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第7讲 函数的性质·分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C D B （1）在上单调递减，证明见解析 （2） 见解析
6 7 8 9 10
A A A A
11 12 13 14 15
C A
16 17 18 19 20
C D D D （1）奇函数 （2）偶函数 （3）偶函数 （4）非奇非偶函数 （5）偶函数
21 22 23 24 25
C A A
26 27 28 29 30
C A C A
31 32 33 34 35
C A B ABD ABD
36 37 38 39 40
D D C C D
41 42 43 44 45
B A A
46 47 48 49 50
D C C ABD
51 52 53 54 55
B B ABD ABD A
56 57 58 59 60
B D A C BC
61 62 63
（1）偶函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 ACD ACD
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
1.已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ 　　）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，等价于对于任意两个不相等的实数，总有.所以函数一定是增函数.对应选项C.
【点拨】本题考查利用定义判断函数的单调性，将已知条件等价转化为时是解题关键.
2.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意.对应选项D.
【点拨】本题考查指数函数的性质，熟记指数函数的运算性质及单调性即可.
3.函数的单调递增区间是（ 　　）
A.
B. 和
C. 和
D. 和
【答案】B
【解析】由，画出函数图象，观察图象可知，函数的单调递增区间是和.对应选项B.
【点拨】本题考查含绝对值函数的单调区间的求解，利用分段函数画出图象，数形结合是解题的有效方法.
4.（2024·泰州海陵区·期中）已知函数.
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析 （2）
【解析】（1）在上递减，理由如下：
任取，且，则
，
∵，且，
∴，，
∴，即，
∴在上递减；
（2）由（1）可知在上递减，
∴由，得，
解得，
∴实数的取值范围为.
【点拨】本题考查利用定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，解题时需注意函数定义域的限制.
5.设，，证明：函数是的增函数.
【答案】见解析
【解析】当时，在伯努利不等式定理中取，，，
则有，即，
则有，从而，
即.
所以当时，是的增函数.
【点拨】本题考查利用伯努利不等式证明函数的单调性，构造合适的变量代入不等式是解题的关键.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
6.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）已知函数，若，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】易知在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，
所以是上增函数.
因为，
所以，即.
对应选项A.
【点拨】本题考查利用函数的单调性比较大小，根据基本初等函数的单调性判断出的单调性是解题关键.
7.（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由函数是上的奇函数，且，在上单调递减，
可得函数的图象关于原点对称，，且在上单调递减，
函数的大致图象如图所示：
结合图象可得，不等式的解集为.
对应选项A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，根据已知条件画出函数的大致图象，数形结合是解题的关键.
8.（2025·江西三新·3月联考）已知函数则不等式的解集为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】函数在上单调递减，在上单调递减，且，，所以在定义域上单调递减.
因为，所以，解得.
对应选项A.
【点拨】本题考查分段函数的单调性及解函数不等式，判断出函数在上单调递减是解题的关键.
9.（2026·湖北襄阳第四中学·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】.
令，则，，
故在上单调递增，且为奇函数.
不等式，即，
即，则，
故，即，所以.
对应选项A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，通过构造奇函数并判断其单调性是解题的关键.
10.（2026·山东枣庄·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由得，则为奇函数，
又在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增.
由得，
所以，即对任意恒成立.
当时，恒成立，符合题意；
当时，则，解得.
综上，的取值范围是.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，先判断函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为恒成立问题，再分类讨论求解.
考法3：利用单调性求最值或值域
11.（2026·湖南天壹名校·4月检测）已知函数，且在上的值域为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数在上具有相同的单调性，所以在上单调，
要满足题意，则在上单调递增，所以，解得.
对应选项C.
【点拨】本题考查根据函数的值域求参数，判断出函数在给定区间上的单调性是解题的关键.
12.（2024·河南·模拟预测）已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为为定义在上的单调函数，
所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，
.
易知在上为增函数，且，，
则在上的值域为.
【点拨】本题考查利用函数的单调性求值域，根据复合函数的特征，利用单调性求出的解析式是解题关键.
13.（2024·上海静安·二模）已知函数为偶函数，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵函数是偶函数，
∴，
∴，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，再利用基本不等式求函数的值域.
14.（2024·乌鲁木齐八中·月考）若函数在区间上的最大值为3，则实数＿＿＿＿＿＿.
【答案】3
【解析】∵函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，
故实数.
【点拨】本题考查利用函数的单调性求参数，将函数化为反比例型函数，分类讨论单调性是解题关键.
考法4：根据单调性求参数范围
15.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是定义在上的增函数，
所以，解得或，
又因为当时，在上单调递增，
但在上单调递减，不符合题意，
所以.
对应选项A.
【点拨】本题考查分段函数的单调性，根据分段函数在各段上单调递增且分界点处的函数值满足不等关系列出不等式组是解题的关键.
16.（2024·天津复兴中学·期末）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ 　　）
A.
B.
C. 或
D. 或
【答案】C
【解析】函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
所以或，即或.
对应选项C.
【点拨】本题考查二次函数在给定区间上的单调性，利用对称轴与区间的关系建立不等式是解题关键.
17.（2026·广东东莞·一模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由于在上单调递增，在上单调递减，
所以在上不一定单调递减，
设，则，
由于在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
且，，
所以存在，使得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在上不单调递减，
所以不存在实数，使得在上单调递减，
题目有误，若将改为，
则在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递减，
要使在上单调递减，
则，解得.
对应选项D.
【点拨】本题考查分段函数的单调性，注意原题中第二段函数在上不单调递减，需对题目进行修正后求解.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
18.（2026·湖南永州·一模）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A：函数为奇函数，在上单调递减，不符合；
对于B：函数为偶函数，不符合；
对于C：函数为奇函数，在和分别单调递增，但在整个定义域上不具有单调性，不符合；
对于D：函数为奇函数，在上单调递增，符合题意.
对应选项D.
【点拨】本题考查基本初等函数的奇偶性与单调性的判断，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键.
19.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　）
A. 是奇函数
B. 是周期函数
C. 的最大值为2
D.
【答案】D
【解析】函数，定义域得.
化简得.
选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误.
选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有.
取，则，即，得，与矛盾.
故假设不成立，不是周期函数，B错误.
选项C：取，则，C错误.
选项D：，，所以，D正确.
对应选项D.
【点拨】本题考查对数函数的性质，包括定义域、奇偶性、周期性、最值及函数值大小比较，熟练掌握对数函数的性质是解题关键.
20.利用图象判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）；
（4）；
（5）.
【答案】（1）奇函数 （2）偶函数 （3）偶函数 （4）非奇非偶函数 （5）偶函数
【解析】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中的部分，
再作出的图象中部分关于轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分.
由图知的图象关于轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将轴下方的部分沿轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于轴对称，也不关于轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于轴对称，所以该函数为偶函数.
【点拨】本题考查利用函数图象判断函数的奇偶性，画出分段函数或含绝对值函数的图象是解题关键.
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
21.（2026·八省T8·4月测评）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是定义在上的奇函数，
所以当时，，解得，
所以当时，，
所以.
对应选项C.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数和函数值，利用奇函数在原点有定义时求出参数是解题的关键.
22.（2026·河北NT20·5月检测）已知是奇函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知是奇函数，根据奇函数定义有.
当时，，则，
所以.
对应选项A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，熟练运用奇函数的定义是解题的关键.
23.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为为偶函数，故，
所以的图象关于对称，因此.
因为为奇函数，故，
令得，
当时，，
当时，，
由得，，
所以，即，（注：原解析此处有误，应为.重新推导：，，两式相加得，所以.原题答案给的A，即4.检查原解析：，，.所以，.所以答案应为B.原解析中最后一步解得是错误的.现修正答案为B）
对应选项B.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性的应用，通过赋值法构造方程组求解是解题的关键.
24.（2025·江西上进·3月联考）已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意得，，两式相加并整理得.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数解析式，根据对称性列出方程组是解题关键.
25.（2026·河北衡水名校·学情调研）已知奇函数满足：当时，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】4052
【解析】显然，注意到时，
于是.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，发现为常数是解题的突破口.
考法7：根据奇偶性求参数
26.（2025·江西上进·5月练兵）已知函数为奇函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】易知的定义域为，且是奇函数，则，解得.
对应选项C.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，利用奇函数的定义列方程是解题关键.
27.（2026·山东九五协作体·一模）若为偶函数，则实数的值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由为偶函数，则，
即，化简得，
因为，所以，即.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，根据偶函数的定义恒成立求解即可.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
28.（2024·广东名校·5月押题）已知，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，则是上的单调递增奇函数，
∵，，
，，，∴.
另解，当，时，满足题意，A正确.
对应选项A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，通过构造奇函数并判断其单调性是解题的关键.
29.已知函数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以.
对应选项C.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，观察到函数解析式中含有奇函数部分是解题关键.
30.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于为奇函数，所以，
由得，
由于，所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为，
对应选项A.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及利用基本不等式求最值，“1”的代换是解题关键.
31.已知函数在区间的最大值是，最小值是，则的值等于（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则，
∴和在上单调性相同，
∴设在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴在上为奇函数，∴，
∴，∴，
.
对应选项C.
【点拨】本题考查函数的最值与奇偶性的关系，构造奇函数是解题的关键.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
32.（2026·江苏南师附中·模拟）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列式子中一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数的定义域为，由为奇函数，得，
则，由为偶函数，得，因此，A正确；
取上的函数，是偶函数，且，
则为奇函数，此时，，，因此BCD不一定成立.
对应选项A.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性的推导，利用赋值法或构造具体函数是解题的常用方法.
33.（2026·江西宜春·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，
解得，
又因为函数在区间上单调递减，
所以函数在处取得最大值，
所以,
所以,
解得，
解得.
又因为.
所以.
对应选项B.
【点拨】本题考查三角函数的对称性与单调性，根据对称轴求出的表达式，再结合单调区间求出的范围是解题关键.
34.（2026·河北唐山·一模）（多选）若函数与函数的图象关于轴对称，则（ 　　）
A. 与有相同的零点
B. 为偶函数
C. 与有相同的极值点
D. 对任意的，都有
【答案】ABD
【解析】由函数与函数的图象关于轴对称，得，
对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确；
对于B，，则，
为偶函数，B正确；
对于C，由，求导得，函数在上单调递增，无极值点，
由，求导得，函数在上单调递减，无极值点，C错误；
对于D，令，
因为，，所以，
因此，都有，D正确.
对应选项ABD.
【点拨】本题考查函数图象的对称变换及函数性质的综合判断，求出的解析式是解题的基础.
35.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　）
A. 是奇函数
B.
C. 的图象关于直线对称
D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则A正确；
对于选项B，∵，∴，∴,
∴的周期为8，∴，则B正确；
对于选项C，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项C错误；
对于选项D，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为8，∴正奇数项的周期为4，
∴
，则D正确.
对应选项ABD.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的推导及应用，利用已知条件推导出函数的周期是解题的关键.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
36.（2026·湖北随州·三模）已知定义域为的奇函数的周期为8，则下列结论一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为定义域为的奇函数的周期为8，则，
当时，则，
即，故有，
则
对应选项D.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，利用奇函数在原点有定义时以及周期性推导是解题关键.
37.（2026·湖南九校·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以，
两式相减得，故的一个周期为4，
中，令得，又，故，
所以，
对应选项D.
【点拨】本题考查抽象函数的周期性推导及函数求值，由递推关系求出函数的周期是解题关键.
38.（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为是定义在上周期为4的奇函数，
所以，
因为当时，，
所以，
所以.
对应选项C.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求函数值，将待求自变量转化到已知解析式的区间内是解题关键.
39.（2026·山东日照·二模）已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数为偶函数，所以，
又，所以，即函数的周期为2，
所以.
对应选项C.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，推导出函数的周期是解题的关键.
40.（2026·山东淄博·一模）已知函数的两个零点为和，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】，其中，
令，得，
因为，所以，
又，，
所以有两个解，设为，且，
则，即，
所以.
对应选项D.
【点拨】本题考查三角函数的零点与对称性的关系，利用辅助角公式化简并结合对称性求出两零点之和是解题关键.
41.（2026·广东东莞·一模）已知函数满足，若函数与图象的所 有交点为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，即，
可知函数的图象关于点对称，
令，则，
所以，
所以函数的图象也关于点对称，
所以两函数图象的交点也关于点成对出现，
所以，，
所以.
对应选项B.
【点拨】本题考查函数图象的对称性，判断出两个函数图象具有相同的对称中心是解题的关键.
42.（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于是定义在上的奇函数，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以是周期为4的周期函数，
所以，
又因为是奇函数，，
所以，
所以.
对应选项A.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，推导出函数的周期是解题的关键.
43.（2024·深圳光明区高中·5月模拟）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　）
A. 是偶函数
B. 的最小正周期是2
C. 关于点中心对称
D. 奇函数
【答案】A
【解析】由，得，周期为2，
但最小正周期不能判定，例如函数满足题设条件，但该函数没有最小正周期，故B错误；
由于周期为2，所以，，
又，得，所以是偶函数，A正确；
由只能推出对称轴为，无中心对称的推导依据，C错误；
令，由是偶函数且，
得，又，
所以，所以为偶函数，D错误.
对应选项A.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的推导及应用，熟练掌握函数性质的转化是解题关键.
44.（2026·湖南炎德英才·5月模拟）已知的定义域为，周期为4，当时，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】7
【解析】，因此.
【点拨】本题考查利用函数的周期性求函数值，将待求自变量转化到已知解析式的区间内是解题关键.
45.（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】.因为，所以.所以.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与周期性求函数值，将待求自变量转化到已知解析式的区间内是解题关键.
46.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿.
【答案】5
【解析】函数的图象是中心对称图形，对称中心为.
定义在上的偶函数满足，
则函数有对称轴为轴，对称中心；
又当时，，
当时，，解得，由题意可得，而.
所以，两函数图象无交点，
在同一坐标系在内作出与的图象，
当，，
令，
则，且，
所以存在，使得当时，，单调递增，
所以当时，，即，
结合图象可得，与图象有5个交点，
又均是与的图象的对称中心，
则两函数所有交点的横坐标之和为5.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、对称性与周期性的综合应用，利用数形结合思想，画出函数图象是解题的关键.
考法11：类周期函数的应用
47.定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】若，则
∵，∴
即
∵时，恒成立，∴只需.
当时，最小值为（当时）；
当时，最小值为（当时），
∴
所以只需，解得：或
∴实数的取值范围是
对应选项D.
【点拨】本题考查类周期函数的性质应用，利用递推关系求出函数在指定区间上的解析式并求其最小值是解题关键.
48.已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为，且数列的前项和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.
当时，则，，
所以，，显然当时，，故，，若对于任意正整数不等式恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任意正整数恒成立，设，，令，解得，令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，当时，有单调递减，故数列的最大值为，
所以.
对应选项C.
【点拨】本题考查类周期函数的性质应用，结合数列求和及不等式恒成立问题，构造数列并求其最大值是解题关键.
49.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为时，，
所以，
因为函数满足，
所以，
所以，，
又因为，恒成立，
故，
解不等式可得或.
对应选项C.
【点拨】本题考查类周期函数的性质应用，利用递推关系求出函数在指定区间上的解析式并求其最小值是解题关键.
50.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为
B. 关于的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
【答案】ABD
【解析】∵，则在的图象是将的图象沿轴方向伸长为原来的3倍、沿轴方向缩短为原来的一半
∴
则在上单调递增，在上单调递减
∴在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为
对于A，令，即，则与有四个交点
作出时的图象，如图1：分别与连线的斜率为
结合图象可得：实数的取值范围为，A正确；
对于B，令，则
∴方程的根的个数即为与的交点个数
当时，的最大值为
∴与有且仅有一个交点，
当时，则有：
①当时，在上的最大值为，则与在内有两个交点
②当，则在上的最大值为
∴与有且仅有一个交点
③当时，在上的最大值为，则与在内没有交点
∴当，与没有交点
∴当，与的交点个数为
当时，也成立
∴关于的方程有个不同的解，B正确
对于C，因为图象过点，令，则，C错误
对于D，由题意可得：当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，其底边长为，高为
∴当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
对应选项ABD.
【点拨】本题考查类周期函数的图象与性质的综合应用，根据递推关系求出函数在各区间上的解析式并画出图象是解题关键.
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
51.（2026·山东潍坊·一模）下列函数中，值域为的偶函数是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A：，值域为，不符合题意；
对于B：的定义域为，关于原点对称，且，所以是偶函数，且当时，，当时，，所以的值域为.
对于C：的定义域为，非偶函数，不符合题意；
对于D：，值域为，不符合题意.
对应选项B.
【点拨】本题考查基本初等函数的奇偶性与值域的判断，熟练掌握常见函数的性质是解题关键.
52.（2026·河北衡水·4月检测）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（ 　　）
A. 在上单调递增
B. 在上单调递增
C. 在上单调递减
D. 在上单调递减
【答案】B
【解析】因为为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
因为的图象是由的图象向左平移2个单位长度，
再向下平移1个单位长度得到的，所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减.
对应选项B.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，利用奇函数的对称性得出函数在负半轴的单调性，再结合图象平移规律即可求解.
53.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 为奇函数
B. 的值域是
C. 有极值
D. 存在实数，使得在上的值域为
【答案】ABD
【解析】因为，定义域为，
，所以为奇函数，A正确；
因为，所以，所以，
所以，所以的值域是，B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以在上单调递增，无极值，C错误；
令，
因为，
，
所以在上存在零点，即，
因为为奇函数，所以在上存在零点，即，
所以存在实数，使得在上的值域为，D正确.
对应选项ABD.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、单调性、值域及零点存在性定理的综合应用，构造函数并利用零点存在性定理判断D选项是解题难点.
54.（2026·江苏南京盐城·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 的定义域为
B. 是偶函数
C. 在上单调递增
D. 有且仅有2个零点
【答案】ABD
【解析】对于A，令，解得，
则的定义域为，故A正确，
对于B，由已知得的定义域关于原点对称，
而，
则是偶函数，故B正确，
对于C，当时，得到，
则，此时，
得到在上单调递减，故C错误，
对于D，由题意得的定义域为
不妨令，讨论时的情况即可，
当时，设，
可得，此时，
得到在上单调递减，而，，
可得，则，
由零点存在性定理得存在作为零点，
当时，，此时无零点，
当时，结合偶函数性质得有1个零点，
综上可得，有且仅有2个零点，故D正确.
对应选项ABD.
【点拨】本题考查函数的定义域、奇偶性、单调性及零点个数的综合判断，利用导数研究函数单调性并结合零点存在性定理是解题关键.
考法13：构造函数利用性质解不等式
55.（2025·江西新余·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，求得，故函数的定义域为.
再根据函数满足，可得函数为奇函数，
故关于的不等式，即.
再由函数、在定义域上单调递增，可得函数在其定义域上单调递增，可得
，
解得，
对应选项A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，判断出函数的奇偶性与单调性是解题的关键.
56.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，
当时，，
因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
不等式等价于，
所以，两边平方得，即，
解得或，
所以不等式的解集为.
对应选项B.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式，利用偶函数的性质将不等式转化为自变量绝对值的不等式是解题关键.
57.（2024·广西·模拟预测）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
对应选项D.
【点拨】本题考查利用函数的对称性与单调性解不等式，利用对称性将不等式转化为自变量到对称轴距离的不等式是解题关键.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
58.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为定义域均为且，
所以可得，
又因为是奇函数，是偶函数，所以
即上式可化简为，
再与相加可得，
代入可得，
所以，即.
对应选项A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，利用与的关系构造方程组是解题关键.
59.（2026·山东山师附中·3月检测）（多选）函数满足，都有，且，则（ 　　）
A.
B. 数列单调递减
C.
D.
【答案】C
【解析】对于A：令，得，解得，故A错误；
对于B：令，得，即，
所以数列是常数列，故B错误；
对于C：令，得，
令，得，
所以，
又（由可知），
所以，故C正确；
对于D：由B知，所以，
而不恒等于，故D错误.
对应选项C.
【点拨】本题考查抽象函数的性质推导，利用赋值法结合基本不等式判断选项是解题关键.
60.（2026·江苏南京六合名校·一模）（多选）函数满足，，则下列结论正确的是（ 　　）
A.
B. 的周期为6
C.
D. 的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】由得，代入得，A错误；
令得，
用换得，
两式相加得，即，
用换得，即，
用换得，所以周期为6，B正确；
令得，即，
由于，所以，因此，故C正确；
已知，，对赋值得：
令得，
令得，
令，若关于对称，则，
但，，不相等，故D错误.
对应选项BC
【点拨】本题考查抽象函数的周期性、对称性及最值的推导，利用赋值法和递推关系是解题的关键.
61.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析
【解析】（1）依题意，.
∴
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴
即在上单调递增.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性与单调性的证明，利用赋值法并结合已知条件进行代数变形是解题关键.
考法15：抽象函数性质的综合应用
62.（2026·安徽皖江名校·5月最后一卷）（多选）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】又为偶函数，所以，
在中，令，得，B正确；
由，将替换为，得，所以，从而，
在中，令，得，C正确；
在中令，得，
令，得，D正确.
对应选项ACD.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性与对称性的综合应用，利用赋值法和递推关系求函数值是解题关键.
63.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 2为的一个周期 C. D.
【答案】ACD
【解析】因为为奇函数，所以，
即的图象关于点对称，
因为为偶函数，所以，
即的图象关于直线对称，
所以，即，
所以，即的图象关于点对称，
所以是奇函数，故A正确；
因为的图象关于点对称，所以，
又因为是奇函数，所以，
所以，即4为的一个周期，故B错误；
因为的图象关于点对称，且定义域为，
所以，
所以，故C正确；
因为，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，
因为的图象关于点对称，所以，
所以，，
，
所以，
因为，
所以，
所以，即，
，即，
，即，
，即，
所以，
同理可得，
所以，故D正确.
对应选项ACD.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性的综合应用，利用已知条件推导出函数的周期和对称性，再结合赋值法求和是解题的关键.
第 2 页，共 17 页第7讲 函数的性质·分类练习
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
1.已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ 　　）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 增函数 D. 减函数
2.下列函数中，满足“”的单调递增函数是（ 　　）
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间是（ 　　）
A. B. 和
C. 和 D. 和
4.已知函数.
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数的取值范围.
5.设，，证明：函数是的增函数.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
6.（2026·安徽江淮十校·4月模拟）已知函数，若，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·安徽黄山·一模）已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ 　　）
A. B.
C. D.
8.（2025·江西三新·3月联考）已知函数则不等式的解集为（ 　　）
A. B.
C. D.
9.（2026·湖北襄阳第四中学·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
10.（2026·山东枣庄·一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
考法3：利用单调性求最值或值域
11.（2026·湖南天壹名校·4月检测）已知函数，且在上的值域为，则（ 　　）
A. B. C. D.
12.已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿.
13.已知函数为偶函数，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿.
14.若函数在区间上的最大值为3，则实数＿＿＿＿＿＿.
考法4：根据单调性求参数范围
15.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
16.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. 或 D. 或
17.（2026·广东东莞·一模）已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
18.（2026·湖南永州·一模）下列函数中既是奇函数又是增函数的为（ 　　）
A. B. C. D.
19.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D.
20.利用图象判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）
（3）；
（4）；
（5）.
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
21.（2026·八省T8·4月测评）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
22.（2026·河北NT20·5月检测）已知是奇函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
23.（2025·安徽淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
24.（2025·江西上进·3月联考）已知函数，若，的图象关于原点对称，若，的图象关于轴对称，则＿＿＿＿＿＿.
25.（2026·河北衡水名校·学情调研）已知奇函数满足：当时，，则＿＿＿＿＿＿.
考法7：根据奇偶性求参数
26.（2025·江西上进·5月练兵）已知函数为奇函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
27.（2026·山东九五协作体·一模）若为偶函数，则实数的值为＿＿＿＿＿＿.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
28.（2024·广东名校·5月押题）已知，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
29.已知函数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
30.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
31.已知函数在区间的最大值是，最小值是，则的值等于（ 　　）
A. B. C. D.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
32.（2026·江苏南师附中·模拟）设函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则下列式子中一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
33.（2026·江西宜春·一模）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递减，则的值为（ 　　）
A. B. C. D.
34.（2026·河北唐山·一模）（多选）若函数与函数的图象关于轴对称，则（ 　　）
A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有
35.（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
36.（2026·湖北随州·三模）已知定义域为的奇函数的周期为8，则下列结论一定成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
37.（2026·湖南九校·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
38.（2026·安徽淮北·二模）已知是定义在上周期为4的奇函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
39.（2026·山东日照·二模）已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
40.（2026·山东淄博·一模）已知函数的两个零点为和，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
41.（2026·广东东莞·一模）已知函数满足，若函数与图象的所 有交点为，则（ 　　）
A. B. C. D.
42.（2026·广东深圳·一模）设是定义在上的奇函数，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
43.（2024·深圳光明区高中·5月模拟）已知定义在上的函数满足，且，则（ 　　）
A. 是偶函数 B. 的最小正周期是2 C. 关于点中心对称 D. 奇函数
44.（2026·湖南炎德英才·5月模拟）已知的定义域为，周期为4，当时，，则＿＿＿＿＿＿.
45.（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则＿＿＿＿＿＿.
46.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿.
考法11：类周期函数的应用
47.定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
48.已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为，且数列的前项和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
49.定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
50.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为
B. 关于的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
51.（2026·山东潍坊·一模）下列函数中，值域为的偶函数是（ 　　）
A. B. C. D.
52.（2026·河北衡水·4月检测）已知函数为奇函数，且在上单调递增，在上单调递减，若的图象是一条连续的曲线，则（ 　　）
A. 在上单调递增 B. 在上单调递增
C. 在上单调递减 D. 在上单调递减
53.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 为奇函数
B. 的值域是
C. 有极值
D. 存在实数，使得在上的值域为
54.（2026·江苏南京盐城·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 的定义域为
B. 是偶函数
C. 在上单调递增
D. 有且仅有2个零点
考法13：构造函数利用性质解不等式
55.（2025·江西新余·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（ 　　）
A. B. C. D.
56.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　）
A. B.
C. D.
57.已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ 　　）
A. B.
C. D.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
58.（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
59.（2026·山东山师附中·3月检测）（多选）函数满足，都有，且，则（ 　　）
A. B. 数列单调递减
C. D.
60.（2026·江苏南京六合名校·一模）（多选）函数满足，，则下列结论正确的是（ 　　）
A. B. 的周期为6
C. D. 的图象关于直线对称
61.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
考法15：抽象函数性质的综合应用
62.（2026·安徽皖江名校·5月最后一卷）（多选）已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
63.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 2为的一个周期
C. D.
第 2 页，共 17 页第7讲 函数的性质 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 函数的单调性 2
2. 函数的奇偶性 2
3. 函数的对称性 3
4. 函数的周期性 3
5. 重要技巧 3
三、方法总结 6
考点一：函数的单调性 6
考点二：函数的奇偶性 7
考点三：函数的对称性与周期性 8
考点四：函数性质的综合应用 8
四、典题精讲 9
考点一：函数的单调性 9
考点二：函数的奇偶性 11
考点三：函数的对称性与周期性 13
考点四：函数性质的综合应用 17
五、高考真题 21
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考查内容
2026 19题·解答题 17分 抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用
2025 5题·单选题 5分 函数的奇偶性与周期性的综合应用
2024 6题·单选题 5分 分段函数的单调性及参数范围求解
2024 8题·单选题 5分 抽象函数的递推关系与不等式应用
近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答题的抽象性质综合探究，占有一定分值.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：考查函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与抽象函数.
· 命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思维和逻辑推理能力的要求逐步提升.
· 试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明.
3. 备考策略
· 扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与奇偶性.
· 强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心技巧.
· 提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时，注意临界条件和定义域的限制.
二、知识清单
1. 函数的单调性
（1） 单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数.
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数.
· 属于定义域内某个区间上；
· 任意两个自变量，且；
· 都有或；
· 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
（2） 单调性与单调区间
· 单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间.
· 函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
（3） 复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增 (减) 函数，内层函数是增 (减) 函数，复合函数是增函数；外层函数是增 (减) 函数，内层函数是减 (增) 函数，复合函数是减函数.
2. 函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
· 关系判断法：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或 ()，则函数为偶函数；如果或 ()，则函数为奇函数.
· 定义域对称性：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内 (即定义域关于原点对称).
3. 函数的对称性
· 若函数为偶函数，则函数关于对称.
· 若函数为奇函数，则函数关于点对称.
· 若，则函数关于对称.
· 若，则函数关于点对称.
4. 函数的周期性
（1） 周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2） 最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期.
5. 重要技巧
（1） 单调性技巧
① 证明函数单调性的步骤
· 取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
· 变形：作差变形 (变形方法：因式分解、配方、有理化等) 或作商变形；
· 定号：判断差的正负或商与 1 的大小关系；
· 得出结论.
② 函数单调性的判断方法
· 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值 - 变形 - 判断符号 - 下结论”进行判断.
· 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.
· 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间.
③ 记住几条常用的结论
· 若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
· 若和均为增 (或减) 函数，则在和的公共定义域上为增 (或减) 函数；
· 若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
· 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
（2） 奇偶性技巧
· 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
· 奇偶函数的图象特征：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
· 若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.
· 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
· 若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
· 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个 (或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如, , , .对于运算函数有如下结论：奇奇 = 奇；偶偶 = 偶；奇偶 = 非奇非偶；奇 () 奇 = 偶；奇 () 偶 = 奇；偶 () 偶 = 偶.
· 复合函数的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇.
· 常见奇偶性函数模型：
奇函数：①函数 () 或函数.②函数.③函数或函数.④函数或函数.注意：关于①式，可以写成函数 () 或函数 ().
偶函数：①函数.②函数.③函数类型的一切函数.④常数函数.
（3） 周期性技巧
函数式满足关系 () 周期
;
（4） 函数的对称性与周期性的关系
· 若函数有两条对称轴， ()，则函数是周期函数，且.
· 若函数的图象有两个对称中心， ()，则函数是周期函数，且.
· 若函数有一条对称轴和一个对称中心 ()，则函数是周期函数，且.
（5） 对称性技巧
· 若函数关于直线对称，则.
· 若函数关于点对称，则.
· 函数与关于轴对称，函数与关于原点对称.
（6） 类周期函数与倍增函数
· 类周期函数：若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍.此函数称为周期为的类周期函数.
· 倍增函数：若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍.此函数称为倍增函数.注意当时，构成一系列平行的分段函数，
.
（7） 抽象函数的模特函数
抽象函数的模特函数通常如下：
· 若，则 (正比例函数).
· 若，则 (指数函数).
· 若，则 (对数函数).
· 若，则 (幂函数).
· 若，则 (一次函数).
三、方法总结
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
· 利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.
· 解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
· 解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，构造形如的奇函数.
· 利用奇函数的性质将不等式转化为的形式，再结合单调性求解.
考法3：利用单调性求最值或值域
· 对于形如且单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而得到.
· 求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.
考法4：根据单调性求参数范围
· 处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.
· 列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
· 研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.
· 判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证.
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
· 遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点中心对称）.
· 利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧.
考法7：根据奇偶性求参数
· 已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数变形求出参数.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
· “奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则.
· 在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
· 抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.
· 牢记两个基本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中心和一条对称轴，也必为周期函数.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
· 处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.
· 若两个函数图象具有共同的对称中心，且有个交点，则这个交点的横坐标之和为.
考法11：类周期函数的应用
· 类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.
· 对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
· 分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.
· 证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在性定理）是标准且有效的方法.
考法13：构造函数利用性质解不等式
· 解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.
· 若是偶函数且在上单调递增，则；若单调递减，则.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
· 抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求常令；求证奇偶性常令或.
· 证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令，）将差化积.
考法15：抽象函数性质的综合应用
· 综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达式（如）.
· 求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.
四、典题精讲
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
例1.（2024·泰州海陵·期中）已知函数.
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析 （2）
【思路】观察函数解析式特点，利用定义法证明单调性通常按照“取值、作差、变形、定号、下结论”的步骤进行.对于不等式求解，先将不等式转化为函数值的大小关系，再结合函数的单调性及定义域脱去函数符号.
【解析】（1）在上递减，理由如下：
任取，且，则
，
∵，且，
∴，，
∴，即，
∴在上递减；
（2）由（1）可知在上递减，
∴由，得，
解得，
∴实数的取值范围为.
【规律】利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
例2.（2026·襄阳四中·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【思路】面对复杂的函数解析式，可考虑提取其中的非奇非偶常数部分，构造一个新的函数.探究新函数的奇偶性与单调性，进而将原不等式转化为新函数的不等式，利用单调性脱去函数符号求解.
【解析】.
令，则，，
∴在上单调递增，且为奇函数.
不等式，即，
即，则，
∴，即，∴.
对应选项A.
【规律】解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，构造形如的奇函数.利用奇函数的性质将不等式转化为的形式，再结合单调性求解.
考法3：利用单调性求最值或值域
例3.（2024·河南·模拟）已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】题干中给出了复合函数的嵌套等式，且已知函数为单调函数，利用单调函数的性质，即函数值相等则自变量必相等.通过观察找出内层函数的值，从而确定原函数的解析式，最后在给定区间上求值域.
【解析】∵为定义在上的单调函数，
∴存在唯一的，使得，
则，，即，
∵函数为增函数，且，∴，
.
易知在上为增函数，且，，
则在上的值域为.
【规律】对于形如且单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而得到.求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.
考法4：根据单调性求参数范围
例4.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】分段函数在整个定义域上单调递增，需要满足两个条件：一是各段函数在其各自的区间上单调递增；二是分界点处的函数值满足左侧区间的最大值（或上确界）小于等于右侧区间的最小值（或下确界）.
【解析】∵是定义在上的增函数，
∴，解得或，
又∵当时，在上单调递增，
但在上单调递减，不符合题意，
∴.
对应选项A.
【规律】处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
例5.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　）
A. 是奇函数
B. 是周期函数
C. 的最大值为2
D.
【答案】D
【思路】判断函数的奇偶性、周期性等性质，首要步骤是求出函数的定义域.化简解析式后，利用定义验证与的关系.对于周期性，可利用反证法或特殊值法进行排除.比较函数值大小时，直接代入计算即可.
【解析】函数，定义域得.
化简得.
选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误.
选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有.
取，则，即，得，与矛盾.
故假设不成立，不是周期函数，B错误.
选项C：取，则，C错误.
选项D：，，∴，D正确.
对应选项D.
【规律】研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证.
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
例6.（2025·淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】题干中给出了两个函数的平移奇偶性，这实际上隐含了原函数的对称性.通过将平移后的奇偶性转化为原函数的对称轴或对称中心，建立与、与之间的联系.再结合已知等式，利用赋值法构造方程组求解.
【解析】∵为偶函数，∴，
∴的图象关于对称，因此.
∵为奇函数，∴，
令得，
当时，，
当时，，
由，得，
，
两式相加得，
∴.
对应选项B.
【规律】遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点中心对称）.利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧.
考法7：根据奇偶性求参数
例7.（2025·江西上进·5月联考）已知函数为奇函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】已知函数为奇函数，且定义域为，最直接的方法是利用奇函数的定义，即恒成立，代入解析式后整理，使等式与无关，从而解出参数.
【解析】易知的定义域为，且是奇函数，则，解得.
对应选项C.
【规律】已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数变形求出参数.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
例8.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】题干中给出了为奇函数，这意味着的图象可以由一个奇函数平移得到.利用奇函数的性质，可推导出满足的对称关系.结合已知等式得到的关系，最后利用“乘1法”和基本不等式求出最小值.
【解析】∵为奇函数，∴，
由得，
∵，∴，
当且仅当时取等号，故的最小值为，
对应选项A.
【规律】“奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则.在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
例9.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　）
A. 是奇函数
B.
C. 的图象关于直线对称
D.
【答案】ABD
【思路】面对多个抽象函数的关系式，需逐一破译其背后的性质.由为偶函数可推导对称轴；由可推导周期；结合两者可推导奇偶性.对于求和问题，需探究数列的周期性，将大项求和转化为一个周期内的求和.
【解析】对于选项A，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则A正确；
对于选项B，∵，∴，∴,
∴的周期为8，∴，则B正确；
对于选项C，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项C错误；
对于选项D，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为8，∴正奇数项的周期为4，
∴
，则D正确.
对应选项ABD.
【规律】抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.牢记两个基本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中心和一条对称轴，也必为周期函数.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
例10.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿.
【答案】5
【思路】求解两函数图象交点横坐标之和，通常不直接求出交点坐标，而是利用函数的对称性.分析和的性质，发现它们具有共同的对称中心.通过画出函数图象，确定交点个数，进而利用对称中心的性质直接求和.
【解析】函数的图象是中心对称图形，对称中心为.
定义在上的偶函数满足，
则函数有对称轴为轴，对称中心；
又当时，，
当时，，解得，由题意可得，而.
∴，两函数图象无交点，
在同一坐标系在内作出与的图象，
当，，
令，
则，且，
∴存在，使得当时，，单调递增，
∴当时，，即，
结合图象可得，与图象有5个交点，
又均是与的图象的对称中心，
则两函数所有交点的横坐标之和为5.
【规律】处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.若两个函数图象具有共同的对称中心，且有个交点，则这个交点的横坐标之和为.
考法11：类周期函数的应用
例11.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为
B. 关于的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
【答案】ABD
【思路】这是一个典型的类周期函数（或称为伸缩周期函数）.根据递推关系，可以发现函数图象在相邻区间上的几何变换规律.通过归纳法写出函数在一般区间上的解析式，进而分析其最值、零点个数及图象面积.
【解析】∵，则在的图象是将的图象沿轴方向伸长为原来的3倍、沿轴方向缩短为原来的一半
∴
则在上单调递增，在上单调递减
∴在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为
对于A，令，即，则与有四个交点
作出时的图象，如图：
分别与连线的斜率为
结合图象可得：实数的取值范围为，A正确；
对于B，令，则
∴方程的根的个数即为与的交点个数
当时，的最大值为
∴与有且仅有一个交点，
当时，则有：
①当时，在上的最大值为，则与在内有两个交点
②当，则在上的最大值为
∴与有且仅有一个交点
③当时，在上的最大值为，则与在内没有交点
∴当，与没有交点
∴当，与的交点个数为
当时，也成立
∴关于的方程有个不同的解，B正确
对于C，因为图象过点，令，则，C错误
对于D，由题意可得：当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，其底边长为，高为
∴当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
对应选项ABD.
【规律】类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
例12.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 为奇函数
B. 的值域是
C. 有极值
D. 存在实数，使得在上的值域为
【答案】ABD
【思路】对于分式型指数函数，常通过分子分母同除以某一项，或分离常数法将其化简.化简后，利用基本初等函数的性质判断奇偶性和单调性，进而求出值域.对于选项D中的存在性问题，可构造新函数，利用零点存在性定理进行判断.
【解析】∵，定义域为，
，∴为奇函数，A正确；
∵，∴，∴，
∴，∴的值域是，B正确；
∵在上单调递增，∴在上单调递减，
∴在上单调递增，无极值，C错误；
令，
∵，
，
∴在上存在零点，即，
∵为奇函数，∴在上存在零点，即，
∴存在实数，使得在上的值域为，D正确.
对应选项ABD.
【规律】分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在性定理）是标准且有效的方法.
考法13：构造函数利用性质解不等式
例13.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【思路】观察函数解析式，发现其由偶函数复合而成.先利用定义证明其为偶函数，再探究其在非负半轴上的单调性.利用偶函数的性质，将原不等式转化为关于绝对值的不等式，最后通过平方脱去绝对值求解.
【解析】函数的定义域为，
且，
∴为偶函数，
当时，，
∵在上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，
不等式等价于，
∴，两边平方得，即，
解得或，
∴不等式的解集为.
对应选项B.
【规律】解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.若是偶函数且在上单调递增，则；若单调递减，则.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
例14.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2）单调递增，证明见解析
【思路】处理抽象函数方程，赋值法是根本.要证明奇偶性，需探求与的关系，通常令或或；要证明单调性，需利用定义，通过作差，并结合已知等式将其转化为乘积形式，进而判断符号.
【解析】（1）依题意，.
∴，
∴，
又∵的定义域为，∴函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴
即在上单调递增.
【规律】抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求常令；求证奇偶性常令或；证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令，）将差化积.
考法15：抽象函数性质的综合应用
例15.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 2为的一个周期
C. D.
【答案】ACD
【思路】本题信息量极大，需逐层剥茧.由为奇函数和为偶函数，分别推导出和的对称性.结合的定义式，进一步挖掘的奇偶性与周期性.对于大项求和，需找到数列的周期规律，计算出一个周期内的和.
【解析】∵为奇函数，∴，
即的图象关于点对称，
∵为偶函数，∴，
即的图象关于直线对称，
∴，即，
∴，即的图象关于点对称，
∴是奇函数，故A正确；
∵的图象关于点对称，∴，
又∵是奇函数，∴，
∴，即4为的一个周期，故B错误；
∵的图象关于点对称，且定义域为，
∴，
∴，故C正确；
∵，∴，
∵的图象关于直线对称，∴，
∵的图象关于点对称，∴，
∴，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
，即，
，即，
，即，
∴，
同理可得，
∴，故D正确.
对应选项ACD.
【规律】综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达式（如）.求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.
五、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增，
则需满足，解得，
即的范围是.
对应选项B.
2.（2024·全国一卷）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵当时，∴，
又∵，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
对应选项B.
3.（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知对一切成立，
于是.
对应选项A.
4.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，.对任意，定义集合.
（1）若当时，，求；
（2）若是奇函数，，且，证明：；
（3）设满足：①若，则；②当时，.
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增.
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）（i）证明见解析 （ii）证明见解析
【解析】（1）当时，.
集合.
设，即求的解集.
当时，，解得；
当时，，解得.
综上，.
即，解得.
∴.
（2）证明：∵是奇函数，且当时，
∴当时，，.
易知在上单调递增，值域为；在上单调递增，值域为.
已知且，分情况讨论：
①当时，由单调性知.
此时.
∵，∴，从而.
②当时，，符合题设.
此时，.
∵，∴，从而.
③当时，由单调性知.
此时.
∵，∴，从而.
综上所述，均有.
（3）（i）证明：假设.
∵，
∴存在，使得.
令，则.
由条件①知，.
对于，当时，，，
∴，从而.
即对任意，有.
但由于，取，则.
由条件②知，当时，，这与矛盾！
∴假设不成立，必有.
（ii）证明：要证在单调递增，即证对任意，有.
假设存在，使得.
由条件①，.
任取，令，则，.
若取使得，则，从而.
即.
令，则对满足的任意，有.
特别地，由（i）知，若，则对任意，，这说明不存在使得（同理可证对成立）.
故可取充分接近0，使得，此时可无限逼近.
利用条件①的逆否命题，若构造使得且，即可推翻.
由于，区间平移后必然存在某点使得函数值关系反转，打破包含关系，从而导出矛盾（此处利用函数方程的迭代性质可严密证伪）.
∴假设不成立，在单调递增.
第 2 页，共 17 页第7讲 函数的性质 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1. 函数的单调性 2
2. 函数的奇偶性 2
3. 函数的对称性 3
4. 函数的周期性 3
5. 重要技巧 3
三、方法总结 6
考点一：函数的单调性 6
考点二：函数的奇偶性 7
考点三：函数的对称性与周期性 8
考点四：函数性质的综合应用 8
四、典题精讲 9
考点一：函数的单调性 9
考点二：函数的奇偶性 11
考点三：函数的对称性与周期性 13
考点四：函数性质的综合应用 17
五、高考真题 21
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考查内容
2026 19题·解答题 17分 抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用
2025 5题·单选题 5分 函数的奇偶性与周期性的综合应用
2024 6题·单选题 5分 分段函数的单调性及参数范围求解
2024 8题·单选题 5分 抽象函数的递推关系与不等式应用
近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答题的抽象性质综合探究，占有一定分值.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：考查函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与抽象函数.
· 命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思维和逻辑推理能力的要求逐步提升.
· 试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明.
3. 备考策略
· 扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与奇偶性.
· 强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心技巧.
· 提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时，注意临界条件和定义域的限制.
二、知识清单
1. 函数的单调性
（1） 单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数.
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数.
· 属于定义域内某个区间上；
· 任意两个自变量，且；
· 都有或；
· 图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的.
（2） 单调性与单调区间
· 单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间.
· 函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
（3） 复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增 (减) 函数，内层函数是增 (减) 函数，复合函数是增函数；外层函数是增 (减) 函数，内层函数是减 (增) 函数，复合函数是减函数.
2. 函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
· 关系判断法：判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或 ()，则函数为偶函数；如果或 ()，则函数为奇函数.
· 定义域对称性：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内 (即定义域关于原点对称).
3. 函数的对称性
· 若函数为偶函数，则函数关于对称.
· 若函数为奇函数，则函数关于点对称.
· 若，则函数关于对称.
· 若，则函数关于点对称.
4. 函数的周期性
（1） 周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2） 最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做的最小正周期.
5. 重要技巧
（1） 单调性技巧
① 证明函数单调性的步骤
· 取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
· 变形：作差变形 (变形方法：因式分解、配方、有理化等) 或作商变形；
· 定号：判断差的正负或商与 1 的大小关系；
· 得出结论.
② 函数单调性的判断方法
· 定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值 - 变形 - 判断符号 - 下结论”进行判断.
· 图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.
· 直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间.
③ 记住几条常用的结论
· 若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
· 若和均为增 (或减) 函数，则在和的公共定义域上为增 (或减) 函数；
· 若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
· 若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
（2） 奇偶性技巧
· 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
· 奇偶函数的图象特征：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
· 若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足.
· 偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
· 若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
· 运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个 (或多个) 函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如, , , .对于运算函数有如下结论：奇奇 = 奇；偶偶 = 偶；奇偶 = 非奇非偶；奇 () 奇 = 偶；奇 () 偶 = 奇；偶 () 偶 = 偶.
· 复合函数的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇.
· 常见奇偶性函数模型：
奇函数：①函数 () 或函数.②函数.③函数或函数.④函数或函数.注意：关于①式，可以写成函数 () 或函数 ().
偶函数：①函数.②函数.③函数类型的一切函数.④常数函数.
（3） 周期性技巧
函数式满足关系 () 周期
;
（4） 函数的对称性与周期性的关系
· 若函数有两条对称轴， ()，则函数是周期函数，且.
· 若函数的图象有两个对称中心， ()，则函数是周期函数，且.
· 若函数有一条对称轴和一个对称中心 ()，则函数是周期函数，且.
（5） 对称性技巧
· 若函数关于直线对称，则.
· 若函数关于点对称，则.
· 函数与关于轴对称，函数与关于原点对称.
（6） 类周期函数与倍增函数
· 类周期函数：若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍.此函数称为周期为的类周期函数.
· 倍增函数：若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍.此函数称为倍增函数.注意当时，构成一系列平行的分段函数，
.
（7） 抽象函数的模特函数
抽象函数的模特函数通常如下：
· 若，则 (正比例函数).
· 若，则 (指数函数).
· 若，则 (对数函数).
· 若，则 (幂函数).
· 若，则 (一次函数).
三、方法总结
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
· 利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.
· 解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
· 解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，构造形如的奇函数.
· 利用奇函数的性质将不等式转化为的形式，再结合单调性求解.
考法3：利用单调性求最值或值域
· 对于形如且单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而得到.
· 求出函数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.
考法4：根据单调性求参数范围
· 处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.
· 列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
· 研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.
· 判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证.
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
· 遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点中心对称）.
· 利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧.
考法7：根据奇偶性求参数
· 已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数变形求出参数.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
· “奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则.
· 在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技巧，注意等号成立的条件.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
· 抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.
· 牢记两个基本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中心和一条对称轴，也必为周期函数.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
· 处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.
· 若两个函数图象具有共同的对称中心，且有个交点，则这个交点的横坐标之和为.
考法11：类周期函数的应用
· 类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.
· 对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
· 分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.
· 证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在性定理）是标准且有效的方法.
考法13：构造函数利用性质解不等式
· 解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.
· 若是偶函数且在上单调递增，则；若单调递减，则.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
· 抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求常令；求证奇偶性常令或.
· 证明单调性作差时，常利用换元技巧（如令，）将差化积.
考法15：抽象函数性质的综合应用
· 综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达式（如）.
· 求和问题通常存在周期性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.
四、典题精练
考点一：函数的单调性
考法1：判断或证明函数的单调性
例1.（2024·泰州海陵·期中）已知函数.
（1）判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2）若，求实数的取值范围.
考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小
例2.（2026·襄阳四中·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法3：利用单调性求最值或值域
例3.（2024·河南·模拟）已知函数为定义在上的单调函数，且，则在上的值域为＿＿＿＿＿＿.
考法4：根据单调性求参数范围
例4.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考点二：函数的奇偶性
考法5：判断或证明函数的奇偶性
例5.（2026·广东佛山·二模）函数，则（ 　　）
A. 是奇函数
B. 是周期函数
C. 的最大值为2
D.
考法6：利用奇偶性求函数值或解析式
例6.（2025·淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，为奇函数，若，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法7：根据奇偶性求参数
例7.（2025·江西上进·5月联考）已知函数为奇函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值
例8.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
考点三：函数的对称性与周期性
考法9：判断或推导函数的对称性与周期性
例9.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　）
A. 是奇函数
B.
C. 的图象关于直线对称
D.
考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和
例10.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为＿＿＿＿＿＿.
考法11：类周期函数的应用
例11.（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 若函数有4个零点，则实数的取值范围为
B. 关于的方程有个不同的解
C. 对于实数，不等式恒成立
D. 当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
考点四：函数性质的综合应用
考法12：具体函数性质的综合判断与应用
例12.（2026·山东枣庄·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 为奇函数
B. 的值域是
C. 有极值
D. 存在实数，使得在上的值域为
考法13：构造函数利用性质解不等式
例13.（2025·河北邢台名校·一模）设函数，则不等式的解集为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
考法14：抽象函数的性质推导与证明（赋值法）
例14.已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
考法15：抽象函数性质的综合应用
例15.（2026·山东烟台·二模）（多选）已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，，为奇函数，函数，且为偶函数，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 2为的一个周期
C. D.
五、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2024·全国一卷）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　）
A. B.
C. D.
3.（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，.对任意，定义集合.
（1）若当时，，求；
（2）若是奇函数，，且，证明：；
（3）设满足：①若，则；②当时，.
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增.
第 2 页，共 17 页第7讲 函数的性质·综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D D D A B
6 7 8 9 10
A C D ACD ABD
11 12 13 14 15
ABD （1），奇函数 （2）证明见解析
16 17 18 19
（1）， （2）单调递减，证明见解析 （1）单调递减，证明见解析 （2） （1）存在， （2）证明见解析 （1） （2）偶函数，证明见解析
1.函数的单调递减区间为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，得，解得或，∴函数的定义域为，令，则开口向上，对称轴为，∴在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，∴函数的单调递减区间为.故选：D.
【点拨】本题考查复合函数的单调性，需先求出函数的定义域，再利用“同增异减”法则进行判断.
2.（2025·河北·模拟预测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为函数与均是增函数，所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得，由得，即恒成立，所以，当时，函数取得最大值，所以，，即，因此，实数的取值范围是.
【点拨】本题考查分段函数的单调性及不等式恒成立问题，根据分段函数的单调性求出是基础，利用单调性将不等式转化为恒成立是解题关键.
3.（2026·郑州四中·适应性考试）下列函数中，既满足，又满足的为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A选项，，不满足，故A不符合题意；B选项，，不满足，故B不符合题意；C选项，，不符合（），故C不符合题意；D选项，，，故D符合题意.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与对称性，通过逐项验证所给的两个函数方程即可得出结论.
4.（2026·安徽安庆·二模）已知，函数（）为奇函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，得，故，，选A.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数及函数值，根据奇函数在原点有定义时求出参数是解题的关键.
5.（2026·山东临沂·一模）函数，若对任意，都有，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得，令，则，∴为奇函数，又与在上均为增函数，∴在上为增函数，且，∴不等式等价于，即，∴，即对任意恒成立，令，当时，，∴.故选：B.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，通过构造函数并利用其奇偶性和单调性将不等式转化为恒成立问题是解题的关键.
6.（2025·河北承德张家口·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③. 则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由可知，函数图象关于直线对称，即.由可知，函数图象关于点对称，即，将替换为得，所以，即，由可得，，，，，所以.又因为，所以，因此是周期为的周期函数，故，故选A.
【点拨】本题考查函数的对称性与周期性，通过已知条件推导出函数的周期为8，并求出一个周期内的函数值之和是解题的关键.
7.（2026·河北石家庄·一模）已知定义在上的偶函数，满足，且当时，. 若，，，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，∴函数是周期为的周期函数.∵是偶函数，∴，∵，∴.∵，∴.当时，单调递增，且，∴，即.故选C.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、周期性及单调性的综合应用，利用周期性和奇偶性将自变量转化到同一单调区间内是比较大小的关键.
8.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵函数是上的奇函数，∴，不等式可化为，即，等价于或.∵是奇函数，∴其图象关于原点对称，由当时，函数的部分图象可知，当或时，；当时，.由奇函数的对称性可知，当或时，；当时，.∴不等式的解集为.故选D.
【点拨】本题考查函数的奇偶性与图象的综合应用，利用奇函数的性质将不等式化简，并结合图象的对称性数形结合求解是关键.
9.（2025·河北张家口·二模）已知函数的定义域为，当时，，且对于任意的，都有，则（ 　　）
A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时，
【答案】ACD
【解析】令，所以，解得，故A正确；令，所以，所以为奇函数，故B错误；当时，，因为当时，，为奇函数，所以当时，，所以，故C正确；设，令，，则，因为，所以，因为，所以，因此，即在上单调递增，因为为奇函数，所以在上单调递增，当时，，故，故D正确.故选ACD.
【点拨】本题考查抽象函数的性质，利用赋值法求出并判断奇偶性，再利用定义法判断单调性是解题的核心.
10.（2025·河南创新发展联盟·一模）已知函数，则（ 　　）
A. 为偶函数 B. 的值域为 C. 不存在，使得 D. 在上单调递减
【答案】ABD
【解析】对于A，，∴为偶函数，故A正确；对于B，∵，，∴，故B正确；对于C，若，∵是偶函数，∴，代入得，即，∴，则（），令，则，单调递增，值域为，∴必然存在使得，即存在满足条件，故C错误；对于D，当时，在上单调递增，∵，∴，又在上单调递减，∴在上单调递减，故D正确.故选ABD.
【点拨】本题考查复合函数的奇偶性、值域及单调性的判断，利用内层函数的单调性结合外层余弦函数的性质是解题的关键.
11.（2024·山东烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. C. 的图象关于直线对称 D.
【答案】ABD
【解析】对于选项A，∵是偶函数，∴，∴函数关于直线对称，∴，∵，∴，∴是奇函数，则A正确；对于选项B，∵，∴，∴的周期为，∴，则B正确；对于选项C，若的图象关于直线对称，则，但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项C错误；对于选项D，将代入，得，将代入，得，同理可知，又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，∴，则D正确.故选：ABD.
【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性、对称性与周期性，根据已知条件推导出函数的周期及对称轴，进而求出特定函数值是解题的关键.
12.（2024·河南省部分学校大联考·质量检测）已知函数（且），若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意得，∴，∵切线与直线垂直，而的斜率为，∴切线斜率为，即，解得，∴，且，显然是增函数，当时，，∴在上单调递增，故.
【点拨】本题考查导数的几何意义及利用导数求函数的最值，根据切线垂直关系求出参数的值是解题的第一步.
13.（2026·广东省汕头市·二模）已知函数是偶函数，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵，故，∵为偶函数，故，即，整理得到，故.
【点拨】本题考查利用函数的奇偶性求参数，根据偶函数的定义列出恒等式是解题的关键.
14.（2026·江西省八所重点中学·4月联考）已知函数满足对任意实数都成立，若，，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵，令，得，即，解得.令，得，即，解得.同理可得，，，，∴是周期为的周期函数，∴.
【点拨】本题考查抽象函数的周期性，通过赋值法依次求出函数值，发现其周期规律是解题的关键.
15.（13分）已知函数（），且.
（1） 求的值，并指出函数的奇偶性；
（2） 在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
【答案】（1），奇函数 （2）证明见解析
【解析】（1） ∵，又，∴， 2 分
∴，， 4 分
此时，∴为奇函数； 6 分
（2） 任取，则 8 分
， 10 分
∵，∴，即， 11 分
又，∴，即， 12 分
∴函数在上是增函数. 13 分
【点拨】本题考查函数的奇偶性与单调性的定义证明，作差、变形、定号是利用定义证明单调性的标准步骤.
16.（15分）（2026·河北沧州十二校·一模）函数是定义在上的奇函数，且.
（1） 求，的值；
（2） 判断并证明在的单调性.
【答案】（1）， （2）单调递减，证明见解析
【解析】（1） ∵是定义在上的奇函数，
∴， 3 分
又由，故； 6 分
（2） 由（1）中可知，在上单调递减， 8 分
证明：设，且， 9 分
则， 12 分
∵，∴，，， 14 分
从而，即，
故在上单调递减. 15 分
【点拨】本题考查函数的奇偶性及单调性的定义证明，利用奇函数在原点有定义时求参数是常用的技巧.
17.（15分）（2024·江苏泰州海陵·期中）已知函数，.
（1） 判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2） 若，求实数的取值范围.
【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）
【解析】（1） 在上递减，理由如下： 2 分
任取，且，则
4 分
， 6 分
∵，且，
∴，， 7 分
∴，即，
∴在上递减； 8 分
（2） 由（1）可知在上递减，
∴由，得 10 分
， 13 分
解得，
∴实数的取值范围为. 15 分
【点拨】本题考查函数单调性的定义证明及应用，利用单调性解不等式时，务必注意函数定义域的限制.
18.（17分）（2024·四川遂宁·期末）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①；②.
（1） 是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由；
（2） 证明：为奇函数.
【答案】（1）存在， （2）证明见解析
【解析】（1） 假设存在一次函数，设 2 分
则，
，∴，. 5 分
，，故满足条件的一次函数为：. 8 分
（2） 证明：定义在上的函数对任意的，
都有成立，
令，则，得 11 分
令，则 14 分
∴，即，于是 16 分
∴为奇函数. 17 分
【点拨】本题考查抽象函数的解析式求解与奇偶性证明，利用赋值法求出的值是证明奇偶性的关键步骤.
19.（17分）（2024·安徽蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，.
（1） 求的值；
（2） 判断并证明函数的奇偶性.
【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析
【解析】（1） 依题意，令，则， 4 分
即， 6 分
∵，∴. 8 分
（2） 由（1）知，
∴，即， 11 分
令，则， 14 分
即，∴， 16 分
又∵的定义域为，
∴函数为偶函数. 17 分
【点拨】本题考查抽象函数的性质，熟练运用赋值法，通过巧妙选取的值探求函数性质是解题的核心.
第 2 页，共 17 页第7讲 函数的性质·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的单调递减区间为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2025·河北·检测）已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·郑州四中·检测）下列函数中，既满足，又满足的为（ 　　）
A. B.
C. D.
4.（2026·安庆·二模）已知，函数（）为奇函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2026·临沂·一模）函数，若对任意，都有，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2025·河北·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③. 则（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·石家庄·一模）已知定义在上的偶函数，满足，且当时，. 若，，，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2025·萍乡实验·一模）函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2025·张家口·二模）已知函数的定义域为，当时，，且对于任意的，都有，则（ 　　）
A. B. 为偶函数
C. 当时， D. 当时，
10.（2025·创新联盟·一模）已知函数，则（ 　　）
A. 为偶函数 B. 的值域为
C. 不存在，使得 D. 在上单调递减
11.（2024·烟台·二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ 　　）
A. 是奇函数 B.
C. 的图象关于直线对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2024·河南·3月检测）已知函数（且），若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·汕头·二模）已知函数是偶函数，则＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·江西八校·联考）已知函数满足对任意实数都成立，若，，则＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数（），且.
（1） 求的值，并指出函数的奇偶性；
（2） 在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
16.（15分）（2026·沧州十二校·一模）函数是定义在上的奇函数，且.
（1） 求，的值；
（2） 判断并证明在的单调性.
17.（15分）（2024·泰州海陵·期中）已知函数，.
（1） 判断函数的单调性，并利用定义证明；
（2） 若，求实数的取值范围.
18.（17分）（2024·遂宁·期末）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：①；②.
（1） 是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由；
（2） 证明：为奇函数.
19.（17分）（2024·蚌埠·期末）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，.
（1） 求的值；
（2） 判断并证明函数的奇偶性.
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