够熟练应用分解思想分析平抛运动问题。　3.掌握斜抛运动的特点，应用分解思想处理斜抛运动问题。
基础自主梳理
第一部分
一、平抛运动的性质和研究方法
1．定义：将物体以一定的初速度沿__________抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质：加速度为________________的匀变速曲线运动，轨迹是________。
3．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的__________运动和竖直方向的__________运动。
水平方向
自由落体加速度
抛物线
匀速直线
自由落体
二、平抛运动的基本规律(如图所示)
1．位移关系
(1)水平方向：x＝__________。
(2)竖直方向：y＝_______。
(3)合位移的大小：s＝_________。
v0t
2．速度关系
(1)水平方向：vx＝________。
(2)竖直方向：vy＝______。
(3)合速度的大小：v＝__________。
v0
gt
深化辨析
1．(1)平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直。(　　)
(2)相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同。(　　)
(3)相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同。(　　)
(4)平抛运动是匀变速运动。(　　)
×
√
×
√
三、斜抛运动的性质
1．定义：物体以一定的初速度__________或__________抛出，只在重力作用下的运动。
2．运动性质
(1)加速度为g的________曲线运动。
(2)运动轨迹是________。
3．运动分解
(1)水平方向：__________运动。
(2)竖直方向：____________运动。
斜向上方
斜向下方
匀变速
抛物线
匀速直线
匀变速直线
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
初速度可以分解为v0x＝___________，v0y＝___________。
(1)在水平方向：物体的位移
x＝v0xt＝(v0cos θ)t。
物体的速度vx＝v0x＝__________。
v0cos θ
v0sin θ
v0cos θ
深化辨析
×
√
2．(1)斜上抛运动的轨迹不是抛物线。(　　)
(2)相等时间内做斜抛运动的物体速度变化量相同。(　　)
(3)相等时间内做斜抛运动的物体速度大小变化相同。(　　)
(4)斜抛运动是匀变速曲线运动。(　　)
×
√
考点一　平抛运动
第二部分
考向1　平抛运动基本规律应用
1．四个物理量
物理量 公式 决定因素
飞行时间
水平射程
取决于下落高度h和重力加速度g，与初速度v0无关
由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定
物理量 公式 决定因素
落地速度
速度 变化量
与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关
Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下
由重力加速度g和时间间隔Δt共同决定
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
D
例1 (2025·云南卷，T3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
在水平方向上，x＝v0t，在同一高度时，xOM′>xON′，故vM0>vN0，C错误，D正确。
例2 (2024·北京卷，T19)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
考向2　与斜面(曲面)相关的平抛运动
D
例3 如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则v1∶v2等于(　　)
A．4∶3 B．5∶4
C．8∶7 D．9∶8
BC
[解析]　甲做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球落在C点时的速度斜向右下方，不可能沿半径方向，即甲不可能垂直撞击到碗上，故A错误；
竖直方向上有vy＝gt，结合上述可知，甲落在碗上的时间大于乙落在碗上的时间，即甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度大，故D错误。
考向3　平抛运动中的临界、极值问题
1．问题特点：在平抛运动中，时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况。
2．分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
C
第三部分
考点二　斜抛运动
斜抛运动的基本规律
C
AD
拓展点 逆向思维法分析斜上抛运动
(1)足球运动至C点时的速度大小v0；
[答案]　20 m/s
(2)A、B两点间的距离xAB。
[答案]　10 m(共27张PPT)
演练知能提升
B
1．(2026·东北三省四城市联考)如图所示，某同学面向竖直墙上固定的靶盘水平投掷可视为质点的小球，不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区即可得到相应的分数。某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，在其他条件不变的情况下，下列调整方法可行的是(　　)
A．投掷时球的初速度适当大些
B．投掷时球的初速度适当小些
C．投掷时球的位置向前移动少许
D．投掷时球的位置向上移动少许
D
2．(2026·四川仁寿县模拟)一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高h＝1.8 m，水落地的位置到管口的距离为3 m。不计空气阻力及摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则水从管口喷出的初速度大小为(　　)
A．1.0 m/s B．2.0 m/s
C．3.0 m/s D．4.0 m/s
D
解析：小球做平抛运动，做匀加速曲线运动，小球落到斜面上的P点时速度最大，故A错误；
B
D
A
6．(2026·陕西渭南市教学质检)在一次网球比赛中，某同学接住对方发出的网球后从A点水平击出，网球恰好通过球网上端B点，最终落在水平地面上的C点。已知A、C两点与B点之间的水平距离相等，球网高度h为1.0 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则A点高度约为(　　)
A．1.3 m B．1.5 m
C．1.7 m D．2.0 m
A
7．某同学在运动场内将足球踢出有一定厚度的围墙外，场外路人将足球从水平地面上某点正对围墙踢回场内，恰好人对其做功最少，球的初速度方向与地面成θ角，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．θ＞45°
B．θ＝45°
C．θ＜45°
D．θ可取小于90°的任意值
AD
B
9．如图所示，一个小球从P点以大小为v0的初速度斜向上抛出，初速度与水平方向的夹角为θ，小球恰好垂直打在竖直墙面上的B点，墙面上的A点与P点等高且与B点在同一竖直方向上；若保持小球从P点抛出的初速度大小不变，水平抛出后小球打在墙面上的位置在A点正下方的C点。已知AB＝2AC，不计空气阻力，小球可视为质点，则θ角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
10．(10分)(2026·山东青岛市适应性测试)精确空投系统通过辅助制导设备，在惯性导航的基础上微调运动轨迹来提高空投物资的准确度。如图所示，某次空投中飞机在H＝80 m高度以水平速度v0＝10 m/s匀速飞行。飞机释放一个质量m＝200 kg的包裹，释放后包裹依靠惯性运动，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)要使包裹能准确投送到飞机正前方水平地面上的目标位置，求包裹释放位置与目标位置的水平距离x。(4分)
答案：40 m
(2)若飞机飞行过程中突然遇到强风，强风过后飞机高度抬升了Δh＝2 m，并获得竖直向上的速度vy＝1 m/s，水平速度不变，此时飞机处于(1)问中释放位置的正上方，立即释放包裹。要使包裹仍能准确投送到同一目标位置，释放包裹的同时启动辅助制导系统，使包裹始终受到一竖直向下的恒力F作用，求该力的大小。(6分)
答案：150 N
(1)水离开喷嘴时的速度与水平方向夹角的正切值；(6分)
答案：2　
(2)模拟着火点A距离O点的竖直高度。(6分)
答案：18.75 m1．(2026·东北三省四城市联考)如图所示，某同学面向竖直墙上固定的靶盘水平投掷可视为质点的小球，不计空气阻力。小球打在靶盘上的得分区即可得到相应的分数。某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，在其他条件不变的情况下，下列调整方法可行的是(　　)
A．投掷时球的初速度适当大些
B．投掷时球的初速度适当小些
C．投掷时球的位置向前移动少许
D．投掷时球的位置向上移动少许
解析：选B。小球在空中做平抛运动，根据平抛运动规律有h＝gt2，x＝v0t，联立可得h＝ eq \f(gx2,2v)，某次，该同学投掷的小球落在10分区最高点，若他想获得更高的分数，应使小球打在靶盘上的位置向下移动，在其他条件不变的情况下，投掷时球的初速度适当小些、投掷时球的位置向后移动少许、投掷时球的位置向下移动少许。
2．(2026·四川仁寿县模拟)一水平固定的水管，水从管口以不变的速度源源不断地喷出。水管距水平地面高h＝1.8 m，水落地的位置到管口的距离为3 m。不计空气阻力及摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，则水从管口喷出的初速度大小为(　　)
A．1.0 m/s B．2.0 m/s
C．3.0 m/s D．4.0 m/s
解析：选D。由平抛运动知识可知x＝v0t，h＝gt2，其中x＝，可得水从管口喷出的初速度大小v0＝x＝4.0 m/s。
3．(2026·广西南宁市适应性测试)如图所示，一倾角为α的斜面固定在水平面上，可视为质点的小球以速度v0由O点沿水平方向抛出，经过一段时间落在P点，忽略一切阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．小球速度最大时离斜面最远
B．小球从O点运动到P点的时间为
C．小球离斜面的最远距离为
D．小球离斜面的最远距离为
解析：选D。小球做平抛运动，做匀加速曲线运动，小球落到斜面上的P点时速度最大，故A错误；小球可以分解为沿斜面方向的匀加速直线运动与垂直于斜面方向的类竖直上抛运动，小球从O点运动到P点的时间t＝＝，故B错误；小球离斜面的最远距离h＝，故C错误，D正确。
4．底部有一小孔的半球形容器，其纵截面如图所示，某人将一小球(视为质点)从半球形轨道顶端水平抛出，经过时间t，小球恰好从小孔中穿出(小球不与容器壁碰撞)，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则小球穿出小孔时的速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B。设半球形容器的半径为R，根据平抛运动规律有R＝gt2，R＝v0t，解得v＝ eq \r(v＋(gt)2)＝。
5．(2026·贵州安顺市模拟)如图所示，在滑雪比赛中，甲、乙两名运动员先后从雪坡滑下，水平飞出后均落到斜坡上。已知甲运动员水平飞出时的速度大小为v0，甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的，运动员均可视为质点，不计空气阻力。乙运动员水平飞出时的速度大小为(　　)
A． B．
C．v0 D．2v0
解析：选D。设斜坡的倾角为θ，运动员在斜坡上的位移为L，由平抛运动的知识可得L cos θ＝v0t，L sin θ＝gt2，联立解得t＝，即t∝v0，又已知甲运动员在空中运动的时间为乙运动员在空中运动时间的，甲运动员水平飞出时的速度大小为v0，故乙运动员水平飞出时的速度大小为2v0。
6．(2026·陕西渭南市教学质检)在一次网球比赛中，某同学接住对方发出的网球后从A点水平击出，网球恰好通过球网上端B点，最终落在水平地面上的C点。已知A、C两点与B点之间的水平距离相等，球网高度h为1.0 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则A点高度约为(　　)
A．1.3 m B．1.5 m
C．1.7 m D．2.0 m
解析：选A。由于A、C两点与B点之间的水平距离相等，根据x＝v0t可知，这两段运动时间相等。网球在竖直方向上做自由落体运动，根据初速度为0的匀变速直线运动在连续相同时间内的位移比为1∶3∶5∶…，可得＝，则A点高度H＝≈1.3 m。
7．某同学在运动场内将足球踢出有一定厚度的围墙外，场外路人将足球从水平地面上某点正对围墙踢回场内，恰好人对其做功最少，球的初速度方向与地面成θ角，不计空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．θ＞45°
B．θ＝45°
C．θ＜45°
D．θ可取小于90°的任意值
解析：选A。球从地面到墙左侧，再到墙右侧的过程做斜抛运动，设到墙左侧时的速度大小为v1，方向与水平方向的夹角为α，墙壁的厚度为d，则从墙左侧到右侧有d＝v1cos α·2t，v1·sin α＝gt，解得v1＝，当α＝45°时，v1最小，到墙左侧时的动能最小，则在地面抛出时的动能最小，路人将足球从水平地面上踢回场内做的功最小，由地面到墙左侧，球做斜抛运动，则在地面的速度方向与水平方向的夹角要大于α，即θ＞α＝45°。
8．(多选)(2026·河南开封市质检)一可看成质点的小球从空中某位置斜向上抛出，以抛出点为原点建立平面直角坐标系，竖直向上为y轴正方向，抛出方向与x轴正方向(水平方向)夹角为53°，抛出速度v0＝5 m/s，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球抛出后距抛出点的最大高度为0.8 m
B．小球再次回到x轴时距原点距离为2.5 m
C．抛出后0.2 s时，小球的位置坐标为(0.4 m，0.6 m)
D．小球的轨迹方程为y＝－x2＋x
解析：选AD。小球抛出后距抛出点的最大高度h＝，代入题中数据，解得h＝0.8 m，故A正确；小球再次回到x轴时所需时间t＝，则小球再次回到x轴时到原点的距离x＝v0t cos 53°，联立解得x＝2.4 m，故B错误；抛出后0.2 s时，水平方向位移x1＝v0cos 53°×0.2 s＝0.6 m，竖直方向位移y1＝v0sin 53°×0.2 s－g×(0.2 s)2＝0.6 m，抛出后0.2 s时，小球的位置坐标为(0.6 m，0.6 m)，故C错误；抛出后，小球水平方向位移x＝v0t cos 53°，竖直位移y＝v0t sin 53°－gt2，联立解得y＝－x2＋x，故D正确。
9．如图所示，一个小球从P点以大小为v0的初速度斜向上抛出，初速度与水平方向的夹角为θ，小球恰好垂直打在竖直墙面上的B点，墙面上的A点与P点等高且与B点在同一竖直方向上；若保持小球从P点抛出的初速度大小不变，水平抛出后小球打在墙面上的位置在A点正下方的C点。已知AB＝2AC，不计空气阻力，小球可视为质点，则θ角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选B。设第一次斜抛小球在空中运动的时间为t，小球在空中运动的逆运动是平抛运动，第二次平抛小球在空中运动的时间为t′，则v0cos θ·t＝v0·t′，由于AB＝2AC，所以有gt2＝2·gt′2，联立两式解得θ＝45°。
10．(10分)(2026·山东青岛市适应性测试)精确空投系统通过辅助制导设备，在惯性导航的基础上微调运动轨迹来提高空投物资的准确度。如图所示，某次空投中飞机在H＝80 m高度以水平速度v0＝10 m/s匀速飞行。飞机释放一个质量m＝200 kg的包裹，释放后包裹依靠惯性运动，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)要使包裹能准确投送到飞机正前方水平地面上的目标位置，求包裹释放位置与目标位置的水平距离x。(4分)
(2)若飞机飞行过程中突然遇到强风，强风过后飞机高度抬升了Δh＝2 m，并获得竖直向上的速度vy＝1 m/s，水平速度不变，此时飞机处于(1)问中释放位置的正上方，立即释放包裹。要使包裹仍能准确投送到同一目标位置，释放包裹的同时启动辅助制导系统，使包裹始终受到一竖直向下的恒力F作用，求该力的大小。(6分)
解析：(1)竖直方向位移H＝gt
水平方向位移x＝v0t1
解得x＝40 m。
(2)由题意得，包裹下落过程中水平速度不变，水平位移不变，所以时间不变，可得t2＝t1＝4 s
竖直方向位移－(H＋Δh)＝vyt2－at
由牛顿第二定律得F＋mg＝ma
解得F＝150 N。
答案：(1)40 m　(2)150 N
11．(12分)(2026·山东泰安市期末)如图所示，某消防队进行消防演练，消防水龙头的喷嘴位置O与模拟着火点A的连线与水平面的夹角为37°。已知水离开喷嘴时的速度大小为10 m/s，水柱在空中距离O点的最大竖直高度为20 m，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)水离开喷嘴时的速度与水平方向夹角的正切值；(6分)
(2)模拟着火点A距离O点的竖直高度。(6分)
解析：(1)设水离开O点时的竖直分速度为vy，则有v＝2ghmax
解得vy＝20 m/s
又v＋v＝v
得vx＝10 m/s
则水离开喷嘴时的速度与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝2。
(2)水从O运动到A过程有x＝vxt
y＝vyt－gt2
且tan 37°＝
解得t＝2.5 s，y＝18.75 m。
答案：(1)2　(2)18.75 m第2讲　抛体运动
[复习目标]
1．理解平抛运动的特点和条件。　2.能够熟练应用分解思想分析平抛运动问题。　3.掌握斜抛运动的特点，应用分解思想处理斜抛运动问题。
一、平抛运动的性质和研究方法
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。
2．性质：加速度为自由落体加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
3．研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
二、平抛运动的基本规律(如图所示)
1．位移关系
(1)水平方向：x＝v0t。
(2)竖直方向：y＝gt2。
(3)合位移的大小：s＝。
(4)合位移的方向：tan θ＝＝。
2．速度关系
(1)水平方向：vx＝v0。
(2)竖直方向：vy＝gt。
(3)合速度的大小：v＝ eq \r(v＋v)。
(4)合速度的方向：tan α＝＝。
1．(1)平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直。(　　)
(2)相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同。(　　)
(3)相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同。(　　)
(4)平抛运动是匀变速运动。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
三、斜抛运动的性质
1．定义：物体以一定的初速度斜向上方或斜向下方抛出，只在重力作用下的运动。
2．运动性质
(1)加速度为g的匀变速曲线运动。
(2)运动轨迹是抛物线。
3．运动分解
(1)水平方向：匀速直线运动。
(2)竖直方向：匀变速直线运动。
4．基本规律
以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy。
初速度可以分解为v0x＝v0cos_θ，v0y＝v0sin_θ。
(1)在水平方向：物体的位移
x＝v0xt＝(v0cos θ)t。
物体的速度vx＝v0x＝v0cos_θ。
(2)在竖直方向：物体的位移
y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2。
物体的速度vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt。
2．(1)斜上抛运动的轨迹不是抛物线。(　　)
(2)相等时间内做斜抛运动的物体速度变化量相同。(　　)
(3)相等时间内做斜抛运动的物体速度大小变化相同。(　　)
(4)斜抛运动是匀变速曲线运动。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
考点一　平抛运动
考向1　平抛运动基本规律应用
1．四个物理量
物理量 公式 决定因素
飞行时间 t＝ 取决于下落高度h和重力加速度g，与初速度v0无关
水平射程 x＝v0t＝v0 由初速度v0、下落高度h和重力加速度g共同决定
落地速度 vt＝ eq \r(v＋v)＝ eq \r(v＋2gh) 与初速度v0、下落高度h和重力加速度g有关
速度变化量 Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下 由重力加速度g和时间间隔Δt共同决定
2.两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ。
(2025·云南卷，T3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
[解析]　鸟食做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，hN>hM，则tN>tM，因同时接到鸟食，所以在N点接到的鸟食先抛出，A、B错误；在水平方向上，x＝v0t，在同一高度时，xOM′>xON′，故vM0>vN0，C错误，D正确。
[答案]　D
(2024·北京卷，T19)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
[解析]　(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向有h＝gt2
解得t＝。
(2)由平抛运动规律得，水平方向有d＝v0t
解得v0＝d。
(3)管口单位时间内流出水的体积
Q＝Sv0＝Sd。
[答案]　(1) 　(2)d　(3)Sd
考向2　与斜面(曲面)相关的平抛运动
已知条件 情景示例 解题策略
已知速度方向 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，即已知速度的方向垂直于斜面 分解速度tan θ＝＝
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝
已知位移方向 从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移tan θ＝＝＝
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直于斜面 分解位移tan θ＝＝＝
利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，小球A在斜面底端正上方以速度v1向右水平抛出，同时，小球B在斜面顶端以速度v2向左水平抛出，两球抛出点在同一水平线上，结果两球恰好落在斜面上的同一点，且A球落到斜面上时速度刚好与斜面垂直，不计小球的大小，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则v1∶v2等于(　　)
A．4∶3 B．5∶4
C．8∶7 D．9∶8
[解析]　
小球A垂直落在斜面上，如图所示，根据几何关系可得tan 37°＝，对于小球B，tan 37°＝＝，联立解得v1∶v2＝9∶8。　
[答案]　D
(多选)半球形碗的竖直截面图如图所示，O为圆心，C为半球形碗的最低点，AOB为水平直径。两个小球甲和乙分别从A点、B点先后以不同的初速度v1、v2沿水平方向相向抛出，小球甲恰好落到碗上的C点，v2＝。两小球均可视为质点，不考虑撞到碗后的反弹情况，忽略空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A．甲可能垂直撞击到碗上
B．两小球不可能在空中相遇
C．乙落到碗上的位置在C点右侧
D．甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度小
[解析]　甲做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球落在C点时的速度斜向右下方，不可能沿半径方向，即甲不可能垂直撞击到碗上，故A错误；令甲落在C点所用时间为t0，则有R＝gt，此时甲的水平分位移R＝v1t0，假设乙做平抛运动的时间也为t0，则乙水平分位移x＝v2t0＝v1t0＝R，表明乙落到碗上的位置在C点右侧，即两小球不可能在空中相遇，故B、C正确；竖直方向上有vy＝gt，结合上述可知，甲落在碗上的时间大于乙落在碗上的时间，即甲刚要撞到碗时的竖直分速度比乙刚要撞到碗时的竖直分速度大，故D错误。
[答案]　BC
考向3　平抛运动中的临界、极值问题
1．问题特点：在平抛运动中，时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况。
2．分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解。
(2026·山东济南市一模)如图所示，弹珠发射器(可视为质点)固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对于发射器速度大小为v2(v2>v1)的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．x的最小值为L
B．x的最小值为L
C．y的最小值为 eq \f(gL2,2v)
D．y的最小值为 eq \f(gL2,2（v－v）)
[解析]　弹珠在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，当以速度v2垂直于竖直墙壁射出时，弹珠运动时间最短tmin＝，y的最小值ymin＝gt＝ eq \f(gL2,2v)，故C正确，D错误；由于v2>v1，则弹珠水平方向的合速度可以垂直于竖直墙壁，合速度大小v＝ eq \r(v－v)，此时x的最小值为L，故A、B错误。
[答案]　C
考点二　斜抛运动
斜抛运动的基本规律
图示
处理方法 水平竖直正交分解化曲为直 最高点一分为二变平抛运动逆向处理 将初速度和重力加速度在沿斜面和垂直斜面方向上分解
续　表
基本规律 水平方向：v0x＝v0cos θx＝v0t cos θ竖直方向：vy＝v0sin θ－gty＝v0t sin θ－gt2最高点：hm＝ 最高点：速度水平v0x＝v0cos θ 垂直斜面方向：g1＝g cos αvy＝v0sin θ－g1ty＝v0t sin θ－g1t2沿斜面方向：g2＝g sin αvx＝v0cos θ＋g2tx＝v0t cos θ＋g2t2最高点：hm＝
(2025·湖北卷，T6)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ。击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　
由题意可画出示意图，如图所示。设球网的高度为h，对于斜向下击出的网球，在水平方向有L＝v0cos θ·t1，竖直方向有L－h＝v0sin θ·t1＋gt。对于斜向上击出的网球，在水平方向有L＝v0cos θ·t2，竖直方向有－h＝－v0sin θ·t2＋gt，联立可得t1＝t2，＝2v0sin θ·t1，综上可得4sin θ＝cos θ，解得tan θ＝，C正确。
[答案]　C
(多选)倾角为30°的斜面固定在水平地面上，在斜面顶端A处将一可视为质点的小球以与斜面成60°方向斜向上抛出，初速度大小v0＝10 m/s，一段时间后小球落到斜面上的D点。小球途经B、C两点，B为离地面的最高点，C为离斜面的最远点，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．小球从A点运动到B点的时间为0.5 s
B．C点离斜面的距离为5 m
C．小球从A点运动到D点的时间为1 s
D．A、D两点间的距离为20 m
[解析]　将小球的初速度沿竖直方向和水平方向分解，竖直分速度为v0sin 30°，则从A到B的时间tAB＝＝0.5 s，故A正确；将小球的初速度分解为垂直于斜面和平行于斜面的两个分速度，垂直于斜面分速度为v0sin 60°，平行于斜面分速度为v0cos 60°，垂直于斜面的加速度为g cos 30°，则C点离斜面的距离h＝＝ m，故B错误；小球沿斜面做匀加速直线运动，从A到D的运动时间tAD＝2×＝2 s，沿斜面的加速度为g sin 30°，则A、D两点间的距离x＝v0cos 60°·tAD＋g sin 30°·t＝20 m，故C错误，D正确。
[答案]　AD
拓展点 逆向思维法分析斜上抛运动
如图所示，足球比赛中运动员将足球从地面上的A点踢出，足球在最高点以大小为v0的速度垂直打在横梁上的C点，反向弹回瞬间的速度大小为，运动员再向前跑一段距离在B点正上方用头球破门，已知C点离地面的高度H＝2.45 m，A点与球门线间距离xA＝14 m，运动员顶球时球离地面的高度h＝1.65 m，重力加速度g取10 m/s2，足球受到空气的阻力忽略不计。求：
(1)足球运动至C点时的速度大小v0；
(2)A、B两点间的距离xAB。
[解析]　(1)足球从A点到C点可看成逆过程的平抛运动
则有H＝gt2，xA＝v0t
联立解得v0＝20 m/s。
(2)足球从C点反弹后做平抛运动
竖直方向有H－h＝gt′2，解得t′＝0.4 s
水平方向有xB＝t′＝4 m
则A、B两点间的距离xAB＝xA－xB＝10 m。
[答案]　(1)20 m/s　(2)10 m

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