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2025-2026学年上海市普陀区曹杨第二中学高二（下）练习数学试卷（5月份）
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.“中国天眼”为500米口径球面射电望远镜（FivehundredmetersApertureSphericalTelescope,简称FAST），是具有我国自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是（　　）
A. 通过调查获取数据 B. 通过试验获取数据 C. 通过观察获取数据 D. 通过查询获得数据
2.已知事件A，B满足P（A|B）=0.7，，则（　　）
A. 事件A，B相互独立 B. 事件A，B互斥 C. P（B|A）=0.3 D.
3.已知函数f（x）=acosx-x2，则f（x）的极值点的个数情况可能为（　　）
A. 没有极值点 B. 有无穷多个极值点 C. 恰有2026个极值点 D. 恰有2027个极值点
4.已知曲线Γ的对称中心为O，如果对于曲线Γ上的任意一点A，都存在Γ上另外的两点B、C，使得△ABC的垂心为O，则称Γ为“自垂曲线”.现有如下两个命题：
①任意双曲线都是“自垂曲线”；
②任意椭圆都是“自垂曲线”.
则下列判断正确的是（　　）
A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题
C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为1，则数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的方差为 .
6.已知随机变量X服从正态分布N（10，σ2），若P（9＜X＜11）=0.6，则P（X≤9）= .
7.样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第75百分位数为 .
8.函数y=ln（1-2x）的导数是y′= .
9.如图，在三棱台ABC-A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线A1B是异面直线的共有______条．
10.若随机变量X的分布为，则X的期望E[X]为 .
11.现有甲、乙两组数据，甲数据有5个数，其平均数为9，方差为8；乙组数据有10个数，其平均数为6，方差为2.若将这两组数据混合成一组，则新的数据的方差为 .
12.盒子中有大小与质地相同的3个红球和5个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球2个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率为 .
13.一个箱子里有5个大小与质地相同的球，编号为1、2、3、4、5，若有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数为X，则P（X=2）= .
14.设a∈R，若关于x的方程有两个不相等的实根x1，x2，则a的取值范围是 .
15.已知曲线C：（|xy|-1）（|x2-y2|-2）=0，有下列说法：
①曲线C是中心对称图形；
②曲线C有且仅有4条对称轴；
③过点（0，1）的任意一条直线与曲线C的公共点个数均为偶数；
④曲线C所围成的封闭图形的面积S满足2π＜S＜8.
其中正确的为 （写出所有正确说法的序号）.
16.设a∈R，f（x）=ex（3x-1）-ax+a,若存在唯一的整数n,使得f（n）＜0，则a的取值范围是 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，BC=3，AB=5.
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）设AC1与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C-ABC1的体积.
18.(本小题14分)
某高中随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图所示）.
（1）求身高在区间[170，175）的学生人数；
（2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取6人.
①求从这三个组分别抽取的学生人数；
②若要从6名学生中抽取2人，求B组中至少有1人被抽中的概率.
19.(本小题14分)
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，记该正方体的8个顶点构成集合M.
（1）从集合M中有放回地随机抽取两个点P、Q，令随机变量X为向量模长的平方，求X的分布及期望E[X]；
（2）从集合M中随机抽取四个不同的点P1、P2、P3、P4，设事件A：，事件B：∥，求P（A）、P（B）和P（A|B）.
20.(本小题18分)
已知b＞0，A、F分别是双曲线Γ：的右顶点和右焦点，记Γ过一、三象限的渐近线为l0.
（1）设b=2，求双曲线Γ的离心率和渐近线l0的方程；
（2）设，Q是l0上一点，若线段QF与双曲线Γ交于点P，满足，求点Q的坐标；
（3）设b=1，过A作两条互相垂直的直线与双曲线Γ交于M、N两点（M在第一象限），若直线AM、AN分别与l0交于C、D两点，且△AMN与△ACD的面积分别为S1、S2，满足S1=4S2，求直线AM的方程.
21.(本小题18分)
已知a＞1，b,c∈R，f（x）=ax+bx2+c.
（1）若a=3，b=0，c=-5，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若a=e,c=-1，存在b,使得函数y=f（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且x1，x2，x3成等差数列，求b的值；
（3）若a=2，b=c=0，g（x）=f（x）+x,数列{an}，{bn}满足an=g（n），g（bn）=n（n≥1，n∈N）.{an}与{bn}的公共项按从小到大的顺序构成数列{cn}，试问在数列{cn}中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】9
6.【答案】0.2
7.【答案】5
8.【答案】
9.【答案】3
10.【答案】
11.【答案】6
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】①④
16.【答案】
17.【答案】解：（1）证明：由AC=4，BC=3，AB=5，得AB2=AC2+CB2，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，可得C1C⊥BC，BC∩C1C=C，
∴AC⊥平面CBB1C1，∵BC1 平面CBB1C1，
∴AC⊥BC1；
（2）由C1C⊥平面ABC，可得AC为AC1在底面ABC内的射影，
知∠C1AC即为AC1与平面ABC所成的角，∴∠C1AC=60°，
又∵△C1AC为直角三角形，且AC=4，∴C1C=4，
C1C为三棱锥C1-ABC的高，S△ABC=6，
V=V= S△ABC C1C=×6×4=8，
∴三棱锥C-ABC1的体积8．
18.【答案】30人 ①3人，2人，1人；②
19.【答案】分布列如下：
X 0 1 2 3
P
P（A）=，P（B）=，P（A|B）=
20.【答案】离心率为，l0为y=2x
21.【答案】（log35，+∞） 不存在，理由：
由于g（x）=2x+x，则，，
因为{an}中的每一项an都是整数，此时一定是整数，
对于任意正整数n，令，则m是正整数．
因为g（bm）=m且g（an）=m，而g是单射，所以bm=an，
因此{an}中任意一项均为{bn}中的项．
反之，{bn}中可能还有其他非整数项，则公共项正是{an}本身．
而函数y=g（x）在（0，+∞）为严格增函数，
所以若存在an，an+1，an+2（n≥1，n∈N）成等比数列，一定满足．
代入表达式，求出（n-2）2n-1=0．
令T（x）=（x-2） 2x-1，T（1）＜0，T（2）＜0，T（3）＞0，
函数y=T（x）在（3，+∞）为严格增函数，
即（x-2） 2x-1=0无符合要求的正整数解．
所以不存在{an}中连续三项构成等比数列
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