资源简介

2025-2026学年陕西省西安市某校高二（下）月考数学试卷（5月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设复数z=+3i，则z在复平面中对应的点为（　　）
A. （1，4） B. （2，5） C. （4，1） D. （5，2）
2.已知集合A={x|x2＜1}，B={x|x2+3x＜0}，则A∪B=（　　）
A. （-1，0） B. （0，1） C. （-3，1） D. （-∞，1）
3.在△ABC中,“>0”是“△ABC为锐角三角形”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.用最小二乘法得到一组数据（xi，yi）其中i=1，2，3，4，5的线性回归方程为=x+3，若xi=25，yi=65，则当x=8时，y的预报值为（　　）
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
5.已知a＞b＞e，x=a+blnb，y=b+alna，z=b+alnb，则x，y，z的大小关系为（　　）
A. y＜z＜x B. z＜x＜y C. z＜y＜x D. x＜z＜y
6.若将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标都缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到g（x），则g（x）的解析式为（　　）
A. B.
C. D.
7.某中学新学期的选修课即将开启选课，甲、乙、丙三人在足球、篮球、摄影、书法四门选修课中选择，学校规定每人限选一门课，若甲不选足球，乙不选篮球，则共有（　　）种不同的结果．
A. 36 B. 27 C. 24 D. 18
8.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）-mx-m+有四个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A. [，e） B. （，e） C. （，e） D. （-e，）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.2020年12月31日，我国第一支新冠疫苗“国药集团中国生物新冠灭活疫苗”获得国家药监局批准附条件上市，保护率为79.34%，中和抗体阳转率为99.52%，该疫苗将面向全民免费.所谓疫苗的保护率，是通过把人群分成两部分，一部分称为对照组，即注射安慰剂；另一部分称为疫苗组，即注射疫苗来进行的当从对照组和疫苗组分别获得发病率后，就可以计算出疫苗的保护率=×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是（　　）
A. 只要注射了新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎
B. 新冠疫苗的高度阳转率，使得新冠肺炎重症感染的风险大大降低
C. 若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病80人，则保护率为60%
D. 若某疫苗的保护率为80%，对照组发病率为50%，那么在10000个人注射了该疫苗后，一定有1000个人发病
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q分别是棱BB1，DD1上异于端点的两个动点，且DQ=BP，则下列说法正确的是（　　）
A. 三棱锥D-APQ的体积为定值
B. 对于任意位置的点P，平面APQ与平面A1B1C1D1所成的交线均为平行关系
C. ∠PAQ的最小值为
D. 对于任意位置的点P，均有平面APQ⊥平面A1C1CA
11.已知椭圆C1：（a1＞b1＞0）与双曲线C2：（a2＞0，b2＞0）有公共焦点F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，C1，C2的离心率分别为e1和e2，则（　　）
A. a12-b12=a22+b22 B.
C. e2-e1=2 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量=（3，2），=（-2，m），若，则m=______．
13.已知在（0，+∞）内有且仅有一个零点，当x∈[-1，2]时，函数f（x）的值域是[b，c]，则a+b+c= ______.
14.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=0，Sn=an+1-2，若，则n的最小值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，AE∥CF，AE=CF，CF⊥平面ABCD，DC=BC=AD=CF=1．
（1）求证：EF⊥平面BCF；
（2）若M为线段EF上一点，且FM=λEF，是否存在实数λ，使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为？若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．
16.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），Q为C上一点且纵坐标为4，QP⊥y轴于点P，且|QP|=|QF|，其中点F为抛物线的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知点M（，-2），A，B是抛物线C上不同的两点，且满kAM+kBM=-，证明直线AB恒过定点，并求出定点的坐标．
17.(本小题15分)
为了提高学生复习的效果，某中学提出了两种学习激励方案，其中甲方案：课前提前预习并完成同步小练习可以获得70分，课前提前预习但没有完成同步小练习可以获得10分，课前没有提前预习也没有完成同步小练习则扣除20分（即获取-20分），其中对学生调查发现甲方案中三种情况的概率分别为，，；乙方案：每天多做一套试题则获得80分，若不能按时多做一套试题则扣除20分（即获取-20分），若每天多做一套试题的概率为p（0＜p＜1），每位同学可以参加两次甲方案或乙方案（但是甲、乙两种方案不能同时参与，只能选择其一），且两次方案互不影响，规定参加两次方案后获得的分数为正，则获得学校的嘉奖；获得的分数为负，则没有嘉奖.
（1）若p=，试问学生选择哪种方案更容易获得嘉奖？请说明理由；
（2）当p在什么范围内取值时，学生参与两次乙方案后取得的平均分更高？
18.(本小题15分)
已知f（x）=（ax+1）lnx-ax．
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）令g（x）=f′（x），存在0＜x1＜x2，且x1+x2=1，g（x1）=g（x2），求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
定义：若对任意n∈N*，数列{an}的前n项和Sn都为完全平方数，则称数列{an}为“完全平方数列”；特别的，若存在n∈N*，使数列{an}的前n项和Sn为完全平方数，则称数列{an}为“部分平方数列”．
（1）若数列{an}为“部分平方数列”，且an=（n∈N*），求使数列{an}的前n项和Sn为完全平方数列时n的值；
（2）若数列{bn}的前n项和Tn=（n-t）2（其中t∈N*），那么数列{|bn|}是否为“完全平方数列”？若是，求出t的值；若不是，请说明理由；
（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】BD
11.【答案】AD
12.【答案】3
13.【答案】2
14.【答案】4
15.【答案】证明：（1）因为AE∥CF，AE=CF，
所以四边形ACFE为平行四边形，所以AC∥EF
在等腰梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=60°，DC=BC=AD=CF=1
所以AB=2BC，所以AC⊥BC
又CF⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥CF
因为BC∩CF=C，BC，CF 平面BCF，
所以AC⊥平面BCF
因为AC∥EF，所以EF⊥平面BCF．
解：（2）依题意，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以C（0，0，0），A（），B（0，1，0），
设M（），
所以 ，，
设为平面MAB的法向量，
由，取x=1，所以，
因为是平面ABC的一个法向量，
设平面MAB与平面ABC所成的锐二面角为θ，
所以cosθ=，
因为0≤λ≤1，所以，所以FM=，
所以存在使平面MAB与平面ABC所成锐二面角为．
16.【答案】解：（1）设Q（x0，4），根据抛物线的定义得|QF|=，
又QP⊥y轴于点P，则|QP|=x0，|QP|=，所以，
则，所以Q，由Q在抛物线C上，16=2×，解得p=4，
所以抛物线C的方程为y2=8x；
（2）证明：点在抛物线y2=8x上，设直线AB：x=my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y2-8my-8n=0，所以y1+y2=8m，y1y2=-8n，
===，
即，整理得n=3m-2，将n=3m-2代入x=my+n得，
x=my+3m-2，所以直线AB恒过定点为（-2，-3）．
17.【答案】解：（1）当X的取值为：-10，-40时，学生参与两次甲方案不获奖，
故两次参与甲方案获奖的概率为：1-=；
当Y的取值为：-40时，学生参与两次乙方案不获奖，
故两次参与乙方案获奖的概率为：1-=；
又因，，
故两次参加乙方案更容易获奖．
（2）由题意可知X的取值为：140，80，50，20，-10，-40，则随机变量分布列为：
X 140 80 50 20 -10 -40
P
E（X）=140×+80×+50×+20×+（-10）×+（-40）×=10；
由题意可知，Y的可能取值为：160，60，-40，则随机变量分布列为：
Y 160 60 -40
P P2 2P（1-P） （1-P）2
E（Y）=160P2+60×2P（1-P）+（-40）×（1-P）2=200P-40．
由题意可知，E（Y）＞E（X），
∴200P-40＞10，
得，＜P＜1．
18.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx-x，
∴函数的定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+，
设m（x）=f'（x）=lnx+，则m'（x）==，
当x∈（0，1）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增，
∴m（x）min=m（1）=1＞0，即f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
（2）∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f'（x）=alnx+≥0在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=f'（x）=alnx+，则h'（x）=（x＞0），
①当a=0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）上单调递增，符合题意；
②当a＜0时，h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∵＜0，即＜0，
∴f'（x）≥0在（0，+∞）上不可能恒成立，不符合题意，舍去；
③当a＞0时，h（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴h（x）min=h（）=a（1-lna），
要使h（x）=f'（x）=alnx+≥0在（0，+∞）上恒成立，则需a（1-lna）≥0，
解得0＜a≤e，
综上所述，实数a的取值范围为[0，e]．
（3）g（x）=f′（x）=alnx+，则g'（x）=（x＞0），
∵g（x1）=g（x2），
∴alnx1+=alnx2+，即aln=，
∵0＜x1＜x2，∴ln＜ln1=0，＜0，∴a＞0，
∵x1+x2=1，∴aln=（x1+x2）==，
令t=∈（0，1），则alnt=t-，
设G（t）=t--alnt，t∈（0，1），则原问题转化为G（t）在t∈（0，1）上有唯一零点，
G'（t）=，G（1）=0，
①当△=a2-4≤0时，G'（t）≥0，即G（t）在（0，1）上单调递增，
∴G（t）＜G （1）=0，
∴G（t）在t∈（0，1）上不可能有零点，舍去；
②当△=a2-4＞0时，设t1，t2是方程t2-at+1=0的两根，则t1，t2是G（t）的两个极值点，
由韦达定理知，t1t2=1，∴t1＜1＜t2，
∵G（t）在（0，t1）和（t2，+∞）上单调递增，在（t1，t2）上单调递减，
∴G'（1）=2-a＜0，解得a＞2，
综上所述，实数a的取值范围为（2，+∞）．
19.【答案】解：（1）∵Sn=2+=2n，
∴n=2k时，Sn=（2k）2是完全平方数列；
（2）n≥2时，bn=Tn-Tn-1=2n-2t-1．
n=1时，b1=（1-t）2≥0，不满足上式，
∴|bn|=，
①t=1时，2n-2t-1=2n-3＞0，∴数列{|bn|}与原数列相同，是“完全平方数列”；
②t≠1时，不是“完全平方数列”；
（3）设等差数列的首项为a1，公差为d，则
Sn=na1+d=[n+（）]2-（），
∴∈Z，∈Z，=0，
令=k，则d=2k2；=m，则a1=k2（2m+1），
代入=0，可得mk=0，
①k=0，则an=0；
②k≠0，则a1=k2，d=2k2，∴an=k2（2n-1），
an=0符合上式，
∴所有为“完全平方数列”的等差数列为an=k2（2n-1）．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑