资源简介

第6讲 函数的概念·分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C D D B C
6 7 8 9 10
A D A 13或
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
见详解 见详解
21 22 23 24 25
见详解 见详解 B (f（x）=\ln x
26 27 28 29 30
B ABD B
31 32 33 34 35
见详解 B C
36 37 38 39 40
B B B A
41 42 43 44 45
ACD BCD D A
46 47 48 49
D A ABD
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
1.（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数图象的交点个数为（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定
【答案】C
【解析】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个，都有唯一的与之对应.若在函数的定义域内，则直线与函数的图象有1个交点；若不在函数的定义域内，则直线与函数的图象有0个交点.综上，交点个数为0或1.
【点拨】判断直线与函数图象的交点个数，紧扣函数定义中“定义域内任意一个自变量都有唯一确定的函数值”这一核心特征即可.
2.（2024·山东潍坊·一模）存在函数满足：对任意都有（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误；
对于B，令，则，令，则，不符合函数定义，B错误；
对于C，令，则，令，则，不符合函数定义，C错误；
对于D，，，则，则存在时，，符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确.
【点拨】检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值，通过举反例可快速排除错误选项.
3.如图，可以表示函数的图象的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据函数的定义，对于定义域内的任意一个，只能有唯一的与之对应，作垂直于轴的直线，观察其与图象的交点个数，只有D满足要求.
【点拨】利用“垂线法”判断函数图象，即任意垂直于轴的直线与图象至多有一个交点.
4.函数的图象与直线的交点个数（ 　　）
A. 至少1个 B. 至多1个 C. 仅有1个 D. 有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若不在函数的定义域内，的图象与直线没有交点；
若在函数的定义域内，的图象与直线有个交点.
所以交点个数为至多个.
【点拨】结合函数定义域的限制，考虑直线是否穿过函数的定义域区间，从而确定交点情况.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.∵定义域不同，∴和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.∵定义域不同，∴和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，∴定义域相同.又对应关系也相同，∴为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.∵定义域不同，∴和不是同一个函数.故D错误.
【点拨】判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致，切忌先化简再求定义域.
6.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ 　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】对于A，和的定义域都是，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A正确；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项B错误；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误.
【点拨】紧抓定义域和对应法则两要素，自变量的字母表示不同不影响函数的一致性.
7.下列各组函数中，表示同一函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，，
【答案】D
【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于B：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于D：对应点的坐标为，对应点的坐标为，两个函数对应坐标相同，是同一函数.
【点拨】离散型函数的判断同样遵循定义域与对应法则的核对，列出所有对应点坐标比对最为直观.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
8.已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题设有，
由得，故选A.
【点拨】实际问题中求函数定义域，不仅要考虑解析式有意义，还必须满足实际几何意义，如三角形两边之和大于第三边.
9.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】令，∵，∴可得，解得.
故函数的定义域为.
【点拨】偶次根式要求被开方数非负，结合分母恒正的特点，可快速将分式不等式转化为整式不等式.
10.若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】13或
【解析】由有意义可得
，解得，所以或.
当时，，；
当时，，.
【点拨】当被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
11.已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】令，由得：，
所以，即，
所以，函数的定义域为.
【点拨】已知复合函数的定义域求的定义域，实质上就是求内层函数的值域.
12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由解得，
所以函数的定义域为.
【点拨】已知的定义域求的定义域，只需令在已知定义域范围内，解出即可.
13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以在函数中，，
解得或，
故函数的定义域为.
【点拨】解一元二次不等式组时，可借助二次函数的图象辅助求解，确保区间端点计算准确无误.
14.已知函数定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
【点拨】此类问题可采用“过渡法”，先求出外层函数的抽象定义域，再代入新的复合解析式中求解.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
15.已知的定义域为，那么的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】依题可知，的解集为，
所以，解得.
【点拨】对数型函数的定义域为，等价于其真数部分的二次函数恒大于零，利用判别式即可.
16.若函数的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】的定义域是，则恒成立.
当时，恒成立；
当时，则，解得.
综上，.
【点拨】遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防止漏解.
17.函数的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为函数的定义域为，所以的解为，
即函数的图象与轴没有交点.
（1）当时，函数与轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
【点拨】分式函数的定义域为，即分母恒不为零.对于二次型分母，需满足判别式，同时不忘检验系数为零的情形.
18.若函数的定义域是，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由函数的定义域为，得恒成立，
化简得恒成立，
所以由解得：.
【点拨】结合指数函数的单调性，将根式内部的恒成立问题转化为指数位置的二次不等式恒成立问题.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
19.已知，求的解析式.
【答案】
【解析】由，令，，则，
所以，，
所以.
【点拨】利用换元法求解析式时，务必求出新元的取值范围，即为所求函数的定义域.
20.求下列函数的解析式：
（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数且，求的解析式；
（4）已知满足，求的解析式.
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）设，，则.
∵，
∴，，
即，.
（2）∵，
由对勾函数的性质可得，其值域为，
所以，.
（3）由是一次函数，可设，
∴，即，
∴，解得，
∴的解析式是.
（4）∵ ①，
∴将用替换，得 ②，
由①②解得.
【点拨】求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.在换元和配凑时，新元的范围决定了函数的定义域.
21.根据下列条件，求的解析式：
（1）已知满足
（2）已知是一次函数，且满足；
（3）已知满足.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）令，则，
故，
所以；
（2）设，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
所以；
（3）因为 ①，
所以 ②，
②①得，
所以.
【点拨】方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程，通过代换构造出关于的方程组进行求解.
22.根据下列条件，求函数的解析式．
（1）已知，则的解析式为＿＿＿＿＿＿；
（2）已知满足，求的解析式．
（3）已知，对任意的实数，都有，求的解析式．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）方法一(换元法)：令，则，.
所以，
所以函数的解析式为.
方法二(配凑法)：.
因为，所以函数的解析式为.
（2）将代入，得，
因此，解得.
（3）令，得，
所以，即.
【点拨】对于含有两个变量的抽象函数方程，通常采用赋值法，令其中一个变量为特殊值（如0），从而转化为单变量的函数关系.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
23.（2026·福建福州·3月检测）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
【答案】B
【解析】在中，且，
令，得，
令，得，
令，得.
【点拨】利用赋值法，从已知条件出发，逐步递推求出目标函数值.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
24.（2026·省十教育·最后一卷）写出一个满足下列条件的函数的解析式：＿＿＿＿＿＿.
①；
②对任意正数；
③，；
④.
【答案】（答案不唯一）
【解析】条件①表明函数为偶函数；条件②表明函数为上的单调递减函数；条件③表明函数图象上任意两点连线的弦在函数图象下方；条件④表明函数的运算特征.在学过的函数中，底数大于的对数函数具有类似②③④的特征，但单纯的对数函数不具有奇偶性，故可以是由对数函数构造的一类函数，比如，或，等都符合条件.
【点拨】根据函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数中寻找原型并进行适当改造.
25.（2024·深圳外校·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】中，令，解得，
令得，故，
不妨设，满足要求.
【点拨】通过赋值法探究函数的奇偶性或对称性，结合多项式的展开式规律，猜想出符合条件的具体函数.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
26.（2026·江苏南通·一模）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则，值域，
所以，，集合之间关系不能用表示，
所以A、C、D错，B对.
【点拨】求定义域需保证真数大于零且被开方数非负，求值域则根据内层函数的范围向外推导.
27.（2026·湖北随州六校·一模）（多选）下列四个函数，定义域和值域相同的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对A，函数的定义域和值域都是；
对B，易得函数的定义域为，
当时，；当时，，故函数的值域为；
对C，函数的定义域为，值域为；
对D，因为函数，所以函数的定义域为，值域为.
【点拨】逐一分析各选项函数的定义域和值域，特别注意分段函数需分段求值域后再取并集.
28.若函数的值域是，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为函数的值域是，
所以函数的值域为，
则的值域为，
所以函数的值域为.
【点拨】自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
29.（2026·湖北新八校·二模）已知函数，则该函数的值域为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
令，则，则原函数的值域等价于函数的值域，
恒成立，即单调递增，所以值域为.
【点拨】对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用分离常数法或换元法转化为对勾函数模型求解.
30.（2024·重庆巴蜀中学·练习）函数的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为，
令，则，
令，，因为函数在上单调递增，所以，
即，则，
即函数的最大值为，当且仅当时取等号.
【点拨】通过分子分母同除以分子，将函数转化为对勾函数的形式，注意换元后新变量的取值范围.
31.函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由有意义可得，所以，
的定义域为，
，
设，则，，则.
【点拨】求形如的函数值域，通常采用平方化简法，将其转化为二次函数求最值.
32.函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】表示点与点连线的斜率，
∵的轨迹为圆，
∴表示圆上的点与点连线的斜率，
由图象可知：过作圆的切线，斜率必然存在，
则设过的圆的切线方程为，即，
∴圆心到切线的距离，解得：，
结合图象可知：圆上的点与点连线的斜率的取值范围为，
即的值域为.
【点拨】对于形如的函数，常赋予其斜率的几何意义，转化为圆的切线斜率问题求解.
33.求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10） .
【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10）
【解析】（1）分式函数，定义域为，故，所有，故值域为；
（2）函数中，分母，则，故值域为；
（3）函数中，令得，易见函数和都是减函数，故函数在时是递减的，故时，故值域为；
（4），，故值域为；
（5），，而，，∴，∴，即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，所以，所以，，对称轴方程为，所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，则，，故，，∴，由的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，故，所有，故值域为；
（10）函数，令，则由知，，，根据对勾函数在递减，在递增，可知时，，故值域为.
【点拨】本题综合考查了求函数值域的常用方法：分离常数法、配方法、单调性法、换元法、平方化简法等，需根据解析式结构灵活选择.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
34.（2025·福建福州一中·5月模考）若函数的定义域和值域的交集为空集，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则定义域为.
当时，，.
当时，若，值域为；若，值域为.
因为定义域和值域交集为空集，即.
由于值域中包含，所以必有.
若，值域包含，与交集不为空（因为，）.
若，值域为.要使与值域无交集，必须，且（已满足）.
解，即，得或.
结合，得.
所以的取值范围是.
【点拨】分段求出函数的值域，再根据集合交集为空集的条件列出关于参数的不等式组求解.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
35.（2026·山东菏泽·二模）已知函数，则（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】由分段函数的解析式，当时，，所以.又因为当时，，所以.因此.
【点拨】求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式，若自变量不在直接可求的区间内，需利用递推关系转化.
36.（2026·广东广州·一模）已知函数，则（ 　　）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以.
【点拨】准确估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解分段函数值的关键.
37.（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当时，，
当时，.
由，得，则，解得，
所以.
【点拨】已知函数值求自变量，需先求出各段函数的值域，根据函数值所在的值域区间确定自变量所在的区间.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
38.（2026·浙江精诚联盟·二模）已知函数若，则实数（ 　　）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】当时，，解得或（舍），
当时，，即，，方程无实数解，
所以.
【点拨】解分段函数方程时，需分段建立方程并求解，最后务必检验求出的解是否在对应的定义域区间内.
39.（2026·河北名校协作体·模拟）已知函数，若，则（ 　　）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】若，则，因为函数在单调递增，且，所以方程无解；
若，，则，，得到，整理得，解得（舍）或；
若，，因为函数在单调递减，且，所以方程无解；
综上，，，
所以，.
【点拨】对于含有参数的分段函数方程，需根据自变量表达式的大小关系及参数范围进行分类讨论.
40.（2025·江西十校协作体·二模）已知函数，若，则的值为（ 　　）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】若，即，则，解得；
若，即，则，解得.
综上，的值为或.
【点拨】同上，根据自变量表达式的符号进行分类讨论，解出参数后需检验是否满足分类条件.
41.（多选）已知函数，若，则实数的值可能为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】当时，，
其中当时，，此时，解得，符合题意；
当时，，此时，解得或，符合题意；
当时，必有，
此时，变形可得或，
若，解得，
若，无解；
综合可得：或或或.
【点拨】由外向内逐层剥离求解，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内.
42.（多选）已知函数，则使的可以是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
【点拨】同上，采用换元法，先求出内层函数的值，再作为外层函数的自变量求解.
43.（2025·福建厦门·检测）已知函数若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】，所以，
因为时，，所以，
，解得.
【点拨】先求出确定部分的函数值，再根据目标函数值的大小判断未知参数所在的区间.
考法14：解分段函数不等式
44.（2026·江西南昌·一模）已知，则不等式的解集为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，解得，此时无解；
当时，，解得或，所以或.
综上，不等式的解集为.
【点拨】解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
45.（2026·江西三新·4月训练）已知函数若，则的取值范围为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】作出的图象.由，可得或.
由，可得；
由，可得或或.
综上，的取值范围为.
【点拨】对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效.
46.已知，满足，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，，，
所以，即，解得，
当时，，，
所以，即，解得，
所以，的取值范围是.
【点拨】根据参数的正负分类讨论，分别代入对应的解析式化简求解.也可先判断函数的奇偶性辅助求解.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
47.（2026·江西宜春十校·二模）已知函数，若满足且，都有成立，则实数的取值范围为；若数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围为．那么下列与关系正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为对且，都有成立，所以是上的增函数，
解得，所以.
数列满足，且是递增数列，
所以，即，解得，所以，
故.
【点拨】分段函数在上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的大小关系满足单调性.数列的单调性只需保证相邻项满足大小关系即可.
48.（2026·河南湘豫名校·5月预测）（多选）已知且，函数则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则为增函数
B. 若，则的解集为
C. 若，则的图象关于直线对称
D. ，，恒为常数
【答案】ABD
【解析】对于 A,B，当 时， 的图象如图，可知 A,B 正确；对于 C，，，可得点 ， 连线的斜率并不恒为 ，C 错误；结合图象可知，无论 还是 ， 的图象总与直线 有交点 ，所以满足 ，，，，D 正确. 故选 ABD.
【点拨】分段函数的单调性需综合考虑各段的单调性及分界点处的函数值衔接.对于嵌套函数的恒定值问题，转化为寻找函数的不动点（即的解）.
49.（2026·湖北圆创联盟·一模）已知函数有最小值，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】①若，当时，；当时，.依题意需，解得（舍去）.
②若，当时，；当时，，此时，则.
③若，当时，；当时，.则需，解得.
综上，.
【点拨】分段函数存在最小值，不仅要求各段在其定义域内有下界，还需保证开区间一侧的下确界能够被另一侧的闭区间函数值取到或超越.
第 2 页，共 17 页第6讲 函数的概念·分类练习
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
1.（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数图象的交点个数为（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 无法确定
2.（2024·山东潍坊·一模）存在函数满足：对任意都有（ 　　）
A. B. C. D.
3.如图，可以表示函数的图象的是（ 　　）
A. B.
C. D.
4.函数的图象与直线的交点个数（ 　　）
A. 至少1个 B. 至多1个
C. 仅有1个 D. 有0个、1个或多个
考法2：判断两个函数是否为同一函数
5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ 　　）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.下列各组函数中，表示同一函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，，
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
8.已知等腰三角形的周长为，底边长是腰长的函数，则函数的定义域为（ 　　）
A. B. C. D.
9.函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
10.若，则＿＿＿＿＿＿.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
11.已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
13.已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
14.已知函数定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
15.已知的定义域为，那么的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
16.若函数的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
17.函数的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
18.若函数的定义域是，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
19.已知，求的解析式.
20.求下列函数的解析式：
（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数且，求的解析式；
（4）已知满足，求的解析式.
21.根据下列条件，求的解析式：
（1）已知满足
（2）已知是一次函数，且满足；
（3）已知满足.
22.根据下列条件，求函数的解析式．
（1）已知，则的解析式为＿＿＿＿＿＿；
（2）已知满足，求的解析式．
（3）已知，对任意的实数，都有，求的解析式．
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
23.（2026·福建福州·3月检测）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
24.（2026·省十教育·最后一卷）写出一个满足下列条件的函数的解析式：＿＿＿＿＿＿.
①；
②对任意正数；
③，；
④.
25.（2024·深圳外校·阶段练习）写出一个满足：的函数解析式为＿＿＿＿＿＿.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
26.（2026·江苏南通·一模）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
27.（2026·湖北随州六校·一模）（多选）下列四个函数，定义域和值域相同的是（ 　　）
A. B.
C. D.
28.若函数的值域是，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
29.（2026·湖北新八校·二模）已知函数，则该函数的值域为（ 　　）
A. B. C. D.
30.（2024·重庆巴蜀中学·练习）函数的最大值为＿＿＿＿＿＿.
31.函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
32.函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
33.求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10） .
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
34.（2025·福建福州一中·5月模考）若函数的定义域和值域的交集为空集，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
35.（2026·山东菏泽·二模）已知函数，则（ 　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
36.（2026·广东广州·一模）已知函数，则（ 　　）
A. B. 0 C. D. 2
37.（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数，且，则的值为＿＿＿＿＿＿.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
38.（2026·浙江精诚联盟·二模）已知函数若，则实数（ 　　）
A. 1 B. 2 C. D.
39.（2026·河北名校协作体·模拟）已知函数，若，则（ 　　）
A. 1 B. 2 C. D.
40.（2025·江西十校协作体·二模）已知函数，若，则的值为（ 　　）
A. 或 B. 或 C. D.
41.（多选）已知函数，若，则实数的值可能为（ 　　）
A. B. C. D.
42.（多选）已知函数，则使的可以是（ 　　）
A. B. C. D.
43.（2025·福建厦门·检测）已知函数若，则＿＿＿＿＿＿.
考法14：解分段函数不等式
44.（2026·江西南昌·一模）已知，则不等式的解集为（ 　　）
A. B.
C. D.
45.（2026·江西三新·4月训练）已知函数若，则的取值范围为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
46.已知，满足，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
47.（2026·江西宜春十校·二模）已知函数，若满足且，都有成立，则实数的取值范围为；若数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围为．那么下列与关系正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
48.（2026·河南湘豫名校·5月预测）（多选）已知且，函数则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则为增函数
B. 若，则的解集为
C. 若，则的图象关于直线对称
D. ，，恒为常数
49.（2026·湖北圆创联盟·一模）已知函数有最小值，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
第 2 页，共 17 页第6讲 函数的概念 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 函数的概念 2
2. 函数的三要素 2
3. 函数的表示法 2
4. 分段函数 2
5. 基本的函数定义域限制 2
6. 基本初等函数的值域 3
三、方法总结 3
考点一：函数的概念与表示 3
考点二：函数的定义域 4
考点三：函数解析式的求法 4
考点四：函数的值域 5
考点五：分段函数的应用 6
四、典题精讲 6
考点一：函数的概念与表示 6
考点二：函数的定义域 8
考点三：函数解析式的求法 9
考点四：函数的值域 11
考点五：分段函数的应用 12
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考查内容
2026 第19题解答题 约4分 间接考查（在压轴题中利用分段函数与抽象函数定义新集合，考查分类讨论解不等式与单调性证明）
2025 第5题单选题 约5分 间接考查（结合函数的奇偶性与周期性，考查将自变量转化到已知分段解析式区间求函数值）
2024 第6题单选题 约5分 间接考查（在分段函数中，利用各段单调性及分界点处的函数值大小关系求参数范围）
2024 第8题单选题 约5分 间接考查（在抽象函数不等式中，利用赋值法与递推关系比较函数值大小）
近三年全国一卷中，函数的概念、定义域与值域等基础知识均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数工具，自然融入到分段函数、抽象函数及压轴解答题的逻辑推理环节中.
2. 命题角度与特色
核心考点：分段函数的性质与求值、抽象函数的赋值递推、函数定义域与值域的综合应用.
命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.函数的概念与表示已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求参数范围、证明单调性、化简求值）的关键步骤.
试题特点：隐蔽性与综合性强.例如2024年第6题，在判断分段函数单调性时，不仅需要分析各段函数的单调性，还需建立分界点处函数值的不等关系；2025年第5题，需利用周期性和奇偶性将未知自变量精准转化到已知解析式区间；在2026年第19题的压轴题中，更是出现了利用分段与抽象函数定义新集合进行高阶逻辑推理论证的极端考法.
3. 备考策略
· 强调作为基础工具的重要性，建议在复习导数、三角函数等模块时同步强化“定义域优先”及函数基本性质的应用意识.
· 熟练掌握分段函数的分类讨论思想、由内向外剥离的复合函数求值方法，确保在综合题中能快速准确地处理函数关系.
· 针对抽象函数，严格养成利用赋值法、递推法探路的习惯，避免在解答题关键步骤中因逻辑断链而失分.
二、知识清单
1. 函数的概念
（1） 一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则，使得A中任意元素，都有B中唯一确定的与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：，.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合叫做值域，记为C.
【易错提醒】 函数定义中强调“唯一确定的与之对应”，即一个自变量只能对应一个函数值（一对一或多对一），但一个函数值可以对应多个自变量.
（2） 函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
2. 函数的三要素
（1） 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
（2） 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数.
【防坑警示】 判断两个函数是否为同一函数时，必须直接根据原解析式求定义域.切忌先化简解析式再求定义域，否则极易改变函数原有的定义域范围.
3. 函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4. 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
5. 基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1） 分式的分母不为零；
（2） 偶次方根的被开方数大于或等于零；
（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4） 零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5） 三角函数中的正切的定义域是；
（6） 已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；
（7） 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
6. 基本初等函数的值域
（1） 的值域是.
（2） 的值域是：当时，值域为；当时，值域为.
（3） 的值域是.
（4） 的值域是.
（5） 的值域是.
三、方法总结
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
· 检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值.遇到抽象的对应法则，通过赋予特殊值举反例是最高效的判断方法.
· 利用“垂线法”判断函数图象，即任意垂直于轴的直线与图象至多有一个交点.
· 判断直线与函数图象的交点个数，需结合函数定义域的限制，考虑直线是否穿过函数的定义域区间.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
· 判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致.自变量的字母表示不同不影响函数的一致性.
· 定义域的细微差别（如是否包含端点、是否允许为负）是常见的命题陷阱，必须根据原解析式求解定义域，严禁先化简再求定义域.
· 离散型函数的判断同样遵循定义域与对应法则的核对，列出所有对应点坐标进行比对最为直观.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
· 求解具体函数的定义域时，需综合考虑分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大于零等限制条件.
· 当遇到被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.
· 实际问题中求函数定义域，不仅要考虑解析式有意义，还必须满足实际几何意义（如三角形两边之和大于第三边）.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
· 已知外层函数的定义域，求复合函数的定义域，核心原则是：复合函数中内层函数的值域必须落在已知的外层函数定义域范围内.
· 已知复合函数的定义域求的定义域，实质上就是求内层函数的值域.
· 已知的定义域求的定义域，可采用“过渡法”，先求出外层函数的抽象定义域，再代入新的复合解析式中求解.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
· 函数定义域为，意味着对于任意实数，解析式都有意义.转化为不等式恒成立问题后，结合开口方向和判别式构建不等式组求解.
· 遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防止漏解.
· 对数型函数的定义域为，等价于其真数部分恒大于零.
· 结合指数函数的单调性，可将根式内部的恒成立问题转化为指数位置的二次不等式恒成立问题.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
· 求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.
· 在使用换元法和配凑法时，新元的取值范围决定了所求函数的定义域，这是极易被忽略的得分点.
· 方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程，通过代换构造出关于的方程组进行求解.
· 对于含有两个变量的抽象函数方程，通常采用赋值法，令其中一个变量为特殊值（如0或用替换），从而转化为单变量的函数关系.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
· 处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略.寻找已知值与目标值之间的过渡跳板，合理选择赋给变量的值是解题的关键.
· 通过赋值法探究函数的奇偶性或对称性，结合多项式的展开式规律，可猜想出符合条件的具体函数.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
· 根据题目给定的函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数（如指数函数、对数函数、幂函数）中寻找原型并进行适当改造（如加绝对值），是解决此类构造题的通用方法.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
· 求定义域需保证真数大于零且被开方数非负，求值域则需根据内层函数的范围向外逐层推导.
· 自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.在进行数乘运算时，务必注意负号会改变不等号的方向.
· 分段函数的值域需分段求解后再取并集.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
· 对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用换元法将其转化为分式函数，再利用分离常数法转化为对勾函数模型求解.换元时必须准确求出新变量的取值范围.
· 求形如的无理函数值域，通常采用平方化归法，将其转化为二次函数求最值问题.
· 对于形如的函数，常赋予其斜率的几何意义，转化为圆的切线斜率问题求解.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
· 处理分段函数的值域问题，需分段求出值域后再取并集.
· 根据集合交集为空集等条件列出关于参数的不等式组时，要特别注意区间端点的开闭情况，必要时可画出数轴辅助判断.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
· 求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式.
· 对于嵌套函数，遵循“由内向外”的原则，准确估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解的关键.若自变量不在直接可求的区间内，需利用递推关系转化.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
· 解分段函数方程时，需分段建立方程并求解.
· 由外向内逐层剥离求解时，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内，防止增根.
· 对于含有参数的分段函数方程，需根据自变量表达式的大小关系及参数范围进行分类讨论.
考法14：解分段函数不等式
· 解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
· 对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效，先通过图象解出内层函数值的范围，再解出最终自变量的范围.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
· 分段函数在上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的大小关系满足单调性（如增函数要求左侧分支在分界点处的极限值小于等于右侧分支在分界点处的函数值）.
· 分段函数存在最小值，不仅要求各段在其定义域内有下界，还需保证开区间一侧的下确界能够被另一侧的闭区间函数值取到或超越.
· 对于嵌套函数的恒定值问题，可转化为寻找函数的不动点（即的解）.
四、典题精讲
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
例1.（2024·潍坊·一模） 存在函数满足：对任意都有（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【思路】判断给定的对应关系能否构成函数，核心在于检验是否满足函数定义中的“唯一性”，即对于定义域内的每一个自变量，是否都有唯一确定的函数值与之对应.可以通过举反例的方式，观察同一个自变量是否对应了不同的函数值，从而快速排除错误选项.
【解析】对于A，当时，；当时，，不符合函数定义，A错误；
对于B，令，则，令，则，不符合函数定义，B错误；
对于C，令，则，令，则，不符合函数定义，C错误；
对于D，，，则，则存在时，，符合函数定义，即存在函数满足：对任意都有，D正确.
【规律】检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值.遇到抽象的对应法则，通过赋予特殊值举反例是最高效的判断方法.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
例2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【思路】判断两个函数是否为同一函数，必须严格遵循“两要素”原则：一看定义域是否相同，二看对应法则是否一致.在判断时，切忌先对函数解析式进行化简再求定义域，而应直接根据原解析式求解定义域.
【解析】对于A：的定义域为，的定义域为.∵定义域不同，∴和不是同一个函数.故A错误；
对于B：的定义域为，的定义域为.∵定义域不同，∴和不是同一个函数.故B错误；
对于C：的定义域为，的定义域为，∴定义域相同.又对应关系也相同，∴为同一个函数.故C正确；
对于D：的定义域为，的定义域为.∵定义域不同，∴和不是同一个函数.故D错误.
【规律】判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致.自变量的字母表示不同不影响函数的一致性，但定义域的细微差别（如是否包含端点、是否允许为负）是常见的命题陷阱.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
例3. 若，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】13或
【思路】要求代数式的值，需先求出变量和的值.观察函数解析式，发现其中包含偶次根式和分式，因此必须满足被开方数非负且分母不为零.特别注意到两个被开方数互为相反数，这是破题的关键突破口.
【解析】由有意义可得
，解得，∴或.
当时，，；
当时，，.
【规律】求解具体函数的定义域时，需综合考虑分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大于零等限制条件.当遇到被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
例4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】已知外层函数的定义域，求复合函数的定义域，核心原则是：复合函数中内层函数的值域必须落在已知的外层函数定义域范围内.据此列出关于的不等式组求解即可.
【解析】∵函数的定义域为，
∴在函数中，，
解得或，
故函数的定义域为.
【规律】已知的定义域求的定义域，只需令内层函数在已知定义域范围内，解出即可.解一元二次不等式组时，可借助二次函数的图象辅助求解，确保区间端点计算准确无误.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
例5. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】函数定义域为，意味着对于任意实数，解析式都有意义.本题中解析式含有分母和偶次根式，故要求根号下的二次式严格大于零恒成立.转化为二次不等式恒成立问题后，需特别注意对二次项系数是否为零进行分类讨论.
【解析】的定义域是，则恒成立.
当时，恒成立；
当时，则，解得.
综上，.
【规律】遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防止漏解.当系数不为零时，结合开口方向和判别式构建不等式组求解.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
例6. 根据下列条件，求的解析式：
（1）已知满足
（2）已知是一次函数，且满足；
（3）已知满足.
【答案】（1） （2） （3）
【思路】本题涵盖了求函数解析式的三种常见方法.第（1）问已知复合函数的解析式，可采用换元法或配凑法；第（2）问明确了函数的类型，可采用待定系数法；第（3）问中自变量与具有对称关系，可采用方程组法，通过代换构造出关于的方程组进行求解.
【解析】（1）令，则，
故，
∴；
（2）设，
∵，
∴，
即，
∴，解得，
∴；
（3）∵ ①，
∴ ②，
②①得，
∴.
【规律】求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.在换元和配凑时，新元的范围决定了函数的定义域；方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
例7.（2026·福州·3月检测） 已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
【答案】B
【思路】已知抽象函数满足的等式及某个特殊函数值，求另一个函数值，通常采用赋值法.观察已知条件和目标，可以通过令自变量取特殊值（如），逐步递推求出、，最终得到的值.
【解析】在中，且，
令，得，
令，得，
令，得.
【规律】处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略.寻找已知值与目标值之间的过渡跳板，合理选择赋给变量的值是解题的关键.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
例8.（2026·省十教育·最后卷） 写出一个满足下列条件的函数的解析式：＿＿＿＿＿＿.
①；
②对任意正数；
③，；
④.
【答案】（答案不唯一）
【思路】分析四个条件分别对应的函数性质.条件①说明函数是偶函数；条件②说明函数在上单调递增；条件③说明函数图象上任意两点连线的弦在函数图象下方（即具有特定的凹凸性）；条件④说明函数具有将乘法转化为加法的特殊运算性质.在熟悉的初等函数中寻找原型并进行适当的绝对值改造即可.
【解析】条件①表明函数为偶函数；条件②表明函数为上的单调递减函数；条件③表明函数图象上任意两点连线的弦在函数图象下方；条件④表明函数的运算特征.在学过的函数中，底数大于的对数函数具有类似②③④的特征，但单纯的对数函数不具有奇偶性，故可以是由对数函数构造的一类函数，比如，或，等都符合条件.
【规律】根据函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数中寻找原型并进行适当改造，是解决此类构造题的通用方法.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
例9. 若函数的值域是，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】已知函数的值域，求与其相关的复合函数的值域.由于自变量的平移变换不改变函数的值域，因此的值域与相同.随后，利用不等式的性质，通过数乘和加减运算即可逐步推导出目标函数的值域.
【解析】∵函数的值域是，
∴函数的值域为，
则的值域为，
∴函数的值域为.
【规律】自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.在进行数乘运算时，务必注意负号会改变不等号的方向.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
例10.（2026·新八校·二模） 已知函数，则该函数的值域为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】观察函数解析式，分子分母均含有指数式，可考虑采用换元法，令，将超越函数转化为代数函数.由于分子次数高于分母，进一步利用分离常数法将其转化为对勾函数的形式，最后结合新变量的取值范围利用单调性求出值域.
【解析】，
令，则，则原函数的值域等价于函数的值域，
恒成立，即单调递增，∴值域为.
【规律】对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用换元法转化为分式函数，再利用分离常数法转化为对勾函数模型求解.换元时必须准确求出新变量的取值范围.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
例11.（2025·福州一中·5月模考） 若函数的定义域和值域的交集为空集，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】题目要求定义域和值域的交集为空集，首先需要分别求出该分段函数的定义域和值域.定义域易得为，而值域需要分段求解，且第二段的值域与参数的大小密切相关.求出值域后，根据交集为空集的条件，列出关于参数的不等式组进行分类讨论求解.
【解析】由题设，则定义域为.
当时，，.
当时，若，值域为；若，值域为.
∵定义域和值域交集为空集，即.
由于值域中包含，∴必有.
若，值域包含，与交集不为空（因为，）.
若，值域为.要使与值域无交集，必须，且（已满足）.
解，即，得或.
结合，得.
∴的取值范围是.
【规律】处理分段函数的值域问题，需分段求出值域后再取并集.根据集合交集为空集的条件列出关于参数的不等式组时，要特别注意区间端点的开闭情况.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
例12.（2026·广州·一模） 已知函数，则（ 　　）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】B
【思路】求解分段函数的嵌套函数值，遵循“由内向外”的原则.首先估算最内层自变量的大小，判断其属于哪一个定义域分支，代入对应的解析式求出内层函数值；然后将该值作为新的自变量，再次判断其所属分支，代入求解即可.
【解析】∵，∴，
∴.
【规律】求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式.对于嵌套函数，准确估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解的关键.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
例13.（多选）已知函数，若，则实数的值可能为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【思路】已知嵌套分段函数的函数值求参数，需要采用“由外向内”逐层剥离的方法.先将内层函数视为一个整体，根据外层函数的分段条件分类讨论，求出的可能值；再针对每一个的值，再次根据分段条件分类讨论，求出的值.每次求解后都必须严格检验结果是否符合所在分支的条件.
【解析】当时，，
其中当时，，此时，解得，符合题意；
当时，，此时，解得或，符合题意；
当时，必有，
此时，变形可得或，
若，解得，
若，无解；
综合可得：或或或.
【规律】解分段函数方程时，需分段建立方程并求解.由外向内逐层剥离求解时，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内，防止增根.
考法14：解分段函数不等式
例14.（2026·江西三新·4月训练） 已知函数若，则的取值范围为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【思路】求解嵌套的分段函数不等式，代数运算往往十分繁琐.此时可以借助数形结合的思想，先作出函数的图象.将内层函数看作整体，通过图象找出满足外层不等式的的范围，再将替换回，再次结合图象解出的范围.
【解析】作出的图象.由，可得或.
由，可得；
由，可得或或.
综上，的取值范围为.
【规律】对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效.解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
例15.（2026·宜春十校·二模） 已知函数，若满足且，都有成立，则实数的取值范围为；若数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围为．那么下列与关系正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】本题考查分段函数单调性与数列单调性的区别.对于分段函数在上单调递增，不仅要求每一段函数自身是增函数，还必须保证在分界点处，左侧函数的最大值不能大于右侧函数的最小值.而对于数列的单调递增，由于其自变量是离散的正整数，只需保证相邻两项满足递增关系即可，即在分界点处只需满足.
【解析】∵对且，都有成立，∴是上的增函数，
解得，∴.
数列满足，且是递增数列，
∴，即，解得，∴，
故.
【规律】分段函数在上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的大小关系满足单调性.数列的单调性只需保证相邻项满足大小关系即可.
第 2 页，共 17 页第6讲 函数的概念 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 函数的概念 2
2. 函数的三要素 3
3. 函数的表示法 3
4. 分段函数 3
5. 基本的函数定义域限制 3
6. 基本初等函数的值域 3
三、方法总结 4
考点一：函数的概念与表示 4
考点二：函数的定义域 4
考点三：函数解析式的求法 5
考点四：函数的值域 6
考点五：分段函数的应用 6
四、典题精练 7
考点一：函数的概念与表示 7
考点二：函数的定义域 8
考点三：函数解析式的求法 8
考点四：函数的值域 9
考点五：分段函数的应用 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考查内容
2026 第19题解答题 约4分 间接考查（在压轴题中利用分段函数与抽象函数定义新集合，考查分类讨论解不等式与单调性证明）
2025 第5题单选题 约5分 间接考查（结合函数的奇偶性与周期性，考查将自变量转化到已知分段解析式区间求函数值）
2024 第6题单选题 约5分 间接考查（在分段函数中，利用各段单调性及分界点处的函数值大小关系求参数范围）
2024 第8题单选题 约5分 间接考查（在抽象函数不等式中，利用赋值法与递推关系比较函数值大小）
近三年全国一卷中，函数的概念、定义域与值域等基础知识均未以独立试题直接考查，而是作为核心代数工具，自然融入到分段函数、抽象函数及压轴解答题的逻辑推理环节中.
2. 命题角度与特色
核心考点：分段函数的性质与求值、抽象函数的赋值递推、函数定义域与值域的综合应用.
命题趋势：近三年未直接考查，而是以间接形式高频融入其他主干知识模块.函数的概念与表示已完全工具化，常作为解决复杂综合题（如求参数范围、证明单调性、化简求值）的关键步骤.
试题特点：隐蔽性与综合性强.例如2024年第6题，在判断分段函数单调性时，不仅需要分析各段函数的单调性，还需建立分界点处函数值的不等关系；2025年第5题，需利用周期性和奇偶性将未知自变量精准转化到已知解析式区间；在2026年第19题的压轴题中，更是出现了利用分段与抽象函数定义新集合进行高阶逻辑推理论证的极端考法.
3. 备考策略
· 强调作为基础工具的重要性，建议在复习导数、三角函数等模块时同步强化“定义域优先”及函数基本性质的应用意识.
· 熟练掌握分段函数的分类讨论思想、由内向外剥离的复合函数求值方法，确保在综合题中能快速准确地处理函数关系.
· 针对抽象函数，严格养成利用赋值法、递推法探路的习惯，避免在解答题关键步骤中因逻辑断链而失分.
二、知识清单
1. 函数的概念
（1） 一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则，使得A中任意元素，都有B中唯一确定的与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数.记作：，.集合A叫做函数的定义域，记为D，集合叫做值域，记为C.
【易错提醒】 函数定义中强调“唯一确定的与之对应”，即一个自变量只能对应一个函数值（一对一或多对一），但一个函数值可以对应多个自变量.
（2） 函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射.
2. 函数的三要素
（1） 函数的三要素：定义域、对应关系、值域.
（2） 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数.
【防坑警示】 判断两个函数是否为同一函数时，必须直接根据原解析式求定义域.切忌先化简解析式再求定义域，否则极易改变函数原有的定义域范围.
3. 函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4. 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.
5. 基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1） 分式的分母不为零；
（2） 偶次方根的被开方数大于或等于零；
（3） 对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4） 零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5） 三角函数中的正切的定义域是；
（6） 已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则下，括号内式子的范围相同；
（7） 对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.
6. 基本初等函数的值域
（1） 的值域是.
（2） 的值域是：当时，值域为；当时，值域为.
（3） 的值域是.
（4） 的值域是.
（5） 的值域是.
三、方法总结
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
· 检验对应关系是否为函数，关键在于验证同一个自变量是否对应唯一的函数值.遇到抽象的对应法则，通过赋予特殊值举反例是最高效的判断方法.
· 利用“垂线法”判断函数图象，即任意垂直于轴的直线与图象至多有一个交点.
· 判断直线与函数图象的交点个数，需结合函数定义域的限制，考虑直线是否穿过函数的定义域区间.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
· 判断两函数是否为同一函数，需严格核对定义域与对应法则是否完全一致.自变量的字母表示不同不影响函数的一致性.
· 定义域的细微差别（如是否包含端点、是否允许为负）是常见的命题陷阱，必须根据原解析式求解定义域，严禁先化简再求定义域.
· 离散型函数的判断同样遵循定义域与对应法则的核对，列出所有对应点坐标进行比对最为直观.
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
· 求解具体函数的定义域时，需综合考虑分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大于零等限制条件.
· 当遇到被开方数互为相反数时，被开方数只能同时为零，由此可直接确定自变量的值.
· 实际问题中求函数定义域，不仅要考虑解析式有意义，还必须满足实际几何意义（如三角形两边之和大于第三边）.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
· 已知外层函数的定义域，求复合函数的定义域，核心原则是：复合函数中内层函数的值域必须落在已知的外层函数定义域范围内.
· 已知复合函数的定义域求的定义域，实质上就是求内层函数的值域.
· 已知的定义域求的定义域，可采用“过渡法”，先求出外层函数的抽象定义域，再代入新的复合解析式中求解.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
· 函数定义域为，意味着对于任意实数，解析式都有意义.转化为不等式恒成立问题后，结合开口方向和判别式构建不等式组求解.
· 遇到二次项系数含参的不等式恒成立问题，务必先讨论二次项系数为零的情况，防止漏解.
· 对数型函数的定义域为，等价于其真数部分恒大于零.
· 结合指数函数的单调性，可将根式内部的恒成立问题转化为指数位置的二次不等式恒成立问题.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
· 求解析式的四大基本方法：换元法、配凑法、待定系数法、方程组法.
· 在使用换元法和配凑法时，新元的取值范围决定了所求函数的定义域，这是极易被忽略的得分点.
· 方程组法适用于自变量互为倒数、相反数等具有对称关系的抽象方程，通过代换构造出关于的方程组进行求解.
· 对于含有两个变量的抽象函数方程，通常采用赋值法，令其中一个变量为特殊值（如0或用替换），从而转化为单变量的函数关系.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
· 处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略.寻找已知值与目标值之间的过渡跳板，合理选择赋给变量的值是解题的关键.
· 通过赋值法探究函数的奇偶性或对称性，结合多项式的展开式规律，可猜想出符合条件的具体函数.
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
· 根据题目给定的函数的奇偶性、单调性、凹凸性及特殊运算性质，在基本初等函数（如指数函数、对数函数、幂函数）中寻找原型并进行适当改造（如加绝对值），是解决此类构造题的通用方法.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
· 求定义域需保证真数大于零且被开方数非负，求值域则需根据内层函数的范围向外逐层推导.
· 自变量的平移不改变函数的值域，通过整体代换和不等式性质即可求出复合函数的值域.在进行数乘运算时，务必注意负号会改变不等号的方向.
· 分段函数的值域需分段求解后再取并集.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
· 对于分子分母均为指数式的分式函数，常利用换元法将其转化为分式函数，再利用分离常数法转化为对勾函数模型求解.换元时必须准确求出新变量的取值范围.
· 求形如的无理函数值域，通常采用平方化归法，将其转化为二次函数求最值问题.
· 对于形如的函数，常赋予其斜率的几何意义，转化为圆的切线斜率问题求解.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
· 处理分段函数的值域问题，需分段求出值域后再取并集.
· 根据集合交集为空集等条件列出关于参数的不等式组时，要特别注意区间端点的开闭情况，必要时可画出数轴辅助判断.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
· 求分段函数的函数值时，应根据自变量所在区间选择对应的解析式.
· 对于嵌套函数，遵循“由内向外”的原则，准确估算内层自变量的大小，判断其所属区间是求解的关键.若自变量不在直接可求的区间内，需利用递推关系转化.
考法13：已知分段函数值解方程求参数
· 解分段函数方程时，需分段建立方程并求解.
· 由外向内逐层剥离求解时，每次求解后都要严格检验所得结果是否在对应的定义域区间内，防止增根.
· 对于含有参数的分段函数方程，需根据自变量表达式的大小关系及参数范围进行分类讨论.
考法14：解分段函数不等式
· 解分段函数不等式，需在各段定义域内分别解不等式，最后将各段的解集取并集.
· 对于复杂的分段函数嵌套不等式，借助函数图象数形结合求解更为直观高效，先通过图象解出内层函数值的范围，再解出最终自变量的范围.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
· 分段函数在上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处函数值的大小关系满足单调性（如增函数要求左侧分支在分界点处的极限值小于等于右侧分支在分界点处的函数值）.
· 分段函数存在最小值，不仅要求各段在其定义域内有下界，还需保证开区间一侧的下确界能够被另一侧的闭区间函数值取到或超越.
· 对于嵌套函数的恒定值问题，可转化为寻找函数的不动点（即的解）.
四、典题精练
考点一：函数的概念与表示
考法1：根据定义或图像判断函数关系
例1.（2024·潍坊·一模） 存在函数满足：对任意都有（ 　　）
A. B.
C. D.
考法2：判断两个函数是否为同一函数
例2. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
考点二：函数的定义域
考法3：求具体函数的定义域
例3. 若，则＿＿＿＿＿＿.
考法4：求抽象函数或复合函数的定义域
例4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为＿＿＿＿＿＿.
考法5：根据函数定义域为R求参数范围
例5. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考点三：函数解析式的求法
考法6：利用换元法、待定系数法或方程组法求解析式
例6. 根据下列条件，求的解析式：
（1）已知满足
（2）已知是一次函数，且满足；
（3）已知满足.
考法7：利用赋值法求抽象函数解析式或函数值
例7.（2026·福州·3月检测） 已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
考法8：构造满足特定条件的函数解析式
例8.（2026·省十教育·最后卷） 写出一个满足下列条件的函数的解析式：＿＿＿＿＿＿.
①；
②对任意正数；
③，；
④.
考点四：函数的值域
考法9：求基本初等函数及复合函数的值域
例9. 若函数的值域是，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
考法10：利用换元法或分离常数法求值域
例10.（2026·新八校·二模） 已知函数，则该函数的值域为（ 　　）
A. B. C. D.
考法11：根据函数值域的性质求参数或相关问题
例11.（2025·福州一中·5月模考） 若函数的定义域和值域的交集为空集，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考点五：分段函数的应用
考法12：求分段函数的函数值或嵌套函数值
例12.（2026·广州·一模） 已知函数，则（ 　　）
A. B. 0 C. D. 2
考法13：已知分段函数值解方程求参数
例13.（多选）已知函数，若，则实数的值可能为（ 　　）
A. B. C. D.
考法14：解分段函数不等式
例14.（2026·江西三新·4月训练） 已知函数若，则的取值范围为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法15：根据分段函数的性质（单调性、最值、值域）求参数范围
例15.（2026·宜春十校·二模） 已知函数，若满足且，都有成立，则实数的取值范围为；若数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围为．那么下列与关系正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第6讲 函数的概念·综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
A D B B B
6 7 8 9 10
B B D ACD ABD
11 12 13 14 15
BCD 41 、 见详解
16 17 18 19
或或或
1.（2024·重庆·二模）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，因为，则，则的范围要包含，结合选项可知A符合题意.
【点拨】本题考查函数的定义，理解函数关系中值域是对应域的子集是解题关键.
2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，，
【答案】D
【解析】对于A：的定义域是，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于B：，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于C：的定义域为，的定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数；
对于D：对应点的坐标为，对应点的坐标为，两个函数对应坐标相同，是同一函数.
【点拨】判断两函数是否为同一函数，需严格检验定义域与对应法则是否完全一致，离散点函数可直接比对坐标集合.
3.函数的图象与直线的交点个数（ 　　）
A. 至少1个 B. 至多1个 C. 仅有1个 D. 有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若不在函数的定义域内，的图象与直线没有交点；若在函数的定义域内，根据函数的定义，对于定义域内的每一个值，都有唯一的值与之对应，所以的图象与直线有个交点. 故交点个数为0或1，即至多1个.
【点拨】函数图象与垂直于轴的直线最多只有一个交点，这是函数单值性（一对一或多对一）的直观体现.
4.（2026·福州·3月检测）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
【答案】B
【解析】在中，且，
令，得；
令，得；
令，得.
【点拨】处理抽象函数求值问题时，利用赋值法逐步递推是常用策略，注意寻找已知值与目标值之间的过渡跳板.
5.（2026·南通·一模）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确 是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则定义域，
因为，所以，值域，
所以，，集合之间关系不能用表示，
所以A、C、D错，B对.
【点拨】求解对数与根式复合的函数定义域时，需同时满足真数大于零及被开方数非负.集合间的包含关系应使用子集符号而非元素从属符号.
6.（2026·茂名·一模）已知函数则（ 　　）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 16
【答案】B
【解析】因为，所以，
又因为，所以.
【点拨】求解分段函数复合求值问题，必须由内向外逐层判断自变量所在的区间，进而选择对应的解析式.
7.（2026·精诚联盟·二模）已知函数若，则实数（ 　　）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】当时，，即，解得或（舍去）；
当时，，即，，方程无实数解.
综上可得.
【点拨】解分段函数方程时，需分段建立方程求解，并务必检验求得的根是否满足该段的自变量范围限制.
8.（2026·南昌·一模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，，当且仅当时等号成立，即时，的最小值为；
当时，，
因为函数在定义域内有最小值，所以必有，即实数的取值范围是.
【点拨】分段函数存在最小值，意味着各段的下确界中存在最小值且能取到.利用基本不等式求出段的最小值后，需保证段的值不小于该最小值.
9.（2026·随州六校·一模）下列四个函数，定义域和值域相同的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】对A，函数的定义域和值域都是，符合题意；
对B，易得函数的定义域为，当时，；当时，，故函数的值域为，符合题意；
对C，函数的定义域为，值域为，不符合题意；
对D，因为函数，所以函数的定义域为，值域为，符合题意.
【点拨】分别求出各选项中函数的定义域与值域进行比对.对于分式函数，常采用分离常数法求值域.
10.（2026·湘豫名校·5月预测）已知且，函数则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则为增函数
B. 若，则的解集为
C. 若，则的图象关于直线对称
D. ，，恒为常数
【答案】ABD
【解析】对于 A,B，当 时， 的图象如图，可知 A,B 正确；对于 C，，，可得点 ， 连线的斜率并不恒为 ，C 错误；结合图象可知，无论 还是 ， 的图象总与直线 有交点 ，所以满足 ，，，，D 正确. 故选 ABD.
【点拨】判断分段函数的单调性，不仅要看各段的单调性，还要比较分界点处的函数值大小.判断是否存在不动点，可转化为方程是否有解.
11.已知函数，则使的可以是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】①当时，由，可得，
若时，则，此时无解，
若时，由，解得；
②当时，由，可得或.
若时，则，由可得，方程无解，
若时，由可得或，由可得或.
综上所述，满足的的取值集合为.
【点拨】解嵌套函数方程时，采用换元法由外向内逐层求解，每次求解都需根据外层函数的分段条件进行分类讨论.
12.（2026·南京鼓楼·二模）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】41
【解析】由可知，函数的值域中的任何元素都满足.
因为值域非空，所以必在值域中，即.
若仅有，则对任意，有.
此时对于，令，则. 而，这与仅有的假设矛盾.
故中至少有一个元素的函数值为.
具体分类如下：
1、若个函数值都为，此时共有种情况；
2、若仅有个函数值为，又，则另外个中应有个函数值为有种，如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种；
3、若仅有个函数值为，又，则另外个中应有个函数值为有种，如，依题意只能从中取值，有种情况，此时共有种；
4、若仅有个函数值为，又，则另外个中应有个函数值为有种，如，依题意都只能取，有种情况，此时有种情况；
综上所述，这样的函数的个数共有个.
【点拨】处理抽象映射满足的复合条件时，通过分析值域元素的性质缩小范围，再根据映射到1的元素个数进行分类讨论.
13.（2025·创新联盟·三模）函数的定义域为＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】、
【解析】因为，所以恒成立.
由，得.
.
故的值域为.
【点拨】求对数型复合函数的定义域需保证真数大于零，求值域时可将真数部分化为关于的二次函数，利用配方法求出真数的范围.
14.（2026·名校联盟·5月评估）定义若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】令，.
由，即.
当时，，解得或（舍去）；
当时，，解得或（舍去）.
故两函数图象交点横坐标为和.
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时.
综上，.
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
要使在上的值域为，则区间内不能包含使的值.
解得或或，所以的解集为.
因为是区间，所以.
在上，在上单调递增，从增到；在上单调递减，从减到.
要使值域为，必须包含最大值点，且在两端的最小值至少有一个为.
显然当，时，取得最大值.
【点拨】利用新定义写出分段函数的解析式，画出图象或分析单调性，根据值域反推定义域区间的最大长度.
15.（13分）求下列函数的解析式：
（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数且，求的解析式；
（4）已知满足，求的解析式.
【答案】（1） （2） （3） （4）
【解析】（1）设，因为，所以，则.
因为，
所以，.
即，. 3 分
（2）因为，
由对勾函数的性质可得，其值域为，
所以，. 6 分
（3）由是一次函数，可设，
所以，即，
所以，解得，
所以的解析式是. 9 分
（4）因为 ①，
将用替换，得 ②，
由①②联立方程组，消去，解得. 13 分
【点拨】求函数解析式常用换元法、配凑法、待定系数法和方程组法，使用换元法和配凑法时务必注意新变量的取值范围.
16.（15分）求函数的值域.
【答案】
【解析】由有意义可得，解得，
所以函数的定义域为. 3 分
因为，将函数两边平方得：
6 分
. 9 分
因为，所以当时，取得最大值，
当或时，取得最小值. 12 分
所以，
则，
所以，又，所以.
故函数的值域为. 15 分
【点拨】求形如的无理函数值域，通常采用平方化归法，将其转化为二次函数求最值问题.
17.（15分）若函数的定义域是，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】由函数的定义域为，
得对任意恒成立， 4 分
即恒成立. 7 分
因为指数函数在上单调递增，
所以对任意恒成立， 10 分
化简得恒成立.
所以， 13 分
即，解得.
故实数的取值范围为. 15 分
【点拨】已知定义域为求参数范围，本质上是转化为不等式恒成立问题，结合指数函数的单调性和二次函数的判别式求解.
18.（17分）已知函数，若，求实数的值.
【答案】或或或
【解析】当时，. 2 分
若，即时，.
令，解得，满足； 6 分
若，即时，.
令，解得或，
即或，均满足. 10 分
当时，. 因为，所以， 12 分
此时.
令，解得或.
若，解得，满足；
若，即，，无实数解. 16 分
综上所述，实数的值为或或或. 17 分
【点拨】求解分段函数的复合方程，关键是“由内向外”或“由外向内”分类讨论，每次求得结果后必须检验是否满足所在分支的条件.
19.（17分）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，求方程的解集.
【答案】
【解析】因为定义在上的单调函数，对任意都有，
令（为常数），则. 3 分
在上式中令，则，即， 6 分
显然是该方程的一个解.
又在上单调递减，在上单调递增，
所以方程至多有一个解，故. 9 分
所以，即. 12 分
由得，，即.
显然和是该方程的解. 15 分
在同一坐标系中作出函数和的图象，可知这两个图象只有个交点，
则方程的解集为. 17 分
【点拨】利用抽象函数恒等式求解析式时，常通过换元将内层函数整体视为常数，再利用单调性确定该常数的唯一值.
第 2 页，共 17 页第6讲 函数的概念·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2024·重庆·二模）任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（ 　　）
A. B. C. D.
2.下列各组函数中，表示同一函数的是（ 　　）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，，
3.函数的图象与直线的交点个数（ 　　）
A. 至少1个 B. 至多1个
C. 仅有1个 D. 有0个、1个或多个
4.（2026·福州·3月检测）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A. 34 B. 35 C. 36 D. 37
5.（2026·南通·一模）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确 是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·茂名·一模）已知函数则（ 　　）
A. 0 B. 2 C. 4 D. 16
7.（2026·精诚联盟·二模）已知函数若，则实数（ 　　）
A. B. 2 C. D.
8.（2026·南昌·一模）已知函数在定义域内有最小值，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·随州六校·一模）下列四个函数，定义域和值域相同的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.（2026·湘豫名校·5月预测）已知且，函数则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则为增函数
B. 若，则的解集为
C. 若，则的图象关于直线对称
D. ，，恒为常数
11.已知函数，则使的可以是（ 　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·南京鼓楼·二模）已知集合，是的函数，且满足，则这样的函数的个数为＿＿＿＿＿＿.
13.（2025·创新联盟·三模）函数的定义域为＿＿＿＿＿＿，值域为＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·名校联盟·5月评估）定义若函数，且在区间上的值域为，则的最大值为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）求下列函数的解析式：
（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数且，求的解析式；
（4）已知满足，求的解析式.
16.（15分）求函数的值域.
17.（15分）若函数的定义域是，求实数的取值范围.
18.（17分）已知函数，若，求实数的值.
19.（17分）已知定义在上的单调函数，若对任意都有，求方程的解集.
第 2 页，共 17 页

展开更多......

收起↑