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第5讲　人造卫星　宇宙速度
学习目标　1.掌握卫星运动的规律,会分析比较卫星运行时各物理量之间的关系。 2.理解三种宇宙速度,并会求解第一宇宙速度的大小。
1.天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动,其所需向心力由万有引力提供。
2.人造卫星
(1)极地卫星:运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星:轨道在地球表面附近的卫星,其轨道半径r≈R(地球半径),运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度),周期T=85 min(人造地球卫星的最小周期)。
(3)
(4)
3.宇宙速度
1.思考判断
(1)绕同一中心天体运动的两颗卫星,公转半径越大,向心加速度越大。(×)
(2)绕同一中心天体运动的质量不同的两颗卫星,若轨道半径相同,速率不一定相等。(×)
(3)近地卫星的周期最小。(√)
(4)极地卫星通过地球两极,且始终和地球某一经线平面重合。(×)
(5)不同的同步卫星的质量不一定相同,但离地面的高度是相同的。(√)
(6)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。(×)
(7)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(√)
2.(人教版必修第二册P64T4改编)火星的质量和半径分别约为地球的和,地球的第一宇宙速度为v,则火星的第一宇宙速度约为(　　)
A.v　　 B.v　　
C.v　　 D.v
答案　A
考点一　卫星运动参量的分析
1.人造卫星运行轨道
卫星运行的轨道平面一定通过地心,一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道,地球同步静止卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。
2.物理量随轨道半径变化的规律
G= 公式中r指轨道半径,r越大,v、ω、a越小,T越大(高轨低速大周期)
角度　卫星运动参量与半径的关系
例1 (2025·湖北卷,2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动,甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用,下列说法正确的是(　　)
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
答案　A
解析　
跟踪训练
1.(2026·内蒙古包头模拟)2025年3月我国科学家通过研究嫦娥六号采回的月球背面月壤样品,取得重大突破,对理解月球乃至太阳系早期演化具有重大科学意义,嫦娥六号任务圆满成功。假设嫦娥六号绕某一中心天体运动的圆轨道半径减为原来的一半时,则嫦娥六号(　　)
A.向心加速度变为原来的2倍
B.线速度变为原来的2倍
C.运动周期变为原来的倍
D.所受万有引力变为原来的倍
答案　C
解析　根据G=ma,解得a=,可知向心加速度变为原来的4倍,故A错误;根据=m,可得v=,知线速度变为原来的倍,故B错误;根据=mr,可得T=2π,知运动周期变为原来的倍,故C正确;根据F=G,知嫦娥六号所受万有引力变为原来的4倍,故D错误。
角度　同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运行问题
例2 (2026·湖南常德一中月考)如图所示,a是静止在地球赤道地面上的一个物体,b是与赤道共面的某近地卫星,c、d均为地球的卫星,其中d是地球的同步卫星,以下关于a、b、c、d四者的线速度、角速度、周期、向心加速度的大小关系正确的是(　　)
A.va>vb>vc>vd B.ωa>ωb>ωc>ωd
C.Tb>Tc>Td=Ta D.ab>ac>ad>aa
答案　D
解析　对于b、c、d三颗卫星来说,万有引力提供其做圆周运动的向心力,有G=m=mω2r=mr=man,可得v=,ω=,T=,an=,根据三颗卫星的轨道半径之间的关系可得vb>vc>vd,ωb>ωc>ωd,ab>ac>ad,Tbωc>ωd=ωa,Tbra,可得ad>aa,结合以上分析可得ab>ac>ad>aa,故D正确;由v=ωr,ωa=ωd=ω自,rd>ra,可得vd>va,结合以上分析可得vb>vc>vd>va,故A错误。
总结提升
近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较
项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体
图示
向心力 万有引力 万有引力 万有引力 的一个分力
轨道半径 r同>r物=r近
角速度 ω近=,ω同=ω物=,有ω近>ω同=ω物
线速度 v近=,v同=ω同(R+h)=,v物=ω物R,有v近>v同>v物
向心加 速度 a近=R=,a同=(R+h)=,a物=R,有a近>a同>a物
跟踪训练
2.(2026·北京四中模拟)如图所示,卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星,在地球两极上空约1 000 km处运行;b是低轨道卫星,距地球表面高度与a相等;c是地球同步卫星,则(　　)
A.a、b的周期比c大
B.a、b的向心加速度比c小
C.a、b的线速度大小相等
D.a、b、c的机械能一样大
答案　C
解析　因为ra=rb考点二　宇宙速度
第一宇宙速度的推导
方法一:由G=m得
v1== m/s
≈7.9×103 m/s。
方法二:由mg=m得
v1== m/s≈7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,也是人造地球卫星的最大环绕速度,此时它的运行周期最短,Tmin=2π=2π s≈5 078 s≈85 min。
例3 (2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
答案　A
解析　由万有引力提供向心力有G=m,解得v=,可知,若v=,小星球做匀速圆周运动,故A正确;若,小星球将脱离恒星引力束缚,不可能与恒星相撞,故D错误。
宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发=7.9 km/s时,卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时,卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s时,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。
跟踪训练
3.(2026·山东泰安高三期末)假设宇宙中有两颗行星A和B,半径分别为RA和RB,RB=3RA。两颗行星的卫星轨道半径的三次方(r3)与运行公转周期的平方(T2)的关系如图所示。若不考虑其他星体对A、B的影响及A、B之间的作用力,则行星A、B的第一宇宙速度之比为(　　)
A.1∶5 B.1∶4
C.1∶3 D.1∶1
答案　C
解析　根据万有引力提供向心力,有=mr,解得M=,由题图可知A、B的质量分别为MA=,MB=,第一宇宙速度满足=m,即v=,解得==,故C正确。
A级　基础对点练
对点练1　卫星运动参量的分析
1.(2025·河南卷,3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b,它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的,其母恒星质量约为太阳质量的,则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为(　　)
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
答案　A
解析　由G=mr→T=2π ==,则TG=×365天≈13天,A正确。
2.(2026·重庆北碚模拟)如图所示,卫星P绕地球做匀速圆周运动,地球对卫星P的张角θ=60°,地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,忽略地球自转的影响,下列说法正确的是(　　)
A.卫星的线速度大小为
B.卫星的角速度大小为
C.卫星的周期为4π
D.卫星的加速度大小为
答案　C
解析　设卫星的轨道半径为r,根据几何关系可得sin =,解得r=2R,在地球表面有=m'g,卫星绕地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得=m=mω2r=mr=ma,联立解得v==,ω==,T==4π,a==,故C正确。
3.(2026·海南海口高三期末)中国空间站运行在距离地球表面约400千米高的近地轨道上,而地球同步卫星离地高度约为36 000千米。如图所示,a为静止在地球赤道上的物体,b为中国空间站,c为地球同步卫星,则下列说法正确的是(　　)
A.线速度的大小关系为va>vb>vc
B.周期关系为Ta=Tc>Tb
C.向心加速度的关系ac>ab>aa
D.同步卫星c的发射速度要大于11.2 km/s
答案　B
解析　a与c的角速度和周期相同,由v=ωr知,vaaa。对于b与c,根据万有引力提供向心力得G=m=mr=ma,解得v=,T=,a=,因c的轨道半径比b的大,则vb>vc,Tc>Tb,ab>ac,综上有vaTb,ab>ac>aa,故A、C错误,B正确;因同步卫星c没有脱离地球的束缚,所以同步卫星c的发射速度应小于11.2 km/s,故D错误。
4.(2025·重庆卷,7)“金星凌日”时,从地球上看,金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测,测得金星在太阳表面的小黑点相距为L,如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动,太阳直径远小于金星的轨道半径,则地球和金星绕太阳运动的(　　)
A.轨道半径之比为
B.周期之比为
C.线速度大小之比为
D.向心加速度大小之比为
答案　D
解析　太阳直径远小于金星的轨道半径,太阳直径忽略不计,根据题意结合几何知识可知,地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为=,故A错误;根据万有引力提供向心力有=mr=m=ma,解得T=,v=,a=,可得周期之比为=,线速度大小之比为=,向心加速度大小之比为=,故B、C错误,D正确。
对点练2　宇宙速度
5.(2026·河北承德一模)假设在未来某天,航天员在火星表面登陆后,以速率v0竖直上抛一物体,物体从抛出到返回抛出点的时间为t。已知火星的半径为R,若忽略火星自转,则火星的第一宇宙速度为(　　)
A. B.
C.2 D.2
答案　B
解析　设火星表面的重力加速度为g',物体做竖直上抛运动,有t=,在火星表面,根据万有引力与重力的关系有G=mg',由万有引力提供向心力有=m,即火星的第一宇宙速度为v===,故B正确。
6.(2025·八省联考四川卷,2)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为81∶1,半径之比约为4∶1。若在地球表面抛射绕地航天器,在月球表面抛射绕月航天器,所需最小抛射速度的比值约为(　　)
A.20 B.6
C.4.5 D.1.9
答案　C
解析　要抛射航天器,所需要的最小速度为中心天体的第一宇宙速度,根据万有引力提供向心力得G=m,可得天体的第一宇宙速度v=,地球和月球质量之比约为81∶1,半径之比约为4∶1,则地球和月球的第一宇宙速度之比为===4.5,即所需最小抛射速度的比值约为4.5,故C正确。
7.(多选)(2026·安徽合肥高三月考)天问二号火星探测器于2025年5月29日成功发射,任务周期大约10年,已知火星质量约为地球质量的,火星半径约为地球半径的。假设探测器着陆前绕火星运行的轨道为圆轨道,半径近似为火星半径。关于探测器的运动,下列说法正确的是(　　)
A.其相对于火星的速度小于地球第一宇宙速度
B.其相对于火星的速度大于地球第一宇宙速度
C.其绕火星飞行的周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕火星飞行的周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
答案　AC
解析　设星球质量为M,半径为R,第一宇宙速度为v,根据=m,解得v=,可得v地=,v火==·,即探测器相对于火星的速度小于地球第一宇宙速度,故A正确,B错误;根据=mR,解得T=,可得T地=,T火==·,即探测器绕火星飞行的周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍,故C正确,D错误。
B级　综合提升练
8.(2025·陕、晋、青、宁卷,2)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统,实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动,轨道半径约3 750 km,轨道周期约2 h,引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2。根据以上数据可推算出火星的(　　)
A.质量 B.体积
C.逃逸速度 D.自转周期
答案　A
解析　轨道器环绕火星做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力有G=mr,解得M=,由题中条件可推算出火星的质量M,A正确;火星的半径未知,火星的体积V=πR3无法推算出,B错误;对于在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的行星,由万有引力提供向心力有=m',解得火星的第一宇宙速度为v=,则火星的逃逸速度(第二宇宙速度)v逃=v=,由于火星的半径未知,所以火星的逃逸速度无法推算出,C错误;自转周期与已知量无关,所以无法推算出火星的自转周期,D错误。
9.(2025·山东卷,6)轨道舱与返回舱的组合体,绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动。轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示,轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱。分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2,G为引力常量。此时轨道舱相对行星的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　
10.(多选)(2026·山东临沂统考)使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1,而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2,v2与v1的关系是v2=v1。已知某星球半径是地球半径R的,其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的,地球的平均密度为ρ,不计其他星球的影响,则(　　)
A.该星球的第二宇宙速度为
B.该星球的第二宇宙速度为
C.该星球的平均密度为
D.该星球的平均密度为
答案　AD
解析　根据万有引力提供向心力有G=m,根据万有引力与重力的关系有G=mg,地球的第一宇宙速度为v地=,则该星球的第一宇宙速度为v1===,该星球的第二宇宙速度为v2=v1=,故A正确,B错误;根据万有引力等于重力有G=mg,可得M地=,地球的体积为V=πR3,地球的密度为ρ==,该星球的平均密度为ρ星===,故C错误,D正确。
11.(2026·广东茂名模拟)卫星根据其不同功能有不同的环绕轨道。如图夸父一号卫星离地面的高度为720 km的轨道上绕地球做匀速圆周运动,可用于探测由太阳射来的高能宇宙射线;同步地球卫星离地高度约36 000 km,可用于气象观测。下列说法正确的是(　　)
A.夸父一号的运行速度大于7.9 km/s
B.同步卫星的向心加速度大于赤道平面上的物体随着地球自转的向心加速度
C.为使夸父一号能更长时间观测太阳,采用轨道b比轨道a更合理
D.夸父一号绕地球做圆周运动的周期为24小时
答案　B
解析　根据牛顿第二定律得G=m,解得v=,轨道半径越大,运行速度越小。夸父一号的轨道半径大于近地卫星的轨道半径,所以夸父一号的运行速度小于7.9 km/s,A错误;根据a=r,同步卫星和赤道平面上的物体随着地球自转的周期相同,轨道半径越大,向心加速度越大,同步卫星轨道半径大于赤道平面上的物体随着地球自转的轨道半径,所以同步卫星的向心加速度大于赤道平面上的物体随着地球自转的向心加速度,B正确;为使夸父一号能更长时间观测太阳,采用轨道a比轨道b更合理,因为采用轨道a可以连续24小时观测太阳,采用轨道b不能连续24小时观测太阳,C错误;根据牛顿第二定律得G=mr,解得T=2π,轨道半径越小,周期越小,夸父一号的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径,所以夸父一号绕地球做圆周运动的周期小于24小时,D错误。
C级　培优加强练
12.(2026·安徽铜陵一中检测)中国载人登月工程规划在2030年前后实现航天员登月。由于月球表面无空气,因此没有空气阻力。假设航天员在月球表面借助智能机器人完成这样一个实验,如图所示,沿水平方向将一个质量m=5 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出,小球恰好从半径R=5 m的光滑圆弧轨道AB的A点沿切线方向进入(进入圆弧时无机械能损失)。已知θ=53°,P点与A点的水平距离(DA间距)d=7.5 m,小球到达A点时的速度大小v=5 m/s。已知引力常量为G,月球的半径R月≈1.6×106 m,不考虑月球的自转,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
(1)月球表面的重力加速度g月;
(2)月球的第一宇宙速度v1;
(3)小球在A点时对轨道的压力大小。
答案　(1)1.6 m/s2　(2)1.6×103 m/s　(3)29.8 N
解析　(1)对小球在A点的速度进行分解,水平方向和竖直方向的分速度分别为
vx=vcos θ,vy=vsin θ
设平抛运动的时间为t,根据平抛运动规律有
d=vxt,vy=g月t
解得g月=1.6 m/s2。
(2)设月球的质量为M,对质量为m卫的近月卫星,由万有引力提供向心力有=m卫
在月球表面万有引力等于重力,对于月球表面质量为m0的物体有=m0g月
联立解得v1=1.6×103 m/s。
(3)小球在A点时,根据牛顿第二定律有
FN-mg月cos θ=m
代入数据解得轨道对小球的弹力大小FN=29.8 N
根据牛顿第三定律可知小球在A点时对轨道的压力大小为29.8 N。(共52张PPT)
第5讲　人造卫星　宇宙速度
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
1.掌握卫星运动的规律,会分析比较卫星运行时各物理量之间的关系。 2.理解三种宇宙速度,并会求解第一宇宙速度的大小。
学习目标
目 录
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
提升素养能力
03
夯实必备知识
1
1.天体(卫星)运行问题分析
将天体或卫星的运动看成__________运动,其所需向心力由__________提供。
2.人造卫星
(1)极地卫星:运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转,极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)近地卫星:轨道在地球表面附近的卫星,其轨道半径r≈R(地球半径),运行速度______第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星的最大运行速度),周期T=85 min
(人造地球卫星的最小周期)。
匀速圆周
万有引力
等于
(3)
(4)
7.9
3.宇宙速度
最大
最小
地球
太阳
1.思考判断
(1)绕同一中心天体运动的两颗卫星,公转半径越大,向心加速度越大。( )
(2)绕同一中心天体运动的质量不同的两颗卫星,若轨道半径相同,速率不一定相等。( )
(3)近地卫星的周期最小。( )
(4)极地卫星通过地球两极,且始终和地球某一经线平面重合。( )
(5)不同的同步卫星的质量不一定相同,但离地面的高度是相同的。( )
(6)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。( )
(7)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。( )
×
×
√
×
√
×
√
A
2.(人教版必修第二册P64T4改编)火星的质量和半径分别约为地球的和,地球的第一宇宙速度为v,则火星的第一宇宙速度约为(　　)
A.v　　 B.v　　
C.v　　 D.v
研透核心考点
2
考点二　宇宙速度
考点一　卫星运动参量的分析
考点一　卫星运动参量的分析
1.人造卫星运行轨道
卫星运行的轨道平面一定通过地心,一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道,地球同步静止卫星的轨道是赤道轨道。如图所示。
2.物理量随轨道半径变化的规律
G= 公式中r指轨道半径,r越大,v、ω、a越小,T越大(高轨低速大周期)
角度　　卫星运动参量与半径的关系
例1 (2025·湖北卷,2)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动,甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用,下列说法正确的是(　　)
A.甲运动的周期比乙的小 B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小 D.甲运动的向心加速度比乙的小
解析　
A
1.(2026·内蒙古包头模拟)2025年3月我国科学家通过研究嫦娥六号采回的月球背面月壤样品,取得重大突破,对理解月球乃至太阳系早期演化具有重大科学意义,嫦娥六号任务圆满成功。假设嫦娥六号绕某一中心天体运动的圆轨道半径减为原来的一半时,则嫦娥六号(　　)
A.向心加速度变为原来的2倍 B.线速度变为原来的2倍
C.运动周期变为原来的倍 D.所受万有引力变为原来的倍
跟踪训练
C
解析　根据G=ma,解得a=,可知向心加速度变为原来的4倍,故A错误;根据=m,可得v=,知线速度变为原来的倍,故B错误;根据=mr,可得T=2π,知运动周期变为原来的倍,故C正确;根据F=G,知嫦娥六号所受万有引力变为原来的4倍,故D错误。
角度　　同步卫星、近地卫星和赤道上物体的运行问题
例2 (2026·湖南常德一中月考)如图所示,a是静止在地球赤道地面上的一个物体,b是与赤道共面的某近地卫星,c、d均为地球的卫星,其中d是地球的同步卫星,以下关于a、b、c、d四者的线速度、角速度、周期、向心加速度的大小关系正确的是(　　)
A.va>vb>vc>vd B.ωa>ωb>ωc>ωd
C.Tb>Tc>Td=Ta D.ab>ac>ad>aa
D
解析　对于b、c、d三颗卫星来说,万有引力提供其做圆
周运动的向心力,有G=m=mω2r=mr=man,可得v=,ω=,T=,an=,根据三颗卫星的轨道半
径之间的关系可得vb>vc>vd,ωb>ωc>ωd,ab>ac>ad,Tb对于a物体来说它属于地球的一部分,它转动的角速度以及周期与地球自转的相同,而地球自转的角速度、周期又与地球同步卫星的相同,即ωa=ω自=ωd,Ta=T自=Td,因此ωb>ωc>ωd=ωa,Tbra,可得ad>aa,结合以上分析可得ab>ac>ad>aa,故D正确;由v=ωr,ωa=ωd=ω自,rd>ra,可得vd>va,结合以上分析可得vb>vc>vd>va,故A错误。
总结提升
近地卫星、同步卫星与地球赤道上物体的比较
项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体
图示
向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r同>r物=r近
项目 近地卫星 同步卫星 地球赤道上物体
角速度 ω近=,ω同=ω物=,有ω近>ω同=ω物
线速度 v近=,v同=ω同(R+h)=,v物=ω物R,有v近>v同>v物
向心加 速度 a近=R=,a同=(R+h)=,a物=R,有a近>a同>a物
2.(2026·北京四中模拟)如图所示,卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星,在地球两极上空约1 000 km处运行;b是低轨道卫星,距地球表面高度与a相等;c是地球同步卫星,则(　　)
跟踪训练
A.a、b的周期比c大
B.a、b的向心加速度比c小
C.a、b的线速度大小相等
D.a、b、c的机械能一样大
C
解析　因为ra=rb考点二　宇宙速度
第一宇宙速度的推导
方法一:由G=m得
v1== m/s
≈7.9×103 m/s。
方法二:由mg=m得
v1== m/s≈7.9×103 m/s。
第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度,也是人造地球卫星的最大环绕速度,此时它的运行周期最短,Tmin=2π=2π s≈5 078 s≈85 min。
例3 (2025·甘肃卷,2)如图,一小星球与某恒星中心距离为R时,小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M,引力常量为G。下列说法正确的是(　　)
A.若v=,小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=,小星球做椭圆运动
D.若v>,小星球可能与恒星相撞
A
解析　由万有引力提供向心力有G=m,解得v=,可
知,若v=,小星球做匀速圆周运动,故A正确;若,万有引力不足以提供小星球做匀速圆周运动所需要
的向心力,小星球做离心运动,但又不能脱离恒星的引力范
围,所以小星球做椭圆运动,而不是抛物线运动,故B错误;若v=,这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度,小星球的运动不是椭圆运动,故C错误;若v>,小星球将脱离恒星引力束缚,不可能与恒星相撞,故D错误。
宇宙速度与运动轨迹的关系
(1)v发=7.9 km/s时,卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
(2)7.9 km/s(3)11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时,卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
(4)v发≥16.7 km/s时,卫星将挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的空间。
3.(2026·山东泰安高三期末)假设宇宙中有两颗行星A和B,半径分别为RA和RB,RB=3RA。两颗行星的卫星轨道半径的三次方(r3)与运行公转周期的平方(T2)的关系如图所示。若不考虑其他星体对A、B的影响及A、B之间的作用力,则行星A、B的第一宇宙速度之比为(　　)
跟踪训练
A.1∶5 B.1∶4
C.1∶3 D.1∶1
C
解析　根据万有引力提供向心力,有=mr,解得M=,由题图可知A、B的质量分别为MA=,MB=,第一宇宙速度满足=m,即v=,解得==,故C正确。
提升素养能力
3
A级　基础对点练
A
对点练1　卫星运动参量的分析
1.(2025·河南卷,3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b,它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的,其母恒星质量约为太阳质量的,则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为(　　)
A.13天 B.27天 C.64天 D.128天
C
2.(2026·重庆北碚模拟)如图所示,卫星P绕地球做匀速圆周运动,地球对卫星P的张角θ=60°,地球表面的重力加速度为g,地球半径为R,忽略地球自转的影响,下列说法正确的是(　　)
A.卫星的线速度大小为 B.卫星的角速度大小为
C.卫星的周期为4π D.卫星的加速度大小为
解析　设卫星的轨道半径为r,根据几何关系可得
sin =,解得r=2R,在地球表面有=m'g,卫星绕
地球做匀速圆周运动,由万有引力提供向心力得
=m=mω2r=mr=ma,联立解得v==,
ω==,T==4π,a==,故C正确。
B
3.(2026·海南海口高三期末)中国空间站运行在距离地球表面约400千米高的近地轨道上,而地球同步卫星离地高度约为36 000千米。如图所示,a为静止在地球赤道上的物体,b为中国空间站,c为地球同步卫星,则下列说法正确的是(　　)
A.线速度的大小关系为va>vb>vc
B.周期关系为Ta=Tc>Tb
C.向心加速度的关系ac>ab>aa
D.同步卫星c的发射速度要大于11.2 km/s
解析　a与c的角速度和周期相同,由v=ωr知,vaaa。对于b与c,根据万有引力提供向心力得G=m=mr=ma,解得v=,T=,a=,因c的轨道半径比b的大,则vb>vc,Tc>Tb,ab>ac,综上有vaTb,ab>ac>aa,故A、C错误,B正确;因同步卫星c没有脱离地球的束缚,所以同步卫星c的发射速度应小于11.2 km/s,故D错误。
D
4.(2025·重庆卷,7)“金星凌日”时,从地球上看,金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测,测得金星在太阳表面的小黑点相距为L,如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动,太阳直径远小于金星的轨道半径,则地球和金星绕太阳运动的(　　)
A.轨道半径之比为 B.周期之比为
C.线速度大小之比为 D.向心加速度大小之比为
B
对点练2　宇宙速度
5.(2026·河北承德一模)假设在未来某天,航天员在火星表面登陆后,以速率v0竖直上抛一物体,物体从抛出到返回抛出点的时间为t。已知火星的半径为R,若忽略火星自转,则火星的第一宇宙速度为(　　)
A. B. C.2 D.2
解析　设火星表面的重力加速度为g',物体做竖直上抛运动,有t=,在火星表面,根据万有引力与重力的关系有G=mg',由万有引力提供向心力有=m,即火星的第一宇宙速度为v===,故B正确。
C
6.(2025·八省联考四川卷,2)我国某研究团队提出以磁悬浮旋转抛射为核心的航天器发射新技术。已知地球和月球质量之比约为81∶1,半径之比约为4∶1。若在地球表面抛射绕地航天器,在月球表面抛射绕月航天器,所需最小抛射速度的比值约为(　　)
A.20 B.6 C.4.5 D.1.9
AC
7.(多选)(2026·安徽合肥高三月考)天问二号火星探测器于2025年5月29日成功发射,任务周期大约10年,已知火星质量约为地球质量的,火星半径约为地球半径的。假设探测器着陆前绕火星运行的轨道为圆轨道,半径近似为火星半径。关于探测器的运动,下列说法正确的是(　　)
A.其相对于火星的速度小于地球第一宇宙速度
B.其相对于火星的速度大于地球第一宇宙速度
C.其绕火星飞行的周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕火星飞行的周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
A
8.(2025·陕、晋、青、宁卷,2)我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统,实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动,轨道半径约
3 750 km,轨道周期约2 h,引力常量G取6.67×10-11 N·m2/kg2。根据以上数据可推算出火星的(　　)
A.质量 B.体积
C.逃逸速度 D.自转周期
B级　综合提升练
解析　轨道器环绕火星做匀速圆周运动时,由万有引力提供向心力有G=mr,解得M=,由题中条件可推算出火星的质量M,A正确;火星的半径未知,火星的体积V=πR3无法推算出,B错误;对于在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的行星,由万有引力提供向心力有=m',解得火星的第一宇宙速度为v=,则火星的逃逸速度(第二宇宙速度)v逃=v=,由于火星的半径未知,所以火星的逃逸速度无法推算出,C错误;自转周期与已知量无关,所以无法推算出火星的自转周期,D错误。
C
9.(2025·山东卷,6)轨道舱与返回舱的组合体,绕质量为M的行星做半径为r的圆周运动。轨道舱与返回舱的质量比为5∶1。如图所示,轨道舱在P点沿运动方向向前弹射返回舱。分开瞬间返回舱相对行星的速度大小为2,G为引力常量。此时轨道舱相对行星的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析　
AD
10.(多选)(2026·山东临沂统考)使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1,而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度v2,v2与v1的关系是v2=v1。已知某星球半径是地球半径R的,其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的,地球的平均密度为ρ,不计其他星球的影响,则(　　)
A.该星球的第二宇宙速度为 B.该星球的第二宇宙速度为
C.该星球的平均密度为 D.该星球的平均密度为
B
11.(2026·广东茂名模拟)卫星根据其不同功能有不同的环绕轨道。如图夸父一号卫星离地面的高度为720 km的轨道上绕地球做匀速圆周运动,可用于探测由太阳射来的高能宇宙射线;同步地球卫星离地高度约36 000 km,可用于气象观测。下列说法正确的是(　　)
A.夸父一号的运行速度大于7.9 km/s
B.同步卫星的向心加速度大于赤道平面上
的物体随着地球自转的向心加速度
C.为使夸父一号能更长时间观测太阳,采用轨道b比轨道a更合理
D.夸父一号绕地球做圆周运动的周期为24小时
解析　根据牛顿第二定律得G=m,解得v=,轨道半径越大,运行速度越小。夸父一号的轨道半径大于近地卫星的轨道半径,所以夸父一号的运行速度小于7.9 km/s,A错误;根据a=r,同步卫星和赤道平面上的物体随着地球自转的周期相同,轨道半径越大,向心加速度越大,同步卫星轨道半径大于赤道平面上的物体随着地球自转的轨道半径,所以同步卫星的向心加速度大于赤道平面上的物体随着地球自转的向心加速度,B正确;为使夸父一号能更长时间观测太阳,采用轨道a比轨道b更合理,因为采用轨道a可以连续24小时观测太阳,采用轨道b不能连续24小时观测太阳,C错误;根据牛顿第二定律得G=mr,解得T=2π,轨道半径越小,周期越小,夸父一号的轨道半径小于地球同步卫星的轨道半径,所以夸父一号绕地球做圆周运动的周期小于24小时,D错误。
12.(2026·安徽铜陵一中检测)中国载人登月工程规划在2030年前后实现航天员登月。由于月球表面无空气,因此没有空气阻力。假设航天员在月球表面借助智能机器人完成这样一个实验,如图所示,沿水平方向将一个质量m=5 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出,小球恰好从半径R=5 m的光滑圆弧轨道AB的A点沿切线方向进入(进入圆弧时无机械能损失)。已知θ=53°,P点与A点的水平距离(DA间距)d=7.5 m,小球到达A点时的速度大小v=5 m/s。已知引力常量为G,月球的半径R月≈1.6×106 m,不考虑月球的自转,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
(1)月球表面的重力加速度g月;
(2)月球的第一宇宙速度v1;
(3)小球在A点时对轨道的压力大小。
C级　培优加强练
答案　(1)1.6 m/s2　(2)1.6×103 m/s　(3)29.8 N
解析　(1)对小球在A点的速度进行分解,水平方向和竖直方向的分速度分别为
vx=vcos θ,vy=vsin θ
设平抛运动的时间为t,根据平抛运动规律有
d=vxt,vy=g月t
解得g月=1.6 m/s2。
(2)设月球的质量为M,对质量为m卫的近月卫星,由万有引力提供向心力有
=m卫
在月球表面万有引力等于重力,对于月球表面质量为m0的物体有=m0g月
联立解得v1=1.6×103 m/s。
(3)小球在A点时,根据牛顿第二定律有
FN-mg月cos θ=m
代入数据解得轨道对小球的弹力大小FN=29.8 N
根据牛顿第三定律可知小球在A点时对轨道的压力大小为29.8 N。
本节内容结束
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