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2023—2024学年度下学期东北育才超常教育实验部
少儿 35班数学学科阶段检测二
考试时间： 120分钟试卷满分： 150分
一、选择题（共 8小题）
1.函数 在 ， 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2.在等差数列 中，若 ，则
A.45 B.6 C.7 D.8
3.点 是曲线 上的点， 是直线 上的点，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知定义在 上的函数 满足：对任意 ， 恒成立，其中 为 的导函数，则
不等式 的解集为（
A. B.
C. D.
5.乒乓球，被称为中国的“国球”。某次比赛采用三局两胜制，当参赛选手甲、乙两位中有一位赢得两局比
赛时，就由该选手晋级而比赛结束。每局比赛都要分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响。
假设甲在任一局赢球的概率为 ，有选手晋级所需要的比赛局数的期望值记为 ，则下列说
法中正确的是（ ）
A.打满三局结束比赛的概率
B. 的常数项为
C.函数 在 上单调递增
D.
6.已知函数 对任意 成立，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知数列 满足， ， ，则
A. B.
C. D.
8.已知函数 ， ，若 ，则 的最大值为（ ）
A. B.2
C. D.
二、多选题（共 3小题）
9.设数列 的前 项和为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. ， ， 成等差数列，公差为
C. 取得最大值时
D. 时， 的最大值为
10.函数 ，函数 有两个不等实根，则下列选项正确的是
（ ）
A.点 是函数 的零点
B. ， ，使
C. 是 的极大值点
D. 的取值范围是
11.已知具有相关关系的两个变量 ， 的一组观测数据 ， ，…， ，由此得到的线性
回归方程为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A.回归直线 至少经过点 ， ，…， 中的一个点
B.若 ， ，则回归直线 一定经过点
C.若点 ， ，…， 都落在直线 上，则变量 ， 的样本相关系数
D.若 ， ，则相应于样本点 的残差为
三、填空题（共 3小题）
12.一个盒子中有大小相同的 4个红球 3个白球，若从中任取 3个小球，则在“抽取的 3个球中至少有一红
球”的前提下“抽取的 3个球全是红球”的概率是 ；若用 表示抽取的三个球
中白球的个数，则 。
13.已知函数 ， ，若存在实数 使 在 上有 2个
零点，则 的取值范围为 。
14.已知 ， 有极大值 和极小值 ，则 的取值范围是 ；
。
四、解答题（共 5小题）
15.已知各项均为正数的数列 满足 ，且 。
（1）写出 ， ，并求 的通项公式；
（2）记 ，求 。
16.已知函数 有两个极值点 ， 。
（1）求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围。
17.一个袋子中有 10个大小相同的球，其中有 4个白球，6个黄球，从中依次随机地摸出 4个球作为样
本，设采用有放回摸球和不放回摸球得到的样本中黄球的个数分别为 ， 。
（1）求 ， ；
（2）现采用不放回摸球，设 表示“第 次取出的是黄球”，证明：
；
（3）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差的绝对值不
超过 0.2的概率。并比较所求两概率的大小，说明其实际含义。
18.已知数列 （ ），若 为等比数列，则称 具有性质 。
（1）若数列 具有性质 ，且 ， ，求 的值；
（2）若 ，求证：数列 具有性质 ；
（3）设 ，数列 具有性质 ，其中 ， ， ，
若 ，求正整数 的取值范围。
19.若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有 ，则称
为 上的 “ 类函数”。
（1）若 ，判断 是否为 上的 “2类函数”；
（2）若 ，为 上的 “2类函数”，求实数 的取值范围。
（提示：去绝对值）

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