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2025-2026学年吉林省长春市实验中学高一（下）第二学程数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z=i（2-i），则=（　　）
A. -2 B. 2 C. 2i D. 4i
2.设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
4.如图，在矩形ABCD中，E，F分别为CD，CB中点，G为线段EF上的一点，且，若，则λ+μ=（　　）
A. B. C. 2 D.
5.如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱OO1，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（　　）
A. 9π
B. 11π
C. 15π
D. 19π
6.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若，则△ABC的面积为（　　）
A. B. 1 C. 5 D.
8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，点P为线段BC1上的动点，Q为平面ABCD内的动点，则D1P+PQ的最小值是（　　）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（　　）
A. 直线A1C1与BD1为异面直线
B. A1C1∥平面ACD1
C. 三棱锥D1-ABC的体积为
D. 平面α过点B且α∥平面ACD1，则平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的图形的周长为
10.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,△ABC的面积为S，下列与△ABC有关的结论，正确的是（　　）
A. 若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
B. 若A＞B，则sinA＞sinB
C. 若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
D. 若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
11.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1上底面的边长为，下底面边长为，且，则下列说法正确的有（　　）
A. 该四棱台的体积为14 B. 侧棱AA1与底面夹角的正切值为
C. 若E为CC1的中点，则AC1∥平面BDE D. 该四棱台的外接球表面积为20π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=（m2-3m）+（m2-4m+3）i是纯虚数，则实数m的值为 .
13.某校高三年级有400名学生，将某次考试的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示.则此次考试的数学成绩位于区间[60，80）的人数约为 .
14.在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=b+2bcosA，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量，且，求：
（1）的值；
（2）向量与夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=3，DE=2EP，AB=，点P到平面ABCD的距离为3.
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求三棱锥P-ACE的体积.
17.(本小题15分)
已知，，.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的最大值和最小值.
（3）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若且，求△ABC周长的最大值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知（b+c）（sinB-sinC）=（a-c）sinA.
（1）求B；
（2）若△ABC的面积为，且，求BD的最小值.
19.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=AD=2，CD=4，E为CD的中点，将△DAE沿AE翻折至△PAE的位置，使点D落在点P的位置，且，F，G分别为AE，BC的中点.
（1）证明：平面PAE⊥平面ABCE.
（2）若线段PC上存在点M，使得平面PBF∥平面MEG，
（i）猜想的值，并说明理由；
（ii）求二面角P-BE-M的正弦值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】0
13.【答案】120
14.【答案】
15.【答案】（1）2 （2）1
16.【答案】证明：连接BD交AC于点N，连接EN，
因为BC∥AD，且，
所以，又，
所以，
所以PB∥EN，又PB 平面ACE，EN 平面ACE，
所以PB∥平面ACE
17.【答案】 最大值，最小值-1
18.【答案】解：（1）由（b+c）（sinB-sinC）=（a-c）sinA，
根据正弦定理得（b+c）（b-c）=（a-c）a,整理得a2+c2-b2=ac,
由余弦定理得，结合B∈（0，π），可知．
（2）根据题意，△ABC的面积S=，
即ac=，可得ac=3，所以 =accosB==．
因为，所以，
两边平方得=（+）2=2+ +2=，
因为，当且仅当时取等号．
所以的最小值为2，可知BD的最小值为．
19.【答案】证明：在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=AD=2，CD=4，E为CD的中点，
∴AB∥CE，且AB=CE=BC，
则四边形ABCE为菱形，∴AE=BC，
则AD=AE=DE=2，∴△ADE为等边三角形，翻折后△PAE为等边三角形，且PA=PE=2，
∵F为AE的中点，故．
同理，四边形ABED为菱形，△ABE为等边三角形，．
在△PFB中，，，又，则PF2+BF2=PB2，∴PF⊥BF．
∵AE∩BF=F，AE，BF 平面ABCE，
∴PF⊥平面ABCE．
又PF 平面PAE，故平面PAE⊥平面ABCE 解：（ⅰ）．
理由如下：
如图，连接AC，与BF，GE分别交于点Q，N，连接PQ，MN．
∵F，G分别为AE，BC的中点，四边形ABCE为菱形，
∴四边形BGEF为平行四边形，∴BF∥GE．
又BF 平面PBF，GE 平面PBF，∴GE∥平面PBF．
∵G为BC的中点，∴GN为△BCQ的中位线，∴N为CQ的中点．
∵平面PBF∥平面MEG，平面PBF∩平面PAC=PQ，平面MEG∩平面PAC=MN，
∴PQ∥MN，∴M为CP的中点，即．
（ii）
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