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2025-2026学年天津市第二中学高一（下）第二次月考数学试卷（6月份）
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丁种型号的产品中抽取（ ）件.
A. 24 B. 18 C. 12 D. 6
2.i是虚数单位，若（1+mi）（2-i）为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A. 2 B. 4 C. -2 D. -4
3.已知向量，，，若A，C，D三点共线，则m=（　　）
A. B. C. D.
4.如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
5.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC的形状为（　　）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形
6.攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖.通常有圆形攒尖，三角攒尖，四角攒尖，八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知其轴截面是底边长为6m,顶角为的等腰三角形，则该屋顶的面积约为（　　）
A. m2 B. 6πm2 C. m2 D. m2
7.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（　　）
A. 若m⊥α，m⊥n,则n∥α B. 若m∥α，m∥β，则α∥β
C. 若m∥α，m⊥n,则n⊥α D. 若m⊥α，m∥β，则α⊥β
8.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=2，，则异面直线DB1与AA1所成角的大小为（　　）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
9.已知一组样本数据x1，x2，…，xn（n∈N*）的均值和方差分别为2和0.25，则3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的均值和方差分别为（　　）
A. 6和0.75 B. 8和0.75 C. 8和2.25 D. 6和2.25
10.少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. 样本的众数为65
B. 样本的第80百分位数为72.5
C. 样本的平均值为67.5
D. 该校学生中低于65kg的学生大约为1000人
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
11.i是虚数单位，复数= .
12.从某珍珠公司生产的珍珠中任意抽取12颗，得到它们的质量（单位：g）如下：7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0，则这组数据的第75百分位数是______.
13.已知向量满足与的夹角为120°，若，则k= .
14.四面体ABCD的所有棱长都为，则这个四面体的外接球的表面积为 .
15.在三棱锥P-ABC中（如图所示）PA=PB=AC=AB=BC=2，，则二面角P-AB-C的余弦值为 .
16.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1=AB=2.有下列命题：
①四棱锥B-A1ACC1为“阳马”；
②四面体A1C1CB为“鳖臑”；
③四棱锥B-A1ACC1体积最大为；
④过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B.
则正确命题是 .
17.在平面四边形ABCD中，，AD=6，向量在向量上的投影向量为，则∠BAD= ；若，点E为线段BD上的动点，则的最小值为 .
三、解答题：本题共3小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=.
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值及△ABC的外接圆半径；
（Ⅱ）若△ABC的面积为4，求b和c的值.
19.(本小题10分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,已知.
（1）求b的值；
（2）求sinA；
（3）求sin（A+B）的值.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点.
（1）证明：PB∥平面ACM；
（2）证明：AD⊥平面PAC；
（3）求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】-1+2i
12.【答案】8.75
13.【答案】
14.【答案】12π
15.【答案】
16.【答案】①②④
17.【答案】 ； -6
18.【答案】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），
∴，且a=2，b=4，
∴根据正弦定理，，
∴；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为4，
∴，解得c=5，
根据余弦定理，，
∴．
19.【答案】； ； ．
20.【答案】（1）证明：连接BD，OM，因为底面ABCD为平行四边形，
O为AC中点，故BD与AC相交于O，
因为M为PD的中点，则OM∥PB，
因为OM 平面ACM，PB 平面ACM，
所以PB∥平面ACM；
（2）证明：因为∠ADC=45°，AD=AC=1，
由余弦定理得，
即，解得，
因为AD2+AC2=CD2，所以AD⊥AC，
因为PO⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PO⊥AD，
因为AC，PO 平面PAC，AC∩PO=O，
所以AD⊥平面PAC；
（3）解：取OD的中点N，连接MN，AN，则MN∥OP，
因为PO⊥平面ABCD，所以MN⊥平面ABCD，
则∠MAN为直线AM与平面ABCD所成角，
其中PO=2，故，
因为AD⊥AC，，
由勾股定理得，
故，
由勾股定理得，
所以，
即直线AM与平面ABCD所成角的余弦值为．
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