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　　　　　　　　平抛运动的临界极值问题和空间抛体运动
一、平抛运动的临界极值问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点。
例1 (2026·北京西城模拟)网球运动员将球在边界A的正上方B点水平向右垂直于球网击出,球恰好过网C落在D处,示意图如图所示,不计空气阻力,已知AB=h1,AC=x,CD=,网高为h2,下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.击球点高度h1与球网的高度h2之间的关系为h1=1.5h2
B.若保持击球高度不变,球的初速度v0只要不大于,就一定落在对方界内
C.任意降低击球高度(仍高于h2),只要球的初速度合适(球仍水平击出),球一定能落在对方界内
D.在h1大于h2的情况下,只要球的初速度合适(球仍水平击出),就一定能落在对方界内
答案　D
解析　从B点到D点,竖直方向有h1=g,水平方向有x=vt2,从B点到C点,竖直方向有h1-h2=g,水平方向有x=vt1,联立解得h1=1.8h2,故A错误;若初速度太小,则不能过网,故B错误;球刚好过网又压线(刚好不出界)时,有h1'-h2=g,x=vt3,h1'=g,2x=vt4,联立解得h1'=h2,所以h1必须大于或等于h2,球才能过网且不出界(h1小于h2时,球要么不过网,要么出界),故C错误,D正确。
例2 (2026·山东济南一模)如图所示,弹珠发射器(可视为质点)固定于足够高的支架顶端,支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动,同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2(v2>v1)的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x,竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L,重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.x的最小值为L
B.x的最小值为L
C.y的最小值为
D.y的最小值为
答案　C
解析　弹珠在水平方向做匀速直线运动,竖直方向做自由落体运动,当v2垂直竖直墙壁射出时,弹珠运动时间最短,为tmin=,y的最小值为ymin=g=,故C正确,D错误;由于v2>v1,则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁,合速度大小为v=,此时x的最小值为L,故A、B错误。
二、空间抛体运动
例3 (2026·山东聊城高三期末)如图所示,水平地面上固定一倾角为37°的斜面,AB足够长,BB'长10 m,现在B点正上方D点沿与水平方向成45°角斜向上抛出一小球,小球抛出速度最大为10 m/s,已知重力加速度g=10 m/s2,抛出点D与B点间的距离为6 m,则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为(　　)
A.2 m B.10 m
C.8 m D.6 m
答案　D
解析　如图所示,过D点作平行底边BC的直线DM,过M作与D点等高的直线MN,若小球以最大速度抛出时,落到MN上的位置为P点,则水平方向有DP=v0mcos 45°·t,其中t== s,可得DP=10 m,因DM==8 m,由勾股定理可知MP=6 m跟踪训练
1.如图所示,窗户上、下沿间的高度差H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m,某人在离墙壁距离为L=1.4 m、距窗户上沿高为h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物件以速度v水平抛出,小物件直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2。则v的取值范围是(　　)
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/s答案　C
解析　小物件做平抛运动,若小物件恰好经窗户上沿,则有h=g,L=v1t1,解得v1=7 m/s;若小物件恰好经窗户外侧下沿,则有h+H=g,L+d=v2t2,解得v2=3 m/s,所以3 m/s2.如图所示,容量足够大的圆筒竖直放置,水面高度为h,在圆筒侧壁开一个小孔P,筒内的水从小孔水平射出,设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x,小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变,重力加速度为g,不计空气阻力,在这段时间内,下列说法正确的是(　　)
A.水从小孔P射出的速度大小为
B.y越小,则x越大
C.x与小孔的位置无关
D.当y=时,x最大,最大值为h
答案　D
解析　设在极短时间内从小孔喷出水的质量为m,由机械能守恒定律可知mgy=mv2,解得v=,A错误;水从小孔P射出后做平抛运动,则x=vt,h-y=gt2,解得x=v=2,可知x与小孔的位置有关,由数学知识可知,当y=h-y,即y=h时,x最大,最大值为h,并不是y越小x越大,D正确,B、C错误。
3.(2025·山东潍坊模拟)如图所示,BD为斜面顶端的水平边沿,子弹从斜面最低点A处,枪口瞄准C点(C点在D点的正上方)以一定速度射出,经过一段时间恰好水平击中D点,不计空气阻力,已知斜面的倾角为30°,重力加速度为g,AB长度xAB=a,BD长度xBD=a。求:
(1)子弹从射出到击中D点经历的时间;
(2)枪口瞄准点C距离D点的高度。
答案　(1)　(2)
解析　(1)子弹射出后做斜上抛运动,且恰好水平击中D点,由逆向思维可知,子弹从D到A做平抛运动,竖直方向有xDF=xABsin 30°=gt2
解得t=。
(2)如图所示,
作DE平行于AB,有xDE=xAB=a,
xAE=xBD=a
由几何关系得
xDF=xDEsin 30°=,xEF=xDEcos 30°=
根据勾股定理得xAF==2a
设AC与AF之间的夹角为α,从A处到D点竖直方向有
0=v0sin α-gt
水平方向有xAF=v0cos α·t
解得tan α=
根据三角函数关系可知tan α==
解得xCF=a,故有xCD=xCF-xDF=。(共16张PPT)
增分微点3 平抛运动的临界极值问题和空间抛体运动
第四章　曲线运动　万有引力与宇宙航行
一、平抛运动的临界极值问题
常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点。
例1 (2026·北京西城模拟)网球运动员将球在边界A的正上方B点水平向右垂直于球网击出,球恰好过网C落在D处,示意图如图所示,不计空气阻力,已知AB=h1,AC=x,
CD=,网高为h2,下列说法正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.击球点高度h1与球网的高度h2
之间的关系为h1=1.5h2
B.若保持击球高度不变,球的初
速度v0只要不大于,就一定落在对方界内
C.任意降低击球高度(仍高于h2),只要球的初速度合适(球仍水平击出),球一定能落在对方界内
D.在h1大于h2的情况下,只要球的初速度合适(球仍水平击出),就一定能落在对方界内
D
解析　从B点到D点,竖直方向有h1=g,水平方向有x=vt2,从B点到C点,竖直方向有h1-h2=g,水平方向有x=vt1,联立解得h1=1.8h2,故A错误;若初速度太小,则不能过网,故B错误;球刚好过网又压线(刚好不出界)时,有h1'-h2=g,x=vt3,h1'=g,
2x=vt4,联立解得h1'=h2,所以h1必须大于或等于h2,球才能过网且不出界(h1小于h2时,球要么不过网,要么出界),故C错误,D正确。
例2 (2026·山东济南一模)如图所示,弹珠发射器(可视为质点)固定于足够高的支架顶端,支架沿着与竖直墙壁平行的方向以速度v1水平运动,同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2(v2>v1)的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x,竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直距离为L,重力加速度为g,不计空气阻力,下列说法正确的是(　　)
A.x的最小值为L B.x的最小值为L
C.y的最小值为 D.y的最小值为
C
解析　弹珠在水平方向做匀速直线运动,竖直方向做自由落体运动,当v2垂直竖直墙壁射出时,弹珠运动时间最短,为tmin=,y的最小值为ymin=g=,故C正确,D错误;由于v2>v1,则弹珠水平方向的合速度可以垂直竖直墙壁,合速度大小为v=,此时x的最小值为L,故A、B错误。
二、空间抛体运动
例3 (2026·山东聊城高三期末)如图所示,水平地面上固定一倾角为37°的斜面,AB足够长,BB'长10 m,现在B点正上方D点沿与水平方向成45°角斜向上抛出一小球,小球抛出速度最大为10 m/s,已知重力加速度g=10 m/s2,抛出点D与B点间的距离为
6 m,则斜面上与抛出点等高的可能落点构成线段的长度为(　　)
A.2 m B.10 m
C.8 m D.6 m
D
解析　如图所示,过D点作平行底边BC的直线DM,过M作与D点等高的直线MN,若小球以最大速度抛出时,落到MN上的位置为P点,则水平方向有DP=v0mcos 45°·t,其中t=
= s,可得DP=10 m,因DM==8 m,由勾股定理可知MP=6 m1.如图所示,窗户上、下沿间的高度差H=1.6 m,墙的厚度d=0.4 m,某人在离墙壁距离为L=1.4 m、距窗户上沿高为h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物件以速度v水平抛出,小物件直接穿过窗口并落在水平地面上,g取10 m/s2。则v的取值范围是(　　)
跟踪训练
A.v>7 m/s B.v<2.3 m/s
C.3 m/sC
解析　小物件做平抛运动,若小物件恰好经窗户上沿,则有h=g,L=v1t1,解得v1=7 m/s;若小物件恰好经窗户外侧下沿,则有h+H=g,L+d=v2t2,解得v2=3 m/s,所以3 m/s2.如图所示,容量足够大的圆筒竖直放置,水面高度为h,在圆筒侧壁开一个小孔P,筒内的水从小孔水平射出,设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x,小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变,重力加速度为g,不计空气阻力,在这段时间内,下列说法正确的是(　　)
A.水从小孔P射出的速度大小为
B.y越小,则x越大
C.x与小孔的位置无关
D.当y=时,x最大,最大值为h
D
解析　设在极短时间内从小孔喷出水的质量为m,由机械能守恒定律可知mgy=mv2,解得v=,A错误;水从小孔P射出后做平抛运动,则x=vt,h-y=gt2,解得x=v=2,可知x与小孔的位置有关,由数学知识可知,当y=h-y,即y=h时,x最大,最大值为h,并不是y越小x越大,D正确,B、C错误。
3.(2025·山东潍坊模拟)如图所示,BD为斜面顶端的水平边沿,子弹从斜面最低点A处,枪口瞄准C点(C点在D点的正上方)以一定速度射出,经过一段时间恰好水平击中D点,不计空气阻力,已知斜面的倾角为30°,重力加速度为g,AB长度xAB=a,BD长度xBD=a。求:
(1)子弹从射出到击中D点经历的时间;
(2)枪口瞄准点C距离D点的高度。
答案　(1)　(2)
解析　(1)子弹射出后做斜上抛运动,且恰好水平击中D点,由逆向思维可知,子弹从D到A做平抛运动,竖直方向有xDF=xABsin 30°=gt2
解得t=。
(2)如图所示,
作DE平行于AB,有xDE=xAB=a,
xAE=xBD=a
由几何关系得
xDF=xDEsin 30°=,xEF=xDEcos 30°=
根据勾股定理得xAF==2a
设AC与AF之间的夹角为α,从A处到D点竖直方向有
0=v0sin α-gt
水平方向有xAF=v0cos α·t
解得tan α=
根据三角函数关系可知tan α==
解得xCF=a,故有xCD=xCF-xDF=。
本节内容结束
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