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第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
学习目标　1.了解曲线运动的特点,知道物体做曲线运动的条件。 2.理解合运动与分运动,会用运动的合成与分解处理小船渡河和关联速度等问题。
1.曲线运动
2.运动的合成与分解
1.思考判断
(1)速度发生变化的运动,一定是曲线运动。(×)
(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。(×)
(3)做曲线运动的物体所受合力的方向一定指向轨迹的凹侧。(√)
(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。(×)
(5)只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动。(×)
(6)曲线运动一定不是匀变速运动。(×)
(7)运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量(位移、速度、加速度)的合成与分解。(√)
2.小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加,如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置所受合力,下列四幅图可能正确的是(　　)
答案　D
考点一　物体做曲线运动的条件与运动轨迹分析
例1 (2026·四川树德中学模拟)为使汽车快速平稳转弯,驾驶员经常采用“入弯减速,出弯加速”的技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时,其所受水平合力为F、速率为v。则下列方向关系图中,可能正确的是(　　)
答案　C
解析　速度方向沿轨迹的切线方向,“减速入弯”时合力和速度方向的夹角是钝角,“加速出弯”时合力和速度方向的夹角是锐角,故C正确,A、B、D错误。
1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2.速率变化的判断
跟踪训练
1.(人教版必修第二册P4图5.1-3改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中,有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球,第一次在其运动路线的正前方放置条形磁体,第二次在其运动路线的旁边放置条形磁体,如图所示,虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象,以下叙述正确的是(　　)
A.第一次实验中,小钢球的运动是匀速直线运动
B.第二次实验中,小钢球的运动类似平抛运动,其运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力方向与速度方向不在同一直线上
答案　D
解析　第一次实验中,小钢球受到沿初速度方向的磁体的吸引力作用,做直线运动,并且随着距离的减小,吸引力变大,加速度变大,故小钢球做非匀变速直线运动,故A错误;第二次实验中,小钢球所受的磁体的吸引力方向总是指向磁体,是变力,小钢球的运动不是类似平抛运动,其轨迹也不是一条抛物线,故B错误;该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力方向与速度方向不在同一直线上,但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向,故C错误,D正确。
考点二　运动的合成与分解
1.合运动的性质判断
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
(1)依据:看合初速度方向与合加速度(或合力)方向是否共线。
(2)常见的情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
例2 (2025·湖南卷,2)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　)
答案　C
解析　设斜面倾角为θ,物块的初速度为v0,加速度大小为a,则水平方向上由速度与位移的关系式有(v0cos θ)2-=2axcos θ,变形得vx=,则vx-x图像是类似抛物线的一部分,A、B错误;同理竖直方向上有(v0sin θ)2-=2aysin θ,变形得vy=,则vy-y图像是类似抛物线的一部分,C正确,D错误。
跟踪训练
2.(2026·重庆沙坪坝高三月考)一同学在桌面的白纸上匀速划一道竖直线,如图所示。在划线的过程中另一位同学水平向左匀加速抽动了白纸,白纸上的划痕图样可能是(　　)
答案　A
解析　由题意可知笔尖相对白纸参与水平向右的匀加速运动和水平向外的匀速运动,所以轨迹向右弯曲,故A正确。
考点三　小船渡河模型
例3 (2026·山西吕梁高三期中)如图所示为救生员驾驶冲锋舟在湍急的河水中向对岸被困人员实施救援的路线示意图。假设冲锋舟在静水中的速度v1大小不变,救生员首先以最短时间渡河,从A沿直线到B,接到被困人员后,又以最短位移回到原河岸C处,回程时间恰好为去程的倍,假设水流速度v2处处相同,则v1∶v2为(　　)
A.2∶ B.∶2
C.2∶1 D.1∶2
答案　C
解析　设河宽为d,救生员以最短时间渡河,渡河时间为t1=,救生员以最短位移回到原河岸C处,垂直河岸方向的速度为v=,救生员以最短位移回到原河岸C处的时间为t2=,根据题意有t2=t1,解得v1∶v2=2∶1,故C正确。
拓展　若河宽为d,返回时水流速度突然增大到原来的4倍,即v2'=4v2,仍以最短位移返回到原河岸D处(未标出),则D点距离出发点A多远
答案　d
解析　如图所示,
sAC=v2=
返回时,v2'>v1,沿BD方向返回
sin θ==
所以θ=30°,故sCD==d
则sAD=sAC+sCD=d。
总结提升　小船渡河的两类情况
最短时间 最短航程
v船>v水 v船tmin= lmin=d cos θ= lmin=d cos θ=
跟踪训练
3.(2026·湖南宁乡调研)河水流速恒定,河宽300 m,小船在静水中的速度为15 m/s,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,下列说法正确的是(　　)
A.河水流速为12 m/s时,小船驶到对岸的最短时间为19 s
B.河水流速为12 m/s时,若船头垂直对岸,则小船在正对岸上游240 m处靠岸
C.河水流速为12 m/s时,若船头与河岸上游夹角为53°,则小船以最小位移到达对岸
D.河水流速为25 m/s时,若船头与河岸上游夹角为53°,则小船以最小位移到达对岸
答案　D
解析　小船船头垂直于河岸运动时所用时间最短,则t== s=20 s,与河水流速无关,A错误;若船头垂直对岸,即用最短时间过河,小船到对岸的时间为20 s,小船沿河水流动方向位移l=v2t=12×20 m=240 m,即在下游240 m处靠岸,B错误;因船速大于水速,实际运动方向与河岸垂直时位移最小,设船头与河岸夹角为θ,有 cos θ==,解得θ=37°,C错误;河水流速为25 m/s时,船速小于水速,船头与实际运动方向垂直时位移最小,设与河岸间夹角为α,有cos α==,解得α=53°,D正确。
考点四　绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上,沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.解题关键:明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3.常见模型
模型　绳端速度分解模型
例4 (2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,6)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　)
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
答案　B
解析　设塔块匀速下落的速度为v0,细绳与水平方向的夹角为α,将塔块的速度沿细绳和垂直于细绳的方向分解,如图所示,沿细绳方向的速度为v1=v0sin α;将手的速度沿细绳和垂直于细绳的方向分解,则沿细绳方向的速度为v2=vcos α,又v1=v2,整理得v=v0tan α,由于两人相向运动的过程中,细绳与水平方向的夹角α逐渐增大,v0保持不变,所以v一直增大,故B正确,A、C、D错误。
模型　杆端速度分解模型
例5 (2026·江苏无锡期中)如图,甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接,乙球处于粗糙水平地面上,甲球套在光滑的竖直杆上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。施加微小的扰动,使得乙球沿水平地面向右滑动,当乙球距离起点3 m时,下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时,乙球的速度达到最大
答案　B
解析　设轻杆与竖直方向的夹角为θ,则v1在沿杆方向的分量为v1∥=v1cos θ,v2在沿杆方向的分量为v2∥=v2sin θ,而v1∥=v2∥,图示位置时,有cos θ=,sin θ=,解得此时甲、乙两球的速度大小之比为=,故A错误,B正确;当甲球即将落地时,θ=90°,此时甲球的速度达到最大,而乙球的速度为零,故C、D错误。
A级　基础对点练
对点练1　曲线运动的条件及运动轨迹分析
1.(2026·陕西榆林一模)关于物体的运动,下列说法中正确的是(　　)
A.物体在变力作用下不可能做直线运动
B.物体做曲线运动,所受的合力一定是变力
C.物体在恒力作用下可能做曲线运动
D.物体做曲线运动,其速度可能不变
答案　C
解析　当合力方向与速度方向在同一直线上时,物体做直线运动,力可以是变力,故A错误;物体做曲线运动,是因为速度方向和合力方向不在同一条直线上,不一定是变力,故B错误;物体在恒力作用下,如果合力方向与初速度方向不在同一直线上,则物体做曲线运动,故C正确;物体做曲线运动,其速度方向一定变化,速度一定改变,故D错误。
2.(2026·福建厦门一中月考)双人滑冰运动员在水平冰面上做表演,甲运动员给乙运动员一个水平恒力F,乙运动员在冰面上的运动轨迹是一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角,此过程中,忽略乙受到的摩擦力,则乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　)
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
答案　C
解析　根据题图可知,运动员由M向N做曲线运动,运动员沿vM方向的速度减小,同时沿vN方向的速度增大,则合力在F2和F4两个方向上均有分力,F3的方向是可能是正确的,故C正确。
对点练2　运动的合成与分解
3.(2026·浙江温州中学月考)如图所示,乒乓球从斜面滚下后,以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时,用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是(　　)
A.乒乓球仍沿着直线运动
B.乒乓球将偏离原来的运动路径,但不进入纸筒
C.乒乓球一定能进入纸筒
D.只有用力吹气,乒乓球才能进入纸筒
答案　B
解析　当乒乓球经过纸筒口时,对着乒乓球横向吹气,乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上,乒乓球做曲线运动,故乒乓球会偏离原来的运动路径获得一个横向的速度,此速度与乒乓球原有的速度合成一个斜向左下方的合速度,因此乒乓球将向左下方运动但不会进入纸筒,故A、C、D错误,B正确。
4.(2026·湖南雅礼中学模拟)在水平路面上骑摩托车的人,遇到一个壕沟,如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力,最终摩托车后轮落到壕沟对面安全通过,认为摩托车在空中运动过程中受到水平向后的恒定风力,忽略空气阻力及其他外界对摩托车的影响。x、y分别表示水平和竖直位移,vx、vy分别表示水平和竖直速度,t表示时间,下列描述摩托车运动过程中的图像正确的是(　　)
答案　D
解析　由题可知,摩托车在水平方向上做匀减速直线运动,A、C错误;摩托车在竖直方向上做自由落体运动,B错误,D正确。
对点练3　小船渡河模型
5.(多选)如图,小船以大小为v1=5 m/s、船头与上游河岸成θ=60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河,经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m,则下列说法中正确的是(　　)
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
答案　BD
解析　由题意知,河中水流速度为v2=v1cos 60°=2.5 m/s,故A错误;小船以最短位移渡河的时间为t== s=24 s,故B正确;当船头方向指向正对岸时渡河时间最短,则小船渡河的最短时间为tmin== s=36 s,故C错误;小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x=v2tmin=2.5×36 m=90 m,则总位移大小s==90 m,故D正确。
6.(2026·重庆八中阶段检测)如图所示,甲、乙两个小组分乘两只小船渡一条宽度为d的河,各处水流速度均向右且等大恒定,船在静水中的速率均为v,渡河时船头朝向与河岸夹角均为θ,其中甲船恰好抵达正对岸的A点,则(　　)
A.甲船渡河时间比乙船短
B.乙船渡河时间为
C.两船都抵达对岸时,间距增大了
D.如果河水流速增大,甲船调整航向一定还能到达A点
答案　C
解析　渡河时船头朝向与河岸夹角均为θ,则船沿船头所指方向分运动的分位移相等,由于船在静水中的速率均为v,根据分运动的等时性可知,甲船渡河时间等于乙船渡河时间,故A错误;结合上述可知t==,故B错误;甲船恰好抵达正对岸的A点,乙船沿河岸的分速度v1=vcos θ+v水,对甲船进行分析有v水=vcos θ,两船都抵达对岸时,间距增大值为x0=v1t,解得x0=,故C正确;如果河水流速增大,当水流速度大于或等于船在静水中的速率v时,根据平行四边形定则可知,此时甲船的合速度方向不可能垂直于河岸,即此时即使调整甲船航向,甲船也一定不能到达A点,故D错误。
对点练4　绳(杆)端速度分解模型
7.(2026·山东聊城高三期中)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场,如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案:用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上,N端在水平地面上向右以速度v0匀速运动,被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近,平台高为h,当CN=h时,被救人员向B点运动的速率是(　　)
A.v0 B.v0
C.v0 D.v0
答案　A
解析　将N端的速度v0进行分解,设此时轻杆与水平方向的夹角为θ,如图所示,则v人=v0cos θ,根据几何关系可得cos θ===,解得v人=v0,故A正确。
8.(2025·安徽芜湖模拟)如图所示,物体A用跨过定滑轮的轻绳与汽车连接,汽车以v=6 m/s的速度向右匀速运动,连接小车端的轻绳与水平方向的夹角为θ,在物体A上升过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物体A向上做减速运动
B.绳子拉力大于物体A的重力
C.θ=30°时物体A的速度大小为3 m/s
D.物体A始终处于失重状态
答案　B
解析　根据平行四边形定则知,物体A与小车间的速度关系为vA=vcos θ,物体A上升过程中,连接小车的轻绳与水平方向的夹角θ逐渐减小,则A的速度逐渐增大,A做加速运动,根据牛顿第二定律可知,绳子拉力大于物体的重力,物体A处于超重状态,故A、D错误,B正确;当θ=30°时,vA=vcos 30°=6× m/s=3 m/s,故C错误。
B级　综合提升练
9.(2026·河北秦皇岛一模)一个质量为m=2.7 g的乒乓球,以v0=15 m/s的初速度水平向北抛出,此时正好有风,风力水平向西,俯视图如图所示,已知重力加速度为g=10 m/s2,乒乓球受到的水平风力大小恒为0.027 N。乒乓球在空中运动0.2 s的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.乒乓球做变加速曲线运动
B.乒乓球的加速度大小为10 m/s2
C.乒乓球向北运动的位移大小为3 m
D.乒乓球下落高度为0.4 m
答案　C
解析　乒乓球受重力和水平向西的风力,两力均为恒力,所以合力也为恒力,乒乓球做匀变速曲线运动,故A错误;由牛顿第二定律可得,乒乓球的加速度大小为a== m/s2=10 m/s2,故B错误;乒乓球在向北的方向上不受力,该方向上的分运动为匀速直线运动,0.2 s内向北运动的位移大小为x=v0t=15×0.2 m=3 m,故C正确;乒乓球竖直方向上做自由落体运动,0.2 s下落的高度为h=gt2=×10×0.22 m=0.2 m,故D错误。
10.(2026·河北师大附中月考)如图所示,水平固定的光滑细长杆上套有一物块Q,跨过悬挂于O点的光滑轻小圆环的细绳一端连接Q,另一端悬挂一物块P。设细绳的左边部分与水平方向的夹角为θ,初始时θ很小,现将P、Q由静止同时释放,关于P、Q以后的运动,下列说法正确的是(　　)
A.在θ向90°增大的过程中,P一直处于超重状态
B.当θ=90°时,P的速度最大
C.当θ=90°时,Q加速度最大
D.当θ=60°时,P、Q的速度大小之比是1∶2
答案　D
解析　当θ=90°时,Q的速度水平向右,沿绳方向的速度分量为零,所以此时P的速度为零,B错误;当θ=90°时,P的速度为零,初始时刻P的速度也为零,所以θ在向90°增大的过程中,P先向下做加速运动后向下做减速运动,即P先处于失重状态后处于超重的状态,A错误;θ从很小到90°的过程中,细绳拉力对Q做正功,Q先做加速运动,θ>90°后细绳拉力对Q做负功,Q再做减速运动,所以θ=90°时Q速度最大,但加速度为0,C错误;当θ=60°时,将Q的速度v分解为沿绳速度分量v1和垂直于绳的速度分量v2,有vP=v1,则==cos 60°=,D正确。
11.(2026·河南信阳高中模拟)如图所示,长L=0.5 m的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动,另一端靠在物块B上,B的表面光滑,当B在图示位置被锁定时θ=37°,现解除锁定,控制物块B由静止开始水平向左做a=0.2 m/s2的匀加速直线运动,则在t=1 s时,直杆端点A的线速度为(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
答案　C
解析　由题意可得,在t=1 s时,B的速度大小v=at=0.2×1 m/s=0.2 m/s,物块B在1 s内运动的位移大小x=at2=0.1 m,由于杆的长度为L=0.5 m,设t=1 s时直杆与竖直方向的夹角为θ',则依据三角函数关系知sin θ'==0.8,得θ'=53°,如图将A点的速度分解,接触点A的实际运动,即合运动为在A点垂直于杆的方向的运动,该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分运动组成,即vA=,代入数据得vA= m/s= m/s,C正确。
C级　培优加强练
12.(2026·江西新余一中月考)两个相同的正方形铁丝框如图所示放置,它们沿对角线方向分别以速度v和2v向两边运动,则两铁丝框的交点M的运动速度大小为(　　)
A.v B.v
C.v D.v
答案　B
解析　若右框不动,左框以速度v向左运动,如图甲所示,则交点M沿框边滑行的速度为v1=vcos 45°=v;若左框不动,右框以速度2v向右运动,如图乙所示,则交点M沿框边滑行的速度为v2=2vcos 45°=v,当左右两框同时运动时,相当于交点M同时参加上述两种运动,如图丙所示,因此其速度大小为vM===v,故B正确。(共53张PPT)
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
1.了解曲线运动的特点,知道物体做曲线运动的条件。 2.理解合运动与分运动,会用运动的合成与分解处理小船渡河和关联速度等问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
切
1.曲线运动
线
方向
变速
加速度
合力
分运动
2.运动的合成与分解
合运动
实际效果
正交分解
平行四边形
时间
独立
效果
1.思考判断
(1)速度发生变化的运动,一定是曲线运动。( )
(2)做曲线运动的物体受到的合力一定是变力。( )
(3)做曲线运动的物体所受合力的方向一定指向轨迹的凹侧。( )
(4)合运动的速度一定比分运动的速度大。( )
(5)只要两个分运动为直线运动,合运动一定是直线运动。( )
(6)曲线运动一定不是匀变速运动。( )
(7)运动的合成与分解的实质是对描述运动的物理量(位移、速度、加速度)的合成与分解。( )
×
×
√
×
×
×
√
D
2.小车在水平地面上沿轨道从左向右运动,动能一直增加,如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置所受合力,下列四幅图可能正确的是(　　)
研透核心考点
2
考点二　运动的合成与分解
考点一　物体做曲线运动的条件与运动轨迹分析
考点三　小船渡河模型
考点四　绳(杆)端速度分解模型
考点一　物体做曲线运动的条件与运动轨迹分析
例1 (2026·四川树德中学模拟)为使汽车快速平稳转弯,驾驶员经常采用“入弯减速,出弯加速”的技巧。汽车采用该技巧在单向路面水平弯道入、出弯道时,其所受水平合力为F、速率为v。则下列方向关系图中,可能正确的是(　　)
解析　速度方向沿轨迹的切线方向,“减速入弯”时合力和速度方向的夹角是钝角,“加速出弯”时合力和速度方向的夹角是锐角,故C正确,A、B、D错误。
C
1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切。
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧。
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2.速率变化的判断
1.(人教版必修第二册P4图5.1-3改编)在演示“做曲线运动的条件”的实验中,有一个在水平桌面上向右做直线运动的小钢球,第一次在其运动路线的正前方放置条形磁体,第二次在其运动路线的旁边放置条形磁体,如图所示,虚线表示小钢球的运动轨迹。观察实验现象,以下叙述正确的是(　　)
跟踪训练
A.第一次实验中,小钢球的运动是匀速直线运动
B.第二次实验中,小钢球的运动类似平抛运动,其
运动轨迹是一条抛物线
C.该实验说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向
D.该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力方向与速度方向不在同一直线上
D
解析　第一次实验中,小钢球受到沿初速度方向的磁体
的吸引力作用,做直线运动,并且随着距离的减小,吸引力
变大,加速度变大,故小钢球做非匀变速直线运动,故A错
误;第二次实验中,小钢球所受的磁体的吸引力方向总是指向磁体,是变力,小钢球的运动不是类似平抛运动,其轨迹也不是一条抛物线,故B错误;该实验说明物体做曲线运动的条件是物体受到的合力方向与速度方向不在同一直线上,但是不能说明做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向,故C错误,D正确。
考点二　运动的合成与分解
1.合运动的性质判断
2.两个互成角度的直线运动的合运动性质的判断
(1)依据:看合初速度方向与合加速度(或合力)方向是否共线。
(2)常见的情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线,为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线,为匀变速曲线运动
例2 (2025·湖南卷,2)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　)
解析　设斜面倾角为θ,物块的初速度为v0,加速度大小为a,则水平方向上由速度与位移的关系式有(v0cos θ)2-=2axcos θ,变形得vx=,则vx-x图像是类似抛物线的一部分,A、B错误;同理竖直方向上有(v0sin θ)2-=
2aysin θ,变形得vy=,则vy-y图像是类似抛物线的一部分,C正确,D错误。
C
2.(2026·重庆沙坪坝高三月考)一同学在桌面的白纸上匀速划一道竖直线,如图所示。在划线的过程中另一位同学水平向左匀加速抽动了白纸,白纸上的划痕图样可能是(　　)
跟踪训练
解析　由题意可知笔尖相对白纸参与水平向右的匀加速运动和水平向外的匀速运动,所以轨迹向右弯曲,故A正确。
A
例3 (2026·山西吕梁高三期中)如图所示为救生员驾驶冲锋舟在湍急的河水中向对岸被困人员实施救援的路线示意图。假设冲锋舟在静水中的速度v1大小不变,救生员首先以最短时间渡河,从A沿直线到B,接到被困人员后,又以最短位移回到原河岸C处,回程时间恰好为去程的倍,假设水流速度v2处处相同,则v1∶v2为(　　)
考点三　小船渡河模型
A.2∶ B.∶2
C.2∶1 D.1∶2
C
解析　设河宽为d,救生员以最短时间渡河,渡河时间为t1=,救生员以最短位移回到原河岸C处,垂直河岸方向的速度为v=,救生员以最短位移回到原河岸C处的时间为t2=,根据题意有t2=t1,解得v1∶v2=2∶1,故C正确。
拓展　若河宽为d,返回时水流速度突然增大到原来的4倍,即v2'=4v2,仍以最短位移返回到原河岸D处(未标出),则D点距离出发点A多远
答案　d
解析　如图所示,
sAC=v2=
返回时,v2'>v1,沿BD方向返回
sin θ==
所以θ=30°,故sCD==d
则sAD=sAC+sCD=d。
总结提升　小船渡河的两类情况
最短时间 最短航程
v船>v水 v船tmin= lmin=d cos θ= lmin=d
cos θ=
3.(2026·湖南宁乡调研)河水流速恒定,河宽300 m,小船在静水中的速度为15 m/s,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,下列说法正确的是(　　)
A.河水流速为12 m/s时,小船驶到对岸的最短时间为19 s
B.河水流速为12 m/s时,若船头垂直对岸,则小船在正对岸上游240 m处靠岸
C.河水流速为12 m/s时,若船头与河岸上游夹角为53°,则小船以最小位移到达对岸
D.河水流速为25 m/s时,若船头与河岸上游夹角为53°,则小船以最小位移到达对岸
跟踪训练
D
解析　小船船头垂直于河岸运动时所用时间最短,则t== s=20 s,与河水流速无关,A错误;若船头垂直对岸,即用最短时间过河,小船到对岸的时间为20 s,小船沿河水流动方向位移l=v2t=12×20 m=240 m,即在下游240 m处靠岸,B错误;因船速大于水速,实际运动方向与河岸垂直时位移最小,设船头与河岸夹角为θ,有
cos θ==,解得θ=37°,C错误;河水流速为25 m/s时,船速小于水速,船头与实际运动方向垂直时位移最小,设与河岸间夹角为α,有cos α==,解得α=53°,D正确。
1.模型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上,沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2.解题关键:明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
考点四　绳(杆)端速度分解模型
3.常见模型
模型　　绳端速度分解模型
例4 (2025·黑、吉、辽、内蒙古卷,6)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　)
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
B
解析　设塔块匀速下落的速度为v0,细绳与水平方向的夹角为α,将塔块的速度沿细绳和垂直于细绳的方向分解,如图所示,沿细绳方向的速度为v1=v0sin α;将手的速度沿细绳和垂直于细绳的方向分解,则沿细绳方向的速度为v2=vcos α,又v1=v2,整理得v=v0tan α,由于两人相向运动的过程中,细绳与水平方向的夹角α逐渐增大,v0保持不变,所以v一直增大,故B正确,A、C、D错误。
模型　　杆端速度分解模型
例5 (2026·江苏无锡期中)如图,甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用轻直杆连接,乙球处于粗糙水平地面上,甲球套在光滑的竖直杆上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。施加微小的扰动,使得乙球沿水平地面向右滑动,当乙球距离起点3 m时,下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时,乙球的速度达到最大
B
解析　设轻杆与竖直方向的夹角为θ,则v1在沿杆方向的分量为v1∥=v1cos θ,v2在沿杆方向的分量为v2∥=v2sin θ,而v1∥=v2∥,图示位置时,有cos θ=,sin θ=,解得此时甲、乙两球的速度大小之比为=,故A错误,B正确;当甲球即将落地时,θ=90°,此时甲球的速度达到最大,而乙球的速度为零,故C、D错误。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
C
对点练1　曲线运动的条件及运动轨迹分析
1.(2026·陕西榆林一模)关于物体的运动,下列说法中正确的是(　　)
A.物体在变力作用下不可能做直线运动
B.物体做曲线运动,所受的合力一定是变力
C.物体在恒力作用下可能做曲线运动
D.物体做曲线运动,其速度可能不变
解析　当合力方向与速度方向在同一直线上时,物体做直线运动,力可以是变力,故A错误;物体做曲线运动,是因为速度方向和合力方向不在同一条直线上,不一定是变力,故B错误;物体在恒力作用下,如果合力方向与初速度方向不在同一直线上,则物体做曲线运动,故C正确;物体做曲线运动,其速度方向一定变化,速度一定改变,故D错误。
C
2.(2026·福建厦门一中月考)双人滑冰运动员在水平冰面上做表演,甲运动员给乙运动员一个水平恒力F,乙运动员在冰面上的运动轨迹是一段优美的弧线MN。vM与vN正好成90°角,此过程中,忽略乙受到的摩擦力,则乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的(　　)
A.F1 B.F2 C.F3 D.F4
解析　根据题图可知,运动员由M向N做曲线运动,运动员沿vM方向的速度减小,同时沿vN方向的速度增大,则合力在F2和F4两个方向上均有分力,F3的方向是可能是正确的,故C正确。
B
对点练2　运动的合成与分解
3.(2026·浙江温州中学月考)如图所示,乒乓球从斜面滚下后,以某一速度在水平的桌面上做直线运动。在与乒乓球路径垂直的方向上放一个直径略大于乒乓球的纸筒。当乒乓球经过纸筒正前方时,用吸管对着球横向吹气。下列说法正确的是(　　)
A.乒乓球仍沿着直线运动
B.乒乓球将偏离原来的运动路径,但不进入纸筒
C.乒乓球一定能进入纸筒
D.只有用力吹气,乒乓球才能进入纸筒
解析　当乒乓球经过纸筒口时,对着乒乓球横向吹气,乒乓球所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上,乒乓球做曲线运动,故乒乓球会偏离原来的运动路径获得一个横向的速度,此速度与乒乓球原有的速度合成一个斜向左下方的合速度,因此乒乓球将向左下方运动但不会进入纸筒,故A、C、D错误,B正确。
D
4.(2026·湖南雅礼中学模拟)在水平路面上骑摩托车的人,遇到一个壕沟,如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力,最终摩托车后轮落到壕沟对面安全通过,认为摩托车在空中运动过程中受到水平向后的恒定风力,忽略空气阻力及其他外界对摩托车的影响。x、y分别表示水平和竖直位移,vx、vy分别表示水平和竖直速度,t表示时间,下列描述摩托车运动过程中的图像正确的是(　　)
解析　由题可知,摩托车在水平方向上做匀减速直线运动,A、C错误;摩托车在竖直方向上做自由落体运动,B错误,D正确。
BD
对点练3　小船渡河模型
5.(多选)如图,小船以大小为v1=5 m/s、船头与上游河岸成θ=60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河,经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=180 m,则下列说法中正确的是(　　)
A.河中水流速度为2.5 m/s
B.小船以最短位移渡河的时间为24 s
C.小船渡河的最短时间为24 s
D.小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
解析　由题意知,河中水流速度为v2=v1cos 60°=2.5 m/s,故A错误;小船以最短位移渡河的时间为t== s=24 s,故B正确;当船头方向指向正对岸时渡河时间最短,则小船渡河的最短时间为tmin== s=36 s,故C错误;小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x=v2tmin=2.5×36 m=90 m,则总位移大小s==90 m,故D正确。
C
6.(2026·重庆八中阶段检测)如图所示,甲、乙两个小组分乘两只小船渡一条宽度为d的河,各处水流速度均向右且等大恒定,船在静水中的速率均为v,渡河时船头朝向与河岸夹角均为θ,其中甲船恰好抵达正对岸的A点,则(　　)
A.甲船渡河时间比乙船短
B.乙船渡河时间为
C.两船都抵达对岸时,间距增大了
D.如果河水流速增大,甲船调整航向一定还能到达A点
解析　渡河时船头朝向与河岸夹角均为θ,则船沿船头所指
方向分运动的分位移相等,由于船在静水中的速率均为v,根
据分运动的等时性可知,甲船渡河时间等于乙船渡河时间,
故A错误;结合上述可知t==,故B错误;甲船恰好抵达
正对岸的A点,乙船沿河岸的分速度v1=vcos θ+v水,对甲船进
行分析有v水=vcos θ,两船都抵达对岸时,间距增大值为x0=v1t,解得x0=,故C正确;如果河水流速增大,当水流速度大于或等于船在静水中的速率v时,根据平行四边形定则可知,此时甲船的合速度方向不可能垂直于河岸,即此时即使调整甲船航向,甲船也一定不能到达A点,故D错误。
A
对点练4　绳(杆)端速度分解模型
7.(2026·山东聊城高三期中)火灾逃生的首要原则是离开火灾现场,如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案:用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上,N端在水平地面上向右以速度v0匀速运动,被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近,平台高为h,当CN=h时,被救人员向B点运动的速率是(　　)
A.v0 B.v0
C.v0 D.v0
解析　将N端的速度v0进行分解,设此时轻杆与水平方向的夹角为θ,如图所示,则v人=v0cos θ,根据几何关系可得cos θ===,解得v人=v0,故A正确。
B
8.(2025·安徽芜湖模拟)如图所示,物体A用跨过定滑轮的轻绳与汽车连接,汽车以v=6 m/s的速度向右匀速运动,连接小车端的轻绳与水平方向的夹角为θ,在物体A上升过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物体A向上做减速运动
B.绳子拉力大于物体A的重力
C.θ=30°时物体A的速度大小为3 m/s
D.物体A始终处于失重状态
解析　根据平行四边形定则知,物体A与小车间的速度关系为vA=vcos θ,物体A上升过程中,连接小车的轻绳与水平方向的夹角θ逐渐减小,则A的速度逐渐增大,A做加速运动,根据牛顿第二定律可知,绳子拉力大于物体的重力,物体A处于超重状态,故A、D错误,B正确;当θ=30°时,vA=vcos 30°=6× m/s=3 m/s,故C错误。
B级　综合提升练
C
9.(2026·河北秦皇岛一模)一个质量为m=2.7 g的乒乓球,以v0=15 m/s的初速度水平向北抛出,此时正好有风,风力水平向西,俯视图如图所示,已知重力加速度为g=
10 m/s2,乒乓球受到的水平风力大小恒为0.027 N。乒乓球在空中运动0.2 s的过程中,下列说法正确的是(　　)
A.乒乓球做变加速曲线运动
B.乒乓球的加速度大小为10 m/s2
C.乒乓球向北运动的位移大小为3 m
D.乒乓球下落高度为0.4 m
解析　乒乓球受重力和水平向西的风力,两力均为恒
力,所以合力也为恒力,乒乓球做匀变速曲线运动,故A
错误;由牛顿第二定律可得,乒乓球的加速度大小为a== m/s2=10 m/s2,故
B错误;乒乓球在向北的方向上不受力,该方向上的分运动为匀速直线运动,0.2 s内向北运动的位移大小为x=v0t=15×0.2 m=3 m,故C正确;乒乓球竖直方向上做自由落体运动,0.2 s下落的高度为h=gt2=×10×0.22 m=0.2 m,故D错误。
D
10.(2026·河北师大附中月考)如图所示,水平固定的光滑细长杆上套有一物块Q,跨过悬挂于O点的光滑轻小圆环的细绳一端连接Q,另一端悬挂一物块P。设细绳的左边部分与水平方向的夹角为θ,初始时θ很小,现将P、Q由静止同时释放,关于P、Q以后的运动,下列说法正确的是(　　)
A.在θ向90°增大的过程中,P一直处于超重状态
B.当θ=90°时,P的速度最大
C.当θ=90°时,Q加速度最大
D.当θ=60°时,P、Q的速度大小之比是1∶2
解析　当θ=90°时,Q的速度水平向右,沿绳方向的速度分量为零,所以此时P的速度为零,B错误;当θ=90°时,P的速度为零,初始时刻P的速度也为零,所以θ在向90°增大的过程中,P先向下做加速运动后向下做减速运动,即P先处于失重状态后处于超重的状态,A错误;θ从很小到90°的过程中,细绳拉力对Q做正功,Q先做加速运动,θ>90°后细绳拉力对Q做负功,Q再做减速运动,所以θ=90°时Q速度最大,但加速度为0,C错误;当θ=60°时,将Q的速度v分解为沿绳速度分量v1和垂直于绳的速度分量v2,有vP=v1,则==cos 60°=,D正确。
C
11.(2026·河南信阳高中模拟)如图所示,长L=0.5 m的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动,另一端靠在物块B上,B的表面光滑,当B在图示位置被锁定时θ=37°,现解除锁定,控制物块B由静止开始水平向左做a=0.2 m/s2的匀加速直线运动,则在t=1 s时,直杆端点A的线速度为(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
解析　由题意可得,在t=1 s时,B的速度大小v=at=0.2×
1 m/s=0.2 m/s,物块B在1 s内运动的位移大小x=at2=
0.1 m,由于杆的长度为L=0.5 m,设t=1 s时直杆与竖直
方向的夹角为θ',则依据三角函数关系知sin θ'==0.8,
得θ'=53°,如图将A点的速度分解,接触点A的实际运动,即合运动为在A点垂直于杆的方向的运动,该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分运动组成,即vA=,代入数据得vA= m/s= m/s,C正确。
B
12.(2026·江西新余一中月考)两个相同的正方形铁丝框如图所示放置,它们沿对角线方向分别以速度v和2v向两边运动,则两铁丝框的交点M的运动速度大小为(　　)
A.v B.v
C.v D.v
C级　培优加强练
解析　若右框不动,左框以速度v向左运动,如图甲所示,则交点M沿框边滑行的速度为v1=vcos 45°=v;若左框不动,右框以速度2v向右运动,如图乙所示,则交点M沿框边滑行的速度为v2=2vcos 45°=v,
当左右两框同时运动时,相当于交点M同
时参加上述两种运动,如图丙所示,因此其
速度大小为vM==
=v,故B正确。
本节内容结束
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