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2025-2026学年河南省信阳市光山县第二高级中学高二（下）学情检测数学试卷（5月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知向量，且与垂直，则k的值为（　　）
A. -2 B. -1 C. D.
2.下列求导运算中正确的是（　　）
A. （3x）′=x3x-1 B.
C. （cos2x）′=-2sin2x D.
3.甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（　　）
A. B. C. D.
4.若函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，则f′（x0）=0是x0为函数y=f（x）的极值点的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩X服从正态分布N（95，σ2），且P（80＜X＜95）=0.4，则P（X＞110）的值为（　　）
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
6.抛物线C：y=2px2（p＞0）的准线被圆x2+y2=5所截得的弦长为4，则p=（　　）
A. 8 B. C. 4 D.
7.将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率P（A|B）等于（　　）
A. B. C. D.
8.若函数h（x）=ex+b-lnx的最小值为，则b=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的是（　　）
A. 回归直线恒过样本点的中心．
B. 两个变量线性相关性越强，则相关系数|r|就越接近1．
C. 在线性回归方程中，当变量x每增加一个单位时，平均减少0.5个单位．
D. 某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变．
10.安排语、数、英、物4位老师进班答疑，每位老师可选择周一至周五的某一天答疑，每人只安排一天，每天可以有多位老师答疑，则下列说法正确的是（　　）
A. 不同的安排方法共有45种
B. 若恰有2位老师安排在同一天答疑，则不同的安排方法共有360种
C. 若4位老师的答疑日期都不相同，且数学和物理老师答疑的日期不相邻，则不同的安排方法共有36种
D. 若4位老师的答疑日期都不相同，因为数学是物理的基础，所以数学答疑必须排在物理答疑之前（可不相邻），则不同的安排方法共有60种
11.已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（　　）
A. 离心率的取值范围为
B. 当离心率为时，|QF1|的最大值为3
C. 存在点Q，使得
D. 当离心率不小于时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的一条渐近线方程为，则m= .
13.等比数列{an}的前n项之积为Tn，若a5=4，则log2T9= .
14.有n个编号分别为1，2， ，n的盒子，第1个盒子中有3个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，从第n个盒子中取到黑球的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足点（an，an+1）在直线3x-y=0上，且a3=27.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn=nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
在人工智能时代，教育部门积极推动AI与传统教学模式的“深度融合”，实现教学模式的变革.某校从全体学生中随机抽取50名学生对融合式教学模式实施的满意度进行评分，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）在样本中，从评分大于80分的学生中随机抽取2人，用X表示其评分在[90，100]范围的人数，求X的分布列及均值；
（3）假设用频率估计概率，从全校学生中随机抽取2人，用Y表示其评分在[80，100]范围的人数，求Y的分布列及方差.
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，，AB⊥BC，O为AC的中点，PO⊥平面ABC，PO=2.
（1）求证：PB⊥AC；
（2）若M为棱BC的中点，求二面角M-PA-C的余弦值.
18.(本小题17分)
设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点且|PF|=x0+1，过抛物线C的焦点F作直线l,且直线l与抛物线C相交于A，B两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）当|AF|+4|BF|最小时，求直线l的方程；
（3）设O为原点，直线x=1分别交直线OA，OB于点M和N.求证：以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）若a=1，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程.
（2）设函数g（x）=f（x）-f（a）.
（i）讨论g（x）的零点个数；
（ii）若a∈（0，1），g（x）的较大零点为x0，证明：x0＜2-a.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】ABC
10.【答案】BD
11.【答案】ABD
12.【答案】3
13.【答案】18．
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】0.03 分布列为P（X=k）=，k=0，1，2；E（X）= Y的分布列为：P（Y=k）=，k=0，1，2；D（Y）=
17.【答案】连接BO，因为AB=BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，
又因为PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
所以PO⊥AC，
又因为PO∩OB=O，PO，OB 平面PBO，
可得AC⊥平面PBO，
又因为PB 平面PBO，
所以PB⊥AC
18.【答案】（1y2=4x 证明：已知A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线OA的方程为，直线OB的方程为，
令x=1，可得，，
根据圆的性质，若点D（x0，0）在以MN为直径的圆上，
则，
，，
所以
又因为，，
所以，
代入上式可得，
由（2）可知y1y2=-4，代入上式可得，
即，
解得x0=-1或x0=3，
所以以MN为直径的圆经过x轴上的两个定点（-1，0）和（3，0）
19.【答案】 （i）当0＜a＜1或a＞1时，g（x）有两个零点，当a=1时，g（x）有一个零点；（ii）证明：由a∈（0，1），可知2-a＞1，
由f（x）在（1，+∞）上单调递增，可知即证f（x0）=f（a）＜f（2-a），
令，
即证h（a）＜0，也即证2（a-1）+ln（2-a）-lna＞0，
令t（a）=2（a-1）+ln（2-a）-lna，则，
故t（a）在（0，1）上单调递减，
又t（1）=0，因此t（a）＞t（1）=0，得证
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