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单元检测十一　磁场
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·辽宁大连市期中)科学研究表明，地球周围存在的磁场虽然微弱，但作用巨大，既可以抵御宇宙射线对地球的侵扰，也会影响生物的定向迁徙，甚至会影响人的身体健康。如图所示为地球周围的磁感线分布(磁偏角的影响可以忽略)，下列关于地磁场的说法正确的是(　　)
A.地球周围的磁感线起始于地球南极附近，终止于地球北极附近
B.地面附近，磁感应强度的方向与地面平行
C.地面附近，赤道处的磁感应强度大小大于两极处的磁感应强度大小
D.由外太空垂直射向赤道的带正电粒子将向东偏转
2.(2026·西南名校联盟“3+3+3”联考)如图所示，一正方形线框放置在水平桌面，在以线框为底面的空间正方体中，O1、O2分别为上下表面的中心，线框通有图示的恒定电流。下列说法正确的是(　　)
A.O2处磁感应强度为0
B.O1处磁感应强度方向竖直向上
C.O1O2连线上各点磁感应强度相同
D.从O1处静止释放一可视为质点的带电小球，将做直线运动
3.(2026·北京市朝阳区二模)在如图所示的狭长区域内存在有界的匀强磁场，磁场方向竖直向下。一段轻质软导线的P端固定，M端可以自由移动。当导线中通过电流I时，在M端施加沿导线的水平恒力F，软导线静止并形成一段圆弧。现撤去软导线，通过点P沿着原来导线方向射入一束质量为m、电荷量为q的粒子，发现粒子在磁场中的轨迹与导线形成的圆弧相同。磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　)
A.粒子带正电
B.若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，需减小水平恒力F
C.粒子的动量大小为
D.粒子的轨迹半径为
4.如图所示，一带电荷量为-q(q>0)的粒子(不计重力)，以固定的带电荷量为+Q的电荷为圆心在匀强磁场中做顺时针方向的圆周运动，圆周半径为r1，粒子运动速率为v，此时粒子所受的静电力是洛伦兹力的3倍。若使上述带电粒子以相同速率v绕正电荷做逆时针方向的圆周运动，其半径为r2。则r2与r1的比值为(　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.(-2)∶1 D.1∶(-2)
5.(2026·江苏省四校联考模拟)如图所示，电子沿纸面以速度v0射入匀强磁场，速度方向与磁场方向夹角为θ。已知电子质量为m，电荷量大小为e，磁感应强度为B。则电子(　　)
A.受到洛伦兹力方向始终垂直于纸面向里
B.受到洛伦兹力大小为ev0B
C.运动周期为
D.垂直纸面运动的最大侧位移为
6.(2026·安徽马鞍山市二模)垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量q=1×10-7 C、质量m=1×10-10 kg的带电粒子，位于纸面内某点O处，在t=0时刻以垂直于磁场的初速度v0=2π m/s沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从t=0时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度大小为(　　)
A.2π m/s B.4π m/s
C.2 m/s D.4 m/s
7.如图所示，在真空中xOy平面左侧宽L的区域内可分别或同时施加沿x轴或y轴方向、强度不同的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子以一定的初速度垂直于xOy平面射入该区域。若不加磁场时，粒子恰好经过坐标原点O；若只加沿x轴正方向、磁感应强度大小为B1的磁场，粒子在磁场中运动的时间为t1，经过xOy平面时的速度偏转角为30°；若只加沿y轴正方向、磁感应强度大小为B2的磁场，粒子在磁场中运动的时间为t2，经过xOy平面时的速度偏转角为45°；若同时施加沿x轴正方向和沿y轴正方向的磁场，粒子在磁场中运动的时间为t3，经过xOy平面上的P点(未画出)时的速度偏转角为θ，不计粒子受到的重力，下列判断正确的是(　　)
A.θ=45°
B.B1∶B2=1∶2
C.t1∶t2∶t3=2∶3∶4
D.P点的坐标为(，-)
8.(2026·湖北武汉市模拟)如图所示，直角三角形abc中∠a=30°，ac=L，其区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为(k为粒子的比荷)的带正电的粒子。不考虑粒子的重力和相互间作用力，下列说法正确的是(　　)
A.ab边上有粒子到达区域的长度为L
B.ac边上有粒子到达区域的长度为L
C.从ab边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.从ac边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·重庆市第六次质检)如图所示，多边形区域内有磁感应大小强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场(边界处有磁场)，粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为-q、速率为v1=的粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3a
B.由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4a
C.由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界(除Q所在的边界)的最短时间为
D.由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为
10.(2026·四川攀枝花市三模)如图所示，正方形abcd区域被MN分为上、下两个矩形，bN=2d、Nc=d，MN下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN上方有平行bc边向下的匀强电场。在cd边的中点P处有一粒子源，沿纸面向磁场中各方向均匀的辐射出速率大小均为v=的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，下列说法中正确的是(　　)
A.粒子在磁场运动的半径为d
B.从MN上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d
C.匀强电场的电场强度大小为
D.粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为
三、非选择题：本题共5小题，共58分。
11.(9分)如图所示，真空室内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B为0.50 T。有一点状镅放射源S向空间各方向发射速度大小均为2.5×106 m/s的氦核。在S的正上方有一段足够长的垂直纸面放置的感光条MN(M为感光条的一端)，已知SM⊥MN，SM=10 cm，氦核的荷质比=5.0×107 C/kg。
(1)画出氦核沿垂直板向下被发射出来时所受洛伦兹力的方向。
(2)求氦核做圆周运动的半径r。
(3)求感光条能被粒子打中的区域的长度l。
12.(10分)(2026·陕西榆林市二模)如图所示，间距L=0.5 m的两平行金属导轨固定在与水平面夹角θ=30°的绝缘斜面上，金属导轨的顶端接有电动势E=9.0 V、内阻r=1.0 Ω的直流电源，导轨所在空间中存在方向垂直斜面向上、大小可以调节的匀强磁场。现把一个质量m=0.1 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒恰好能在此位置保持静止状态。已知导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R=3.5 Ω，金属导轨电阻可以忽略，重力加速度大小g取10 m/s2，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求通过导体棒的电流I和导体棒的电功率P。
(2)若导轨光滑，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。
(3)若导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=，为使导体棒静止不动，磁感应强度B的大小需要满足什么条件。
13.(11分)(2026·四川雅安市模拟)如图所示，在平面直角坐标系x轴的上方、半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，x轴的下方、边长为2R的正方形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，两匀强磁场的磁感应强度大小相等，圆形区域与正方形区域相切于坐标原点O。一电荷量为-q(q>0)、质量为m的带负电粒子从A点(在过水平直径的圆周上)沿与水平方向成30°角方向斜向下进入圆形磁场区域，进入时粒子的速率为v0，一段时间后，粒子垂直x轴离开圆形区域，不计带电粒子受到的重力。
(1)求带电粒子离开圆形磁场区域时的坐标；
(2)求带电粒子在整个磁场中的运动时间；
(3)其他条件不变，仅在圆形磁场区域和正方形磁场区域之间(圆形磁场区域下方、正方形磁场区域上方)加一竖直向上的匀强电场(图中未画出)，使粒子离开正方形区域时的速度方向与正方形右边界垂直，求所加匀强电场的电场强度大小。
14.(13分)(2026·天津市红桥区二模)利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续均匀分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值vm1；
(2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度的最大值vm2；
(3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vm3。
15.(15分)(2026·重庆市三模)如图所示，在xOy平面第一象限内，直线y=0与直线y=x之间存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，x轴下方有一直线CD与x轴平行且与x轴相距为a，x轴与直线CD之间(包含x轴)存在沿y轴正方向的匀强电场，在第三象限，直线CD与直线EF之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面内有一束宽度为a的平行电子束，沿y轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各电子的速度大小随入射位置不同各不相等，电子束的左边界与y轴的距离也为a，经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入x轴下方的电场，最后所有电子都垂直于EF边界离开磁场，最终打到位于y轴负半轴的收集板上。其中电子质量为m，重力可忽略不计，电荷量大小为e，电场强度大小为E=。求：
(1)各电子入射速度的范围；
(2)速度最大的电子在第三象限磁场中做圆周运动圆心的坐标；
(3)直线EF的方程。
单元检测十一　磁场
一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求。
1.(2026·辽宁大连市期中)科学研究表明，地球周围存在的磁场虽然微弱，但作用巨大，既可以抵御宇宙射线对地球的侵扰，也会影响生物的定向迁徙，甚至会影响人的身体健康。如图所示为地球周围的磁感线分布(磁偏角的影响可以忽略)，下列关于地磁场的说法正确的是(　　)
A.地球周围的磁感线起始于地球南极附近，终止于地球北极附近
B.地面附近，磁感应强度的方向与地面平行
C.地面附近，赤道处的磁感应强度大小大于两极处的磁感应强度大小
D.由外太空垂直射向赤道的带正电粒子将向东偏转
答案　D
解析　磁场是闭合的曲线，地球磁场从南极附近发出，从北极附近进入地球，组成闭合曲线，曲线的切线为该点磁场的方向，所以地面附近的磁场方向不是都与地面平行，故A、B错误；磁感线的疏密表示磁场的强弱，由磁感线分布情况可知，地面附近，赤道处的磁感应强度大小小于两极处的磁感应强度大小，故C错误；地球的磁场由南向北，当带正电粒子垂直于地面向赤道射来时，根据左手定则可以判断粒子的受力的方向为向东，所以粒子将向东偏转，故D正确。
2.(2026·西南名校联盟“3+3+3”联考)如图所示，一正方形线框放置在水平桌面，在以线框为底面的空间正方体中，O1、O2分别为上下表面的中心，线框通有图示的恒定电流。下列说法正确的是(　　)
A.O2处磁感应强度为0
B.O1处磁感应强度方向竖直向上
C.O1O2连线上各点磁感应强度相同
D.从O1处静止释放一可视为质点的带电小球，将做直线运动
答案　D
解析　由题意，可把通电线框看成环形电流，根据安培定则结合环形电流空间磁场的分布特点，判断知O1、O2处磁感应强度不为0，方向均竖直向下，故A、B错误；根据环形电流空间磁场的分布特点，可知O1O2连线上各点磁感应强度方向相同，但由于O1O2连线上各点与线框距离不同，所以O1O2连线上各点磁感应强度大小不相同，故C错误；由于O1O2连线上磁场方向竖直向下，与小球运动方向一致，小球不受洛伦兹力，只受重力，故小球将沿O1O2做匀加速直线运动，故D正确。
3.(2026·北京市朝阳区二模)在如图所示的狭长区域内存在有界的匀强磁场，磁场方向竖直向下。一段轻质软导线的P端固定，M端可以自由移动。当导线中通过电流I时，在M端施加沿导线的水平恒力F，软导线静止并形成一段圆弧。现撤去软导线，通过点P沿着原来导线方向射入一束质量为m、电荷量为q的粒子，发现粒子在磁场中的轨迹与导线形成的圆弧相同。磁场的磁感应强度大小为B，不计粒子的重力。下列说法正确的是(　　)
A.粒子带正电
B.若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，需减小水平恒力F
C.粒子的动量大小为
D.粒子的轨迹半径为
答案　C
解析　根据左手定则可知，粒子带负电，A错误；设PM弦长为L，弦切角为α，则圆心角为2α，圆弧导线受到的安培力等效直导线受到的安培力，L=2Rsin α，2Fsin α=BIL，解得F=BIR，恒力F大小与导线长度无关，若导线长度减小，仍保持圆弧半径不变，水平恒力F大小不变，B错误；根据洛伦兹力提供向心力和牛顿第二定律有qvB=m，解得粒子的动量大小为mv=，C正确；根据F=BIR，解得粒子的轨迹半径为R=，D错误。
4.如图所示，一带电荷量为-q(q>0)的粒子(不计重力)，以固定的带电荷量为+Q的电荷为圆心在匀强磁场中做顺时针方向的圆周运动，圆周半径为r1，粒子运动速率为v，此时粒子所受的静电力是洛伦兹力的3倍。若使上述带电粒子以相同速率v绕正电荷做逆时针方向的圆周运动，其半径为r2。则r2与r1的比值为(　　)
A.1∶2 B.2∶1
C.(-2)∶1 D.1∶(-2)
答案　C
解析　顺时针运动时，根据静电力和洛伦兹力的合力提供向心力有k+Bqv=m，k=3Bqv，即=m，当带电粒子以相同速率v绕正电荷做逆时针方向的圆周运动时，有-Bqv=m，代入可得-=m=，整理得3-=4，设=a，可得3-a=4，解得a=-2(另一解舍掉)，即=-2，故选C。
5.(2026·江苏省四校联考模拟)如图所示，电子沿纸面以速度v0射入匀强磁场，速度方向与磁场方向夹角为θ。已知电子质量为m，电荷量大小为e，磁感应强度为B。则电子(　　)
A.受到洛伦兹力方向始终垂直于纸面向里
B.受到洛伦兹力大小为ev0B
C.运动周期为
D.垂直纸面运动的最大侧位移为
答案　C
解析　将电子的初速度分解为垂直于磁场方向的速度v⊥=v0sin θ，沿磁场方向的速度v∥=v0cos θ，电子沿垂直磁场方向做匀速圆周运动，沿磁场方向做匀速直线运动，则电子运动的轨迹为螺旋线，螺旋线的中轴线方向平行磁场方向，洛伦兹力方向不可能始终垂直纸面向里，故A错误；电子受到洛伦兹力大小为F洛=eBv⊥=ev0Bsin θ，故B错误；电子做螺旋线运动的半径为r==，电子做螺旋线运动的周期为T==，故C正确；电子垂直纸面运动的最大侧位移为y=r=，故D错误。
6.(2026·安徽马鞍山市二模)垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量q=1×10-7 C、质量m=1×10-10 kg的带电粒子，位于纸面内某点O处，在t=0时刻以垂直于磁场的初速度v0=2π m/s沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从t=0时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度大小为(　　)
A.2π m/s B.4π m/s
C.2 m/s D.4 m/s
答案　D
解析　设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有qBv0=m，解得r=2π×10-2 m，周期为T0==2π×10-2 s，由题图可知磁场变化的周期为T=10π×10-3 s=T0，根据t=T0，可得在0~5π×10-3 s时间内偏转的角度为θ1=，同理在5π×10-3~10π×10-3 s时间内偏转的角度为θ2=，
设粒子带正电，粒子的出发点为a，经磁场变化的一个周期的终点为b，由题意可知，磁场先向里再向外，故作出粒子在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示，由几何关系可得粒子的位移大小即为a、b两点的距离，则有x=2r=4π×10-2 m，从t=0时刻开始的磁场变化的一个周期T=10π×10-3 s内，带电粒子的平均速度大小为v== m/s=4 m/s，故选D。
7.如图所示，在真空中xOy平面左侧宽L的区域内可分别或同时施加沿x轴或y轴方向、强度不同的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带正电粒子以一定的初速度垂直于xOy平面射入该区域。若不加磁场时，粒子恰好经过坐标原点O；若只加沿x轴正方向、磁感应强度大小为B1的磁场，粒子在磁场中运动的时间为t1，经过xOy平面时的速度偏转角为30°；若只加沿y轴正方向、磁感应强度大小为B2的磁场，粒子在磁场中运动的时间为t2，经过xOy平面时的速度偏转角为45°；若同时施加沿x轴正方向和沿y轴正方向的磁场，粒子在磁场中运动的时间为t3，经过xOy平面上的P点(未画出)时的速度偏转角为θ，不计粒子受到的重力，下列判断正确的是(　　)
A.θ=45°
B.B1∶B2=1∶2
C.t1∶t2∶t3=2∶3∶4
D.P点的坐标为(，-)
答案　D
解析　如图甲所示，只加沿x轴正方向的磁场时粒子在竖直面内转动，由几何关系得r1=2L，由牛顿第二定律可得qvB1=m，同理只加沿y轴正方向的磁场时粒子在水平面内转动，如图乙所示，由几何关系得r2=L，由牛顿第二定律可得qvB2=m，解得B1∶B2=1∶，故B错误；设P点的坐标为(x，y)，当同时施加两个磁场时，合磁感应强度大小B3=，转动平面(如图丙所示)与合磁感应强度方向垂直，粒子经过xOy平面时的位置如图丁所示，由牛顿第二定律可得qvB3=m，根据几何关系有sin θ=，d=r3-r3cos θ，x∶(-y)∶d=B2∶B1∶B3，解得θ=60°、x=、y=-，故A错误，D正确；在三种情况下粒子转过的角度之比为2∶3∶4，但粒子圆周运动的半径不同，路程之比不等于转过角度之比，则时间t1、t2、t3之比不等于2∶3∶4，故C错误。
8.(2026·湖北武汉市模拟)如图所示，直角三角形abc中∠a=30°，ac=L，其区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，c点处的粒子源可向磁场区域各个方向发射速度大小为(k为粒子的比荷)的带正电的粒子。不考虑粒子的重力和相互间作用力，下列说法正确的是(　　)
A.ab边上有粒子到达区域的长度为L
B.ac边上有粒子到达区域的长度为L
C.从ab边射出的粒子在磁场中运动的最短时间为
D.从ac边射出的粒子在磁场中运动的最长时间为
答案　C
解析　粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得r==，当粒子沿cb方向射入磁场时，粒子从ab边射出时的位置距b点最近，如图甲所示。
当粒子运动轨迹与ab边相切时，粒子从ab边射出时的位置距b点最远，如图乙所示。
由几何关系可得ab边上有粒子到达区域的长度为ΔL1=ad-ae=2×cos 30°-(Lcos 30°-)=，由几何关系可得ac边上有粒子到达区域的长度为ΔL1=2rcos 30°=L，故A、B错误；如图甲所示，粒子从ab边上d点射出时，对应的圆心角最小，所用时间最短，由几何关系可知，最小圆心角为60°，则最短时间为tmin=T=×=，故C正确；
如图乙所示，粒子从ab边上f点射出时，对应的圆心角最大，所用时间最长，由几何关系可知，最大圆心角为120°，则最长时间为tmax=T=×=，故D错误。
二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错得0分。
9.(2026·重庆市第六次质检)如图所示，多边形区域内有磁感应大小强度为B的垂直纸面向里的匀强磁场(边界处有磁场)，粒子源P可以沿底边向右发射质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子速率各不相同；右侧边界中点处有一粒子源Q可以在纸面内沿各个方向向磁场内部发射质量为m、电荷量为-q、速率为v1=的粒子。不计粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法正确的是(　　)
A.由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为3a
B.由粒子源P发射的粒子，能够到达的边界长度为4a
C.由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界(除Q所在的边界)的最短时间为
D.由粒子源Q发射的粒子，首次到达边界的最长时间为
答案　AC
解析　由粒子源P发射的粒子轨迹的圆心在图(a)中虚线LL'上，如图
由洛伦兹力提供向心力有qBv=m，可得r=
轨迹半径r随速度增大而增大。当r≤时，粒子能够到达MP之间；当a时，粒子能够到达Q点正下方的边界上，A正确，B错误；
由粒子源Q发射的粒子，速率相同，将v1=代入qBv=m
可得r=a
如图(b)所示
粒子首次到达M点的时间最短，由几何关系可得α=60°
则tmin=T=·=
粒子恰好没有落在M点时，落点为N，此时是首次到达边界的最长时间，由几何关系可得β<180°
所以tmax<
故C正确，D错误。
10.(2026·四川攀枝花市三模)如图所示，正方形abcd区域被MN分为上、下两个矩形，bN=2d、Nc=d，MN下方有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，MN上方有平行bc边向下的匀强电场。在cd边的中点P处有一粒子源，沿纸面向磁场中各方向均匀的辐射出速率大小均为v=的某种带正电粒子，粒子的质量为m、电荷量为q。粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，不计粒子重力和粒子之间的库仑力，下列说法中正确的是(　　)
A.粒子在磁场运动的半径为d
B.从MN上射出的粒子中，在磁场中运动的最短路程为d
C.匀强电场的电场强度大小为
D.粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为
答案　AC
解析　根据洛伦兹力提供向心力有m=Bqv，解得R=d，故A正确；由几何关系可知，最短弦对应最短的弧长，如图所示，由几何关系可知α=60°，最短的弧长即最短路程为s=Rα=，故B错误；粒子源沿P→c方向射出的粒子恰好未从ab边离开电场，根据动能定理有mv2=Eq·2d，解得E=，故C正确；粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域，根据mr=Bqv，r=d，解得T=，在磁场中，运动时间为t1=T=，在电场中，根据牛顿第二定律Eq=ma，根据运动学公式v=at2，解得t2=，返回磁场之后，粒子在洛伦兹力作用下向右偏转，由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，然后从Nc边飞出abcd区域，则运动时间为t3=T=，则粒子源沿P→c方向射出的粒子在abcd区域运动的时间为t=t1+2t2+t3=++=，故D错误。
三、非选择题：本题共5小题，共58分。
11.(9分)如图所示，真空室内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B为0.50 T。有一点状镅放射源S向空间各方向发射速度大小均为2.5×106 m/s的氦核。在S的正上方有一段足够长的垂直纸面放置的感光条MN(M为感光条的一端)，已知SM⊥MN，SM=10 cm，氦核的荷质比=5.0×107 C/kg。
(1)画出氦核沿垂直板向下被发射出来时所受洛伦兹力的方向。
(2)求氦核做圆周运动的半径r。
(3)求感光条能被粒子打中的区域的长度l。
答案　(1)见解析图　(2)10 cm　(3)10 cm
解析　(1)已知磁场方向垂直于纸面向里，氦核沿垂直板向下运动，根据左手定则可判断出氦核受到的洛伦兹力方向水平向右，如图所示
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB=m
可得r==10 cm
(3)由(2)可知，粒子圆周运动的直径为20 cm，所以粒子打到感光条上的最远位置时，离M点的最远距离为xm==10 cm
可知感光条能被粒子打中的区域的长度为l=xm=10 cm。
12.(10分)(2026·陕西榆林市二模)如图所示，间距L=0.5 m的两平行金属导轨固定在与水平面夹角θ=30°的绝缘斜面上，金属导轨的顶端接有电动势E=9.0 V、内阻r=1.0 Ω的直流电源，导轨所在空间中存在方向垂直斜面向上、大小可以调节的匀强磁场。现把一个质量m=0.1 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒恰好能在此位置保持静止状态。已知导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R=3.5 Ω，金属导轨电阻可以忽略，重力加速度大小g取10 m/s2，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求通过导体棒的电流I和导体棒的电功率P。
(2)若导轨光滑，求匀强磁场的磁感应强度B的大小。
(3)若导体棒与导轨间的动摩擦因数μ=，为使导体棒静止不动，磁感应强度B的大小需要满足什么条件。
答案　(1)2 A　14 W　(2)0.5 T　(3)0.3 T≤B≤0.7 T
解析　(1)根据闭合电路欧姆定律有E=I(r+R)
解得通过导体棒的电流I=2 A
导体棒的电功率P=I2R=14 W
(2)导体棒处于静止状态，沿斜面方向根据平衡条件有mgsin θ=F安
安培力的大小F安=BIL
解得磁场的磁感应强度B=0.5 T
(3)沿垂直于斜面根据平衡条件有FN=mgcos θ
导体棒受到的最大静摩擦力Ff最大=μFN=μmgcos θ
当摩擦力最大并沿斜面向上时，导体棒所受的安培力最小，沿斜面方向根据平衡条件有mgsin θ=Ff最大+F安最小
最小安培力的大小F安最小=B最小IL
联立解得磁感应强度最小值B最小=0.3 T
当摩擦力最大并沿斜面向下时，导体棒所受的安培力最大，沿斜面方向根据平衡条件有mgsin θ+Ff最大=F安最大
最大安培力的大小F安最大=B最大IL
联立解得磁感应强度最大值B最大=0.7 T
综上所述，磁感应强度应满足的条件是0.3 T≤B≤0.7 T。
13.(11分)(2026·四川雅安市模拟)如图所示，在平面直角坐标系x轴的上方、半径为R的圆形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，x轴的下方、边长为2R的正方形区域内有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，两匀强磁场的磁感应强度大小相等，圆形区域与正方形区域相切于坐标原点O。一电荷量为-q(q>0)、质量为m的带负电粒子从A点(在过水平直径的圆周上)沿与水平方向成30°角方向斜向下进入圆形磁场区域，进入时粒子的速率为v0，一段时间后，粒子垂直x轴离开圆形区域，不计带电粒子受到的重力。
(1)求带电粒子离开圆形磁场区域时的坐标；
(2)求带电粒子在整个磁场中的运动时间；
(3)其他条件不变，仅在圆形磁场区域和正方形磁场区域之间(圆形磁场区域下方、正方形磁场区域上方)加一竖直向上的匀强电场(图中未画出)，使粒子离开正方形区域时的速度方向与正方形右边界垂直，求所加匀强电场的电场强度大小。
答案　(1)(-，R-R)　(2)　(3)
解析　(1)如图所示，由几何关系可知，粒子在圆形磁场内运动的半径R1=R
对应圆心角为60°，则入射点与出射点的连线即圆周轨迹的弦和圆心围成正三角形，则水平坐标为x=-
竖直坐标为y=R-R
即粒子射出圆形磁场区域时的坐标为(-，R-R)。
(2)粒子由洛伦兹力提供向心力，有qBv0=m，B与v0均不变，
解得粒子在正方形磁场区域内运动的半径R2=R
粒子在两个磁场中转动一周的时间均为T=
由几何关系可知，粒子在正方形磁场区域内偏转的角度为120°
带电粒子在整个磁场中的运动时间t=T
解得t=
(3)粒子离开正方形磁场区域时的速度方向与正方形磁场右边界垂直，由几何关系可知
R3=R
设粒子进入正方形磁场区域时的速度大小为v，由洛伦兹力提供向心力，有
qBv=m
解得v=v0
由动能定理有qEd=mv2-m
其中d=R-R
解得E=。
14.(13分)(2026·天津市红桥区二模)利用高温超导产生的强磁场将高温反应中的带电粒子“约束”在一定区域内，使其不能射出，是可控核聚变的关键性技术难点。某同学为探究带电粒子的“约束”问题，构想了如图所示的磁场区域，假设匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里，其边界分别是半径为R和2R的同心圆，O为圆心，A为磁场内在圆弧上的一点，P为OA的中点。若有一粒子源向纸面内的各个方向发射出比荷为的带负电粒子，粒子速度连续均匀分布，且无相互作用。不计粒子的重力，取sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：
(1)粒子源在A点时，若所有粒子都不能穿出磁场，粒子速度的最大值vm1；
(2)粒子源在O时，被磁场约束的粒子速度的最大值vm2；
(3)粒子源在P点时，被磁场约束的粒子速度的最大值vm3。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)临界情况如图甲所示
由题意可知当粒子从A点与内圆相切向上射入磁场，轨迹恰好与外圆相切，根据几何关系有rA=R
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有qvm1B=m
解得vm1=
(2)临界情况如图乙所示
当粒子源在O时，粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子速度为最大值，设粒子运动半径为rO，在△OAC中有OA2+AC2=OC2
即R2+=(2R-rO)2
解得rO=R
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力
根据牛顿第二定律有qvm2B=m
解得vm2=
(3)如图丙所示
当粒子源在P点时，∠OFP越大，轨迹半径越大
根据正弦定理有=
又因为sin ∠OPF的最大值为1，此时sin∠OFP有最大值为0.5
粒子在磁场中的运动轨迹与磁场外边界相切时，被磁场约束的粒子的半径最大，速度为最大值，设粒子运动半径为rP，根据几何关系可得rP=R
洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力
根据牛顿第二定律有qvm3B=m
解得vm3=。
15.(15分)(2026·重庆市三模)如图所示，在xOy平面第一象限内，直线y=0与直线y=x之间存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，x轴下方有一直线CD与x轴平行且与x轴相距为a，x轴与直线CD之间(包含x轴)存在沿y轴正方向的匀强电场，在第三象限，直线CD与直线EF之间存在磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。纸面内有一束宽度为a的平行电子束，沿y轴负方向射入第一象限的匀强磁场，各电子的速度大小随入射位置不同各不相等，电子束的左边界与y轴的距离也为a，经第一象限磁场偏转后发现所有电子都可以通过原点并进入x轴下方的电场，最后所有电子都垂直于EF边界离开磁场，最终打到位于y轴负半轴的收集板上。其中电子质量为m，重力可忽略不计，电荷量大小为e，电场强度大小为E=。求：
(1)各电子入射速度的范围；
(2)速度最大的电子在第三象限磁场中做圆周运动圆心的坐标；
(3)直线EF的方程。
答案　(1)≤v≤　(2)(-3a，-3a)　(3)y=x-a
解析　(1)所有电子在第一象限都经历一个四分之一圆周运动后通过原点并沿-x轴方向进入x轴下方的电场，最大速度对应最大半径r1=2a
根据牛顿第二定律有ev1B=m
解得v1=
最小速度对应最小半径r2=a
根据牛顿第二定律有ev2B=m
解得v2=
各电子入射速度的范围是≤v≤
(2)所有电子在电场中做类平抛运动，速度最大的电子是v1=
设射出电场时的速度大小是v3，根据动能定理有eEa=m-m
解得v3=
设射出电场时的竖直分速度大小为v3y，根据勾股定理得=+
解得v3y=
根据v3y=t，x2=v1t
解得t=，x2=4a
在磁场中的运动半径为r3，根据牛顿第二定律有ev3B=m
解得r3=a
设射出电场时速度方向与竖直方向的夹角为θ，有sin θ==，cos θ==
设电子此后在磁场中运动的圆心为(x，y)，根据几何关系可得
y=-[a+r3sin θ]=-3a
x=-4a+r3cos θ=-3a
该电子此后在磁场中运动的圆心坐标为(-3a，-3a)
(3)所有电子都垂直于EF边界离开磁场，则所有电子运动轨迹的圆心都在EF直线上，由以上分析，经过直线CD时，不妨设任何电子的-x方向的分速度为vx=k
则电子经过直线CD的合速度为vm=
电子经过直线CD的坐标为(-2ka，-a)
速度方向与水平方向的夹角的正切值为tan α=
根据几何关系，易得圆心位置为(-2ka+a，-a-ka)；
因为电子垂直于直线EF出射，所以圆心也在直线上，可得EF直线为y=x-a。

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