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2026年6月山东济南市市中区九年级八校联考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是（ ）
A. 4 B. C. D.
2.一个几何体按如图所示水平放置，它的主视图是（）
A. B. C. D.
3.“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”是清代袁枚写的诗．苔花的花粉直径约为，将数据的相反数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（）
A. 36° B. 30° C. 45° D. 40°
5.中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
7.如图，有一个公园有两个入口、三个出口，从入口进入，从出口离开的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.关于的方程有实数根，那么的可能值是 （ ）
A. 4 B. 2 C. 0或2 D. 0或1
9.如图，菱形的边长为4，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线交于点E，连接，则的长是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴在轴右侧，将该抛物线沿轴向下平移个单位长度后，得到的新抛物线在范围内与轴有一个交点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：= ．
12.如图1，在边长为20cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为 cm2.
13.某手工艺人制作圆形正五边形拼接装饰盘，需用正五边形木片排成圆环状，这些木片完全相同．现已摆放3个正五边形木片，呈现如图所示的位置关系．手工艺人计划将这些木片围绕圆形装饰盘排成一个完整的圆环状．要完成这一圆环排列，总共需要 个正五边形木片．
14.如图所示，已知双曲线y=（x＜0）和y=（x＞0），直线OA与双曲线y=交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y=交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y=交于点C，S△ABC=6，，则k= ．
15.如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共6分。
16.计算：．
17.解不等式组：，并写出它的最小整数解．
四、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题3分)
如图，在中，点分别在上，，交于点O．求证．
19.(本小题9分)
如图，学校的正南方向有一条东西走向的高速路，高速路出口位于学校的东南方向，位于公园的南偏西方向，学校位于公园的北偏西方向，公园与高速路出口相距140米．
(1) 求学校与公园之间的距离；
(2) 若大型货车的噪声污染半径为150米，当大型货车在高速路上行驶时，请通过计算说明学校是否在大型货车的噪声污染范围内？若在范围内，将计划在高速路靠近学校一侧安装隔音板，则至少需安装隔音板多少米（不计损耗）？（参考数据：，，，结果保留整数．）
20.(本小题9分)
如图，内接于，为直径，与相切于点B，，作交于点E．
(1) 求证：．
(2) 作于点F，于点G．若，求的值．
21.(本小题9分)
某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取10人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图表如下：
指标y数据统计表
患者 0.19 0.22 0.3 0.32 0.37 0.41 0.5 0.52 0.6 0.63
非患者 0.42 0.5 0.58 0.6 0.63 0.71 0.78 0.8 0.85 0.93
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 在被调查的患者中，指标x的中位数是 ，在被调查的非患者中，指标x的平均数是 ，指标y的中位数是 ；
(2) 将10名患者和非患者的指标x的方差分别记作和，则 ；（填“”“”或“”）
(3) 若来该院就诊的病人中有800名非患者，请你估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数．
22.(本小题9分)
“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜羊羊”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍．
(1) 求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
(2) 若计划购买A，B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的 倍，且所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案．
23.(本小题9分)
如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，将直线绕点A顺时针旋转交x轴于点C．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 设点D为反比例函数的图像与直线的唯一公共点，连接，试求的面积；
(3) 在（2）的条件下，点P为反比例函数位于第二象限图像上的动点，连接，并将射线绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点Q，当，且点P在点D上方时，求点P的坐标．
24.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若点的坐标为．
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 如图，若点是线段上方抛物线上的一点，直线，分别与轴交于点，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3) 过点作轴的垂线，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，如图．在图形上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
在平行四边形中，，分别为边，上两点．
(1) 当是边中点时，
①如图（1），联结，如果，求证：；
②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值；
(2) 如图（3）所示，联结，，如果，，，．求的长．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】2a（x+2）（x﹣2）
12.【答案】140
13.【答案】10
14.【答案】-4
15.【答案】
16.【答案】解：原式
．

17.【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的最小整数解为．

18.【答案】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
解：如图，过点作的平行线，过点作的垂线，两线交于点．
由题意得，．
∵，，
∴，，
∴，
∴；
过点作于点，
∴，
∵，
∴，，
∴（米）．
答：学校与公园之间的距离约为270米．
【小题2】
如图，过点作的垂线，垂足为，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
由（1）知，在中，，，
∴，，
∴学校在大型货车的噪声污染范围内．
设货车在点与点之间行驶时，学校受到噪声污染，连接、、则
∵，
∴，
∴米．
答：学校在大型货车的噪声污染范围内；至少需安装隔音板约108米．

20.【答案】【小题1】
证明：∵为直径，
∴．
∵为直径，与相切于点，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∴；
【小题2】
解：设，
∵，
∴，．
∴．
∵，，
∴，
∴，．
∵，过圆心，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

21.【答案】【小题1】
0.23
0.42
0.67
【小题2】

【小题3】
解：人，
∴估计这800名非患者中指标y低于0.6的人数为240人．

22.【答案】【小题1】
解：设B型号纪念品的单价为 元，则A型号纪念品的单价为 元，
依题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
，
答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元；
【小题2】
解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品 个，
依题意，得
解得： ，
∵m为整数，
∴m可取42，43，44，
故共有三种购买方案：
方案1：购买42个A型号纪念品， 28个B型号纪念品；
方案2：购买43个A型号纪念品， 27个B型号纪念品；
方案3：购买44个A型号纪念品， 26个B型号纪念品．

23.【答案】【小题1】
中，令，
∴，
∴．
∵，直线过点A，B，
∴，解得．
∴一次函数的表达式为：．
【小题2】
∵，
∴，
∴．
可求得直线AD：．
联立，得．
∵只有唯一公共点，∴．
∴，
∴．
联立得．
∴，
∴．
【小题3】
作轴于点M，作轴于点N，
∵，易知．
∴．
当P在D上方的图像上，过点D作交于点G，
∴．
如图，过点G作轴于点H，过点D作交于点I，
可证．
∴．
设，，则，，
∴．
∴．
∴，．
∴直线：．
联立，得或（不合题意，舍去）．
∴P点坐标为．

24.【答案】【小题1】
【详解】（1）由题意可得抛物线，过点，
故代入上式：，
可得，
故抛物线的表达式为．
【小题2】
（2）将，代入抛物线中，即，
解得：，，
故点坐标为，点的坐标为，
将，代入抛物线中，
解得：，
故点坐标为，
由题设点坐标为，
过作轴，
∴轴，
∴，，
①当时，，
即，
∴，
②当时，，
即，
∴，
∴．
【小题3】
（3）将延翻折至，延长与轴相交于点，如图所示：
根据翻折的规律可得，，
设，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
带入数值可得，
解得：，，
∴，，，
G过点作的垂线，垂足为，
∴按照面积法可得的面积为，
代入数值可得，
解得，
故由勾股定理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
原抛物线解析式，可化为，
故抛物线顶点坐标为，
∵过点作轴的垂线：，将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记作图形，
∴翻折后抛物线解析式为，即，
∴图形的抛物线为，
①当在原抛物线上时，如图：
设点坐标为，
∴，
解得（舍），，
∴．
②当在翻折后的抛物线上时，如图：
设点坐标为，
∴，
解得，（舍），
∴．
综上可得，点坐标为、．

25.【答案】【小题1】
解：①如图所示，延长交于H，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，延长交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵是边中点，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴，，
设，则，
∴，
∴；
【小题2】
解；如图所示，延长交于M，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，即
∴，
∵，即，
∴，
∴；
∵，
∴，即，
∴，解得或（舍去），
∴．

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