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专题提升十二　电场中的力电综合问题
[复习目标]
1．掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律。　2.会用等效法分析带电粒子在电场和重力场的复合场中的圆周运动。　3.会用动力学和能量观点分析电场中的力电综合问题。
第一部分
题型一　“等效法”在电场中的应用
1．问题分析
2．方法应用(粒子带正电)
例1 (2024·河北卷，T13)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在A、B两点的速度大小。
例2 (2026·河南五市联考)如图所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是水平方向的直径，CD是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为m、电荷量为＋q(q>0)的小球套在圆环上，从A点由静止释放，小球运动到P点时的动能最大，∠DOP＝37°。已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
C
假设小球能够沿圆环运动到C点，根据动能定理有qER－mgR＝Ek－0，分析上式可知Ek<0，显然这是不可能的，即假设不成立，故A错误；
第二部分
题型二　电场中的力电综合问题
1．分析思路
先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律，动量定理和动量守恒定律解题。
2．两个结论
(1)若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
(2)若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
考向1　电场中的动力学和能量问题
例3 (2025·四川卷，T3)如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球。另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力，则(　　)
A.小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B.小球从c点到e点电势能先不变后减小
C.小球过f点的动能等于过d点的动能
D.小球过b点的速度大于过a点的速度
B
由于rf>rd，根据上述分析可知，小球的电势能Epd>Epf，根据能量守恒可知，小球过f点的动能大于过d点的动能，由于ra>rb，可知小球的电势能Epb>Epa，小球过a点的动能大于过b点的动能，则小球过b点的速度小于过a点的速度，故C、D错误。
例4 (2025·黑吉辽蒙卷，T7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
C
A.EkAC.EkA考向2　电场中的动量和能量问题
(1)粒子B到达P点时的速度大小v1；
(2)t1时间内粒子B的位移xB；
(3)恒力作用的时间t2。
方法技巧
1．基本思路
(1)弄清物理情境，选定研究对象(力学对象和电学对象)。
(2)对研究对象按顺序进行受力分析：先场力，后弹力，再摩擦力，并画出受力图。
(3)对问题中的力学部分根据牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等进行研究。
方法技巧
2．解题技巧
(1)用好功能关系是解决力电综合问题的有效途径。
(2)用好等效思维方法，注意各种临界条件，构建物理模型是解决力电综合问题的关键。1.如图所示，空间中存在水平向左的匀强电场E，质量为M的劈形木块静止在粗糙水平面上，在劈形木块上有质量为m、带电量为＋q的光滑小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，绳子处于伸直状态。已知绳子与竖直方向的夹角为30°，劈形木块的斜面倾角为30°，重力加速度为g，整个装置处于平衡状态，下列说法正确的是(　　)
A.小球一定受到四个力的作用
B.木块对地面的摩擦力可能水平向左
C.木块对地面的摩擦力可能为零
D.撤去劈形木块，将电场由如图所示位置顺时针缓慢旋转至竖直向上的过程中细绳与竖直方向角度始终为30°，则此过程中绳上的拉力最小值为mg
解析：选C。对小球受力分析，小球受到电场力、重力、支持力和细线拉力，若重力、电场力和拉力三力平衡，则没有支持力，故A错误；对小球、劈形木块整体分析，可知拉力在水平方向的分力要么大于电场力，要么等于电场力，所以地面对木块的摩擦力要么水平向左，要么没有，由牛顿第三定律可知，木块对地面的摩擦力可能水平向右，也可能为零，故B错误，C正确；由题意电场方向转动过程中细绳与竖直方向角度始终为30°，可知此过程中绳上的拉力一直减小，当电场线方向竖直向上时，拉力最小为零，故D错误。
2.(多选)(2026·山西晋城市模拟)如图所示，固定点电荷A、B分别带正、负电荷，A的电量大于B的电量，光滑绝缘、粗细均匀的直杆竖直固定，与AB的垂直平分线重合，将带正电的小环套在杆上，让小环从杆上P点由静止释放，则小环从P点运动到AB中点O的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小环的电势能不断增大
B.小环的机械能不断增大
C.小环运动的速度不断增大
D.小环有可能在两个位置的加速度为零
解析：选AD。由于电场力对小环一直做负功，因此小环的机械能不断减小，电势能不断增大，故A正确，B错误；从P到O电场强度竖直向上的分量可能先增大后减小，若小环受到的向上的最大电场力大于环的重力，则小环就是向下先加速后减速再加速，此时小环在向下运动过程中就有两个位置电场力与重力等大、反向，加速度为零，故C错误，D正确。
3．(2026·广东省调研)如图所示，均匀带正电的绝缘体圆环水平放置在真空中，O点是其圆心，M、N是轴线上关于O点对称的两点。重力不可忽略的带负电小球，由M处静止释放，则该小球从M到N的过程，下列说法正确的是(　　)
A.动能先增大后减小
B.电场力先增大后减小
C.电势能先减小后增大
D.加速度先减小后增大
解析：选C。由M到O，小球受到竖直向下的重力和电场力，合力方向向下，与位移方向相同，所以合力做正功，根据动能定理可知，动能增大，由O到N，重力竖直向下，电场力竖直向上，合力方向可能先向下后向上再向下，也可能一直向下，所以合力可能先做正功后做负功再做正功，动能先增大后减小再增大，也可能合力一直做正功，动能一直增大，故A错误；根据等量同种点电荷的电场分布特点可知，中垂线上存在电场强度最大的位置，所以M到N电场力可能先增大后减小再增大再减小，也可能先减小后增大，故B错误；由于运动过程中电场力先做正功后做负功，所以电势能先减小后增大，故C正确；若电场力先增大后减小再增大再减小，则合外力(加速度)先增大后减小再增大，若电场力先减小后增大，则合外力(加速度)可能一直减小，故D错误。
4.(多选)(2026·广东河源市调研模拟)如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一带负电的小球以速度大小v竖直向上射入匀强电场，经过一段时间，小球速度大小仍为v，但方向沿水平方向。已知小球质量为m、电荷量为－q，重力加速度为g，则在该过程中(　　)
A.匀强电场的电场强度大小为
B.小球克服重力做功为mv2
C.小球射入电场后，小球的电势能逐渐增大
D.小球机械能增加mv2
解析：选ABD。小球速度方向恰沿水平方向时，竖直方向速度为零，用时t＝，水平方向做匀变速直线运动，则v＝at＝t，联立解得E＝，故A正确；在竖直方向根据动能定理可知，重力做功WG＝0－mv2，所以小球克服重力做功为mv2，故B正确；该过程中，除重力做功外，只有电场力做功，且电场力做正功，小球的电势能减小，在水平方向根据动能定理可知电场力做功W电＝mv2，所以小球机械能增加mv2，故C错误，D正确。
5.(多选)(2026·广东潮州市模拟)如图所示，O是光滑绝缘水平桌面的中点，在O点正上方P点固定一个正电荷a，现将带电小球b从桌面上的Q点以水平初速度v0射出，小球不会离开水平桌面。不计小球的大小，则下列说法正确的是(　　)
A.小球射出后一定还能回到Q点
B.小球在运动过程中，电势能可能保持不变
C.小球在运动过程中，电场力可能一直做负功，也可能不做功
D.若将小球从Q点由静止释放，则小球一定会经过O点且在O点的电势能最小
解析：选BC。由题意可知，若小球带正电，则一定沿QO连线减速，到O点时速度恰好为零，电场力一直做负功，若小球带负电，则可能沿QO连线先加速再减速，或者绕O点做匀速圆周运动，电场力不做功，电势能保持不变，故A错误，B、C正确；若小球带正电从Q点由静止释放，则小球不会经过O点，故D错误。
6.(2026·江苏宿迁市模拟)如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个完全相同带正电的小球A、B、C，通过不可伸长的绝缘细线a、b、c连接成正三角形，小球均处于静止状态，细线被拉直。剪断细线a，小球开始运动，则(　　)
A.剪断a前，a中张力大于B、C间的库仑力
B.剪断a瞬间，细线b、c中张力均变大
C.三个球运动至一直线时，整个系统电势能最大
D.球A经过B、C初始位置连线中点时的速度最大
解析：选B。由受力分析可知，剪断a前，a中的张力等于B、C间的库仑力，c中的张力等于A、B间的库仑力，A错误；剪断a瞬间，对B分析，受A对B的斥力、C对B的斥力以及细线c的拉力，则此时c中的拉力Tc′＝FAB＋FCBcos 60°＞Tc＝FAB，同理可知b中张力也变大，即剪断a瞬间，细线b、c中张力均变大，B正确；系统初始时静止，剪断a后开始运动，动能增加，电势能减小，所以电势能最大时是初始静止状态，C错误；当三个小球在同一直线上时，动能最大，电势能最小，但此时B、C小球已经离开了初始位置，D错误。
7.(多选)(2026·湖北随州市期末联考)如图所示，带电小球用绝缘细线悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，小球质量为m、带电量为q，细线长为l，重力加速度为g，则(　　)
A.小球带正电
B.电场力大于重力
C.小球运动到最低点时速度最大
D.小球运动过程最小速度vmin＝
解析：选BD。因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和电场力的合力(等效重力)方向向上，则电场力方向向上，且电场力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；由重力和电场力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C错误；由于等效重力竖直向上，所以小球运动到最低点时速度最小，最小速度满足qE－mg＝m eq \f(v,l) ，即vmin＝，故D正确。
8.(2026·安徽马鞍山市教学质检)如图所示，在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B，小球可视为质点，A球的电荷量为＋3q，B球的电荷量为－5q，组成一带电系统，处于静止状态。NQ与MP平行且相距3L，开始时MP恰为杆的中垂线。现在MP、NQ间加上水平向右的匀强电场E，带电系统开始运动，则(　　)
A.B球刚进入电场时，速度大小为
B.A球刚离开电场时，速度大小为
C.B球进入电场后的最大位移为2L
D.B球从开始运动到最大位移的过程，其电势能的变化量为3qEL
解析：选B。设B球刚进入电场时带电系统的速度大小为v1，由动能定理可得3qEL＝×2mv，解得v1＝，故A错误；设A球离开电场时速度为v2，由动能定理可得－2qEL＝×2m(v－v)，解得v2＝，故B正确；当系统速度为零时，B球进入电场的位移达到最大，从A球刚离开电场时到B球达到最大位移，由动能定理可得－5qE(x－L)＝0－×2mv，所以x＝1.2L，故C错误；B球从开始运动到最大位移的过程，电场力做功WB＝－5qEx，根据功能关系可得WB＝－ΔEp，所以ΔEp＝6qEL，故D错误。
9.(12分)(2026·宁夏中卫市一模)如图所示，一质量m＝1×10－6 kg、带电量q＝－2×10－8 C的微粒以初速度大小v0从A点竖直向上射入一水平向右的匀强电场，当微粒运动到比A点高h＝0.2 m的B点时，速度大小为2v0，方向水平向左。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)微粒的初速度大小v0；(2分)
(2)A、B两点间的电势差UAB；(4分)
(3)匀强电场的场强大小E。(6分)
解析：(1)由题意可知，微粒在水平方向做初速度为0的匀加速直线运动，在竖直方向做匀减速直线运动
竖直方向有v＝2gh，代入数据得v0＝2 m/s。
(2)对微粒从A点运动到B点的过程
由动能定理得
qUAB－mgh＝m(2v0)2－mv
代入数据得UAB＝－400 V。
(3)设微粒从A点运动到B点的时间为t，沿电场线方向运动的距离为d
则竖直方向有h＝t
水平方向有d＝t
解得d＝2h＝0.4 m
匀强电场的场强大小E＝||＝||＝1 000 V/m。
答案：(1)2 m/s　(2)－400 V　(3)1 000 V/m
10.
(12分)(2026·四川成都市诊断)如图所示，桌面上有一轻质弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端B点位于桌面右侧边缘。水平桌面右侧有一竖直放置、半径R＝0.3 m的光滑半圆轨道MNP，桌面与轨道相切于M点，在以MP为直径的右侧和水平半径ON的下方部分有水平向右的匀强电场，电场强度的大小E＝，现用质量m0＝0.4 kg的小物块a将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，用同种材料、质量m＝0.2 kg、带＋q的绝缘小物块b将弹簧缓慢压缩到C点，释放后，小物块b离开桌面由M点沿半圆轨道运动，恰好能通过轨道的最高点P(g取10 m/s2)。求：
(1)小物块b经过桌面右侧边缘B点时的速度大小；(4分)
(2)释放后，小物块b在运动过程中克服摩擦力做的功；(4分)
(3)小物块b在半圆轨道中运动到最大速度的位置记为D(图中未标出)，则从B点到D点，电场力做的功。(4分)
解析：(1)小物块b恰好能通过轨道的最高点P点，有mg＝m eq \f(v,R)
对B到P过程由动能定理有
qER－2mgR＝mv－mv
解得vB＝3 m/s。
(2)由C到B，对小物块a由能量守恒定律得
Ep＝μm0gxCB
对小物块b由能量守恒定律得
Ep＝μmgxCB＋mv
克服摩擦力做的功Wf＝μmgxCB
解得Wf＝0.9 J。
(3)当小物块b所受合力方向在与圆心的连线上时，小物块b与圆心连线和竖直方向的夹角为45°，此时小物块b在半圆轨道中运动到最大速度，即为D点，由B到D的过程电场力做功
W＝qER sin 45°＝ J。
答案：(1)3 m/s　(2)0.9 J　(3) J(共29张PPT)
演练知能提升
1.如图所示，空间中存在水平向左的匀强电场E，质量为M的劈形木块静止在粗糙水平面上，在劈形木块上有质量为m、带电量为＋q的光滑小球被轻绳拴住悬挂在天花板上，绳子处于伸直状态。已知绳子与竖直方向的夹角为30°，劈形木块的斜面倾角为30°，重力加速度为g，整个装置处于平衡状态，下列说法正确的是(　　)
A.小球一定受到四个力的作用
B.木块对地面的摩擦力可能水平向左
C.木块对地面的摩擦力可能为零
C
解析：对小球受力分析，小球受到电场力、重力、支持力和细线拉力，若重力、电场力和拉力三力平衡，则没有支持力，故A错误；
对小球、劈形木块整体分析，可知拉力在水平方向的分力要么大于电场力，要么等于电场力，所以地面对木块的摩擦力要么水平向左，要么没有，由牛顿第三定律可知，木块对地面的摩擦力可能水平向右，也可能为零，故B错误，C正确；
由题意电场方向转动过程中细绳与竖直方向角度始终为30°，可知此过程中绳上的拉力一直减小，当电场线方向竖直向上时，拉力最小为零，故D错误。
2.(多选)(2026·山西晋城市模拟)如图所示，固定点电荷A、B分别带正、负电荷，A的电量大于B的电量，光滑绝缘、粗细均匀的直杆竖直固定，与AB的垂直平分线重合，将带正电的小环套在杆上，让小环从杆上P点由静止释放，则小环从P点运动到AB中点O的过程中，下列说法正确的是(　　)
A.小环的电势能不断增大
B.小环的机械能不断增大
C.小环运动的速度不断增大
D.小环有可能在两个位置的加速度为零
AD
解析：由于电场力对小环一直做负功，因此小环的机械能不断减小，电势能不断增大，故A正确，B错误；
从P到O电场强度竖直向上的分量可能先增大后减小，若小环受到的向上的最大电场力大于环的重力，则小环就是向下先加速后减速再加速，此时小环在向下运动过程中就有两个位置电场力与重力等大、反向，加速度为零，故C错误，D正确。
3．(2026·广东省调研)如图所示，均匀带正电的绝缘体圆环水平放置在真空中，O点是其圆心，M、N是轴线上关于O点对称的两点。重力不可忽略的带负电小球，由M处静止释放，则该小球从M到N的过程，下列说法正确的是(　　)
A.动能先增大后减小
B.电场力先增大后减小
C.电势能先减小后增大
D.加速度先减小后增大
C
解析：由M到O，小球受到竖直向下的重力和电场力，合力方向向下，与位移方向相同，所以合力做正功，根据动能定理可知，动能增大，由O到N，重力竖直向下，电场力竖直向上，合力方向可能先向下后向上再向下，也可能一直向下，所以合力可能先做正功后做负功再做正功，动能先增大后减小再增大，也可能合力一直做正功，动能一直增大，故A错误；
根据等量同种点电荷的电场分布特点可知，中垂线上存在电场强度最大的位置，所以M到N电场力可能先增大后减小再增大再减小，也可能先减小后增大，故B错误；
由于运动过程中电场力先做正功后做负功，所以电势能先减小后增大，故C正确；
若电场力先增大后减小再增大再减小，则合外力(加速度)先增大后减小再增大，若电场力先减小后增大，则合外力(加速度)可能一直减小，故D错误。
4.(多选)(2026·广东河源市调研模拟)如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场，一带负电的小球以速度大小v竖直向上射入匀强电场，经过一段时间，小球速度大小仍为v，但方向沿水平方向。已知小球质量为m、电荷量为－q，重力加速度为g，则在该过程中(　　)
ABD
5.(多选)(2026·广东潮州市模拟)如图所示，O是光滑绝缘水平桌面的中点，在O点正上方P点固定一个正电荷a，现将带电小球b从桌面上的Q点以水平初速度v0射出，小球不会离开水平桌面。不计小球的大小，则下列说法正确的是(　　)
A.小球射出后一定还能回到Q点
B.小球在运动过程中，电势能可能保持不变
C.小球在运动过程中，电场力可能一直做负功，也可能不做功
D.若将小球从Q点由静止释放，则小球一定会经过O点且在O点的电势能最小
BC
解析：由题意可知，若小球带正电，则一定沿QO连线减速，到O点时速度恰好为零，电场力一直做负功，若小球带负电，则可能沿QO连线先加速再减速，或者绕O点做匀速圆周运动，电场力不做功，电势能保持不变，故A错误，B、C正确；
若小球带正电从Q点由静止释放，则小球不会经过O点，故D错误。
6.(2026·江苏宿迁市模拟)如图所示，在光滑绝缘水平面上，三个完全相同带正电的小球A、B、C，通过不可伸长的绝缘细线a、b、c连接成正三角形，小球均处于静止状态，细线被拉直。剪断细线a，小球开始运动，则(　　)
A.剪断a前，a中张力大于B、C间的库仑力
B.剪断a瞬间，细线b、c中张力均变大
C.三个球运动至一直线时，整个系统电势能最大
D.球A经过B、C初始位置连线中点时的速度最大
B
解析：由受力分析可知，剪断a前，a中的张力等于B、C间的库仑力，c中的张力等于A、B间的库仑力，A错误；
剪断a瞬间，对B分析，受A对B的斥力、C对B的斥力以及细线c的拉力，则此时c中的拉力Tc′＝FAB＋FCBcos 60°＞Tc＝FAB，同理可知b中张力也变大，即剪断a瞬间，细线b、c中张力均变大，B正确；
系统初始时静止，剪断a后开始运动，动能增加，电势能减小，所以电势能最大时是初始静止状态，C错误；
当三个小球在同一直线上时，动能最大，电势能最小，但此时B、C小球已经离开了初始位置，D错误。
7.(多选)(2026·湖北随州市期末联考)如图所示，带电小球用绝缘细线悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，小球质量为m、带电量为q，细线长为l，重力加速度为g，则(　　)
BD
解析：因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和电场力的合力(等效重力)方向向上，则电场力方向向上，且电场力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；
由重力和电场力的合力方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故C错误；
8.(2026·安徽马鞍山市教学质检)如图所示，在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的带电小球A和B，小球可视为质点，A球的电荷量为＋3q，B球的电荷量为－5q，组成一带电系统，处于静止状态。NQ与MP平行且相距3L，开始时MP恰为杆的中垂线。现在MP、NQ间加上水平向右的匀强电场E，带电系统开始运动，则(　　)
B
B球从开始运动到最大位移的过程，电场力做功WB＝－5qEx，根据功能关系可得WB＝－ΔEp，所以ΔEp＝6qEL，故D错误。
9.(12分)(2026·宁夏中卫市一模)如图所示，一质量m＝1×10－6 kg、带电量q＝－2×10－8 C的微粒以初速度大小v0从A点竖直向上射入一水平向右的匀强电场，当微粒运动到比A点高h＝0.2 m的B点时，速度大小为2v0，方向水平向左。重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)微粒的初速度大小v0；(2分)
答案：2 m/s　
(2)A、B两点间的电势差UAB；(4分)
答案：－400 V　
(3)匀强电场的场强大小E。(6分)
答案：1 000 V/m
(1)小物块b经过桌面右侧边缘B点时的速度大小；(4分)
答案：3 m/s
(2)释放后，小物块b在运动过程中克服摩擦力做的功；(4分)
答案：0.9 J
(3)小物块b在半圆轨道中运动到最大速度的位置记为D(图中未标出)，则从B点到D点，电场力做的功。(4分)专题提升十二　电场中的力电综合问题
[复习目标]
1．掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律。　2.会用等效法分析带电粒子在电场和重力场的复合场中的圆周运动。　3.会用动力学和能量观点分析电场中的力电综合问题。
题型一　“等效法”在电场中的应用
1．问题分析
2．方法应用(粒子带正电)
(2024·河北卷，T13)
如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q(q>0)，质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在A、B两点的速度大小。
[解析]　(1)在匀强电场中，根据公式可得电场强度E＝。
(2)在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得Eq－mg＝m eq \f(v,L)
A到B过程根据动能定理得
qU－mgL＝mv－mv
联立解得vA＝
vB＝。
[答案]　(1)　(2)　
(2026·河南五市联考)如图所示，半径为R的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB是水平方向的直径，CD是竖直方向的直径，整个圆环处在水平向右的匀强电场中。将质量为m、电荷量为＋q(q>0)的小球套在圆环上，从A点由静止释放，小球运动到P点时的动能最大，∠DOP＝37°。已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A.小球可以沿圆环运动到C点
B.匀强电场的电场强度大小为
C.P、B两点间的电势差为
D.小球运动到B点时，向心加速度大小为2g
[解析]　小球运动到P点时的动能最大，即重力和电场力的合力沿着OP方向，对小球受力分析，有＝tan 37°，解得E＝，故B错误；假设小球能够沿圆环运动到C点，根据动能定理有qER－mgR＝Ek－0，分析上式可知Ek<0，显然这是不可能的，即假设不成立，故A错误；P、B两点间的电势差UPB＝E·(1－sin 37°)R＝，故C正确；小球从A点运动到B点，根据动能定理有qE·2R＝mv，此时小球的向心加速度大小a向＝ eq \f(v,R) ＝3g，故D错误。
[答案]　C
题型二　电场中的力电综合问题
1．分析思路
先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守恒定律，动量定理和动量守恒定律解题。
2．两个结论
(1)若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变。
(2)若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变。
考向1　电场中的动力学和能量问题
(2025·四川卷，T3)如图所示，由长为R的直管ab和半径为R的半圆形弯管bcd、def组成的绝缘光滑管道固定于水平面内，管道间平滑连接。bcd圆心O点处固定一电荷量为Q(Q>0)的带电小球。另一个电荷量为q(q>0且q Q)的带电小球以一定初速度从a点进入管道，沿管道运动后从f点离开。忽略空气阻力，则(　　)
A.小球在e点所受库仑力大于在b点所受库仑力
B.小球从c点到e点电势能先不变后减小
C.小球过f点的动能等于过d点的动能
D.小球过b点的速度大于过a点的速度
[解析]　小球所受库仑力F＝k，由于re>rb，则小球在e点所受库仑力小于在b点所受库仑力，故A错误；点电荷在距其r处的电势φ＝k，因为由c点到d点r不变，由d点到e点r逐渐增大，则根据Ep＝φq可知小球从c点到d点电势能不变，从d点到e点电势能逐渐减小，故B正确；由于rf>rd，根据上述分析可知，小球的电势能Epd>Epf，根据能量守恒可知，小球过f点的动能大于过d点的动能，由于ra>rb，可知小球的电势能Epb>Epa，小球过a点的动能大于过b点的动能，则小球过b点的速度小于过a点的速度，故C、D错误。
[答案]　B
(2025·黑吉辽蒙卷，T7)如图，光滑绝缘水平面AB与竖直面内光滑绝缘半圆形轨道BC在B点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A间距离为3r。原长为2r的轻质绝缘弹簧一端固定于O点，另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在A点左侧释放后，依次经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则(　　)
A.EkAC.EkA[解析]　根据题意可知物块在A、B、C三点时弹簧的弹性势能相等，从A点到B点的过程，电场力做正功，重力不做功，根据动能定理可知EkB－EkA＝qE＝2mgr，从B点到C点的过程，电场力不做功，重力做负功，根据动能定理可知EkC－EkB＝－2mgr，则EkC－EkA＝(2－2)mgr，所以有EkA[答案]　C
考向2　电场中的动量和能量问题
(2025·陕晋青宁卷，T15)如图，有两个电性相同及质量分别为m、4m的粒子A、B，初始时刻相距l0，粒子A以速度v0沿两粒子连线向速度为0的粒子B运动，此时A、B两粒子系统的电势能等于mv。经时间t1粒子B到达P点，此时两粒子速度相同，同时开始给粒子B施加一恒力，方向与速度方向相同。当粒子B的速度为v0时，粒子A恰好运动至P点且速度为0，A、B粒子间距离恢复为l0，这时撤去恒力。任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比，忽略两粒子所受重力。求：(m、l0、v0、t1均为已知量)
(1)粒子B到达P点时的速度大小v1；
(2)t1时间内粒子B的位移xB；
(3)恒力作用的时间t2。
[解析]　(1)粒子B从静止到运动至P点的过程中，A、B组成的系统动量守恒，则有
mv0＝(m＋4m)v1
解得v1＝。
(2)设t1时刻A、B系统的电势能为Ep1，两粒子的距离为l1，根据能量守恒定律得
mv＋Ep0＝(m＋4m)v＋Ep1
由于任意两带电粒子系统的电势能与其距离成反比，则有Ep∝
解得Ep1＝mv，l1＝
系统动量守恒，有m∑(v0－vA)Δt＝4m∑vBΔt
即mv0t1－mxA＝4mxB
位移关系满足l0＋xB－xA＝l1
联立解得xB＝－。
(3)对A、B系统运用动量定理有
Ft2＝(4mv0＋0)－(m＋4m)v1
解得t2＝
由题意可知t2时间内B运动的距离为l0，A运动的距离为l1，此时A、B系统的电势能Ep2＝Ep0＝mv，根据能量守恒定律得
×4mv＋Ep2＝Fl0＋×(m＋4m)v＋Ep1
解得F＝ eq \f(3mv,2l0)
则t2＝＝。
[答案]　(1)　(2)－　(3)
eq \a\vs4\al()
1．基本思路
(1)弄清物理情境，选定研究对象(力学对象和电学对象)。
(2)对研究对象按顺序进行受力分析：先场力，后弹力，再摩擦力，并画出受力图。
(3)对问题中的力学部分根据牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等进行研究。
2．解题技巧
(1)用好功能关系是解决力电综合问题的有效途径。
(2)用好等效思维方法，注意各种临界条件，构建物理模型是解决力电综合问题的关键。

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