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2026年广东省惠州市惠阳区中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-3的倒数是（　　）
A. 3 B. C. D. -3
2.预计2027年，某地电子信息产业产值约达620亿元，用科学记数法表示620亿为（　　）
A. 6.2×1010 B. 6.2×1011 C. 6.2×1012 D. 6.2×109
3.我国已经进入5G时代，自动驾驶技术和远程外科手术技术得以进一步发展．下列通信公司标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是（　　）
A. 2a+3b=5ab B. 4a2-2a2=2a2 C. 3（a-b）=3a-b D. -（a+1）=-a+1
5.如图，直线m∥n,把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A=90°，若∠1=25°，则∠2等于（　　）
A. 70°
B. 65°
C. 25°
D. 20°
6.惠阳皆歌是市级非遗音乐，某校开展皆歌传唱活动，10名同学演唱评分（满分10分）：7、8、9、8、7、10、8、9、8、7.下列关于该组数据的判断，错误的是（　　）
A. 众数是8 B. 中位数是9 C. 平均数是8.1 D. 极差是3
7.直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0的实数解的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1或2
8.如图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC.若∠AOC=130°，则∠ABC的度数为（　　）
A. 100°
B. 110°
C. 130°
D. 115°
9.二次函数y=ax2+bx+c开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，下列结论正确的是（　　）
A. a＜0 B. b＜0 C. c＞0 D. b2-4ac＞0
10.如图，在平行四边形纸片ABCD中、AB=AD=4，∠A=60°，将该纸片翻折使点A落在C边的中点E处，折为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE的长为（　　）
A. 2
B. 2-1
C. 2.8
D. 2.2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若反比例函数y=的图象经过点（2，-3），则k=______．
12.计算：= .
13.如图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见的图案.五角星还出现在一些宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关.另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称.若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是 .
14.如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，=，则=______．
15.如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为__ ____．（答案用根号表示）
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
16.先化简后求值：，其中x=2.
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
同学 部分运算过程
甲同学 解：原式==…
乙同学 解：原式==….
（1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质
②分式的基本性质
③乘法分配律
④乘法交换律
（2）请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程.
四、解答题：本题共7小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
惠阳区计划在一片直角三角形的空地上，打造以淡水老城文化为主题的休闲广场.已知空地为Rt△ABC，∠ACB=90°，AB边紧邻规划的环城步道，AC边是便民服务通道，BC边是连接淡水老城入口的观景步道.设计方案以BC边上的点O为圆心，OB为半径修建圆形的文化主题景观区，该圆形区域与环城步道AB交于点D.
（1）实践与操作：计划在便民服务通道AC上设置一个与点A、点D距离相等的便民服务点E，请你用直尺与圆规作出边AC上满足条件的点E，并连接DE（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）判断与证明：只有当指示线DE与圆形景观区相切时，才能符合广场规划.请根据现有条件，判断是否符合广场规划，并说明理由.
18.(本小题7分)
为落实“双减”政策，惠州市推行“周三无作业日”活动.相关主管部门为了解某学校学生对该活动的满意度，对该学校分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，对活动满意度进行问卷调查，打分情况（满分10分）如下：
小学部：7，7，8，8，8，8，8，9，9，10
初中部：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7
（1）现从小学部抽取的这10名学生中的前4名（7，7，8，8）中随机选取2人，求这2人的打分都不低于8分的概率；
（2）若评分不低于8分的学生占比达到65%及以上，则认为该校活动开展效果良好.已知该校小学部有1200人，初中部有800人，请根据样本估计总体，判断该校“周三无作业日”活动开展效果是否良好，并说明理由.
19.(本小题9分)
小刚到离家1200的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟.
（1）小刚步行的速度是每分钟多少米？
（2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？
20.(本小题9分)
惠州南站是深惠同城重要高铁站点，如图①，高铁座椅靠背、折叠小桌板可绕支点旋转，蕴含丰富几何变化规律.现将高铁座椅侧面抽象为几何图形进行操作探究：
如图②，已知支架BC、连接靠背AB与小桌板CD，点E为杯托位置，BC=37cm,CE=10cm,初始状态AB⊥地面，CD∥地面，∠ABC=35°.
操作一：静态测量计算
（1）求初始状态下，点C到靠背AB的垂直距离.（结果精确到1cm）
操作二：旋转变换探究
（2）如图③，固定支点B，将靠背AB绕点B顺时针旋转，直至AB与小桌板支架BC重合.已知杯托E处凹陷深度为0.7cm,乘客的水杯恰好能竖直放在杯托处（点E）、缝隙忽略不计，请综合线段长度与旋转高度的变化，计算高铁乘客水杯的最大安全高度.（结果精确到1cm,参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）
21.(本小题9分)
如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=5，AD=13，求四边形CEFG的周长.
22.(本小题13分)
综合与实际
问题背景：
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.
问题探究：
（1）请根据图①写出一个等式：______.
（2）如图②，点C在线段BP上，分别以BC、CP为边作正方形ABCD和正方形CPEF，连接BD、BE.若BP=10，BC CP=22.试求出阴影部分的面积.
拓展应用：
（3）如图③，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，点E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作长方形EHDG分别交AD于点H，交BC于点G.过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2.请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值.若不是定值，请说明理由.
23.(本小题14分)
二次函数y=x2-x+m（m＞0）的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m=1时，求顶点P的坐标；
（2）若点Q（a，b）在二次函数y=x2-x+m（m＞0）的图象上，且b-m＞0，试求a的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】-6
12.【答案】-3
13.【答案】36°
14.【答案】
15.【答案】6π-
16.【答案】②;③ 选择甲同学的解法：
原式=
=
=
=
=x-3，
当x=2时，原式=2-3=-1；选择乙同学的解法：
原式=
= -
=2（x-1）-（x+1）
=2x-2-x-1
=x-3，
当x=2时，原式=2-3=-1
17.【答案】解：（1）如图1中，点E即为所求；

（2）如图2中，直线DE是⊙O的切线，连接OD．

∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ADE+∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠B+∠ADE=90°，
∴∠A=∠ADE，
∴EA=ED．
18.【答案】解：（1）根据题意列表如下，
7 7 8 8
7 （7，7） （8，7） （8，7）
7 （7，7） （8，7） （8，7）
8 （7，8） （7，8） （8，8）
8 （7，8） （7，8） （8，8）
共有12种等可能结果，其中抽取这2人的打分都不低于8分有2种，
∴抽取这2人的打分都不低于8分的概率是=；
（2）该校“周三无作业日”活动开展效果良好，理由如下：
∵小学部抽取的10人，评分不低于8分的有8人；初中部抽取的10人，评分不低于8分的有6人；
∴该校评分不低于8分的有1200×+800×=960+480=1440（人），
∵14401200+800" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="73" height="34" style="width:73px;height:34px;" alt="" title="" />×100%=72%＞65%，
∴该校“周三无作业日”活动开展效果良好．

19.【答案】解：（1）设小刚步行的速度是每分钟x米，则小刚骑自行车的速度是每分钟2.5x米，
根据题意得：-=9，
解得：x=80，
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意．
答：小刚步行的速度是每分钟80米；
（2）小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下：
+2+=23（分钟），
∵23＞20，
∴小刚不能在电影放映前赶到电影院．
20.【答案】解：（1）如图，延长DC交AB于点G，

∵初始状态CD∥地面，且AB⊥地面，
∴CD⊥AB，
即∠BGC=90°，
在Rt△BCG中，已知BC=37cm,∠ABC=35°．
根据正弦函数的定义：
，
代入数据得：，
解得：CG=37×0.57=21.09（cm），
题目要求结果精确到1cm,
故四舍五入得：CG=21（cm），
∴点C到靠背AB的垂直距离为21cm；
（2）如图，过点E作EF⊥CD，交AB于点F，

∴∠FEC=90°，
∵CD∥地面，且在旋转过程中AB与水平线的夹角关系保持不变，
∴∠CFE=∠ABC=35°，
在Rt△CEF中，tan∠CFE=，
即≈0.70，
∴EF≈14.3cm,
∴乘客水杯的最大高度约为：14.3+0.7=15cm.

21.【答案】连接CE交BE于点O，如图所示：
由折叠性质得：BE是线段CE的垂直平分线，
∴EF=EC，GF=GC，OF=OC，∠FOG=∠COE=90°，
∵FG∥CD，
∴∠OFG=∠OCE，
在△OFG和△OCE中，
，
∴△OFG≌△OCE（ASA），
∴GF=EC，
∴EF=EC=GF=GC，
∴四边形CEFG是菱形 10.4
22.【答案】（a+b）2=a2+2ab+b2；
17；
的值为定值；
23.【答案】解：（1）当m=1时，y=x2-x+m=（x-2）2+，
故点P（2，）；
（2）对于y=x2-x+m，令x=0，则y=m，即点A（0，m），
∵b-m＞0，即点P在点A的上方，
而抛物线的对称轴为x=2，故的店A关于对称轴的对称点的横坐标为4，
故a的取值范围为：a＜0或a＞4；
（3）①由抛物线的表达式知，点P（2，m），
由点A（0，m）和点P的坐标得，直线PA的表达式为y=-mx+m，
令y=-mx+m=0，解得x=3，故点B（3，0），
过点D作DH⊥y轴于点H，
∵∠HAD+∠HDA=90°，∠HAD+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠HDA，
∠AOB=∠DHA=90°，AD=AB，
∴△AOB≌△DHA（AAS），
∴HD=AO=m，AH=BO=3，
故D（m，m+3）；
②∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，
∴当x=m时，y≤m+3，可得，化简得：m3-4m2≤18．
∵m＞0，
∴，
∴，
显然：m=1，2，3，4是上述不等式的解，
当m≥5时，（m-2）2-4≥5，，此时，，
∴符合条件的正整数m=1，2，3，4；
当x=m+3时，y≥3，可得，
∵m＞0，
∴，即，
显然：m=1不是上述不等式的解，
当m≥2时，（m+1）2+2≥11，，此时，恒成立，
∴符合条件的正整数m=2，3，4；
综上：符合条件的正整数m的值为2，3，4．
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