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2025-2026学年陕西省西安市新城区西咸新区秦汉中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列分式中，属于最简分式的是（　　）
A. B. C. D.
3.不等式x-3（x-2）≥4的解集在数轴上表示为（　　）
A. B.
C. D.
4.如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠B=30°，AD⊥AC，AD交BC于点D，则CD的长为（　　）
A. 2 B. 2.5 C. D.
5.如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
6.如图，直线y=ax+b和直线y=mx+n交于点（1，2），则关于x的不等式ax+b＞mx+n的解集为（　　）
A. x＞2 B. x＜2 C. x＞1 D. x＜1
7.“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式a2-b2=（a+b）（a-b）成立的是（　　）
A. B.
C. D.
8.若分式方程无解，则a的值是（　　）
A. 3或2 B. 1 C. 1或3 D. 1或2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：mx2-my2=______．
10.若代数式有意义，则x的取值范围是 .
11.公园的一段甬道是由完全相同的五边形ABCDE密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若∠C=∠E=90°，∠A=∠B=∠D，则∠A的度数为 .
12.如图，在平面直角坐标系中，A（1，-1），B（2，2），△ABC为等腰直角三角形，且∠B=90°，则点C的坐标为______.
13.若关于x的一元一次不等式组有2个整数解，则a的取值范围是 ．
14.如图，△ABC是等边三角形，AB=2，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的动点，则PE+PC的最小值为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共17分。
15.计算：.
16.解分式方程：+3=．
17.阅读理解，解决问题：
背景：随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生产生活，为人们的工作生活带来了便利.某农业公司欲购进甲、乙两种型号的农用无人机用来喷洒农药，甲型机比乙型机平均每小时少喷洒2公顷农田，甲型机喷洒50公顷农田所用时间与乙型机喷洒60公顷农田所用时间相等.该农业公司共购进甲、乙两种型号的无人机20架.
问题解决：
（1）甲、乙两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
（2）若公司要求这批无人机每小时至少喷洒230公顷农田，那么该公司最少购买乙型无人机多少架？
四、解答题：本题共9小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
先化简，其中x从1，2，3中选取自己喜欢的数代入求值.
19.(本小题5分)
如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=40°.请用尺规作图法，在BC下方求作一点P，使得∠PAC=25°，且AP=AC.（保留作图痕迹，不写作法）
20.(本小题5分)
如图，AD与BC相交于点O，AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC.求证：OA=OB.
21.(本小题5分)
一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅体重为60千克，手推车的质量为20千克，每箱货物质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物多少箱？
22.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，3）、B（-4，4）、C（-2，1）.
（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）在旋转的过程中，点B的运动轨迹的长度为多少？（结果保留π）
23.(本小题7分)
在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键.为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码.例如：多项式x2-4因式分解为（x-2）（x+2），若取x=15，则x-2=13，x+2=17，取件码可为1317或1713.
（1）若多项式为x2-16，当x=15时，写出所有的取件码______.
（2）某快递员使用多项式x3-9x生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______.
（3）若多项式为x3-6x2+9x,当x=26，求出所有的取件码.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CB⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．
（1）求证：AC=AE；
（2）若∠AEC=2∠B，AD=1，求BD的长．
25.(本小题8分)
在2026年春晚舞台，宇树科技的G1与H2两款机器人表演《武BOT》、松延动力的仿生人形机器人参演小品《奶奶的最爱》等节目惊艳亮相.某酒店受此启发，为吸引顾客，提高服务质量，决定购买机器人来代替部分人工服务.已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台共需10万元；购买甲型机器人3台，乙型机器人1台共需15万元.
（1）甲、乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
（2）已知1台甲型和1台乙型机器人每天服务的客人数量分别是200人和150人，该公司计划用不超过22万元的价格购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每天服务客人的数量最大？
26.(本小题12分)
[问题提出]
（1）如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，D为BC上一点，将△ADC绕点A按逆时针方向旋转90°，D的对应点为D′，则∠D′BC=______；
[问题探究]
（2）如图②，△ABC为等边三角形，D，E为边BC上的点，已知CE=BD=4，∠DAE=30°，求△ABC的边长；
[问题解决]
（3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养.某校准备规划一块三角形生物基地即△ABC，用来种植花卉，如图③，其中∠ABC=45°，D为边AC上一点，E为BC边上一点，BD，DE是规划过程中修建的两条小路，要求，∠ADB=45°，DE⊥AC，且.现计划在四边形ABED区域内种植三色茧，经了解，种植三色茧的费用为50元/m2，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用.（小路的宽度忽略不计）
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】m（x+y）（x-y）
10.【答案】x≠3
11.【答案】120°
12.【答案】（5，1）或（-1，3）
13.【答案】6＜a≤8
14.【答案】
15.【答案】-3+．
16.【答案】解：去分母得：1+3（x-2）=x-1，
去括号得：1+3x-6=x-1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解．
17.【答案】甲型无人机平均每小时喷洒10公顷地，乙型无人机平均每小时喷洒12公顷地 该公司最少购买乙型无人机15架
18.【答案】；-1．
19.【答案】
20.【答案】∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB．
21.【答案】18．
22.【答案】
23.【答案】1119和1911 20 262323、232623、232326
24.【答案】证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A=∠B+∠A=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠B+∠BCE=∠ACD+∠DCE，
即∠AEC=∠ACE，
∴AC=AE；
（2）∵∠AEC=∠B+∠BCE，∠AEC=2∠B，
∴∠B=∠BCE，
又∵∠ACD=∠B，∠BCE=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE=∠DCE，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=30°，∠B=30°，
∴Rt△ACD中，AC=2AD=2，
∴Rt△ABC中，AB=2AC=4，
∴BD=AB-AD=4-1=3．
25.【答案】甲型机器人的单价是4万元，乙型机器人的单价是3万元 购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每天服务的客人数量最大
26.【答案】90° 8+4 2100元
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