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第2讲　洛伦兹力及带电粒子在磁场中的运动
[复习目标]
1．能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间。　2.学会处理带电粒子在直线边界、圆形边界磁场中运动的问题。　3.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界和极值问题。
一、洛伦兹力
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫作洛伦兹力。
2．洛伦兹力的方向
(1)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。
(2)判定方法：左手定则。
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。
4．洛伦兹力的特点——洛伦兹力永不做功。
1．(1)带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用。(　　)
(2)若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零，则该点的磁感应强度一定为零。(　　)
(3)洛伦兹力对运动电荷一定不做功。(　　)
(4)带电粒子在A点受到的洛伦兹力比在B点大，则A点的磁感应强度比B点的大。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，则带电粒子以入射速度v做匀速直线运动。
2．若v⊥B，则带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做匀速圆周运动。
3．基本公式
(1)向心力公式：qvB＝m；
(2)轨道半径公式：r＝；
(3)周期公式：T＝。
注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率无关。
2．(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。(　　)
(2)洛伦兹力不改变带电粒子的动能。(　　)
(3)洛伦兹力的大小与速度无关。(　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)×
考点一　洛伦兹力和带电体的运动
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(3)洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力
比较项目 洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场方向的关系 一定是F⊥B，F⊥v 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
续　表
比较项目 洛伦兹力 电场力
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功、负功，也可能不做功
作用效果 只改变电荷的速度方向，不改变速度大小 既可以改变电荷的速度大小，也可以改变速度的方向
(2026·陕西榆林市模拟)如图所示，示波管内的电子枪(图中未画出)射出的电子束射向荧光屏，若不加电场和磁场，电子束将沿图中虚直线垂直打在荧光屏上。现于示波管的正下方放置一条形磁体，使磁体与虚直线在同一竖直平面(纸面)内，且条形磁体的N极靠近示波管，示波管中的电子束将(　　)
A.向纸外偏转 B．向纸内偏转
C.向上偏转 D．向下偏转
[解析]　示波管下方磁体N极靠近时，电子束通过的路径上有竖直向上的磁场；电子束由左向右运动，由左手定则可知，电子束受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向里，即电子束向纸面内侧偏转。
[答案]　B
(2026·河南南阳市期末)如图所示，质量为m、带电荷量为－q的三个相同带电小球a、b、c，从同一高度以初速度v0水平抛出，小球a只在重力作用下运动，小球b在重力和洛伦兹力作用下运动，小球c在重力和电场力作用下运动，落地时重力的瞬时功率分别为Pa、Pb、Pc，则以下判断中正确的是(　　)
A.Pa＝Pb＝Pc B．Pa>Pb>Pc
C.Pa[解析]　小球落地时重力的瞬时功率等于重力乘以沿重力方向的速度，通过分析， b球受到的洛伦兹力总是沿水平方向，不影响竖直方向的运动，c球受的电场力方向垂直于纸面向外，对竖直方向的运动也没有影响，故竖直方向小球都做自由落体运动，高度相同，所以小球的末速度在竖直方向的分量相同，重力又相等，根据P＝mgvy，可知三个球落地瞬间重力的瞬时功率相等，即Pa＝Pb＝Pc。
[答案]　A
考点二　带电粒子在有界磁场中的运动
1．思路和方法
一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法。在具体问题中，要依据题目条件和情境而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝m ，求半径r＝及运动周期T＝＝。
2．圆心的确定方法
方法一　若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
方法二　若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与已知速度方向点处洛伦兹力F方向的交点即为圆心，如图乙。
3．半径的确定
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
4．时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可表示为t＝T，t＝(l为弧长)。
考向1　直线边界磁场
1．粒子发射源位于磁场的边界：该模型粒子轨迹通常具有对称性，即进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等，如图甲、乙、丙所示。
2．粒子的发射源位于磁场中：该模型往往存在着临界状态，当带电粒子的运动轨迹小于圆周且与边界相切时，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点(或恰能射出磁场的临界点)，如图丁中a所示；当带电粒子的运动轨迹等于圆周时，直径与边界相交的点(如图丁中b所示)为带电粒子射出边界的最远点(距O点最远)。
3．平行边界磁场：带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示(存在临界条件)。
(2024·广西卷，T5)
Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A. B． C.(1＋) D．
[解析]　
粒子的运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)。
[答案]　C
(2026·广东惠州市大湾区大联考)
如图所示，一个质量为m、带负电荷粒子的电荷量为q，不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴正向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP＝a。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小。
(2)让大量这种带电粒子同时从x轴上的P点以速度v沿与x轴正向成0～180°的方向垂直于磁场射入第一象限内，求y轴上有带电粒子穿过的区域范围和带电粒子在磁场中运动的最长时间。
[解析]　(1)设粒子运动轨迹半径为r，如图所示
根据几何关系可得r·sin 60°＝a，解得r＝a
由洛伦兹力提供向心力可得
qvB＝m
解得B＝。
(2)粒子从y轴上OA之间射出，设A点纵坐标为yA，PA为轨迹圆的直径，如图所示
由几何关系得
y＋a2＝(2r)2
解得yA＝
可知y轴上有带电粒子穿过的区域范围为0≤y≤
沿x轴正方向出发的粒子在磁场中运动时间最长，设该时间为t，轨迹对应的圆心角设为π＋α，如图所示
由几何关系得r sin α＝a
解得α＝
则有tmax＝·T＝·＝。
[答案]　(1)　(2)0≤y≤　
考向2　圆形边界磁场
1．掌握三种模型
(1)速度指向圆心的模型：粒子的入射速度指向圆心时，粒子射出磁场时速度的反向延长线一定过圆心，且粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏转角，如图甲所示。
(2)速度不指向圆心的模型：带电粒子的速度不指向圆心，带电粒子从直径的一个端点射入磁场，从该直径的另一端射出时，粒子的轨迹关于磁场圆心O和轨迹圆心O′的连线对称，入射速度与出射速度的交点与OO′在一条直线上，如图乙所示。
(3)环形磁场的模型：如磁场区域为环状，带电粒子沿径向射入磁场，要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度，如图丙所示。
2．熟记两个结论
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图(a)所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图(b)所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。
如图所示，
半径为R的圆形区域内存在匀强磁场(图中未画出)，磁场方向垂直于圆所在的平面。一速度为v的带电粒子从圆周上的A点沿半径方向射入磁场，入射点A与出射点B间的圆弧为整个圆周的三分之一。现有一群该粒子从A点沿该平面以任意方向射入磁场，已知粒子速率均为v，忽略粒子间的相互作用，则粒子在磁场中最长运动时间为(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　
粒子在磁场中做匀速圆周运动，设速率为v的带电粒子的运动半径为r1，其轨迹如图中弧AB所示，由题意可知∠AOB＝120°，由几何关系可得θ＝30°，圆周运动的半径r1＝＝R，由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，可得粒子的半径r＝，可知粒子运动半径与速率成正比，则速率为v的粒子在磁场中圆周运动半径r2＝r1＝2R，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹的弦为磁场区域圆的直径，粒子运动轨迹如图中的弧AC，则sin β＝，可得β＝30°，粒子在磁场中运动的周期T＝，粒子在磁场中最长运动时间t＝T＝。
[答案]　C
(多选)
(2025·甘肃卷，T10)2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置(BEST)在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是(　　)
A.外圆半径等于2R0
B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c粒子返回A点所用的最短时间之比为
D.c粒子的速度大小为va
[解析]　
甲
由题意，作出a粒子运动轨迹图，如图甲所示，a粒子恰好到达磁场外边界后返回，a粒子运动的圆周正好与磁场外边界相切，然后沿径向做匀速直线运动，再做匀速圆周运动恰好回到A点，由洛伦兹力提供向心力有qvaB＝m eq \f(v,Ra) ，又va＝，可得Ra＝R0，则由几何关系得外圆半径R′＝R0＋R0，A错误；由A项分析可知，a粒子做匀速圆周运动的周期T＝＝，在磁场中运动的时间t1＝·T＝，做匀速直线运动的时间t2＝＝，故a粒子返回A点所用的最短时间tmin＝t1＋t2＝，B正确；由题意，作出b、c粒子运动轨迹图，如图乙所示，因为b、c粒子返回A点时都运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动的周期相同，故所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc＝R0，洛伦兹力提供向心力有qvcB＝ eq \f(mv,Rc) ，联立解得vc＝va，D正确。
乙
[答案]　BD
考点三　磁发散与磁聚焦
1．磁发散(点入平出)：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图(a)所示。
2．磁聚焦(平入点出)：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图(b)所示。
(多选)
如图所示，扇形区域AOB内存在垂直于平面向里的匀强磁场，OA和OB是扇形的互相垂直的两条半径，一个带电粒子从A点沿AO方向进入磁场，从B点离开。若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场，则(　　)
A.粒子带正电
B.C点越靠近B点，粒子偏转角度越大
C.C点越远离B点，粒子运动时间越短
D.只要C点在AB之间，粒子仍然从B点离开磁场
[解析]　
由题意，粒子从A点进入磁场从B点离开，由左手定则可以确定粒子带正电，故A正确；由题意知当粒子从A点入射时，从B点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径等于圆弧磁场区域的半径，根据磁聚焦的原理当入射方向平行时，这些粒子将从同一点射出，如图所示，粒子从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场，则这些粒子从同一点B射出，从图中看出，C点越靠近B点，偏转角越小，运动时间越短，离B点越远，偏转角越大，运动时间越长，故B、C错误，D正确。
[答案]　AD
拓展点 旋转圆和放缩圆模型
1．旋转圆模型
旋转圆模型 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝。如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
界定方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为旋转圆法
2.放缩圆模型
放缩圆模型 适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情况)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为放缩圆法
(2025·安徽卷，T7)
如图，在竖直平面内的xOy直角坐标系中，x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直于纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿xOy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q，质量为m，速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则(　　)
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
[解析]　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得r＝d，A错误；粒子能打到薄板上表面最远位置如图甲所示，LNB＝2d cos 30°＝d，粒子能打到薄板上表面最近位置如图乙所示，LNB′＝d，所以薄板上表面接收到粒子的区域长度LBB′＝(－1)d，B错误；粒子能打到薄板下表面最远距离如图丙所示，此时粒子的运动轨迹在C点与MN恰好相切，薄板的下表面接收到粒子的区域长度LNC＝d，C正确；薄板接收到的粒子运动的最短时间对应的运动轨迹的弦长最短，如图丁所示，粒子的运动周期T＝＝，粒子打到N点处的运动时间最短，tmin＝T＝，D错误。
[答案]　C
空间存在垂
直于纸面向外的匀强磁场(未画出)，A、B、C、D、E为磁场中的五个点，AB＝DE，C为BD中点，AB平行于DE，如图所示。一束带正电的同种粒子垂直于AB由A点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，一段时间后第一次到达B、C、D、E四点的粒子所经历的时间分别为tB、tC、tD、tE，下列说法正确的是(　　)
A.tB＞tC＞tD＞tE B．tB＞tC＝tE＞tD
C.tB＞tC＞tE＝tD D．tB＝tE＞tC＞tD
[解析]　
粒子通过B、C、D、E各点的轨迹如图所示，由几何关系可知，从A到B，粒子运动轨迹对应的圆心角为180°，从A到C和A到E，粒子运动轨迹对应的圆心角小于180°，且相等，A到D，粒子运动轨迹对应的圆心角最小，带电粒子垂直进入匀强磁场后做匀速圆周运动，运动周期T＝，t＝·T，所以运动轨迹对应的圆心角越大，运动时间越长，所以tB＞tC＝tE＞tD。
[答案]　B(共58张PPT)
第2讲　洛伦兹力及带电粒子在磁场中的运动
[复习目标]
1．能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间。　2.学会处理带电粒子在直线边界、圆形边界磁场中运动的问题。　3.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界和极值问题。
基础自主梳理
第一部分
一、洛伦兹力
1．洛伦兹力
磁场对__________的作用力叫作洛伦兹力。
2．洛伦兹力的方向
(1)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的______。
(2)判定方法：__________。
运动电荷
平面
左手定则
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝______。(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。
4．洛伦兹力的特点——洛伦兹力永不做功。
qvB
1．(1)带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用。(　　)
(2)若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零，则该点的磁感应强度一定为零。(　　)
(3)洛伦兹力对运动电荷一定不做功。(　　)
(4)带电粒子在A点受到的洛伦兹力比在B点大，则A点的磁感应强度比B点的大。(　　)
深化辨析
×
√
×
×
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1．若v∥B，则带电粒子以入射速度v做______直线运动。
2．若v⊥B，则带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做__________运动。
3．基本公式
(1)向心力公式：qvB＝______；
(2)轨道半径公式：r＝____；
(3)周期公式：T＝____。
注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率______。
匀速
匀速圆周
无关
2．(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。(　　)
(2)洛伦兹力不改变带电粒子的动能。(　　)
(3)洛伦兹力的大小与速度无关。(　　)
深化辨析
×
√
√
考点一　洛伦兹力和带电体的运动
第二部分
1．洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(3)洛伦兹力方向始终与速度方向垂直，洛伦兹力一定不做功。
2．洛伦兹力与安培力
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力
比较项目 洛伦兹力 电场力
产生条件
大小
力方向与 场方向的 关系
v≠0且v不与B平行
电荷处在电场中
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
一定是F⊥B，
F⊥v
正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
比较项目 洛伦兹力 电场力
做功情况
作用效果
任何情况下都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功
只改变电荷的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷的速度大小，也可以改变速度的方向
例1 (2026·陕西榆林市模拟)如图所示，示波管内的电子枪(图中未画出)射出的电子束射向荧光屏，若不加电场和磁场，电子束将沿图中虚直线垂直打在荧光屏上。现于示波管的正下方放置一条形磁体，使磁体与虚直线在同一竖直平面(纸面)内，且条形磁体的N极靠近示波管，示波管中的电子束将(　　)
B
A.向纸外偏转 B．向纸内偏转
C.向上偏转 D．向下偏转
[解析]　示波管下方磁体N极靠近时，电子束通过的路径上有竖直向上的磁场；电子束由左向右运动，由左手定则可知，电子束受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向里，即电子束向纸面内侧偏转。
例2 (2026·河南南阳市期末)如图所示，质量为m、带电荷量为－q的三个相同带电小球a、b、c，从同一高度以初速度v0水平抛出，小球a只在重力作用下运动，小球b在重力和洛伦兹力作用下运动，小球c在重力和电场力作用下运动，落地时重力的瞬时功率分别为Pa、Pb、Pc，则以下判断中正确的是(　　)
A
A.Pa＝Pb＝Pc B．Pa>Pb>Pc
C.Pa[解析]　小球落地时重力的瞬时功率等于重力乘以沿重力方向的速度，通过分析， b球受到的洛伦兹力总是沿水平方向，不影响竖直方向的运动，c球受的电场力方向垂直于纸面向外，对竖直方向的运动也没有影响，故竖直方向小球都做自由落体运动，高度相同，所以小球的末速度在竖直方向的分量相同，重力又相等，根据P＝mgvy，可知三个球落地瞬间重力的瞬时功率相等，即Pa＝Pb＝Pc。
第三部分
考点二　带电粒子在有界磁场中的运动
2．圆心的确定方法
方法一　若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
方法二　若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与已知速度方向点处洛伦兹力F方向的交点即为圆心，如图乙。
3．半径的确定
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：
粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt。
　考向1　直线边界磁场
1．粒子发射源位于磁场的边界：该模型粒子轨迹通常具有对称性，即进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等，如图甲、乙、丙所示。
3．平行边界磁场：带电粒子在平行边界磁场中运动时的半径R与平行边界距离d之间的关系如图所示(存在临界条件)。
例3 (2024·广西卷，T5)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
C
例4 (2026·广东惠州市大湾区大联考)如图所示，一个质量为m、带负电荷粒子的电荷量为q，不计重力的带电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴正向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP＝a。
(1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小。
(2)让大量这种带电粒子同时从x轴上的P点以速度v沿与x轴正向成0～180°的方向垂直于磁场射入第一象限内，求y轴上有带电粒子穿过的区域范围和带电粒子在磁场中运动的最长时间。
　考向2　圆形边界磁场
1．掌握三种模型
(1)速度指向圆心的模型：粒子的入射速度指向圆心时，粒子射出磁场时速度的反向延长线一定过圆心，且粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏转角，如图甲所示。
(2)速度不指向圆心的模型：带电粒子的速度不指向圆心，带电粒子从直径的一个端点射入磁场，从该直径的另一端射出时，粒子的轨迹关于磁场圆心O和轨迹圆心O′的连线对称，入射速度与出射速度的交点与OO′在一条直线上，如图乙所示。
(3)环形磁场的模型：如磁场区域为环状，带电粒子沿径向射入磁场，要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度，如图丙所示。
2．熟记两个结论
(1)径向进出：当粒子运动方向与磁场方向垂直时，沿圆形磁场半径方向射入的带电粒子，必沿径向射出圆形磁场区域，即粒子出射速度的反向延长线必过磁场圆的圆心，如图(a)所示。
(2)等角进出：入射速度方向与过入射点的磁场圆半径的夹角等于出射速度方向与过出射点的磁场圆半径的夹角，如图(b)所示。径向进出是等角进出的一种特殊情况(θ＝0°)。
C
√
√
甲
乙
第四部分
考点三　磁发散与磁聚焦
1．磁发散(点入平出)：若带电粒子从圆形匀强磁场区域圆周上一点沿垂直于磁场方向进入磁场，当带电粒子做圆周运动的半径与圆形磁场区域的半径相同时，所有带电粒子都以平行于磁场区域圆周上入射点处的切线方向射出磁场，如图(a)所示。
2．磁聚焦(平入点出)：若带电粒子以相互平行的速度射入磁场，且带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和圆形磁场区域半径相同，则这些带电粒子将会从磁场区域圆周上同一点射出，且磁场区域圆周上该点的切线与带电粒子射入磁场时的速度方向平行，如图(b)所示。
例7 (多选)如图所示，扇形区域AOB内存在垂直于平面向里的匀强磁场，OA和OB是扇形的互相垂直的两条半径，一个带电粒子从A点沿AO方向进入磁场，从B点离开。若该粒子以同样的速度从C点平行于AO方向进入磁场，则(　　)
A.粒子带正电
B.C点越靠近B点，粒子偏转角度越大
C.C点越远离B点，粒子运动时间越短
D.只要C点在AB之间，粒子仍然从B点离开磁场
AD
[解析]　由题意，粒子从A点进入磁场从B点离开，由左手定则可以确定粒子带正电，故A正确；
由题意知当粒子从A点入射时，从B点离开磁场，则粒子做圆周运动的半径等于圆弧磁场区域的半径，根据磁聚焦的原理当入射方向平行时，这些粒子将从同一点射出，如图所示，粒子从点A、C、C1、C2以相同的方向进入磁场，则这些粒子从同一点B射出，从图中看出，C点越靠近B点，偏转角越小，运动时间越短，离B点越远，偏转角越大，运动时间越长，故B、C错误，D正确。
拓展点 旋转圆和放缩圆模型
1．旋转圆模型
2.放缩圆模型
√
粒子能打到薄板下表面最远距离如图丙所示，此时粒子的运动轨迹在C点与MN恰好相切，薄板的下表面接收到粒子的区域长度LNC＝d，C正确；
例9 空间存在垂直于纸面向外的匀强磁场(未画出)，A、B、C、D、E为磁场中的五个点，AB＝DE，C为BD中点，AB平行于DE，如图所示。一束带正电的同种粒子垂直于AB由A点沿纸面向上射入磁场，各粒子速度大小不同，一段时间后第一次到达B、C、D、E四点的粒子所经历的时间分别为tB、tC、tD、tE，下列说法正确的是(　　)
A.tB＞tC＞tD＞tE B．tB＞tC＝tE＞tD
C.tB＞tC＞tE＝tD D．tB＝tE＞tC＞tD
B(共31张PPT)
演练知能提升
1．一带电粒子以速度v进入匀强磁场，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。如果速度v增大，下列说法正确的是(　　)
A.半径增大，周期不变 B．半径增大，周期增大
C.半径减小，周期不变 D．半径减小，周期减小
A
2．(2026·宁夏中卫市一模)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹分别如图中的两条虚线所示，下列表述正确的是(　　)
A.M带正电，N带负电
B.M的速率大于N的速率
C.洛伦兹力对M、N做正功
D.M的运行时间大于N的运行时间
B
解析：根据左手定则可知，M带负电，N带正电，A错误；
洛伦兹力不做功，C错误；
B
B
B
解析：a粒子向上偏转，b粒子向下偏转，由左手定则知a粒子带正电，b粒子带负电，故A错误；
6．(2026·河南郑州市质量预测)如图所示，a、b、c为三个完全相同的带负电的小球，在真空中从相同高度由静止下落。在下落过程中，a球始终处在水平匀强电场中，b球始终处在水平匀强磁场中，c球始终处在竖直匀强磁场中。已知三小球落地时间分别为ta、tb、tc，落地时速率分别为va、vb、vc，则(　　)
A.tb>ta＝tc，va>vb＝vc
B.ta＝tb＝tc，va>vb>vc
C.tb>ta＝tc，va＝vb＝vc
D.ta＝tb＝tc，va>vb＝vc
A
解析：a球受竖直向下的重力、水平向左的电场力作用，在水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做自由落体运动，重力和电场力均做正功；b球运动后除重力之外还受到洛伦兹力作用，在洛伦兹力的作用下，小球的轨迹将为曲线，且竖直方向的加速度小于g，下落时间变长，由于只有重力做功，所以小球落地速度较小；c球只受重力，只有重力做功，其落地速度的大小与b球速度大小相等，下落时间与a球相等，即tb>ta＝tc，va>vb＝vc。
7.(多选)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直于ad边界的速度从e点射入该磁场，不计电子受到的重力及其相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是(　　)
A.从d点离开的电子在磁场中运动的半径最大
B.从ad边离开的电子在磁场中运动的时间都相等
C.从bc边离开的电子速度越大，偏转的角度越大
D.从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点
BD
解析：电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图
所示，可知从d点离开的电子在磁场中运动的半
径不是最大，故A错误；
8.(多选)(2026·福建龙岩市一模)如图所示，一个半径为R的圆形区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带负电粒子，粒子的质量均为m、所带电荷量均为q、运动的半径均为r，粒子重力忽略不计。下列说法正确的是(　　)
√
√
9.(10分)(2026·新疆乌鲁木齐市质监)如图所示为某电磁仪器的原理图，在虚线MN上方有一半径为R的圆形匀强磁场区域，其圆心O位于M点正上方且OM间的距离为2R，圆内磁场方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为＋q的粒子从M点沿垂直于MN向上的方向以初速度v0射出，粒子通过圆形磁场区域后速度方向与MN平行，不计粒子重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小B。(4分)
10．(16分)如图所示，真空区域内有一宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。AB、CD为磁场的边界。O是AB上一粒子源，某时刻从O点沿各个方向射入大量速度大小相等、方向与磁场垂直、质量为m、电荷量为q的正粒子(重力不计)。已知沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(6分)
(2)粒子在磁场中做圆周运动速度大小；(4分)1．一带电粒子以速度v进入匀强磁场，仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。如果速度v增大，下列说法正确的是(　　)
A.半径增大，周期不变 B．半径增大，周期增大
C.半径减小，周期不变 D．半径减小，周期减小
解析：选A。根据洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，T＝，解得r＝，T＝，如果速度v增大，可知半径增大，周期不变。
2．(2026·宁夏中卫市一模)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N，以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场，运行的半圆轨迹分别如图中的两条虚线所示，下列表述正确的是(　　)
A.M带正电，N带负电
B.M的速率大于N的速率
C.洛伦兹力对M、N做正功
D.M的运行时间大于N的运行时间
解析：选B。根据左手定则可知，M带负电，N带正电，A错误；粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m，解得r＝，因为是同一磁场，又M和N两粒子的质量和电荷量都相等，故轨道半径大小r和速度v成正比，B正确；洛伦兹力不做功，C错误；粒子在磁场中运动的周期T＝＝，故两粒子在磁场中运动的周期相同，它们均运动了半个周期，故它们运动的时间相同，D错误。
3.(2026·河北省部分高中模拟)如图所示，圆形区域内存在一垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B1，P点为磁场边界上的一点，相同的带正电荷粒子，以相同的速率从P点射入磁场区域，速度方向沿位于纸面内的各个方向，这些粒子射出磁场区域的位置均处于磁场边界的位置的某一段弧上，这段圆弧的弧长是磁场边界圆周长的。若只将磁感应强度的大小变为B2，结果相应的弧长变为磁场边界圆周长的，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，则等于(　　)
A. B． C． D．
解析：
选B。当磁感应强度为B2时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，即∠POM＝120o，如图所示，所以粒子做圆周运动的半径r2＝R sin 60o＝，同理可知，r1＝R sin 30o＝，解得＝，故B正确。
4.(2026·福建龙岩市模拟)如图，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　)
A. B．
C. D．
解析：
选B。粒子的运动轨迹如图所示，即运动由两部分组成，粒子在第二象限运动转过的角度为90°，则运动的时间t2＝＝·＝；粒子在第一象限转过的角度为60°，则运动的时间t1＝＝·＝，则粒子在磁场中运动的时间t＝t1＋t2＝＋＝，故B正确。
5.(2026·湖北省部分高中协作体联考)如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是(　　)
A.粒子a带负电，粒子b带正电
B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶
C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1
D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
解析：
选B。a粒子向上偏转，b粒子向下偏转，由左手定则知a粒子带正电，b粒子带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x＝Ra sin 60°＝Rb sin 30°，Ra∶Rb＝1∶，故B正确；由qvB＝m得v＝，比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝Ra∶Rb＝1∶，故C错误；由粒子运动周期T＝可得Ta＝Tb，a运动时间ta＝Ta＝T，b运动时间tb＝Tb＝T，故ta∶tb＝2∶1，故D错误。
6．(2026·河南郑州市质量预测)如图所示，a、b、c为三个完全相同的带负电的小球，在真空中从相同高度由静止下落。在下落过程中，a球始终处在水平匀强电场中，b球始终处在水平匀强磁场中，c球始终处在竖直匀强磁场中。已知三小球落地时间分别为ta、tb、tc，落地时速率分别为va、vb、vc，则(　　)
A.tb>ta＝tc，va>vb＝vc
B.ta＝tb＝tc，va>vb>vc
C.tb>ta＝tc，va＝vb＝vc
D.ta＝tb＝tc，va>vb＝vc
解析：选A。a球受竖直向下的重力、水平向左的电场力作用，在水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做自由落体运动，重力和电场力均做正功；b球运动后除重力之外还受到洛伦兹力作用，在洛伦兹力的作用下，小球的轨迹将为曲线，且竖直方向的加速度小于g，下落时间变长，由于只有重力做功，所以小球落地速度较小；c球只受重力，只有重力做功，其落地速度的大小与b球速度大小相等，下落时间与a球相等，即tb>ta＝tc，va>vb＝vc。
7.
(多选)如图所示，横截面为正方形abcd的有界匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直于ad边界的速度从e点射入该磁场，不计电子受到的重力及其相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是(　　)
A.从d点离开的电子在磁场中运动的半径最大
B.从ad边离开的电子在磁场中运动的时间都相等
C.从bc边离开的电子速度越大，偏转的角度越大
D.从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点
解析：
选BD。电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图所示，可知从d点离开的电子在磁场中运动的半径不是最大，故A错误；设电子速度偏转角度为θ，则电子在磁场中运动的时间t＝·＝，由轨迹图可知，从ad边离开的电子速度偏转角相等，所以运动时间相等，故B正确；由evB＝可得r＝，可知速度越大半径越大，所以从cd边离开的电子速度越大，越靠近c点，同理可知从bc边离开的电子速度越大，半径越大，则速度偏转角越小，故C错误，D正确。
8.(多选)(2026·福建龙岩市一模)如图所示，一个半径为R的圆形区域内分布磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一粒子源从圆上的A点向各个方向不停地发射出相同速率的带负电粒子，粒子的质量均为m、所带电荷量均为q、运动的半径均为r，粒子重力忽略不计。下列说法正确的是(　　)
A.若r＝2R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
B.若r＝2R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是半个圆周
C.若r＝R，则粒子在磁场中运动的最长时间为
D.若r＝R，则粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一个圆周
解析：选AD。若r＝2R，根据几何关系可知，粒子沿不同方向射入磁场，会从磁场圆的不同位置出射，范围是整个圆周长，其中粒子在磁场中运动的时间最长时，运动轨迹的弦是磁场区域的直径，作出轨迹如图1所示，由几何关系知圆心角α＝60°，运动时间是周期，粒子在磁场中运动的最长时间tmax＝×＝，故A正确，B错误；若r＝R，粒子在磁场圆的出射点都在AP之间，如图2所示，AP弧长对应的圆心角为60°，所以粒子能打在圆形磁场圆周上的范围是六分之一圆周长，在磁场中运动时间最长的粒子正好转过了一周，时间tmax＝T＝，故C错误，D正确。
　
9.(10分)(2026·新疆乌鲁木齐市质监)如图所示为某电磁仪器的原理图，在虚线MN上方有一半径为R的圆形匀强磁场区域，其圆心O位于M点正上方且OM间的距离为2R，圆内磁场方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为＋q的粒子从M点沿垂直于MN向上的方向以初速度v0射出，粒子通过圆形磁场区域后速度方向与MN平行，不计粒子重力。
(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小B。(4分)
(2)若该粒子以初速度v0从M点沿垂直于MN向上的方向射出，求粒子从射出到返回虚线MN上所用的时间t。(6分)
解析：
(1)设粒子在磁场中的轨迹半径为r1，运动轨迹如图甲所示，由几何关系可知r1＝R
由洛伦兹力提供向心力有qv0B＝m eq \f(v,r1) ，解得B＝。
(2)粒子以初速度v1＝v0进入磁场，运动轨迹如图乙所示，由P点进入磁场从Q点射出磁场，设∠POQ＝α，轨迹圆圆心为O2，设粒子在磁场中的轨迹圆半径为r2，运动的时间为t1；粒子在无磁场区域运动的总时间为t2
由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m eq \f(v,r2) ，解得
r2＝R
由几何关系可知tan ＝，解得α＝
粒子在磁场中的运动时间t1＝＝
粒子在无磁场区域运动的总时间
t2＝＝
粒子从射出到返回虚线MN上所用的时间
t＝t1＋t2＝。
答案：(1)　(2)
10．(16分)如图所示，真空区域内有一宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。AB、CD为磁场的边界。O是AB上一粒子源，某时刻从O点沿各个方向射入大量速度大小相等、方向与磁场垂直、质量为m、电荷量为q的正粒子(重力不计)。已知沿着与AB夹角θ＝30°方向入射的粒子刚好垂直于CD边界射出磁场。求：
(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径；(6分)
(2)粒子在磁场中做圆周运动速度大小；(4分)
(3)粒子在磁场中运动的最长时间(cos 82°＝1－)。(6分)
解析：
由题意可知粒子轨迹如图所示
(1)由几何关系可得粒子做圆周运动的半径
R＝＝d。
(2)由粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则
qvB＝m
解得R＝
联立解得粒子的速度v＝＝。
(3)当粒子轨迹与CD边相切时，轨迹圆的圆心角α最大，如图所示，粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系得cos ＝
代入数据得cos ＝1－
即α＝164°，粒子做圆周运动的周期
T＝＝
粒子在磁场中运动的最长时间t＝T
代入解得t＝。
答案：(1)d　(2)　(3)

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