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2025-2026学年江苏省泰州中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z满足（1+i）z=2i，则z在复平面上对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若角α的终边过点（4，3），则=（　　）
A. B. C. D.
3.下列命题正确的是（　　）
A. 垂直于同一条直线的两直线平行 B. 垂直于同一条直线的两直线垂直
C. 垂直于同一个平面的两直线平行 D. 垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
4.已知水平放置的四边形OABC按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中O′A'∥B'C′，∠O′A′B′=90°，O′A′=1，B'C′=2，则原四边形OABC的面积为（　　）
A.
B. 3
C. 4
D. 5
5.向量在向量上的投影向量为（　　）
A. （2，-1） B. C. （4，-2） D. （3，1）
6.西昌市某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°且C，D的距离为12米，则旗杆的高度为（　　）
A. 9米 B. 12米 C. 13米 D. 15米
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a+c的最小值为（）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 7
8.用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1，在锐角△ABC中，过点B作与垂直的单位向量，因为，所以.由分配律，得，即，也即bsinC=csinB.请用上述向量方法探究，如图2，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于D，E.设AB=c,BC=a,CA=b,∠ADE=θ，则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为（　　）
A. asin（B-θ）+bsin（A+θ）=csinθ
B. asin（B+θ）+bsin（A-θ）=csinθ
C. acos（B-θ）+bcos（A+θ）=ccosθ
D. acos（B+θ）+bcos（A-θ）=ccosθ
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. ，z∈C
B. i2026=1
C. 若1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0（a,b∈R）的一个根，则a+b=-1
D. 在 ABCD中，点A、B、C分别对应复数2+i,4+3i,3+5i,则点D对应复数为1+3i
10.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E，F，G分别为棱BC，CC1，CD的中点，下列结论正确的有（　　）
A. AE与D1F共面
B. 平面AB1D1∥平面GFE
C. AE⊥EF
D. BF∥平面AB1D1
11.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c.已知sinA：sinB：sinC=ln2：ln4：lnt,且，下列结论正确的是（　　）
A. 2＜t＜8
B.
C. t=4，a=ln2时，△ABC的面积为
D. 当时，△ABC为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，则与向量垂直的单位向量为______.
13.在△ABC中，，BC=2，若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的取值范围为 .
14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，记平面AD1E与平面ABCD的交线为l1，平面AD1E与平面ABB1A1的交线为l2，若直线AB分别与l1、l2所成的角为α、β，则cosα= ，cos（α+β）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足，且z的虚部为1，z在复平面内所对应的点在第一象限.
（1）求z；
（2）若z,z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB.
16.(本小题15分)
已知向量=（1，2sinθ），=（sin（θ+ ），1），θ∈R．
（1）若⊥，求tanθ的值；
（2）若∥，且θ∈（0，），求θ的值．
17.(本小题15分)
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是B1C1的中点，D是BC上一点.
（1）若D是BC中点，求证：平面AC1D∥平面A1BE；
（2）若AD⊥C1D，求证：D是BC中点.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且与共线.
（1）求C；
（2）若c=4，求△ABC周长的取值范围；
（3）若，且△ABC为锐角三角形，角A与角B的内角平分线交于点D，求△ABD面积的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α-仿射坐标系，在α-仿射坐标系中，若，则记.
（1）α-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则x1y2=x2y1；②若，则x1x2+y1y2=0是否一定成立？（不必说明理由）
（2）在α-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为α，求cosα；
（3）如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】或
13.【答案】（0，2]∪{4}
14.【答案】

15.【答案】z=1+i ∠ OAB=90°
16.【答案】解；（1）若⊥，则=sin（θ+）+2sinθ=0，所以5sinθ+cosθ=0，所以tanθ=-；
（2）若∥，且θ∈（0，），则2sinθsin（θ+）=1，整理得sin2θ+sinθcosθ=1，所以，又因为，可得，
17.【答案】证明：（1）连接DE，
因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
所以BC∥B1C1，BC=B1C1，AA1∥BB1，AA1=BB1，
因为E是B1C1的中点，D是BC中点，
所以EC1∥BD，EC1=BD，B1E∥BD，B1E=BD，
所以四边形EC1DB，B1EDB均为平行四边形，
所以BE∥C1D，BB1∥DE，BB1=DE，
所以AA1∥DE，AA1=DE，
所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1E∥AD，
因为A1E 平面AC1D，AD 平面AC1D，
所以A1E∥平面AC1D，
同理BE∥平面AC1D，
因为A1E∩BE=E，A1E 平面A1BE，BE 平面A1BE，
所以平面AC1D∥平面A1BE；
（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，
因为AD 平面ABC，所以CC1⊥AD，
因为AD⊥C1D，
又因为CC1∩C1D=C1，所以AD⊥平面BB1C1C，
因为BC 平面BB1C1C，所以AD⊥BC，
又因为△ABC为正三角形，
所以D是BC中点．
18.【答案】 （8，12]
19.【答案】①成立，②不成立
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